2018高考理科数学备战课件第六十二节

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
★状元笔记 旋转体的表面积与体积的求法 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲 面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． (2)旋转体的体积的计算只需根据图形的特征求出所需元素 (半径、高等)，然后代入公式计算即可．
AB＝BC＝CD＝DA＝SE＝EF＝2，BE＝EC＝1，
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∵△SBC是等腰三角形， ∴SB＝SC＝ 5. 又∵△SAD是等腰三角形，∴SF⊥AD.∴SF＝2 2. ∴S▱ABCD＝4，S△SBC＝2， S△SAB＝S△SCD＝ 5，S△SAD＝2 2. ∴SS－ABCD＝6＋2( 2＋ 5)． 1 8 ∴VS－ABCD＝3·SABCD·SE＝3. 【答案】 8 6＋2( 2＋ 5)，3
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1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这 个圆锥的全面积为________．
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答案 3π 解析 已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母
线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆 锥的全面积公式可求． 如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a， 3 2 则 a ＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2. 4 a2 a ∴圆锥的全面积为 S＝π(2) ＋π·2·a＝3π.
S锥侧下＝πrl＝π· 3·2＝2 3π， 1 S表＝2(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋ 3)π. 1 ∴V＝ (V球－V锥上－V锥下) 2
10 1 14 3 2 ＝23πR －3πCD （AD＋BD）＝ 3 π.
10 【答案】 S表＝(11＋ 3)π，V＝ 3 π
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4．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ________．
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答案 8π 解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所 1 得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为4π×3－ × 3 4π×3＝8π.
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5．(2016· 课标全国Ⅱ，文)体积为 8 的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为( A．12π C．8π ) 32 B. π 3 D．4π
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答案 A 解析 由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a＝2.又正 方体的体对角线是其外接球的一条直径， 即 2R＝ 3a(R 为正方体 外接球的半径)，所以 R＝ 3，故所求球的表面积 S＝4πR2＝12 π.
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授 人 以 渔
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题型一
多面体的表面积和体积
(1)下图是一个几何体的三视图，根据图中所给的数 据，求这个几何体的表面积和体积．
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【解析】 下图是还原后的几何体的直观图，分别取BC， AD的中点E，F，连接SE，EF，SF，由图中数据有
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(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表 面积为S＝π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l． (5)球的表面积为4πR2．
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几何体的体积 (1)V柱体＝Sh，V圆柱＝πr2h． 1 1 2 (2)V锥体＝3Sh，V圆锥＝3πr h． 1 1 (3)V台体＝ 3 (S′＋ SS′ ＋S)h，V圆台＝ 3 π(r12＋r1r2＋r22)h， 4 V球＝ πR3(球半径是R)． 3 常见几何体的外接、内切球
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2. (2017· 衡水中学调研卷)若一个半径为2的球体经过切割之 后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ________．
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答案 16π 1 解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去 之后剩余 4 3 的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的 4 与两个半圆面的 3 1 2 面积之和，即S＝4×(4π×2 )＋2×(2π×22)＝16π.
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3. (2016· 课标全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
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答案 B 解析 由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是 边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边 形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧 面是矩形，边长为3 5和3，故面积都为9 5，则该几何体的表面 积为2(9＋18＋9 5)＝54＋18 5.
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思考题1 (1)(2016· 北京，文改编)某四棱柱的三视图如 图所示，则该四棱柱的体积为________，侧面积为________．
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【解析】
通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，
（1＋2）×1 3 则四棱柱的底面积S＝ ＝ 2 ，通过侧(左)视图可知四 2 3 棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝2. 俯视图中，梯形的腰为 1 2 5 1 ＋（2） ＝ 2 ，
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请注意 柱、锥、台、球等简单几何体的表面积与体积(尤其是体积) 是高考热点．
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课前自助餐
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几何体的侧面积与表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，S表 ＝S侧＋S底． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇 环． (3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱 ＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl．
【答案】 A
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★状元笔记 多面体的表面积和体积的求法 (1)求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特 征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直 角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知 量与已知量间的关系，进行求解． (2)近年的高考题中，基本上是将表面积与体积的问题与三 视图结合考查．
【解析】
如图，不妨设正方体的棱长为 1，则截去部分三
1 棱锥 A－A1B1D1，其体积为6，又正方体的体积为 1，则剩余部分 5 1 的体积为6，故所求比值为5.故选 D.
【答案】
D
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题型二
旋转体的表面积与体积
(1)如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角 三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转 轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．
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6．(2015· 江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆 锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成 总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一 个，则新的底面半径为________．
答案 7
解析 设新的底面半径为 r，根据题意得 1 1 2 2 2 2 ×π× 5 × 4 ＋ π× 2 × 8 ＝ π r × 4 ＋ π r ×8， 3 3 即 28r2＝196，解得 r＝ 7.
1 2 B. ＋ π 3 3 2 D．1＋ 6 π
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【解析】 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方 1 2 1 形，高为 1，其体积 V1＝ ×1 ×1＝ .设半球的半径为 R，则 2R 3 3 2 1 4π 3 1 4π 23 ＝ 2， 即 R＝ 2 ， 所以半球的体积 V2＝2× 3 R ＝2× 3 ×( 2 ) 2 1 2 ＝ π.故该几何体的体积 V＝V1＋V2＝ ＋ π.故选 C. 6 3 6 【答案】 C
2 2 2
cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 【答案】 C
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(3)(2016· 山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图 如图所示．则该几何体的体积为( )
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1 2 A. ＋ π 3 3 1 2 C.3＋ 6 π
(2)(2016· 新课标全国 Ⅱ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几 何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π C．28π
B．24π D．32π
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【解析】 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知 圆柱底面圆的半径 r＝2，底面圆的周长 c＝2πr＝4π，圆锥的母 1 线长 l＝ 2 ＋（2 3） ＝4，圆柱的高 h＝4，∴S 表＝πr ＋ch＋2
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(3)若一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ( )
23 A. 3 C．6
47 B. 6 D．7
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 画出几何体的直观图，根据直观图及体积公式求 解．由三视图知，几何体的直观图如图所示．该几何体是正方体 1 1 去掉两个角所形成的多面体，其体积为 V＝2×2×2－2× × × 3 2 23 1×1×1＝ 3 .