高考文科数学中档题训练29(教师版)
高考数学一天十道中档题 1-4(1)
《一天十道中档题》中档题（一）一、单选题1．已知函数221ln 11f x x x，则不等式 211f x f x 的解集为（）A ． ,01,B ． ,2C ．,20, D ．2,0 2．设函数 f x 的定义域为 ,11y f x R 为奇函数， 2y f x 为偶函数，若 2024f 1，则 2f （）A ．1B ．1C ．0D ．33．下列不等式中正确的是（）A ．11πeπeB ．1eπC ．2e2ππeD ．2π2e lnπ4．已知函数 e ,0,ln ,0,x x x f x x x ，若关于x 的方程 10f x a 的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（）A ．11,1eB ．11,1eC ．11,1eD ．111,1ee5．已知函数 32697f x x x x ，直线l 过点 0,1且与曲线 y f x 相切，则直线l 的斜率为（）A ．24B ．24或3C ．45D ．0或45二、多选题6．已知函数 f x 的定义域为R ，且 21f x 的图象关于点1,02对称， 11f x f x ，则下列结论正确的是（）A ． f x 奇函数B ． f x 的图象关于直线2x 对称C ． f x 的最小正周期为4D ．若 12f ，则 12200f f f三、填空题7．已知0b ，函数 42bxxa f x 是奇函数，则ab ．8．设0a ，已知函数 2ln 2f x x ax 的两个不同的零点1x 、2x ，满足121x x ，若将该函数图像向右平移 0m m 个单位后得到一个偶函数的图像，则m．四、解答题9．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x且(e)3f ．(1)求实数a 的值；(2)若函数()() g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．10．设 2cos 1f x ax x ，a R .(1)当12a时，证明： 0f x ；(2)证明： *1114cos cos cos ,1233n n n n N L .中档题（二）一、填空题1．(1)已知0y x ，则42y x y x x y的最小值为.(2)设,0x y ，已知2xyx y，则22x y 的最小值为.(3)已知x >0，y >0，且3x y ，则141x y 的最小值为.(4)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ﹐且满足 222cos cos b a a B b A ，ABC 的周长为51，则ABC 面积的最大值为．(5)已知0a ，0b ，且1ab ，则111822a b a b的最小值为.(6)正实数x ，y 满足132x y时，则x y 的最小值为．(7)已知222x xy y ，则22x y 的最大值为.(8)已知0x ，0y ，2xy x y ，则xy 的最小值是．(9)设10,0,22x y y x，则1x y 的最小值为．(10)已知正实数x ，y 满足2x y ，则12x y的最小值为．二、多选题2．已知0a ，0b ，a b ab ，则（）A ．1a 且1bB ．4abC ．49a b D ．11b ab3．在ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知60B ，b 的是（）A ．若π4A ，则aB ．若1a ，则72cC ．ABC 周长的最大值为D ．ABC 面积的最大值124．若正实数,a b 满足1a b ，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a bC ．14a b的最小值是10D5．若0,0,1a b a b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．14abB C ．2212a bD ．114a b6．下列说法正确的是（）A ．若12x，则函数1221y x x 的最小值为1 B ．若,,a b c 都是正数，且2a b c ，则411a b c的最小值是3C ．若0,0,26x y x y xy ，则2x y 的最小值是4D ．已知0xy ，则22222222x y x y x y 的最大值为4 7．设11a b ,，且()1ab a b ，那么（）A ．a b 有最小值21B ．a b 有最大值21C ．ab 有最大值3 .D ．ab 有最小值3 .8．已知x ，y 是正数，且21x y ，下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y 的最小值为12C ． x x y 最大值为14D ．2x yxy最小值为99．下列结论正确的是（）A ．当1x 2B ．当54x时，14245x x 的最小值是5C ．当0x 时，1x x的最小值是2D ．设0x ，0y ，且2x y ，则14x y 的最小值是9210.已知不等式220ax bx 的解集是 12x x ．(1)求实数,a b 的值．(2)解不等式2203ax bx x ．一天十道中档题（三）一、单选题1．已知0a ，且1a ，若函数1()(ln )x f x a x a 在(1,) 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]eB ．1[,1)eC ．(1,e]D ．[e,)2．已知曲线:e x E y 与y 轴交于点A ，设E 经过原点的切线为l ，设E 上一点B 横坐标为(0)m m ，若直线//AB l ，则m 所在的区间为（）A ．10mB ．01mC ．312m D ．322m 3．设等比数列 n a 中，3a ，7a 使函数 3223733f x x a x a x a 在=1x 时取得极值0，则5a 的值是（）A ．BC ．D ．4．函数 y f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ， f x f y f ， 11f ，则下列说法正确的是（）A ． 22f B ． f x 为奇函数C ． f x 在 0, 单调递减D ．若 4f x ，则2,2x 5．已知 0f x ，且0x 时， 22cos f x x f x ，若2π42πf ，若 22sin x f x g x x是常函数，则方程 1f x 在区间 0,1内根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．06．函数 y f x 的导数 y f x 仍是x 的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函数的二阶导数，记作 y f x ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，n 1 阶导数的导数叫做n 阶导数，函数 y f x 的n 阶导数记为n y f x ，例如e x y 的n 阶导数e e n x x ．若 e cos 2xf x x x ，则500f （）A ．50502 B ．50C ．49D ．49492 二、解答题7．已知函数 ln 0x f x x a a x.(1)讨论 f x 的最值；(2)若1a ，且 e x k xf x x≤，求k 的取值范围.8．已知函数 2ln ,R f x x a x a .(1)若函数 g x f x x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围;(2)讨论函数 2h x f x a x 的单调性.9．若函数 y f x 存在零点a ，函数 y g x 存在零点b ，使得1a b ，则称 f x 与 g x 互为亲密函数.(1)判断函数 22xf x x 与 1ln 210g x x x x是否为亲密函数，并说明理由；(2)若 1ex h x x 与 32212k x x mx m x m 互为亲密函数，求m 的取值范围.附：ln3 1.1 .10．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在 ,a b 上是一条连续不断的曲线；②在 ,a b 内可导;③对 ,x a b ， 0g x ，则 ,a b ，使得f b f a fg b g a g .特别的，取 g x x ，则有： ,a b ，使得 f b f a f b a，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数 f x 满足 00f ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 f x y x在 0, 上为增函数.(2)若 ,0,e a b 且a b ，不等式ln ln 0a b b a m b a a b恒成立，求实数m 的取值范围.一天十道中档题（四）一、填空题1．已知实数,a b 满足221a ab b ，则ab 的最大值为；221111a b 的取值范围为．2．函数y 的值域为.3．2223164sin 20sin 20cos 20 ．4．在ABC 中，若sin(2)2sin A B B ，则tan B 的最大值为．5．设 ， 为锐角，且满足 22sin sin sin ，则 .6．已知锐角 ， 满足条件：4422sin cos 1cos sin ，则 .7．设G 为ABC 的重心，满足0AG BG .若11tan tan tan A B C ，则实数 的值为.二、单选题8．已知ABC 非直角三角形，G 是ABC 的重心，GA GB ，则tan tan tan tan tan A B C A B （）A ．12B ．1C D ．29．已知 ， 0,π ，且cos 10， 1tan 3 ，则2 （）A ．π4 或3π4B ．3π4 或π4C ．π4D ．3π410．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b c c ab ，若ABC 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（）A ．π0,6 B ．ππ,64C ．ππ,43D ．ππ,32 三、解答题11．ABC 中，求3sin 4sin 18sin A B C 的最大值。
2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学（文科）中档大题规范练（三角函数）（含答案）中档大题规范练大中型问题的标准实践——三角函数?sinx－cosx?sin2x1.已知函数f（x）=sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，故f(x)的定义域为{x∈r|x≠kπ，k∈z}．?sinx－cosx?sin2x因为f（x）=sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)π2x？－1，＝2英寸？4.2π所以F（x）的最小正周期T=π2(2)函数y＝sinx的单调递增区间为? 2kπ－π，2kπ＋π？（k）∈z）。
22??πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，242π3π得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈z)．88所以F（x）的单调递增区间是?kπ－π，kπ?和?kπ，kπ＋3π?(k∈z)．88????2.已知的三个内角a、B和C△ ABC形成一个等差序列，边缘相对角度B=3，函数f （x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A时获得最大值。
（1）找到f（x）的值范围和周期；(2)求△abc的面积．解（1）因为a，B和C形成一个等差序列，2b=a+C，a+B+C=π，π2π所以b＝，即a＋c＝.33因为f（x）=23sin2x+2sinxcosx－3=3（2sin2x－1）+sin2x=sin2x－3cos2xπ2x？，=2分钟？3.2π所以t＝＝π.二π2x-？∈ [1,1]，因为罪？3.因此，F（x）的值范围为[-2,2]。
（2）因为f（x）在x=a，π时获得最大值2a－?＝1.所以sin?3??2ππ因为0333ππ故当2a－＝时，f(x)取到最大值，325π所以a＝π，所以c＝.1243c由正弦定理，知＝?c＝2.ππsinsin342＋6ππ??又因为sina＝sin?4＋6?＝，43＋31所以s△abc＝bcsina＝.243．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；π(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．4溶液f（x）=3sin2x+2cos2x+A＝cos2x＋3sin2x＋1＋aπ＝2sin（2x＋）＋a＋1。
2019高考数学中档题训练含详细讲解答案
目录第一套：高考数学中档题精选（1）第二套：高考数学中档题精选（2）第三套：高考数学中档题精选（3）第四套：高考数学中档题训练第五套：不等式专练第六套：高考最新模拟试题一套高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q}是等差数列？若存在，试求出p 、q 应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE.（Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B的正弦值.解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O,由正三棱锥的性质可知O为底面中心，连CO,则CO⊥BD,由三垂线定理知AC⊥BD，又AC⊥ED,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在Rt△ACD中，由AC2+AD2=2AC2=a2可得：AC=AD=AB=22a .∴V=VB-ACD =13·12·AC·AD·AB=224a3 .（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD,即∠EHG为二面角E-FD-B的平面角.∵EG＝12AO 而AO＝VB-ACD13·S△BCD=66a ,∴EG=612a .又∵ED＝AE2+AD2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF∥AC，∴EF⊥DE.∴在Rt△FED中，EH＝EF·EDDF=1512a ∴在Rt△EGH中，sin∠EHG＝EGEH=105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.又令x∈（－1,1），则-x∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x2)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数.（Ⅱ）令－1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在定义域ABCDEF OGH上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i. 解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π 解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i. 解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。
高考数学(文科)中档大题规范练(立体几何)(含答案)
中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．(1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解由(2)知，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，M，D分别为AB，PB的中点，经计算可得MD＝53，DC＝5，S△BCD＝12×BC×BD×sin∠CBD＝12×5×4×215＝221.所以V D－BCM＝V M－DBC＝13×S△BCD×MD＝13×221×53＝107. 2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1.当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由题意知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。
高考数学文科二轮复习中档大题规范练2立体几何
(二)立体几何1．(2017 届南京、盐城二模)如图，在四棱锥P－ABCD 中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB .证明(1)由于AD⊥平面PAB，AP? 平面PAB，因此AD⊥AP.又由于AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB? 平面ABCD，AD? 平面ABCD，因此AP⊥平面ABCD .由于CD ? 平面ABCD，因此CD⊥AP .(2)由于CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD? 平面PAD，AP? 平面PAD，因此CD⊥平面PAD . ①由于AD⊥平面PAB，AB? 平面PAB，因此AB⊥AD.又由于AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP? 平面PAD，AD? 平面PAD，因此AB⊥平面PAD . ②由①②得CD∥AB.由于CD ?平面PAB，AB ? 平面PAB，因此CD∥平面PAB .2.(2017 届蚌埠质检)以下图，在四棱锥A—BCDE 中，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC＝2DE＝6，AB＝4 3，∠ABC＝30°.(1)求证：AC⊥BE；(2)若∠BCE＝45°，求三棱锥A—CDE 的体积．(1)证明在△ABC 中，由cos∠ABC＝2 2 2＋BC －ACAB＝2AB·BC3，22 2 2解得AC＝2 3，进而AC ＋BC ＝AB，∴AC⊥BC.∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，BC⊥AC，∴AC⊥平面BCDE . 又∵BE? 平面BCDE，∴AC⊥BE.(2)解∵BE⊥EC，∠BCE＝45°，BC＝6，∴△BCE 的边BC 上的高为3，S△CDE＝19 ×3×3＝，2 2由(1)知，三棱锥A—CDE 的底面CDE 上的高为 2 3，13 ∴V A—CDE＝×92×2 3＝3 3.3.(2017 届河北省衡水中学押题卷)以下图的几何体P—ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB＝3a，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD＝O，E 为PD 的中点，G 为平面PAB 内任一点．(1)在平面PAB 内，过G 点能否存在直线l ，使OE∥l？假如不存在，请说明原因，假如存在，请说明作法；(2)过A，C，E 三点的平面将几何体P—ABCD 截去三棱锥D—AEC，求节余几何体AECBP 的体积．解(1)过G 点存在直线l，使OE∥l，原因以下：由题可知O 为BD 的中点，又 E 为PD 的中点，因此在△PBD 中，有OE∥PB.若G 点在直线PB 上，则直线PB 即为所求直线l，因此OE∥l；若G 点不在直线PB 上，在平面PAB 内，过G 点作直线l ，使l∥PB，又OE∥PB，因此OE∥l，即过G 点存在直线l，使OE∥l.(2)连结EA，EC，则平面ACE 将几何体分红两部分：三棱锥D—AEC 与几何体AECBP，以下图．由于平面ABCD⊥平面PAB，且交线为AB，又PB⊥AB，PB? 平面PAB，因此PB⊥平面ABCD .故PB 为几何体P—ABCD 的高．又四边形ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB＝3a，因此S四边形ABCD＝2×3 2＝ 32，a a4 2因此V P—ABCD＝13S 四边形ABCD·PB＝13×32a ×3a＝212a3.3.1又OE 綊2PB，因此OE⊥平面ACD，因此V 三棱锥D —AEC＝V1三棱锥E—ACD ＝S△ACD·EO3＝14VP—ABCD ＝13，8a因此几何体AECBP 的体积V＝V P—ABCD－ V 三棱锥D—AEC＝132a－1 33 38a 8a＝.4.(2017 届锦州质检)如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA＝PD，BC＝12 AD.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若三棱锥A—BMQ 的体积是四棱锥P—ABCD 体积的16，设PM＝tMC ，试确立t 的值．(1)证明∵AD∥BC，BC＝12AD，Q 为AD 的中点，∴QD∥BC 且QD＝BC，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ.∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD ＝AD，BQ? 平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ? 平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD .(2)解∵PA＝PD，Q 为AD 的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ? 平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD .设PQ＝h，梯形ABCD 的面积为S，则三角形ABQ 的面积为13S，V P—ABCD＝13Sh.又设M 到平面ABCD 的距离为h′，则V A—BQM ＝V M—ABQ＝1 1·Sh′，3 3依据题意1 13·3 S h′＝1 16·3 S h，∴h′＝12h，故M CPCh′1＝＝，h 2∴M 为PC 的中点，∴t＝1.5．如图(1)，在五边形ABCDE 中，ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△PA D的地点，获得四棱锥P—ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM⊥平面PCD .(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设AB＝1，求四棱锥P—ABCD 的体积．(1)证明取PD 的中点N，连结AN，MN，1则MN ∥CD，MN ＝2CD，1又AB∥CD，AB＝CD，2∴MN ∥AB，MN＝AB，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN∥BM.又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，AN? 平面PAD .∴平面PAD⊥平面PCD .(2)解取AD 的中点O，连结PO，∵AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD.由ED＝EA，即PD＝P A及N 为PD 的中点，可得△PAD 为等边三角形，∴∠PDA＝60°，又∠EDC ＝150°，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD.又AD∩PD＝D，AD，PD? 平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD? 平面ABCD ，∴平面PAD⊥平面ABCD .∵PO⊥AD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，PO? 平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO 是四棱锥P—ABCD 的高．∵AB∥CD，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，∵∠PDC＝90°，PDCD ∴tan∠PCD＝＝1 2 ，∴CD＝2PD，由AB＝1 可知，CD＝2，PD＝PA＝AD＝AB＝1，1则V P—ABCD ＝3PO·S 四边形ABCD＝34 .。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。
2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题六(18张)
年宣传费 x(万
元)
38 48 58 68 78 88
年销售量 y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5
第7页
经电脑模拟，发现年宣传费 x(万元)与年销售量 y(吨)之间 近似满足关系式 y＝a·xb(a，b>0)．对上述数据作了初步处理， 得到相关的值如下表：
6
i＝1
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 是 x＝1＋ 2cosα， y＝ 2sinα (α 为参数)，以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 3ρsinθ－ ρcosθ＋m＝0.
(lnxi·lnyi)
6
6
(lnxi) (lnyi)
i＝1
i＝1
6
i＝1
(lnxi)2
75.3 24.6 18.3 101.4
(1)根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程；
第8页
(2)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝ 2y－1e4x. 若想在 2019 年达到年利润最大，请预测 2019 年的宣传费用是 多少万元？
中档，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对 的边，已知2sinsAi－nBsinC＝2co1sC.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝1，b＝ 7，求△ABC 的面积． 解：(1)由2sinsAi－nBsinC＝2co1sC及 sinA＝sin(B＋C)， 得 2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC＝2sinBcosC＋2cosBsinC－ sinC，所以 2cosBsinC＝sinC， 又因为在△ABC 中，sinC≠0，所以 cosB＝12，
2011年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)
函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，0.1xyO0.在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12- B ．12C ．22-D ．22【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以 2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)
2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大 则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析 【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。
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文科高考数学中档题系列（ 29 ）
1.
已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f
（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；
（2）设点（a ，b ）是区域⎪⎩
⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y
上是增函数的概率.
【答案】18.解（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2a b x =
要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，
当且仅当a >0且a b a
b ≤≤2,12即……………………2分 若a =1则b =－1，
若a =2则b =－1，1
若a =3则b =－1，1，； ………………4分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
51153= ………………6分 （2）由（1）知当且仅当a b ≤2且a >0时， 函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b a
构成所求事件的区域为三角形部分。
………………8分 由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧==-+a b b a ………………10分 ∴所求事件的概率为31882
13882
1=⨯⨯⨯⨯=P ………………12分 2.
已知直角梯形ABCD 中, //AB CD
,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作 AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.
（1）求证：BC CDE ⊥面；（5分）
（2）求证：//FG BCD 面；（5分）
（3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由. （5分）
答案：
（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面 DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面
（2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,
//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面 //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面
（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面
证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ
容易计算2,2
CD BD CR DR CQ ===== 在BDR
中BR DR BD =
==
可知RQ =, ∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥
又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,
CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面
（说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出12x =,亦可,不必再作证明）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S λλ-+=)1(，其中0,1-≠λ； A B C
D E G F · · A B
C D
E
G
F
（１）证明：数列}{n a 是等比数列。
（２）设数列}{n a 的公比)(λf q =，数列}{n b 满足211=
b ，)(1-=n n b f b （)2,*≥∈n N n 求数列}{n b 的通项公式；
（３）记1=λ，记)11(-=n
n n b a C ，求数列}{n C 的前n 项和为n T ； 【解】（1）由⇒-+=n n a S λλ)1()2()1(11≥-+=--n a S n n λλ， 相减得：1-+-=n n n a a a λλ，∴λ
λ+=-11n n a a )2(≥n ，∴数列}{n a 是等比数列 （2）λλ
λ+=1)(f ，∴11111
1+=⇒+=--n n n n n b b b b b ， ∴}1{n
b 是首项为211=b ，公差为1的等差数列；∴1)1(21+=-+=n n b n ∴1
1+=n b n （3）1=λ时，1)21
(-=n n a ，∴n b a C n n n n 1)2
1()11(-=-=， ∴12)21
()21(3)21
(21-++++=n n n T ， ①
n n n T )2
1()21(3)21(2)21(2132++++= ② ②-①得：n n n n T )2
1()21()21()21()21(121132-+++++=- ， ∴n n n n n n n T )2
1())21(1(2)21()21()21()21()21(121132--=-+++++=- ， 所以：n n n n T )2
1(2))21(1(4--=。