理论力学：第10章 动量定理
《理论力学》第十章--动量矩定理试题及答案
理论力学11章作业题解11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。
解 (a) 21l m l mv L c O w == ，逆时针转动。
(b) w w 2210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=rr ，逆时针转动。
(c ) )2(2221222121l R m ml mR ml J J c O +=+=+=w w )2(222111l R m J L O O +==，逆时针转动。
(d)ww mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2211-=-=-=-=+´= r r，顺时针转动解毕。
v cv cv c11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。
解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。
平衡时弹簧受力为：)5.0(312G G F s +=弹簧初始变形量：k G G k F s st /)5.0(3/12+==d在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢系统对A 点的动量矩：j j j&&&221233l gG G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=Ei A A F M dt dL r ：j j 93/5.033221221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j jG G gk &&，令)3(3212G G gkp +=则有02=+j jp &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j由初始条件0| ,/|000====t t l jd j &得l B A / ,00d ==。
理论力学10—动量定理
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
理论力学十动量定理
？
§10-1 动量和冲量
动量——表征物体机械运动强度的一种度量。 质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积， 称为质点的动量。
p m
质点系的动量——各质点动量的矢量和，称为质点
系的动量。
p m1 1 m2 2 mn n mi i
冲量——力在一段时间内的累积效应。
dp y P 2 r sin FN1 FN 2 FN 3 3Q P dt g
F
B D O2
P
φ
Q
FN2
t
1、FN 2和FN 3 为静压力，则 设 FN
D
DO
2
φ
D
1 FN 2 FN 3 3Q P 0 FN
1、约束反力 Fx Fx Fx , Fy Fy Fy 静约束反力 Fx 0, Fy m1 g m2 g 动约束反力 Fx m2e 2cost ；Fy m2e 2sin t 动约束反力的最大值
2 Fx m2e
Fy m2e 2
B D O2 φ
P
F
Q
FN2
§10-3 质心运动定理 设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质 量为 m i ，矢径为 ri ，则质点系的质量中心C的坐 标为 mi ri rC m 将上式对时间求两次导数
d rC m mC mii dt d C m m aC mi ai dt
2、电动机跳起的条件；
Fy m1 g m2 g m2 e 0
2
m1 g m2 g m2 e
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
若以首先越过AB中点为负，那么质量大的宇航员胜。
10第十章-动量定理
(e)
dIi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量 和。
积分形式
p 2 p 1
(e)
Ii
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上
的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
第16页，共37页。
投影形式：
dp x
dt
X (e)
dp y
dt
Y (e)
间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力 作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效 应。
1．常力 F ：
I F (t2 t1)
2．变力 F：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量：
I
t2
Fdt
t1
11
第11页，共37页。
§10-2 动量定理
一．质点的动量定理
0 co st，当sin t 1时， 有：cost 0，故＝0。
0时，v最大，
得：vmax
mB l 0
mA mB
20
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[例10-2 P248]
流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为
v1,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
由质点系动量定理；得
dp dt
p
lim
t 0
t
Q(v2
v1) W
P1
P2
R
21
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dp dt
p
lim
t 0 t
Q(v2
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
理论力学第十章课件 动量定理
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
《动量定理》 讲义
《动量定理》讲义一、动量定理的引入同学们，在我们研究物体的运动和相互作用时，有一个非常重要的概念——动量定理。
那什么是动量定理呢？想象一下，你正在踢足球，当你用力踢出去的时候，足球会飞得很远，而且速度很快；但如果你只是轻轻踢一下，足球就不会飞得那么远，速度也比较慢。
这里面就隐藏着动量定理的奥秘。
我们先来看两个日常生活中的例子。
比如，一辆高速行驶的汽车，要想让它停下来，是不是需要很大的制动力？而一辆慢慢行驶的自行车，要让它停下就相对容易得多。
再比如，一个质量较大的铅球和一个质量较小的乒乓球，以相同的速度运动，要让铅球停下来是不是比让乒乓球停下来更困难？这些现象都和动量定理有关系。
那到底什么是动量呢？动量就是物体的质量和速度的乘积，用符号 p 表示，即 p ＝ mv 。
二、动量定理的表达式动量定理可以用一个简洁的表达式来表示：合外力的冲量等于动量的变化量。
冲量是什么呢？冲量是力在时间上的积累，用 I 表示，I ＝FΔt ，其中 F 是合外力，Δt 是作用时间。
动量的变化量呢，就是末动量减去初动量，即Δp ＝ p₂ p₁。
所以动量定理的表达式就是：I ＝Δp 。
这个表达式告诉我们，合外力对物体的作用效果，取决于力的大小、作用时间以及物体初末动量的变化。
三、动量定理的理解为了更好地理解动量定理，我们来深入分析一下。
首先，力的作用时间越长，冲量就越大，物体动量的变化也就越大。
比如说，同样大小的力，作用时间长的话，能让物体的速度改变更多。
其次，力越大，冲量也越大，物体动量的变化也就越显著。
就像刚才提到的汽车和自行车的例子，汽车质量大，要改变它的运动状态就需要更大的力。
而且，动量定理是一个矢量式。
这意味着力和动量的变化量都是有方向的。
如果力的方向和初速度方向相同，动量就增加；如果力的方向和初速度方向相反，动量就减小。
四、动量定理的应用动量定理在生活和科学研究中有很多应用。
在体育运动中，比如跳远运动员起跳前要助跑，这是为了在起跳时获得较大的初速度，从而具有较大的初动量，这样在起跳后就能跳得更远。
动量定理
动力学的普遍定理之一。
动量定理的内容为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。
公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。
动量定理是一个由实验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来，其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。
而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。
动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
由此可见，动量定理和动量守恒定律是两个不同的概念，不能混为一谈。
中文名动量定理外文名theorem of momentum表达式Ft=mv'－mv=p'－p=I应用学科物理学适用领域范围经典力学目录1 常见表达式2 含义3 适用条件4 推导过程5 说明6 推广形式7 同相关定律定理含义区别8 应用9 微分形式的动量定理10 积分形式的动量定理11 参考文献常见表达式编辑（1）（2）(注：冲量，动量)含义编辑动量定理的含义为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。
[1](高中阶段此公式亦可写作)F指合外力，如果为变力，可以使用平均值；=既表示数值一致，又表示方向一致；矢量求和，可以使用正交分解法；适用条件编辑（1）在牛顿力学适用的条件下才可适用动量定理，即动量定理仅适用于宏观低速的研究对象。
对于微观粒子和以光速运动的物体，动量定理不再适用；（2）只适用于惯性参考系，若对于非惯性参考系，必须加上惯性力的冲量。
且v1，v2必须相对于同一惯性系。
[2]推导过程编辑将F = ma （动力学方程牛顿第二运动定律）——代入v = v₀+ at （运动学方程）得化简得mv- mv₀= Ft注：把mv做为描述物体运动状态的量，叫动量。
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第10章 动量定理物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。
同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。
10.1 动量提问下述问题。
一、 质点的动量v m，矢量。
二、 质点系的动量C v M v m K=∑= 表征质系随质心平动强度的量。
问题：某瞬时圆轮轮心速度为O v，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否相等？若沿曲线运动呢？10.2 力和力系的冲量提问下述问题。
一、 力的冲量力在时间上的累积效应。
1. 常力t F S =问题：图中G 和T有冲量吗？2. 任意力元冲量：t F S=d冲量：⎰=21d t t t F S二、 力系的冲量⎰=∑=21d t t i tR S S故力系的冲量等于主矢的冲量三、 内力的冲量 恒为零。
10.3 动量定理一、 质点的动量定理牛顿第二定律：F a m=→ F tv m=d )(d 或S v m d )(d = 微分形式→ S v m v m=-12 积分形式 二、 质点系的动量定理任一质点：)()(d )(d i i e i i i F F tv m+= 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：)(d d e F tK∑= 微分形式 )(12e S K K∑=- 积分形式例1（自编）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：欲求反力，需用动量定理：上式左端实际包含各物体质心加速度，而用动能定理可求。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
系统动量：αcos ΣC x x v gQmv K -== αsin ΣC y y v gQv g P mv K -== 由动量定理：)(Σd d e xX tK = X a g Q C =-αcosαcos C a gQX -= )(Σd d e F tK=)(Σd d e y Y tK =G Q P Y a gQa g P C ---=-2sin α αsin 2C a gQa g P G Q P Y -+++= 将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求。
上章例题中，求地面给三角块的反力（实际只能求主矢，反力偶求不出）。
（综合题目，需用动能定理）例2 流体在管道中的动压力。
理想、定常、不可压缩流体在管道内运动。
已知流体密度ρ，体积流量Q ，两截面流速v 1 和v 2。
求此段流体给管道的附加动压力。
（注：附加动压力＝总压力 - 静压力）分析：问题1—先求总压力。
欲求总压力，可求总反力。
考虑动量定理：)(Σd d e F tK= 问题2—研究对象如何取？考虑一段流体。
问题3—动量如何写？直接写K 有困难，但可以写d ： 12d d )(d v t Q v t Q K K K K K K K K K B A AB D C CD CD B A B A AB D C CD CD B A ABCD D C B A⋅-⋅=-=+-+=-=''''''''''''''''ρρ从而可解。
解：研究一段流体，画受力图如图。
由动量定理：)(Σd d e F tK= (1)而系统动量变化：tv v Q K K K K K K K K K B A AB D C CD CD B A B A AB D C CD CD B A ABCD D C B A )d ()(d 12-=-=+-+=-=''''''''''''''''ρ代入(1)式，得b a P P W N v v Q+++=-)(12ρ管道给流体的总反力：附加动反力静反力N N N+=而0=+++b a P P W N静反力，所以，管道给流体的附加动反力： 流体给管道的附加动压力：)(12v v Q N -=ρ附加动反力)(21v v Q N N -=-=ρ附加动反力附加动压力三、 动量守恒定律0)(=∑e F ，=K 常矢量0)(=∑e X，=x K 常量问题：为何不这样说？ 由积分形式得：0)( =∑e S ，==12K K常矢量0)(=∑e x S ，==x x K K 12常量答：如光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球，转一周后小球受合冲量为零，==12K K常矢量，但非动量守恒。
又如圆锥摆，小球匀速转动，动量不守恒。
上面问题在于0)( =∑e S 或0)(=∑e S 只能说明一段时间的两端动量相等，的在各瞬时动量不一定相等。
例3 图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块放在光滑平面上，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
系统初始静止。
求重物上升s 时，三角块的速度v 1。
设重物相对三角块铅直运动，滚子与斜面不脱开。
分析：显然，系统水平动量守恒。
但系统有两个自由度，对应两个变量v 和v 1。
而动量守恒只有一个代数方程，还需列一个方程——由动能定理给出。
解：研究整体。
系统水平动量守恒：0)cos (1111=+-++v gGv v g Q v g Q v g P C α (1)（由微分形式得）整理，得：()0cos 21=-++αC Qv v G Q P由动能定理：F W T T Σ0=- 式中00=T 。
重物：()22121v v gP T P += 轮子：2221212121ωr gQ v g Q T B += 滚子：()()[]222212121sin cos 21ωααr g Q v v v g QT C C A ++-=三角块：2121v gG T D =整体动能：212122cos 221CC D A B P v gQ P v v gQ v gG Q P T T T T T ++-++=+++=α 主动力做功：s P Q W F )sin (Σ-=α 代入动能定理方程，得s P Q v gQ P v v g Q v g G Q P C C )sin (022cos 2212121-=-++-++αα (2) 联立(1)、(2)式，得()()()[]ααα221cos 222)sin (2cos Q G Q P Q P G Q P sP Q g Q v -+++++-=作业：10-5、10-910.4 质心运动定理质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。
一、 质心运动定理质点系动量可写成：C v M K=，代入动量定理微分形式：)(d )(d e C F t v M ∑= 当质点系质量不变时，上式可写成)(e C F a M∑=此即质心运动定理。
注：①此定理与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。
质心运动定理已不再使用动量和冲量的概念；②形式与动力学基本方程相同，但含义不同； ③适于任意质点系；④对刚体系，由于Ci i C a m a M ∑=，式中Ci i a m、表示每个刚体的质量和质心的加速度，则质心运动定理又可写为)(e Ci i F a m∑=∑二、 质心运动守恒1. 当0)( =∑e F ，→ 0=C a ，则 =C v 常矢量若初始00=C v ，则 =C r常矢量，即质心C 位置不变；2. 当0)(=∑e X，→ 0=Cx a ，则 =Cx v 常量若初始0=Cx v ，则 =C x 常量，即质心C 在x 轴上位置不变。
注：质心运动守恒多用于求初始静止的系统，满足守恒条件，经过一段时间后某个物体的位移；而动量守恒定律多用于求速度。
例4 用质心运动定理求反力图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：应用质心运动定理求反力： )(e C F a M∑=需求出系统质心加速度：M a m a Cii CΣ=或直接应用质心运动定理的另外形式：各物体质心加速度由动能定理求出。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
由质心运动定理：所以，)(e Ci i F a m∑=∑)(ΣΣe Cix i X a m =X a g QC =-αcos )(ΣΣe Ciy i Y a m =G Q P Y a g Qa g P C ---=--2sin ααcos C a gQX -= αsin 2C a g Q a gPG Q P Y --++=将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：例10-6 （1）求支座反力；（2）求外壳运动规律。
解：（1）三种解法：①动量定理：)(d d e F tK∑=②质心运动定理：)(e C Fa M∑=③质心运动定理：)(e Ci i F a m∑=∑（2）质心运动守恒例5（接例3，用质心运动守恒求位移）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块放在光滑平面上，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
系统初始静止。
求重物上升s 时，三角块的位移s 1 。
设重物相对三角块铅直运动，滚子与斜面不脱开。
分析：水平质心运动守恒 0Δ21=⇒==∑∑∑CiiCi i Ci i C xm xm xm Mx式中∆x Ci 为各物体质心水平位移。
解：质点系水平质心位置守恒：0Δ=∑Ciixm各物体质心水平位移如图（三较块为动系）。
则0)cos (1111=+-++Gs s s Q Qs Ps αGQ P Qs s ++=2cos 1α例6（10-5 较难，需综合运动质心运动守恒、动能定理、质心运动定理及较多的运动学分析。
较典型例题。
）均质细杆AB 长l ，质量为m ，B 端放在光滑水平面上。
初始时杆静止，立于铅直位置，受扰后在铅直面内倒下。
求杆运动到与铅直线成ϕ角时，杆的角速度、角加速度和地面的反力。
分析：(1) 杆水平质心运动守恒，故质心C 铅直运动；(2) 考虑动能定理求角速度：F W T T Σ0=-其中包含ω和vC ，直接不能求；(3) 但由运动分析可建立ω和v C 的关系：P 为瞬心。
(4) 对ω求导，可得ε 。
(5) 欲求地面反力N ，可用质心运动定理：)(Σe C F a m= (6) 但需求质心加速度a C ，可对v C 求导得到。
解：I. 杆水平质心运动守恒，故质心C 铅直运动；II. 动能定理求角速度：F W T T Σ0=-则00=T ，2221212121ωml mv T C += )cos 1(2Σϕ-=lmg W F整理：)cos 1(121222ϕω-=+gl l v C(1) III. P 为瞬心，则：ϕωsin 2lv C = (2)代入(1)式，得)cos 1()1sin 3(1222ϕωϕ-=+g l(a) 1sin 3cos 1322+-=ϕϕωl g (b)IV. 对式(a)求导，并注意εωωϕ== , )(sin 2)1sin 3(12)cos sin 23(1222ϕϕωωϕωϕϕϕ g ll =++⨯)1sin 3()cos 2(sin 322+-=ϕϕωϕεl l g (c)或)1sin 3()cos 3cos 64(sin 622++-=ϕϕϕϕεl g (c1)V. 求质心加速度a C ，对(2)式求导：)cos sin (2cos 2sin 22ϕωϕεϕϕωϕω+=+=l l l a C (3) 或⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=1sin 3)cos 1(cos 2sin 1sin 33222ϕϕϕϕϕg a C (3a)VI. 求地面反力N ，用质心运动定理：)(Σe C F a m =mg N ma C -=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-=-=1sin 3)cos 1(cos 2sin 1sin 33222ϕϕϕϕϕmg mg ma mg N C注1：书上应用基点法求a C ，但不如上面方法简单。