有限元的收敛性摘抄说课材料
橡胶结构有限元分析收敛问题的对策
需要进行迭代，而是在方程里直接求出接触力（接触压力）：瓦＝ｎ
Ｆｅｏｎｔａｅｔ。从而，拉格朗日乘子法不需要定义人为的接触刚度去 满足接触面间不可穿透的条件，可以直接实现穿透为零的真实接 触条件，这是罚函数法所不可能实现的。
４．４载荷步与载荷子步
４．４．１载荷步
关于载荷步的设置，小的载荷步增量比大的载荷步增量更 有利于计算的收敛。实践证明，在进行橡胶之类材料大变形分析 中，采用合理的多载荷步将载荷逐步加载到结构上，其收敛速度
２２５００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｆｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
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ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｏｆ
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ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｍａｔｅｒｉａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ
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Ｃｏｕｎｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ Ｒｕｂｂｅｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ’Ｓ ＦＥＡ
ＸＩＡ Ｗｅｉ－ｍｉｎｇ，ＬＵＯ Ｇｕｉ－ｌｉｎ，ｊＩ Ｋｕ．ａｎ－ｂｉｎ （Ｊｉａｎｇｓｕ Ｇｕｏｌｉ Ｆｏｒｇｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｏｏｌ Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｙａｎｇｚｈｏｕ
2012_11_15有限元讲稿第三章rev2
第三章-15
第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
单元数量：单元的数量取决于计算精度、单元尺寸及单元类型的自由度数目， 一般采用更多的单元将获得更为精确的结果，但单元数量增多意味着计算规模 的增大，它将消耗大量的计算机内存以及工作量。
September 22, 2004
工程数值模拟技术—有限元分析方法
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
September 22, 2004
工程数值模拟技术—有限元分析方法
第三章-7
第三章 有限元法的一般理论
节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
单元尺寸：单元尺寸直接影响计算结果的精度，单元尺寸越小，其计算结果 的误差就越小，但对同样区域，小尺寸单元意味着单元数目的增多，节点自 由度的增加及线性方程组数目的增加，即计算工作量增大。
带圆孔受拉力平板结构离散化
September 22, 2004
工程数值模拟技术—有限元分析方法
第三章-14
第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
节点设置 ：一般情况下，根据求解问题性质均匀或局部加密布置节点。对特 殊情况，单元的节点应布置在物体几何形状、材料性能和外载有突然变化的地 方，材料性能不连续、出现间断等，则应将单元的节点设置在间断截面处。
单元节点设置在各种因素突然变化的位置
September 22, 2004
工程数值模拟技术—有限元分析方法
第三章 有限元法的一般理论
第三章 有限元法的一般理论
2012_8_24有限元讲稿第一章rev1
3
参考文献:
1、陈森，弹性力学基础，科学出版社(1981) 2、吴家龙，弹性力学，同济大学出版社(1987) 3、刘正兴等，计算固体力学，上海交通大学出版社 (2000) 4、王元汉等，有限元法基础与程序设计，华南理工大学 出版社(2001) 5、王国强，实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的 实践，西北工业大学出版社(1999) 6、王金龙等，ANSYS12.0 有限元分析与范例解析， 机械工业出版社(2010) 7、张朝晖主编，ANSYS12.0结构分析工程应用实例解 析(第3版)，机械工业出版社(2010)
பைடு நூலகம்
15
14
第一章 绪论
1．3 有限元法的工程应用 总之，利用有限元工程数值分析技术，可以对结构产品 进行优化设计，研究它们在各种场合下的物理响应结构受 力问题，以获得最佳使用性能的产品结构； 为工程学科提供了一种新的研究思路，使得模拟各种 复杂环境下的试验成为可能。 这样将降低设计制造成本、有效提高生产效率。 计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助制造(CAM)。
工程数值模拟技术
这门专业课就是向大家介绍有限元方法的基本原理和内容，为以后 深入学习、掌握与运用通用有限元软件提供基础。 有限元法的基本概念、求解公式构造与具体的工程实际问题密切相 关，工程结构受力分析、强度校核是有限元法应用最为广泛和重要的 领域，因此为理解和掌握有限元数值分析方法，必须了解一些弹性力 学的基本知识。 考虑到材料学科专业学生只学过材料力学，在补充有关力学基本知 识的基础上，简单介绍有限元法的理论基础-能量原理和变分法，在此 基础上从工程应用角度介绍有限元法的概念、求解思路和基本原理， 使大家能够对有限元法的内容有比较全面的了解。 由于有限元软件已大量商品化，作为工程技术人员重要的是如何应 用这种数值技术，所以结合目前最为通用和有效的商用有限元软件之 一ANSYS程序介绍有限元方法的实际应用。
有限元网格划分和收敛性
一、基本有限元网格概念1．单元概述ﻫ几何体划分网格之前需要确定单元类型.单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件,一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
ﻫ 2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法,上述单元可以分成以下不同的形式。
ﻫ3。
按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
ﻫ一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元,或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元,如图1~图3所示。
ﻫ二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸.这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等,如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时,这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
ﻫﻫ三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体,这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示．在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以）。
ﻫ4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
线性单元具有线性形式的插值函数,其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面.这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模.但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化,而应力是常数,因此会造成单元间的应力不连续,单元边界上存在着应力突变，如图6所示。
有限元收敛性
本文讨论了有限元网格的重要概念，包括单元的分类、有限元误差的分类与影响因素;并讨论分析结果的收敛性控制方法，并由实例说明了网格质量及收敛性对取得准确分析结果的重要性。
同时讨论了一些重要网格控制的建议及其他网格设定的说明。
一、基本有限元网格概念1.单元概述几何体划分网格之前需要确定单元类型。
单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法，上述单元可以分成以下不同的形式。
3.按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元，或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元，如图1～图3所示。
二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。
这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时，这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。
在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以)。
4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。 因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可 能使数值解收敛于正确解。 很显然，三角形三节点单元位移模式中 ，与2、3、5、 6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。 ⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移 必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续 性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单 元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单 元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以 保证位移的协调性。
然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显 然，其解答仍为原方程(a)的解答。
⒉将[K]中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个 大数，如1015，同时将{R}中的对应元素换成指定的节点位 移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使[K]中相应 行的修正项远大于非修正项。 若把此方法用于上面的例子，则方程(a)就变成
一般情况下，求解的问题，其边界往往已有一点的位移 约束条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就 必须适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这 里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方 法都可保持原[K]矩阵的稀疏、带状和对称等特性。
⒈ 保持方程组为2n×2n系统，仅对[K]和{R}进行修正。 例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令[K]中的元素 k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中 的第2i个元素则用位移 vi 的已知值代入，{R}中的其它各 行元素均减去已知节点位移的指定值和原来[K]中该行的相 应列元素的乘积。
二. 节点的选择及单元的划分 节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载 荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界 的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不
橡胶结构有限元分析收敛问题的对策
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第 ７期 ２ ０ １ ３年 ７ 月
机 械 设 计 与 制 造
Ｍａ ｃ ｈｉ ｎ ｅ ｒ ｙ Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ＆ Ｍａ ｎｕ ｆ ａ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ２ ６５
橡胶 结构有 限元分析 收敛 问题 的对策
夏卫 明 ， 骆 桂林 ， 嵇 宽斌
（ 扬力集团 江苏 国力锻压机床有限公司 ， 江苏 扬州 ２ ２ ５ ０ ０ ９ ）
有限元方法超收敛性综述
有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。
冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。
因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。
在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。
有限元计算中解的收敛性
Thank you
3. 系统有多个接触的话，也最好如载荷一样，分成几个step让他们接触上。这样的做法会让你以后在 模型的修改中更有方向性。 4. 模型还是不收敛的话，你可以看一下是在哪一步或者那个inc不收敛。对于第一步直接不收敛的话， 如果模型是像我上面把载荷和接触分成很多步建立的话，可以 把载荷加载的顺序换一下。如果你把第二 个加载的载荷换到第一步以后，计算收敛了，那影响收敛的主要问题应该就是原来第一个加载或着接触 影响的。这种情况下 面一般算到这个加载的时候还是不会收敛。这个时候可以考虑是否有什么其他办法 能够使步骤的变化与上一步变动小一点，比如第一点里面提到，或者继续把这个载 荷细分呢？
元计算科技发展有限公司是一家既年青又悠久的科技型企业。年青是因为她正处在战略重组 后的初创期，悠久是因为她秉承了中国科学院数学研究所在有限元和数值计算方面所开创的光荣 传统。元计算的目标是做强中国人自己的计算技术，做出中国人自己的CAE软件。
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有限元的收敛性摘抄
有限元的收敛性
一，有限元定义：
1，一阶和二阶单元，通常称为H单元。
三阶及以上的称其为P单元。
2，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应的单元应变值，再计算积分点的应力。
3，因此：位移的准确性高于应变、应变高于应力。
4，线性计算中，单元不可变形过大，否则造成求解失败。
二，三种收敛性技术：手动控制收敛、软件自动控制收敛（h，p自适应方法）
1，h方法：根据应力梯度变化情况，根据预先规定的收敛准则，自动重新剖分网格，进行自动加密。
适用于实体零件及装配体（仅仅支持实体单元）的静态分析
在应变能误差较高的区域使用较小的网格尺寸
目标精度定义应变能默认值98%，一般认为达到分析要求。
2，p方法：根据约束条件，在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整此处的单元形状函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的准确性。
适用于实体零件及装配体的静态，但装配体仅仅支持结合方式，不可有其他接触存在
默认的收敛准则是总应变能，通常默认的就足够
必须使用二阶单元为初始网格雅可比检查设定在节点处
三，手动收敛性检查：
1，相对收敛性检查：
大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果：步骤如下
执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形每次以2：1的比例调整加细网格尺寸
如果局部网格尺寸远小于整体尺寸，注意扭曲、失真的情况2，等值线质量检查：
应力等值线应该和几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚的看到不连续的结果。
如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密或提高网格质量。
3，误差估算方法：
能量范数值：能量范误差绘图可以显示相邻元素的应力值差异，越小越好
节点和单元应力值比较：
节点解是临近单元的节点应力的平均值
单元解是每个单元所有节点应力的平均值
评定标准：理论上节点解和单元解应该有较小的差异：一般情况下，节点应力与单元应力的误差不允许超过5%
建议：
1，针对单一零件的分析：使用h自适应、二阶单元及默认单元大小
2，针对结合的装配体：使用p自适应、二阶单元及默认单元大小
3，针对有连接接头或接触条件的装配体分析：使用手动h的单元收敛
使用二阶单元及默认单元大小
使用初始网格控制以确保符合未变形的几何体
使用局部网格控制在需要的位置以达到收敛。
默认网格下的节点值图（网格30）节点值
单元值
在单元值与节点值相差小于5%即可
单元15
总的结论;
没有一个确定准则，需要根据经验得到可以接受的结果。
也就是说：有限元分析的结论，在相同的位置的单元值与节点值误差小于5%便可接受。
手动收敛也是需要自己感觉。