第10讲 特殊的平行四边形(学生版)

第10讲特殊的平行四边形

【学习目标】

1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.

2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.

3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.

【要点梳理】

要点一、矩形、菱形、正方形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.

要点二、矩形、菱形、正方形的性质

矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.

正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的

交点是对称中心.

要点三、矩形、菱形、正方形的判定

矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.

2. 对角线相等的平行四边形是矩形.

3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，

正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】（基础） 类型一、矩形的性质和判定

1、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4，则矩

形对角线AC 长为________．

2、已知：平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连结AF 、

CE.

cm

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

举一反三：

【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．

类型二、菱形的性质和判定

3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．

求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．

举一反三：

【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．

4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．

类型三、正方形的性质和判定

5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，

（1）求证：△B EC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．

举一反三：

【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．

6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．

（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；

（2）若DG=6，求△FCG的面积．

【典型例题】（提高）

类型一、矩形的性质和判定

1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩

形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

举一反三：

【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点处，点A 落在

点处．

(1)求证：；

(2)设AE ＝，AB ＝，BF ＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．

2、如图1，已知AB ∥CD ，AB=CD ，∠A=∠D ． （1）求证：四边形ABCD 为矩形；

（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE ． ①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．

B 'A

'B E BF '=a b c a b c 、、

举一反三： 【变式】已知

ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个

平行四边形的面积.

类型二、菱形的性质和判定

3、如图所示，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF 的度数．

cm

4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．

(1)求证：△BOE≌△DOF；

(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．

举一反三：

【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：四边形ADCE是菱形；

（2）证明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．

类型三、正方形的性质和判定

5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且

DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

求证：AM⊥DF．

举一反三：

【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．

(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．

(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

6、如图所示，已知矩形ABCD 的各内角平分线AQ 、DF 、BE 、CH 分别交BC 、AD 于点Q 、F 、E 、H ，试证明它们组成的四边形MNPO 是正方形．

【巩固练习】 一.选择题

1.下列关于矩形的说法中正确的是( )

A ．对角线相等的四边形是矩形

B ．对角线互相平分的四边形是矩形

C ．矩形的对角线互相垂直且平分

D ．矩形的对角线相等且互相平分

2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）

A.32cm

B. 42cm

C. 122cm

D. 42cm 或122cm 3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）

A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm 4.如图，菱形ABCD 中对角线交于点O ，且OE⊥AB，若AC ＝8，BD ＝6，则,OE 的长是（ ） A ．2.5

B ．5

C ．2.4

D ．不确定

5.如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）

A.

B. C. D.

6. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE 的长为（ ）

A ．3

B ．2

C ．4

D ．8

二.填空题

7．如图四边形ABCD 中，

AB=BC=12，∠ABC=45°，

∠ADC=90°，AD=CD ，则BD= ．

8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．

231

2

2

2

9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为______

2cm .

10．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长

和面积分别是 ．

11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．

12. 如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是 平方单位．

三.解答题

13．如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）求证：四边形BCDE 是矩形．

1234l l l l ，，，1l 4

l

14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交

AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.

15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．

(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；

(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．

【课后作业】

【巩固练习】

一.选择题

1．下列命题中不正确的是( )．

A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半

B.矩形的对角线相等

C.矩形的对角线互相垂直

D.矩形是轴对称图形

2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．

A. 3.6

B. 7.2

C. 1.8

D. 14.4

3．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是

( )

6

1cm cm cm cm cm

A.4

B.8

C.12

D.16

4.菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．

A. B.4 C.1 D.2

5.如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF 的长是（ ）

A ．7

B ．8

C ．

7

2

D ．73

6. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，则∠AEB 的度数为（ ）

A ．10°

B ．15°

C ．20°

D ．12.5°

二.填空题

7．矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10，则AB ＝______，BC ＝______．

8. 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.

21cm cm cm cm A B C '''2cm AA 'cm

9. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、

F，则阴影部分的面积是_______.

10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，

则四边形ABCD的面积为________cm2．

11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC

交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.

三.解答题

13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于

点E．

（1）证明：四边形ADCE是矩形．

（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．

14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF

交AD于H，求DH的长．