直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系经典例题
直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。
（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。
典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
学生版 高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题
高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
直线与圆知识点及经典例题_含答案_
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】 一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程(x a)2 ( y b)2 r 2 这个方程叫做圆的标准方程。
新疆 王 新敞 学案说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0 ，则圆的方程就是 x2 y2 r 2 。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a, b, r 三个量确定了且 r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件新疆确定 a, b, r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
王 新敞 学案（二）圆的一般方程将圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 ,展开可得 x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 : x2 y2 Dx Ey F 0问题：形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？将方程x2y2DxEyF0 左边配方得：(x D )2 2(x E )2 2D2 E2 4F 2（1）当 D 2E24F＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程x2y2DxEyF0 表示以(D , 2E 2)为圆D2 E2 4F心，以2为半径的圆。
,（3）当 D2 E 2 4F ＜0 时，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当 D2 E2 4F ＞0 时，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1） x2 和 y2 的系数相同，不等于零；（2）没有 xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当 d>r 时，直线与圆相离；当 d＝r 时，直线与圆相切;当 d<r 时，直线与圆相交。
直线与圆的位置关系复习
contents
目录
• 直线与圆的基本概念 • 直线与圆的位置关系 • 判断直线与圆的位置关系 • 直线与圆的综合应用 • 经典例题解析
01
直线与圆的基本概念
直线的定义与性质
定义
直线是无限长的，没有端点，表 示为 $L$。
性质
两点确定一条直线；两点之间线 段最短。
圆的定义与性质
实例
在圆内作一条已知长度的弦，可以 先求出弦长的一半，然后利用弦长 公式计算出弦长，最后进行作图。
直线与圆的位置关系在几何作图中的应用
应用场景
在几何作图中，可以利用直线与圆的位置关系来绘制图形或 进行图形的调整。
实例
在绘制一个圆形花坛时，可以利用直线与圆的位置关系来确 定花坛的边界线，以确保花坛的形状符合要求。
应用场景
实例
在一个三角形中，已知其中一边和其 上的高，要证明另外两边相等，可以 通过作三角形的高所对的圆的切线， 利用切线长定理进行证明。
在几何证明和解题中，可以利用切线 长定理来证明线段相等或进行线段计 算。
弦长公式的应用
弦长公式
已知圆的半径和弦长的一半，可 以求出弦长。
应用场景
在几何作图和计算中，可以利用弦 长公式来计算弦长或进行作图。
几何法
01
几何法定义：通过观察直线与圆的图形关系，直观判断它们的位置关 系。
02
步骤
03
1. 画出直线与圆的图形。
04
2. 根据图形判断直线与圆的位置关系：如果直线穿过圆内，则相交； 如果直线与圆相切于一点，则相切；如果直线切线长定理的应用
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这一点 到切点的线段长相等。
二、直线与圆的位置关系
29.2 直线与圆的位置关系一、知识点1、直线与圆有三种位置关系：（1）当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；（2）当直线与圆有且只有一个公共点时，我们称直线与圆相切，这个公共点叫做切点；（3）当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。
2、若圆心O 到直线l 距离为d ，⊙O 的半径为r ，则依据直线与圆位置关系的定义得到：（1）直线l 与⊙O 相交⇔r d ＜；（2）直线l 与⊙O 相切⇔r d =；（3）直线l 与⊙O 相离⇔r d ＞；二、试题训练：1、已知⊙O 的半径r =2 cm ，直线l 与⊙O 的圆心距离d =2 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定2、直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A. r ＜6 B.r ＝6 C.r ＞6 D.r ≥63、如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为（ ）A.5 cmB.235cmC.25cm D.335cm 4、在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=150。
，那么半径为1的⊙B 和直线AC 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法确定5、在平面直角坐标系xoy 中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的圆（ ）A.与x 轴相交，与y 轴相切B.与x 轴相离，与y 轴相交B.与x 轴相切，与y 轴相交 D.与x 轴相切，与y 轴相离6、在直角坐标系中，⊙O 的半径1，则直线2+-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况都有可能7、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 有交点，则d 与r 的关系是（ ）A.d ＝rB.d ＜rC.d ＞rD.d ≤r8、已知ABC 的面积为12，BC=8 cm ，则以A 为圆心，2 cm 为半径的圆与BC 的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法确定9、已知OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任意一点（点O 除外），若以点P 为圆心的⊙P 与OC 相离，则⊙P 与OB 的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.相切D.相交或相切 10、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径是______11、⊙O 的半径为6 cm ，弦AB 的长为6 cm ，以O 为圆心，3 cm 长为半径，与弦AB 有_______个公共 点。
高一数学第3章知识点例题
高一数学第3章知识点例题第一节直线与圆的位置关系1. 已知平面直角坐标系中，点A(3, 4)和圆C：x^2 + y^2 = 25，请判断点A与圆C的位置关系，并解释推理过程。
解析：将点A的坐标代入圆的方程，得到 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25，符合圆的方程。
因此，点A在圆C上。
2. 已知平面直角坐标系中，点B(5, -2)和圆D：(x - 2)^2 + (y +3)^2 = 16，请判断点B与圆D的位置关系，并解释推理过程。
解析：将点B的坐标代入圆的方程，得到 (5 - 2)^2 + (-2 + 3)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10，不符合圆的方程。
因此，点B不在圆D 上。
第二节多值函数1. 函数y = √x 在定义域[0, +∞)上是单值函数还是多值函数？解析：对于函数y = √x，如果定义域上任意一个x对应唯一一个y值，则为单值函数；如果存在一个或多个x对应多个y值，则为多值函数。
在[0, +∞)上，x对应的√x值唯一，因此函数y = √x 在该定义域上为单值函数。
2. 函数y = √(x - 3) 在定义域[3, +∞)上是单值函数还是多值函数？解析：对于函数y = √(x - 3)，在定义域[3, +∞)上，只有当x - 3= 0 时，即x = 3时，函数值存在，对应y = √0 = 0，其他x值都对应两个y值，因此函数y = √(x - 3)在定义域[3, +∞)上为多值函数。
第三节多项式的根与系数之间的关系1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若m是其一个根，则m满足的关系式是什么？解析：根据二次函数的性质，如果m是二次函数f(x)的一个根，那么f(m) = am^2 + bm + c = 0。
因此，m满足的关系式是 am^2 + bm + c = 0。
2. 已知一元三次函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，若n是其一个根，则n满足的关系式是什么？解析：根据一元三次函数的性质，如果n是一元三次函数f(x)的一个根，那么f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d = 0。
6.5直线与圆的位置关系
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 判断直线l:2x+y+5=0与圆C:x2+y2-10x=0的位置关系. 解法二 将直线l与圆C的方程联立,得方程组
由①得
y=-2x-5，
代入②有
x2+(-2x-5)2-10x=0,
化简得
x2+2x+5=0.
因为Δ=22-4×1×5=-16<0,所以方程组没有实数
6.5 直线与圆的位置关系
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3. 判断下列直线与圆的位置关系： (1)直线x+y=2，圆x2+y2=2；
(2)直线y=3，圆(x-2)2+y2=4； (3)直线2x-y+3=0，圆x2+y2-2x+6y-3=0.
6.5 直线与圆的位置关系
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
当 直 线 l:Ax+By+C=0 与 圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2相交于P和Q 两点时,线段PQ为圆的一条弦. 我们要求的是这条弦的长度.
6.5 直线与圆的位置关系
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
因为圆心C与弦PQ的中点R 的连线垂直且平分弦PQ,故
6.5 直线与圆的位置关系
6.5 直线与圆的位置关系
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
在日落过程中,太阳和海平面有三种位置关系.如果把太 阳看作一个圆,海平面看做一条直线,这三种位置关系是否可 以通过直线和圆的方程表示？
6.5 直线与圆的位置关系
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直线与圆的位置关系
一、知识点梳理
1、直线与圆的位置关系：
例1、下列判断正确的是（ ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；
③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③
例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______． 例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 例4、下列直线是圆的切线的是（ ）
A ．与圆有公共点的直线
B ．到圆心的距离等于半径的直线
C ．垂直于圆的半径的直线
D ．过圆直径外端点的直线
例5．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时，
⊙C 与AB 相切？
2、切线的判定：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线.
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线.
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
判定切线时常用的辅助线作法：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”
再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.
例6、判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．
例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=1
2
，求⊙O的直径．
例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=1
2
，∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．
例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若
∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
3、切线的性质：
1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论
4、切线长定理：
切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
PO交⊙O于E点
（1）若PB=12，PO=13，则AO=____
（2）若PO=10，AO=6，则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.
（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
例13、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。
（2）若△PCD周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠A MB=____
3、三角形的内切圆
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等. （3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.
（4）三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较：
ABC
ABC 圆心 O 叫做△ABC
(5)、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系： 如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D 、E 、F ，
则AD=AF=)(21
BC AC AB -+
BD=BE=)(21
AC BC AB -+
CE=CF=)(2
1
AB BC AC -+
特别地，当∠C =Rt ∠时，如图，四边形CEID 是正方形， 内切圆的半径
rl S ABC 2
1
=
(其中r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长) 例14、如图Rt △ABC 的内切圆分别与AB 、AC 、BC 、相切于点E 、D 、F ，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O 的半径。
例15、如图7—162，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是三角形的内心．
求：∠BOC ．
例16、如图，⊙O 是△A BC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（ ）
A ．70°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
例
17、如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，
•DC=1，
则⊙O 的半径等于（ ） A
．
45
B ．54
C ．34
D ．5
6。