基于玻耳兹曼熵分析的图像分割方法研究

别，显然这种分析与灰度谱的窗口大小有关，这些情况，在图 2
中分析。
灰度值或熵值 灰度值或熵值
1
0.9 0.8 灰度值空间序列曲线
0.7
0.6 0.5 0.4
灰度值熵空 间序列曲线
0.3
图像目标区域存在于比较有序、平稳、渐变的灰度级序列 之中，而目标之间的过渡区域存在于变化比较剧烈的灰度级序 列之中，成像原理中的量化灰度级与光谱能量级有关，因此，与 能量相对的熵是描述这种能量变化的最好测度。所以，可以引 入玻耳兹曼熵来描述灰度级序列的变化，从中识别出平稳、渐 变的部分或剧变的部分，实现图像分割。图像中间断变化的灰 度级序列就是灰度谱的自然组合与拼接，而灰度谱是光谱能量 在图像系统中的表现形式。
2 灰度谱与玻耳兹曼熵谱及其实验与分析
2. 1 灰度谱与玻耳兹曼熵谱函数关系
图像内容的丰富性或复杂性与图像的量化灰度级数量密
切相关，如场景越复杂，图像的量化灰度级数应该越多，反之亦
然。玻耳兹曼关系式提出之初，只证明了 s 与 ln（ w） 的正比关
系，在物理系统中玻耳兹曼常数 k 是普适气体常数 R 与阿佛伽
Abstract： This paper presented a new definition of image Boltzmann entropy mainly based on the image gray-level according to thermodynamics Boltzmann relational expression，which revealed the facts that the image local fabrics were embedded in their gray-level sequence by image Boltzmann entropy． Then image segmentation was come true by statistically computing in local neighbor pixels to identify characteristics of image Boltzmann entropy． The experiments and comparing analysis indicate that this method is remarkable superiority． Key words： image analysis； image segmentation； Boltzmann entropy； local fabrics
则边缘一定存在于其中，通过给定窗口对熵变化率进行统计比
较，可以将该谱一分为二，最大值处就是边界。虽然可以直接
寻找最大值，发现边缘，但是其抗噪声能力较差。假设，图 1
（ c） （ d） 灰度谱对应于图像的某个区域（ 目标或背景） ，则一定
存在其他灰度谱 与 之 相 比 较，并 且 一 定 存 在 变 化 率 的 显 著 区
第 28 卷第 10 期 2011 年 10 月
计算机应用研究 Application Research of Computers
Vol． 28 No． 10 Oct． 2011
基于玻耳兹曼熵分析的图像分割方法研究*
曹建农
（ 长安大学 资源学院，西安 710054）
摘 要： 根据热力学玻耳兹曼熵关系式，定义基于图像灰度谱的玻耳兹曼熵谱，将图像空间局部结构隐含于灰
最小交叉熵方法纠正了最大熵存在的理论问题，取得了较 好效果，其重要贡献在于将图像建模问题看做时间序列分析问 题［4］，较好地顾及了像素间存在的强相关性，其实质是马尔可 夫性，众多基于马尔可夫随机场（ MRF） 的图像分割研究影响 至今。为了顾及图像局部上下文相互的空间信息，建模时就必 须将图像系统看做一个时间序列整体事件，或者说，将整个图 像看做由若干相关事件构成的一个整体实验，文献［4］给出的 灰度守恒条件，是构造时间序列相关性图像处理模型的关键条 件［5］，当然，还有 其 他 建 立 时 间 序 列 相 关 性 模 型 的 方 法［6，7］。 最大交叉熵方法［6］是最小交叉熵原理的变种。交叉熵方法进
一维直方图情况下，上述熵方法都无法顾及图像空间局部 结构，所以图 像 分 割 效 果 很 难 改 善。因 此，Abutaleb［10］ 提 出 二 维熵阈值法，取得了较好效果。总体看，在二维直方图中附加 空间关系统计量，在交叉熵原理中应用 Tsallis 熵或 Renyi 熵建 立模型，是目前理论上比较完善的方法。但是，二维熵并不是 直接建立熵与图像空间局部结构的联系，而是附加一个近邻空 间关系统计量来描述空间局部结构，统计量的宏观性使其结构 描述能力有限，同时计算量和空间搜索代价较大。
2. 2 灰度谱与玻耳兹曼熵谱实验与分析
已经证明，图像目标之间灰度谱构成的渐变灰度级序列就 是过渡区，并且必然包含边缘［12，13］，所以与之对应的熵谱可以
识别图像（ 边缘） 结构。图 1（ a） 是灰度值及其熵的空间序列函
数关系图； （ c） 是灰度模拟图像； （ b） （ d） 分别是灰度级序列相
doi： 10． 3969 / j． issn． 1001-3695． 2011． 10． 088
Image segmentation based on Boltzmann entropy
CAO Jian-nong
（ College of Earth Science ＆ Resources，Chang’an University，Xi’an 710054，China）
度谱的客观事实与玻耳兹曼熵谱联系在一起。最后在像素近邻空间进行统计计算，通过识别玻耳兹曼熵谱特
征，实现图像分割。实验与比较分析表明，该方法具有显著优势。
关键词： 图像分析； 图像分割； 波耳兹曼熵； 局部结构
中图分类号： TP391. 41
文献标志码： A
文章编号： 1001-3695（ 2011） 10-392学模型更接近图像实际情 况，所以取得了普遍较最大熵方法更好的效果。
最大熵方法除了上述理论缺陷之外，Shannon 熵的可加性 （ additivity） 或者说是广延性（ extension） ，忽略了两个子系统之 间的相互作用。因此，另一个关于熵的重要研究分支，即基于 Tsallis 熵以及 Renyi 熵的图像分割方法得到了发展。它们主 要用来解决 Shannon 熵的可加性（ 或广延性） 带来的模型误差 问题，取得了较好成果。Tsallis 熵和 Renyi 熵是 Shannon 熵的 广义形式，都带有一个参数，由此顾及两个子系统之间的相互 作用，使得它们在图像分割的阈值选取中比 Shannon 熵更好。 文献［8］发现 Tsallis 熵和 Renyi 熵不仅在形式上而且在图像分 割的阈值选取方法上具有特殊的等价关系。引入 Tsallis 熵和 Renyi 熵后，解决了最大熵方法的可加性（ 或广延性） 问题。所 以，学者们将 Tsallis 熵以及 Renyi 熵原理与交叉熵原理相结合 解决图像分割问题，得到了一些研究成果［9］。
熵空间序列曲线） 的函数图，它表明图像灰度熵谱的三个特 征： a） 图像灰度级的熵谱在其极大值附近呈近似对称分布，这 是连续灰度级的玻耳兹曼熵谱特征，是识别图像目标区域之间 局部结构（ 灰度断裂） 的重要依据； b） 熵对灰度在极大熵的较 暗灰度级一侧区间变化率较大，这符合视觉对暗背景上的较亮 目标更敏感的视觉经验； c） 目标区域内灰度谱的灰度级熵值 较大的像素是灰度级比较居中的像素，即它们的信息量较大。 将灰度谱的熵谱函数关系应用在图像平面的八个方向，就可以 实现图像的空间描述。
lmax / Δl 为图像灰度级的相对状态数，其中 l∈［0，lmax ］，可见， 状态数就是灰度级在图像中的可能组合状态的相对大小。事
实上，图像中的灰度级本来就是相对数值，所以下文直接使用
“状态数”“熵”等，而略去“相对”二字。至此，可以利用式（ 1）
建立图像灰度谱及其熵谱的联系。
图 1 是灰度谱（ 灰度值空间序列曲线） 及其熵谱（ 灰度值
对于解决熵与图像空间局部结构联系的问题而言，将来熵 方法的两个研究方向应该受到重视，可能具有更好的发展： a）
收稿日期： 2011-03-23； 修回日期： 2011-05-05 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 40971217） ； 地理空间信息工程国家测绘局重点 实验室开发基金资助项目（ 200915）
德罗常数 NA 之比： k = R / NA ，其意义是相当于一个分子的气体
常数。在图像系统中，可以定义图像玻耳兹曼比例系数为量化
灰度级 Δl 与图像最大灰度值 lmax 之比： kl = Δl / lmax ，其意义是图 像中一个灰度级能量的比例系数。这里 Δl 是图像的灰度值
（ 级） ； kl 可以识别灰度级间的熵变化率，增强灰度级的差异性 特征。玻耳兹曼关系式表示图像灰度级与其熵的关系为
反的情况。为说明问题直观，图 1（ a） （ b） 纵坐标表示灰度值或
熵值。图 1 中，灰度谱模拟了图像中的灰度变化，其识别特征
在于灰度变化率，显然灰度自身特征不显著，很难被识别，熵的
变化特征对应于灰度特征，对熵特征的识别，则是简单最大值
寻优问题。假设，图 1（ c） （ d） 灰度谱对应于图像的过渡区域，
1 图像的灰度谱
图像是由有限灰度级序列在图像空间范围内有序排列所 构成。图像灰度级序列与实际场景光谱能量的反射辐射或发 射辐射能量相对应，图像目标必然存在于灰度级序列的组合之 中。研究表明［5］，假 设 不 受 噪 声 影 响 并 且 具 有 足 够 多 的 灰 度 量化级，则物理光谱能量可区分的目标，其图像目标的灰度重 叠程度很小，甚至为零。因此，如果不考虑由于投影产生的地 物遮挡、阴影、环境光以及有限灰度量化级等因素造成的区域 间灰度重叠，则理论上基于灰度级序列可以识别大部分图像目 标。目标区域之间边缘的过渡区域［12，13］，灰度的变化较快，越 接近实际边缘处变化率越大（ 其剧烈程度是相对于与之相邻 的区域内部而言） ，并且在实际边缘处达到最大值［14］。灰度级 序列有不同程度的间断连续性。