黄金数的广泛应用
(完整word版)黄金分割在生活中广泛应用
研究性学习设计方案模板研究课题名称：黄金分割在生活中广泛应用设计者姓名所在学校所教年级七年级研究学科数学联系电话电子邮件一、课题背景、意义及介绍1、背景说明（怎么会想到本课题的）：生活中并不缺少美，只是缺少发现。
黄金分割正是人们从生活中发现的美。
黄金分割是一种数学比例关系。
由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯发现，有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值。
应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.14一般。
这个神奇的比例关系被证实于很多学科领域和日常生活的各个方面。
2、课题的意义（为什么要进行本课题的研究）：21世纪的数学教学的理念是“人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
而课程标准中也指出：数学学习应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，让他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识。
黄金分割是数学的经典之一,为了让学生明白黄金分割的真面目,了解它在生活实际中的应用,也为了让学生能更深入的了解美丽和谐的概念,让学生激起对数学的兴趣,故设计了这个课题。
3、课题介绍本课题重点解决以下问题：1、黄金分割率由来。
2、黄金分割率的特点。
3、黄金分割率与美感。
4、黄金分割在生活中的应用。
5、正确认识黄金分割率。
采用查阅资料文献、网络搜索相关资料、实际测量法，根据所收集资料和调查的结果进行分析等方式，让学生体会到了调查研究的重要性。
在研究的过程中，学生亲身体现收集资料的成功与失败，获得了在课堂上从没有过的情感体现和社会经历，学会了组员间的相处和互助，培养了团队精神。
同时激发了学生学习数学的热情，又开拓了视野，增长了才智，这些都将成为学生成长过程中的宝贵财富，必将终身受益。
二、研究性学习的教学目的和方法（可按新课程标准的三维目标（或布鲁姆目标分类法）进行研究性学习的教学目的和方法的阐述）1、知识与技能（1）了解黄金分割、黄金分割点、黄金分割数的概念；（2）体验黄金分割在生活中的广泛应用。
黄金分割在生活中广泛应用(开题报告)
黄金分割在生活中广泛应用（开题报告）指导教师：姜有军课题组长：唐雨课题成员：代建英、李玉伟、喻静、李克峰、周锦军、赵晴、王福军、肖婧、唐雨、周婷、吴楠、张文学、吴有志一．研究背景二．研究价值黄金分割与我们的生活息息相关。
无论在什么地方，都能看到由于黄金分割带给我们视觉上的美感。
让我们觉得周围是这么的美丽。
人体美学中也有黄金分割，建筑中也有黄金分割……三．基本内容黄金分割三角形：正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。
黄金分割点：黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。
线段上有两个这样的点。
利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。
设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为b 。
AC/AB=BC/AC b^2=a×(a-b) b^2=a^2-ab a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2 (a-b/2)^2=(5/4)b^2a-b/2=（√5/2）×b a-b/2=(√5)b/2 a=b/2+(√5)b/2 a/b=(√5+1)/2 ∴b/a=2/(√5+1)b/a=2(√5-1)/(√5+1)(√5-1) b/a=2(√5-1)/4 b/a=(√5-1)/2斐波那契数列与黄金分割：让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
黄金分割数及其在社会生活中的应用
第 １ 期
２１ ０ ２年 ３月
延安大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ａ ａ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｏ ｎ ｎＵ ｉｅ ｔ Ｙ ｓ ｙ（ ａ ａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） ｕｌ ｉ
Ｖ０． １ Ｎｏ １ １３ ． Ｍａ ０ ２ Ｌ２ ｌ
在 图 １中 ， Ａ ＺＡ 口 则 朋 ＝ 一口 设 Ｂ＝ ，Ｐ＝ ， Ｚ ，
Ａ 曰 Ａ Ｐ Ｚ 口 ‘ＡＰ 一船 ’ 。口 一Ｚ ‘ 一口’
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五星图中的每一条线段都跟比它稍长的那条线段形
成“ 中外 比” 。而 用平 面 几 何 的方 法 最 先 完 美 地 论
．
．
ｏ ＋ａ 一 ＝０． ｌ
妙分 割 ” 分点 。
在毕 达哥 拉斯 去 世后 约 １０多 年 ， 希腊 数 学 ５ 古
图 ２ 奇妙分 割分点
家欧多克斯 （ ｕ ｏｕ ， Ｅ ｄｘｓ公元前 ４ ８ ３５年 ） ０ —５ 创立 了
比例 论并 研究 毕 氏学派 的 “ 奇妙 分 割 ” 他 把 分 割 中 ， 较短 线段 与 较 长 线 段 之 比叫做 “ 中外 比 ” 并 发 现 ： ，
（ ａＶｎｉ１５ Ｄ ｉｃ，４２～１１ 才首 次 命 名 这 种 比例 关 系 ５９） 为“ 黄金分割” 从那 时起 ， ， 黄金分 割的美名一直沿
并要求： 凡毕氏学派学员都要佩戴五星图纪念章。毕 氏学派研究五星图时发现 ： 相邻顶点的两条对角线互 相将对方分割成一长一短两部分， 它们满足一种和谐
． ． ．
口：
ｚ考虑 到 口＜ ） （ ｚ。
证“ 中外 比” 是在古希腊几何学家欧几里德（ ｕｌ ， Ｅ ｃｄ ｉ
收 稿 日期 ： １ —０ ２ １ ９—２ ０ １
黄金分割的充分条件(一)
黄金分割的充分条件(一)黄金分割的充分条件黄金分割是指一种比例关系，也被称为黄金比例、黄金分割数等，其数值大约为1.6180339887…这个数，它与艺术、设计、建筑、自然科学等领域有着广泛的应用。
那么黄金分割的充分条件是什么呢？一、黄金分割的定义黄金分割是指将一条线段分割成两个部分，使其中一部分与全长的比值等于另一部分与这部分的比值。
也就是说，假设某条线段长度为a，将其分割成两部分b和c，若满足b/c=(a-b)/b，则称该线段被黄金分割。
二、黄金分割的应用黄金分割数在艺术、设计、建筑、自然科学等领域被广泛运用。
比如，在艺术中，黄金分割比例常用于构图和设计，可以让作品更具美感和谐感；在建筑中，黄金分割比例可以使建筑更加稳定、美观，比如著名的古希腊建筑帕台农神庙就采用了黄金分割比例；在自然界中，黄金分割比例也常常出现，比如一些植物的叶子、花瓣等。
三、黄金分割的充分条件黄金分割的充分条件是什么呢？实际上，对于一条长度为a的线段，若满足黄金分割，那么我们有以下充分条件：•a/b=b/(a−b)：可推导出黄金分割比例（1.6180339887…）•a2=a+b：黄金分割线段平方等于全长减去不黄金分割部分的长度•b2=a−b：不黄金分割部分的长度平方等于黄金分割部分的长度这些充分条件在实际运用中具有重要的意义，可以帮助我们判断哪些线段属于黄金分割，同时也可以用于黄金分割比例的推导和计算。
四、总结黄金分割作为一种特殊的比例关系，在很多领域都有着广泛的应用和研究。
其充分条件可以帮助我们判断黄金分割线段，推导出黄金分割比例，而这些都对于我们理解黄金分割的本质和应用十分重要。
五、结论综上所述，黄金分割在艺术、设计、建筑、自然科学等领域中有着广泛应用，而其充分条件也对我们理解黄金分割具有重要意义。
熟练掌握黄金分割的概念和应用，有助于我们更好地实践和创新。
六、参考资料•黄金分割，百度百科•The Golden Ratio，Wolfram Math World•Golden Ratio，Math is Fun以上资料提供了对黄金分割概念、历史、应用等方面的详细介绍，值得参考学习。
数学中的黄金分割比例及其应用
数学中的黄金分割比例及其应用黄金分割比例是一组特殊的比例，也叫做黄金比例或黄金分割点。
它的比例为1：1.618。
黄金分割比例在数学、美学、艺术等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨黄金分割比例的一些基本概念及其应用。
一、什么是黄金分割比例？黄金分割比例可以通过一个简单的公式来计算：a:b = b:(a+b)其中，a和b分别是整个和部分的两个数字。
这个公式可以被推广到更大的比例中：1:(1+√5)/2 = (1+ √5)/2:√5这个比例也可以被称为黄金比例或者黄金分割点。
它被广泛应用于设计、艺术、建筑和数学领域中。
二、黄金分割比例在数学领域的应用黄金分割比例在数学领域中有着广泛的应用，其中最著名的应该就是斐波那契数列。
斐波那契数列是一个无限数列，它的前两位是0和1，其余的数都是前两个数之和。
斐波那契数列的前10个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21和34。
斐波那契数列中的每个数字都可以用黄金分割比例来计算。
当n趋近于无限大时，斐波那契数列中相邻两个数字的比值趋近于黄金分割比例。
三、黄金分割比例在艺术领域的应用黄金分割比例在艺术领域中也有着广泛的应用。
例如，黄金分割比例可以用于绘画、摄影和设计等领域中。
如果我们将画布或者照片按黄金分割比例进行分割，就会产生一种视觉上的和谐感。
因此，很多画家、摄影师和设计师都会使用黄金分割比例来构图。
四、黄金分割比例在建筑领域的应用黄金分割比例也可以应用于建筑领域中。
在建筑设计中，黄金分割比例可以用来确定建筑物的高度、宽度和长度等参数。
黄金分割比例还可以用于确定建筑物中某些部分的位置和尺寸。
五、总结综上所述，黄金分割比例在数学、艺术和建筑领域中都有广泛的应用。
无论是在设计、构图还是在建筑设计中，黄金分割比例都能帮助我们创建出一种视觉上的和谐感，使得我们的作品更加吸引人。
因此，如果您是一个数学家、艺术家或者建筑师，建议您多加了解和使用黄金分割比例。
它可以帮助您创造出更加美妙和完美的作品。
黄金数的广泛应用
巴 特 农 神 庙
上海东方明问题与建设 我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的 一串数字，它在美术、建筑甚至是人的饮食 一串数字，它在美术、 都可以起到作用。那些世界建筑大师设计的 都可以起到作用。 作品中常常会用到黄金数的知识。 作品中常常会用到黄金数的知识。 在研究中，当然也会遇到各种无法预料的 在研究中， 问题：刚开始，大家对于黄金数的知识都很 问题：刚开始， 缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘； 缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘； 而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏，网 而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏， 上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选， 上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选， 留下对课题研究有用的部分。在学习大量资 留下对课题研究有用的部分。 料以后，我们渐渐了解了黄金数，我们惊奇 料以后，我们渐渐了解了黄金数， 地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇 地发现小小的“黄金数” 的应用！既然知道了，我们就更应该在生活 的应用！既然知道了， 中使用黄金数，美化生活。 中使用黄金数，美化生活。
五 研究成果
1、艺术中的黄金数 2、植物中的黄金数 3、建筑中的黄金数
达·芬奇 的《蒙 娜丽 莎》、 拉斐尔 笔下温 和俊秀 的圣母 像，都 有意无 意地用 上了黄 金数的 这个比 值。
植物植 叶子 物
叶 千姿子 百态， 千 生机姿 盎然百 态 ， 给大生 自然机 带来盎 然 了 ， 给 美丽植 的绿物 色世叶 子 界 ， 千 姿 百
一 提出问题
无论是在古代还是在现今， 数学都是一个非常神奇的 无论是在古代还是在现今， 领域， 尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。 领域， 尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。 次见到黄金数是在数学书的阅读材料上，虽然只是短 次见到黄金数是在数学书的阅读材料上， 短的几行字，却深深地吸引了我们 。我们迫切地想知道 短的几行字， 关于它的一切，先是问了周围同学有关于黄金数的一些问 关于它的一切， 题，由于它在高中教学范围内出现的次数较少，又是课外 由于它在高中教学范围内出现的次数较少， 阅读方面的材料，所以大部分同学都是一问三不知。 阅读方面的材料，所以大部分同学都是一问三不知。 到最后我们也只能拼凑到一些零碎的资料，但是对它 到最后我们也只能拼凑到一些零碎的资料， 的真面目我们还是不太了解，更不了解它在实际生活中的 的真面目我们还是不太了解， 运用，就因为这样， 我们对黄金数产生了极大的兴趣， 运用，就因为这样， 我们对黄金数产生了极大的兴趣， 所以，我们选择了研究“黄金数在生活中广泛应用”这一 所以，我们选择了研究“黄金数在生活中广泛应用” 个课题。 个课题。
向日葵上的黄金数
02
向日葵与黄金数的关联
向日葵种子排列与黄金数
螺旋排列
向日葵的种子在花盘上呈现出一种螺旋状排列，这种排列方 式与黄金螺旋有相似之处。黄金螺旋是指一种基于黄金分割 点的螺旋形状，具有自相似性和美学上的优越性。
黄金角度
向日葵种子之间的夹角接近黄金分割的角度，约为137.5度。 这个角度在自然界中也被广泛观察到，如DNA双螺旋结构等 ，被认为是自然界中的一种优化和自组织现象。
种类与分布
向日葵有多个品种，分布 在世界各地，尤其在北美 、欧洲和亚洲地区最为常 见。
黄金数的定义与重要性
• 定义：黄金数，又称黄金分割，是一个无理数，约等于1.61803398875。在 数学中，黄金分割具有独特的性质，它表示一条线段分为两部分，较长部分与 整体之比等于较短部分与较长部分之比。
• 美学价值：黄金数在美学中具有重要地位，被认为是自然界和人类艺术中最具 美感的比例。许多艺术作品，如绘画、雕塑、建筑等，都会刻意遵循黄金分割 原则来构图。
》和米开朗基罗的《大卫》等作品。
05
总结与展望
向日葵与黄金数的研究总结
自然之美与数学之妙的结合
向日葵上的黄金数展示了自然界中如何巧妙地遵循数学原理，尤其是黄金分割比例，这种 比例在向日葵的种子排列中得到了完美体现。
跨学科研究价值
对于生物学、数学、艺术等多个学科，向日葵上的黄金数都提供了深入研究的价值，它揭 示了自然界背后的数学规律，同时也为各学科提供了新的启示和研究角度。
鹦鹉螺壳的螺纹
鹦鹉螺壳的螺纹生长遵循黄金分割原则，使得螺壳具有优美的螺旋形状
和比例。
02
蝴蝶翅膀的图案
许多蝴蝶翅膀的图案分布也符合黄金分割原则，这使得蝴蝶翅膀的图案
黄金分割点数值-概述说明以及解释
黄金分割点数值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黄金分割点数值是一个经济学和数学领域的重要概念。
它是指一种特殊的比例关系，被广泛应用于艺术、建筑、金融、自然科学等众多领域。
黄金分割点的数值约为1.618，常用符号是希腊字母φ（phi）。
黄金分割点具有独特而优美的特性，因此引起了人们的广泛关注。
早在公元前古希腊时期，欧几里得就提到了黄金分割点，并称之为“中分线”。
而后，数学家斐波那契通过对黄金分割点的研究，得到了著名的斐波那契数列，成为数学中一个重要的数列。
黄金分割点的魅力在于其在艺术和建筑领域的广泛运用。
许多经典的艺术品和建筑物都运用了黄金分割点来达到更加和谐、均衡的美感。
例如，达·芬奇的《蒙娜丽莎》和古希腊神庙的建筑比例，都采用了黄金分割点数值作为设计基准。
此外，黄金分割点还在金融领域发挥着重要的作用。
股票、外汇等市场的技术分析中，常使用黄金分割点来判断价格的支撑位和阻力位，以指导投资决策。
同时，黄金分割点也被广泛应用于分析金融市场的波动规律和趋势。
综合以上内容，本文将对黄金分割点的定义和背景进行详细介绍，探讨黄金分割点的计算方法和应用，并深入分析黄金分割点的重要性和实际应用。
通过对黄金分割点的研究，我们可以更好地理解和应用这个数值在各个领域中的价值，为我们的创作、决策和审美提供更科学的指导。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和各个部分的主题内容，以帮助读者更好地理解整个文章的框架。
本文将按照以下三个主要部分进行阐述：引言、正文和结论。
引言部分主要包含了概述、文章结构和目的三个小节。
在概述中，将简要介绍黄金分割点数值的背景和重要性。
黄金分割点作为一个广泛应用于数学、艺术和自然界的数值，具有非常广泛的价值和应用。
接下来，在文章结构部分，我们将详细介绍本文的组织结构，以便读者能够清楚地了解整篇文章的内容组成和安排。
最后，在目的部分，将明确说明本文撰写的目标和意义，以便读者能够更好地理解本文的价值所在。
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课题组成员：薛昀 徐思维 庄子晨
这是公元前六丐纨古希腊数学家毕达哥拉斯所収现的。一天， 毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的 打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匼着什么秘 密。他走迚作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，収现 它们之间存在着一种匽分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿 出一根线，想将它分为两殌。怎样分才最好呢？经过反复比较， 他最后确定1：0.618的比例戔断最优美。 后来古希腊美学家柏拉图将这一比例称为黄金分割律。这个 觃律意思是，整体不较大部分之比等亍较大部分不较小部分之比。 也就是说较大部分的平斱等亍整体不较小部分的乘积。 公元前4丐纨，古希腊数学家欧多兊索斯第一个系统研究了这一 问题，幵建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多 兊索斯的研究成果，迚一步系统论述了黄金分割，成为最早的有 关黄金分割的论著。 中丐纨后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利 称中末比为神圣比例，幵与门为此著书立说。德国天文学家开普 勒称黄金分割为神圣分割。 到19丐纨黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多 有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优 选学中的黄金分割法戒0.618法，是由美国数学家基弗亍1953年 首先提出的，70年代在中国推广。
黄金矩形 曾经的实验证明，大多数人看见这两个矩形 会觉得左边的矩形看着更加舒适，而正斱形 在对比之下反而显得丌是那么完美
人体美学中的黄金分割
黄金分割不人的关系相当密切。 地球表面的纩度范围是0—90°， 对其迚行黄金分割，则34.38°— 55.62°正是地球的黄金地带。无论 从平均气温、年日照时数、年陈水 量、相对湿度等斱面都是具备适亍 人类生活的最佳地区。说来也巧， 这一地区几乎囊括了丐界上所有的 収达国家。 人体美学观察叐到种族、社会、 个人各斱面因素的影响，牵涉到形 体不精神、局部不整体的辩证统一， 叧有整体的和谐、比例协调，才能 称得上一种完整的美。本文主要讨 论美学观察的一些定律。
斐波那契数列不黄金分割有什么关系呢？经研究収 现，相邻两个菲波那契数的比值是随序叵的增加而逐 渐趋亍黄金分割比的。即f(n)/f(n+1)-→0.618…。由 亍斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数， 所以叧是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我 们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会収现相 邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。 一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。 五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有 丌少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五 角星中可以找到的所有线殌之间的长度关系都是符吅 黄金分割比的。
黄金点
肚脐：头顶－足底之分割点； 咽喉：头顶－肚脐之分割点； 膝关节：肚脐－足底之分割点； 关节：肩关节－中指尖之分割点； 乳头：躯干乳头纵轴上之分割点； 眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； 鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； 唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； 颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； 左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点； 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律面部三庭五眼
把一条线殌分割为两部分，使其中一部分不全长之 比等亍另一部分不这部分之比。比值是(√5-1)/2，叏 其前三位数字的近似值是0.618。由亍按此比例设计 的造型匽分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中 外比。这是一个匽分有趣的数字，我们以0.618来近 似，通过简单的计算就可以収现： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用丌仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音 乐、建筑等艺术领域，而丏在管理、工程设计等斱面 也有着丌可忽规的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是： 1、1，后面的殏个数都是它前面的两个数之和。例 如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、 144…..这个数列的名字叨做“斐波那契数列”，这些 数被称为“斐波那契数”。
数字0.618…更为数学家所关注，它的出 现，丌仅解决了许多数学难题(如：匽等分、 五等分囿周；求18度、36度角的正弦、余弦 值等)，而丏还使优选法成为可能。优选法是 一种求最优化问题的斱法。如在為钢时需要 加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设 已知在殏吨钢中需加某化学元素的量在 1000—2000兊之间，为了求得最恰当的加入 量，需要在1000兊不2000兊这个区间中迚行 试验。通常是叏区间的中点(即1500兊)作试 验。然后将试验结果分别不1000兊和2000兊 时的实验结果作比较，从中选叏强度较高的 两点作为新的区间，再叏新区间的中点做试 验，再比较端点，依次下去，直到叏得最理 想的结果。这种实验法称为对分法。但这种 斱法幵丌是最快的实验斱法，如果将实验点 叏在区间的0.618处，那么实验的次数将大大 减少。这种叏区间的0.618处作为试验点的斱 法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证 明，对亍一个因素的问题，用“0.618法”做 16次试验就可以完成“对分法”做2500次试 验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把 0.618…称为黄金数。
黄金分割三角形（正三角形） 正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是 黄金分割三角形。 黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形 都可以用四个不其本身全等的三角形来生成不其本身 相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用 5个而丌是4个不其本身全等的三角形来生成不其本 身相似的三角形的三角形。 由亍五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄 金分割的数值为2Sin18 。 黄金分割点约等亍0．618：1 是指分一线殌为两部分，使得原来线殌的长跟较 长的那部分的比为黄金分割的点。线殌上有两个这样 的点。 利用线殌上的两个黄金分割点，可以作出正五角 星，正五边形等
ab a:b=(a+b):a 通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。 例如： 1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一的。 确切值为(√5-的 2000位为:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 0023014437 7026992300 7803085261 1807545192 8877050210 9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163