2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.5指数与指数函数

§2.5指数与指数函数1．分数指数幂(1)mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )题组二 教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案 －2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝ . 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 ．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数，∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3432-⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1，∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：3(1＋2)3＋4(1－2)4＝ . 答案 2 26．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是 ．(填序号) 答案 ③④解析 在同一坐标系内，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图)．当a >b >0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立． 当a <b <0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 可能成立． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 显然成立． 当0<a <b 时，显然⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫13b . 当b <a <0时，显然⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b .综上可知，③④不可能成立.指数幂的运算1．(2019·四川绵阳诊断)计算23×31.5×612＝ . 答案 6解析 原式＝136121312322⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1113621133223323-⨯⨯⨯⨯⨯＝ 1112361133226.3-+++⨯⨯=＝2.113322(0.1)(1)4a b ---⎛⎫⎪⋅⎭⋅⎝(a >0，b >0)＝ . 答案 85解析 原式＝33322233222485.10a b a b--⋅=3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则11221122x y x y-+ ＝ .答案 －33解析 ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴211112222111122222()122961.1832()1229x y x y xy x y x y xy ⎛⎫-+--⨯ ⎪==== ⎪ ⎪++++⨯⎝⎭由题意知0<x <y ，∴112211220,0,x y y x <+>-∴112211223x y x y-=-+ 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．指数函数的图象及应用例1 (1)定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝12x 的图象是( )答案 A解析 因为当x <0时，1>2x ； 当x ≥0时，1≤2x .则f (x )＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2答案 D解析 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，∵a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，结合图象知，0<f (a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f (c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f (a)>f (c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是()答案 B解析 函数y ＝a |x |(a >1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝a x ，又已知a >1，故选B.(2)若曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是 ． 答案 (0,1)解析 曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 图象如图所示，由图象可得：如果曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知4213532,4,25,a b c ===则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 2223534,4,5,a b c ===∵y ＝4x在R 上单调递增，23>25，∴223544,>即a >b ，∵y ＝23x 在(0，＋∞)上单调递增，4<5， ∴223345,<即a <c .∴b <a <c . (2)已知0<a <b <1，则( ) A ．1(1)ba －>(1－a )b B ．(1－a )b >2(1)b a － C ．(1＋a )a >(1＋b )b D ．(1－a )a >(1－b )b答案 D解析 ∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错．命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为 ． 答案 {x |x >4或x <0}解析 ∵f (x )为偶函数，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 且f (2)＝0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)函数f (x )＝22112x x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＋的单调减区间为 ．答案 (－∞，1]解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝22112x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域是 ．答案 [－1，＋∞) 解析 设t ＝2x (t >0)，则 y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1(t >0)． 当t ＝1时，y min ＝－1，无最大值．∴函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域为[－1，＋∞)．若函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋有最大值3，则a＝ . 答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(2020·贵阳市、安顺市联考)已知1113522,3,5,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．b <c <a答案 C解析 ∵1113522,3,5,a b c === 很明显，a ，b ，c 都是正实数， ∵b 6－a 6＝9－8＝1>0，∴b 6>a 6，∴b >a . ∵a 10－c 10＝32－25>0，∴a 10>c 10，∴a >c . 综上可得，b >a >c .(2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3,0)解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]， 当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1， 所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3,0).1．给出下列结论： ①当a <0时，3232();a a =②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝12(2)x －－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析 322()a >0，a 3<0，故①错， ∵0<5a <1,0<0.7b <1，∴a <0，b >0，∴ab <0.故④错．2．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝3|x |答案 B3．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D解析 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1， 又1.30.86>1，∴c >a >b .4．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b 答案 C解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab >1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 5．函数y ＝21ex －的图象大致是( )答案 C解析 易知函数f (x )为偶函数，因此排除A ，B ； 又因为f (x )＝21ex －>0，故排除D ，因此选C.6．(2020·四川南充一中模拟)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝ . 答案 7解析 ∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点， 令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2， 可得函数的图象经过定点(m ，n －2)．∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤23，34解析 若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，a ≤2－3a ＋1，解得a ∈⎝⎛⎦⎤23，34.8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a <1时，如图①， 所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ . 答案 －32解析 ①当0<a <1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a >1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域． 解 ∵－4x －2x ＋1＋3≥0， 即(2x )2＋2·2x －3≤0.令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0， ∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]． 令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)． 对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上单调递减． ∴0≤y <3.∴函数f (x )的值域为[0，3)．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4， 又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)答案 C解析 x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)．若a >1，y ＝a x 是增函数， 则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1. 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． 14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤34，57解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， ∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34， 当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.15．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是 ． 答案 (0,4]解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74.所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. 所以函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。