高二数学事件的相互独立性3
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
数学高二-选修2素材 3.2独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的
3.2 独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2χ应该很小.如果由观测数据计算得到的2χ的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2χ的含义,可以通过概率式评价该假设不合理的程度,由实际计算的2χ>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%．当2χ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.对于两事件而言即相互独立.1.两个事件独立的判定例1: 为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果列表如下：根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．解：提出假设H0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．当H0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．注意：这是一个由列联表来验证的独立性检验问题,其结论是没有关系的假设成立.并且应该注意上述结论是对所有口服药物与注射药物的实验人而言的,绝不要误以为对被跟踪的193个跟踪研究对象成立.例2:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.分析：利用表中的数据通过公式计算出2χ统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立．解：由公式()841.368892.35732345531826248922<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 故婴儿的性别与出生时间是相互独立的(也可以说没有充分证据显示婴儿的性别与出生时间有关)．2.两个事件不独立的判定例3:在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?分析:列出22⨯列联表,利用公式求出2χ与两个临界值3.841与6．635比较大小得适当范围.解：根据题目所给数据得到如下表所示： 秃顶与患心脏病列联表由公式,得:()635.6373.167726651048389451175597214143722>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.说明:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.例4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人,认为作业不多的有15人,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？解：2x =059.523272426)981518(502=⨯⨯⨯⨯-⨯， ()024.52>x P =0.025, 有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.。
人教A版高中数学必修第二册教学课件：事件的相互独立性
＝
1 12
+
1 8
+
1 4
＝
11 24
，所以事件A，B，C只发生两个的概率为
11 24
.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，
则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
【变式训练2】端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家 3
过节的概率分别为 1 ，1 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段 45
时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B相互独立.
下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
高二数学《事件的相互独立性》课后作业
事件的相互独立性1、甲乙丙射击命中目标的概率分别为12、14、112，现在三人射击一个目标各一次，目标被设计中的概率是（ ）A. 196B. 4796C. 2132D. 56 2、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为1P ,2P ,3P ,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是3、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人中至少有一人射中的概率是4、甲．乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1） 三人中有且只有两人及格的概率；（2） 三人中至少有一人不及格的概率。
5、设A 、B 为两个事件，若P(A)=0.4, ()()0.7,p A B P B x ==，试求满足下列条件的X 的值：（1） A 与B 为互斥事件（2） A 与B 为独立事件参考答案：1、C 2、()()()123132231111PP P PP P P P P -+-+- 3、 0.984、解：设甲．乙、丙答题及格分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立。
(1) 三人中有且只有2人及格的概率为()()()()()()1P P AB C P A B C P A BC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭437437437113111551055105510250⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2). 三人中至少有一人不及格的概率为()()()()2437831115510125P P ABC P A P B P C =-=-=-⨯⨯= 5、解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以A B =∅.故()P A B = ()p A B --()P A -- ()P B =0.7--0.4—X,所以X=0.3(2).因为 A 与B 为独立事件，所以()P A B = ()P A ⋅ ()P B ，由此可得，()p A B = ()P A + ()P B -- ()P A B = ()P A + ()P B --()P A ⋅ ()P B ，即0.7=0.4+X-0.4X 解得X=0.5。
事件的独立性 课件
• 『规律总结』 两个事件是否相互独立的判断
• (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否 相互影响．
• (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生 的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立 事件．
P(A)P(B) P( A )P( B )
• 典例 3 (西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间 歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另 在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有 偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
• (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
• (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的 分布列．
[解析] (1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手． 观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35． 所以 P(A)＝23×(1－35)＝145． 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为145．
[解析] 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1．
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1 ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )
2019_2020学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性练习含解析新人教a版选修2_3
2.2.2 事件的相互独立性[A 基础达标]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件解析：选D ．因为P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.3解析：选D ．由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D ．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34解析：选B ．因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B ．4．(2019·重庆高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827解析：选A ．由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.5．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B ．624 C ．1124D ．1724解析：选C ．一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C —∪A B —C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C —，A B —C 相互独立， ABC ，AB C —，A B — C 互斥，所以 P ＝P (ABC )＋P (AB C —)＋P (A B —C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＋P (A )P (B —)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：388．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件(A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)，故其概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：7189．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A — B — C —表示，P (A — B — C —)＝P (A —)P (B —)P (C —)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)表示． 由于事件A —BC ，A B —C 和AB C —两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A —BC )＋P (A B —C )＋P (AB C —) ＝P (A —)P (B )P (C )＋P (A )P (B —)P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A — B — C —)＝P (A —)·P (B —)·P (C —)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C —)＋P (A B —C )＋P (A —BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．[B 能力提升]11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A ．316B ．34C ．1316D ．14解析：选C ．记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C —)P (D —)[1－P (AB )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．(选做题)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，C A 2表示事件“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，C B 1表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 2表示事件“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2，P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据，得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。
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1 (1 p1 )(1 p2 )
解决问题：已知诸葛亮解出问题 的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的 概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮 匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮 解出的概率比较，谁大？
略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
1 P( A B C) 1 0.5 0.55 0.6 0.835
作业：
① 课本60页 A组1、3； ② 自选作业：在力量不是十分悬殊的情况
下我们解释了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法. 那么你能否用概率的知识解释我们常说的“真理 往往掌握在少数人手里的”？
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/ 环琪塑胶
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饱肚子一样。南方人吃米饭养成了生活习惯，在胃里就形成偏向消化米饭的酶，所以，他们吃米饭感到舒服，而我们北方人吃面食感到舒 坦。这个是我最近研究的科研成果。”江文轩似乎分析得头头是道，而且这么快就出科研成果了，这当然是老乡之间的玩笑话。江文轩 “分析家”的美名由此而产生。马启明告诉江文轩，他们夫妻俩已是自己开火做饭，所以仍旧以面食为主，饮食上没有任何问题，并请他 有空来吃饭，一起热闹热闹。听到江文轩说他要结婚了，单身马上要成为过去式了。马启明便说：“他们这里的结婚仪式跟我们的完全不 同。结婚那天，我们那里是新娘子去得越早越好，一般早晨五六点钟就把新娘子迎娶过来了，而这里呢？”马启明喝了一口啤酒，说， “前几天，我帮一个同事去娶新娘子，到了那里一看，新娘子还没梳妆打扮，站在门口仍和亲朋好友悠闲地聊天，好像结婚的不是她，是 旁人的事情一样。我们把嫁妆抬上车以后，新娘子竟然没有和我们一起走。后来，一问同事才知道，新娘子要到晚上才过去，而且当晚还 要回一次门，真是十里不同风,百里不同俗，千里不同情。而且他们本地人特别喜欢拿公老头和儿媳妇开玩笑，叫公老头‘扒灰佬’，说儿 子是你养的，娶媳妇的钱是你掏的，所以„„（后面是污七八糟的大流氓话）”当地人说扒灰是过过嘴瘾，开开玩笑，而唐玄宗扒杨玉环 的灰是真干。越聊马启明的话越多，“你发现没有，他们这边人总觉得北方不如这里，总爱对你说‘怎么样，还是我们这好吧！’有的人 还叫我们‘蛮子’，优越感特强，好像绿溪镇土著人（即本地人）是天下最好的人似的。”“都一样，你难道不为家乡自豪吗？八百里秦 川大地，十三朝古都，出了多少帝王将相，哪是这个地方能比的？” 江文轩笑道，他已是面色桃红。“对，我到哪儿都响亮地说自己是陕 西人。”马启明自豪地大声说。他也兴致勃勃起来，表演欲望被刺激了出来，踉踉跄跄地站起来，挪到前面墙角，说给大家表演一个倒挂 金钟喝啤酒。大家都围拢过来。马启明先准备好倒满啤酒的杯子，并摆放在墙边手能够着的地方。接着，他面朝墙壁，双腿分开与肩同宽， 站定，调整气息，只听“嘿！”的一声大吼。马启明一个利落仰翻，双手着地，整个身体倒立起来。稍稍平衡后，他手臂弯曲，让头顶着 地支撑起全身的重量，而后双手离地悬空渐向两侧张开，来了个倒立的白鹤晾翅。之后，马启明一只手拿起身边啤酒杯，将杯口塞进嘴里， 用牙咬住，头微勾起，“咕咚咕咚„„”一口气就下去了一杯啤酒，不见呛咳，才用了10秒多一点时间，大家兴奋地鼓起掌来。【危险游 戏，切勿模仿。】聚会的气氛又一次掀向了高潮。马启明表演完倒挂金钟喝啤酒，还未尽兴，兴冲冲地大声叫道：“我能鼻子喝
④ 你能推广到多个相互独立事件的情形吗？ 结论：如果事件 A , A ,, A 相互独立， 1 2 n 那么这些事件同时发生的概率，等于每个 事件发生的概率的积，即:
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
【练习】
（1）用数学符号语言表示下列关系：
若A、B、C为相互独立事件，则 ① A、B、C同时发生；
ABC
② A、B、C都不发生；
ABC
③ A、B、C中恰有一个发生；
A B C AB C A BC
④ A、B、C中至少有一个发生的概率；
1 ABC
【练习】
（2）若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，
例. 经过多年的努力，男排实力明显提 高，到明年北京奥运会时，凭借着天时、 地利、人和的优势，男排夺冠的概率有 0.7；女排继续保持现有水平，夺冠的概 率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率 有多大？
解：设女排夺冠为事件A；男排夺冠为事件B. 则AB 表示男女排双双夺冠
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) 0 .9 0 .7 0 .63
1 0.3 0.1 0.97
若事件A、B相互独立，且事件A发生的 概率是p1,事件B发生的概率是 p2,则
（1）事件A、B同时发生的概率是
（2）事件A、B恰有一个发生的概率是
p1 p2
p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 )
（3）事件A、B至少有一个发生的概率是
你身边的高考专家
事件的相互独立性
判断：下列事件哪些是相互独立的?
① 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：乙第一次闯关成功.
② 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：甲第二次闯关成功.
判断：下列事件哪些是相互独立的?
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放 回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. ④ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放 回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
0.34
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
[变式3]至少一队夺冠的概率有多 P A P B P A P B 0.97
或者
1 P AB 1 P A P B
（1）那么什么叫做事件A和B相互独立？
（2）如果事件A和B相互独立，那么
A和B ，A 和B，A 和B 也都相
互独立吗 ？
（3）若相互独立事件A和B同时发生，那
如何求它们的概率P(AB)？ ① 公式的猜想： P( A B) P( A) P( B) ② 个例的验证：结合前面的判断题④， 验证你的猜想. ③ 你能结合条件概率公式来说明吗？
两人各射击一次，则他们都中靶概率是( D)
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
(D)
14 25
（3）某产品的制作需三道工序，设这三道工序出 现次品的概率分别是P1，P2，P3。假设三道工 序互不影响，则制作出来的产品是正品的概 率是 (1－P1) (1－P2) (1－P3) 。
2004 年 8 月 28 日，在雅典奥运会女子排 球决赛中，中国队苦战 5 局，以 3 比 2 战胜俄 罗斯队，时隔28年重夺奥运金牌！
0.8 P( D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮.
练习：
甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中 有1个白球，3个黑球；从两个坛子中分别 摸出1个球。问： （1）它们都是白球的概率是多少？ （2）它们都是黑球的概率是多少？ （3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出 黑球的概率是多少？ 答: （1）P1=
3 20
（2）P2=
3 9 （ 3 ） P = 3 10 20
【小结】
（1）本节课主要学了些什么？
（ 2） 定义 互斥事件
事件A、B不可能同时发生
相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响
概率 公式 P A B P A P B P( A B) P( A) P( B)
答：男女排双双夺冠的概率为0.63.
[变式1]只有女排夺冠的概率有多大？
只有女排夺冠的概率为：
P( AB) P( A)P( B) 0.9 0.3 0.27
[变式2] 只有一队夺冠的概率有多大？
只有一队夺冠的概率为：
P ( A B AB ) P ( A B ) P ( AB )