单元检测六 数列

单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( ) A ．138 B ．95C ．23D ．1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．4 2 B ．6C ．7D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35C. 32D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1(n ∈N ＋)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．(2017·天津模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N ＋)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4， a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10， 又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52，故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0， a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.]7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项， 即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1， 因为d ，n ∈N ＋，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2， 所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a 2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N ＋，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)2＝(4n －5)·2n ＋2＋20－6n 2－3n .。