矩阵论论文

西安理工大学

研究生课程论文

课程名称：矩阵论

任课教师：XXX

论文/研究报告题目：线性变换在

电路方程中的应用

完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx

学号：XXXXXXX

姓名：XXX

成绩：

线性变换在电路方程中的应用

摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。

关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换

引言

在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d

q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、

前进 - 后退 F

B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的

相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变

压器的分析中得到了应用，但只是针对具体问题对其方法的具体应用，没有明确提出变压器变换的概念。这些文献对坐标变换和变压器变换都缺乏在数学层面上予以统一论述。这种特殊和具体的阐述，不便于将之作普遍化和一般化的理解，也就妨碍了对它的推广和发展。不论是坐标变换，还是变压器变换，都可看作是电路方程矩阵系数的线性变换。既然是矩阵线性变换，就必然能够根据矩阵理论对其进行阐释，并找到它们的共同点和不同点，从而在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，为提出电路方程线性变换的新类型提供思路。本文的工作就在于此。

1．线性变换基础知识

概念：线性空间V到自身的一种映射就是V的一个变换。

定义 1.11如果线性空间V上的一个变换T具有性质Tx

k

ly

T+

+

=

kx

(Ty

(

)

l

)

(

)

其中 x,y∈V, k,l∈K ，则称T为V上的一个线性变换或线性算子. 上式所表示的性质实为变换T对向量的线性运算是封闭的。因为只要在式1.11中分别取k=L=1和L=0，便得到T（x+y）=Tx+Ty和T（kx）=k（Tx）。因此，有的作者将此二式作为线性变换的定义。

定义1.12 设T是线性空间V的线性变换，V中所有向量的象形成的集合，称为T的值域，用R（T）表示，即

R（T）={Tx/x V

∈}

V中所有被T变为零向量的原象构成的集合，称为T的核，用N（T）表示，即

N （T ）={x/Tx=0，x V ∈}

定理1.8 线性空间V 的线性变换T 的值域和核都是V 的线性子空间。 定义1.13 象子空间的维数dimR （T ）称为T 的秩，核子空间的维数称为T 的亏（或零度）。

2. 电路方程线性变换的基本理论

对于线性电路，其电路方程一般可表示为

y = Ax （1）

其中，向量y ∈1n F ⨯， 向量 x ∈1n F ⨯，x 、y 表示电压、电流或磁链等电量；矩阵A ∈n n F ⨯， F 为实数或复数域 。因为电路为线性，所以矩阵A 中各元素与 x 、y 无关，它们可以是常数、时间函数和微分算子。 设电路方程式（1）的线性变换关系为

y′=y P y （2）

x = x P x′（3）

其中 ，y′∈1m F ⨯，x′∈1m F ⨯，y P ∈n m F ⨯，X P ∈m n F ⨯。

由 式（ 1 ）~（ 3） 可得：

x′=A ′y ′(4)

A ′=y P A X P (5)

其中，A ′m m F ⨯∈。

式（ 4）就是用新变量 y′和 x′表示的电路方程。

关于 Px 和Py 的关系有下面 2 种情形 。

情形 1 ： 如 果-1y P 存在，且满足式（ 6），则 式（ 7）（ 8）（ 9）

成立 。

P=-1y P（6）

X

H

x'（-1y P）H y （7）

x y=H

y′= Py y

x′= Py x （8）

P y′

y =-1

y

P x′（9）

x = -1

y

情形 2：如果满足式（ 10），则式（ 11 ）成立。

P=H y P（10）

X

H

x'y′（11）

x y=H

如果-1y P存在，则

y′= Py y

x′= ()-1H y P x （12）

y=-1

P y′

y

P x′（13）

x=H

y

由式（7）~（9）可以看出，如果 Px=-1

P，变换前后功率未必守恒，

y

但新、旧变量的变换矩阵相同；由式（11 ~（13）可以看出，如果Px =-1

P（不论-1y P是否存在），变换前后功率守恒，但新、旧变量的

y

变换矩阵未必相同（甚至可能因为-1

P不存在而写不出表达式）。

y

显然，如果-1

P =H y P，则上述2种情况的数学表示是相同的，即

y

变换前后功率守恒新、旧变量的变换矩阵相同。在实数域，这种变换就是正交变换；在复数域，这种变换就是酉变换。正交变换或酉变换意味着新旧变量之间的变换是可逆的。