《概率论与随机过程》概率论部分习题答案

《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。

三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。

在某一时刻设备发生故障的情况可视为在此时刻对20台设备逐个进行检查，每次检查只有两个可能结果；设备发生故障或设备正常工作，因此可视为一个)20(=n n 重贝努利试验。

若令X 表示某时刻设备发生故障的台数，则X ～B （20，0.01）.由题意知，当发生故障的台数超过维修工作人数，即超过1时，将发生不能及时维修的现象，因此，所求事件概率为P ｛X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=1－1920)99.0(01.0120)99.0(⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.017对于3人共同维修80台设备的情况，可类似于上面的讨论，此时X ～B （80，0.01），并且发生故障不能及时维修的概率为P ｛X ＞3｝={}∑==-301k k X P =k k k k -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8030)99.0()01.0(801=0.00814. 解：一人维修20台的情况：2.0,001.0,20====np p n λP ｛X ≥2｝∑∞=-≈02.0!2.0k k e k查附表2得 P ｛X ≥2｝≈0.01753人维修80台的情况：8.0,01.0,80====np p n λP ｛X ≥4｝∑∞=-≈08.0!8.0k k e k=0.0090515. 解：令X 表示20个索赔中被盗索赔的个数 X ～B （20，15%） 所求概率为P ｛X ≥5｝=1－P ｛X ＜5}=1－{}∑==40k k X P )315.020(!31403=⨯=-≈∑=-λk k ek(查表)=1－［0.049787+0.149361+0.224042+0.224042+0.168031］ =1－0.815263=0.184737 16. 解：（1）1=⎰∞+∞-)(x f d ⎰-=22cos ππx A x d ⎰=20cos 2πx A x d x=2A 20sin πx =2A , A =21故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,022,cos 21)(ππx x x f（2）x X P cos 212020⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ππd x =424sin 21sin 2140==ππx （3）当x ＜0)(,2=-x F 时π当2π-≤x ＜2π时，⎰∞-=x u f x F )()(d u u xcos 212⎰-=πd ）1(sin 21sin 212+==-x u u xπ当x ＞2π时，1)(=x F总之 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+-<=2,122,)1(sin 212,0)(ππππx x x x x F17. 解：令p 表示一个电子管使用寿命不超过150小时（即150小时内损坏）的概率，于是p =P ｛X ≤150｝=⎰1501002100x d 311501001100150100=-=-=x x 若Y 表示150小时内损坏电子管的数目，则Y ～B ⎪⎭⎫⎝⎛31,3于是（1）P ｛Y =0｝=;27832313003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C （2）P ｛Y =1｝=94271232312113==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛C 18. 解：当x ＜0时 ⎰∞-=x u f x F )()(d 0=u当x ≥0时 ⎰∞-=x u f x F )()(d ⎰-=x kxe x k u 0232d x kxkx kx kx ekx x k k k e k xe e k x k ----++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=222122222233223 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥++-=-0,00,2221)(22x x e kx x k x F kx19. 解： （1）由1=1),(lim =+∞→a x F x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-===-=+=+=-01)(,1,10)0()0(,0)(22x x ex F b a F b a F x x F x 于是得以及处连续在由（2）P ｛－1≤X ≤1｝=F （1）－F （－1）=1-3935.021≈-e（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-00)()(22x x xex F x f x20. 解：有实根是 当0)2(44)4(0422≥+⨯⨯-≥-k k ac b 即即 020********≥+-≥+-k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-≤≥⎩⎨⎧≤+≤-⎩⎨⎧≥+≥-其它或即或,050,51)(1201020102x x f k k k k k k k 于是 {}{}{}{}1212-≤+≥=-≤≥=k P k P k k P P 或有实根⎰=5251d ⎰-∞-+10x d 53=x 21. 解：依题意 X 的密度函数为⎩⎨⎧<>=-0,00,015.0)(015.0x x e x f x （1）P ｛X ＞0｝⎰∞+=100)(x f d ⎰∞+-=100015.0015.0x e x d x[]223.05.1100015.0≈=-=-+∞-e e x（2）如果要使P ｛X ＞x ｝＜0.1 即⎰∞+xx f )(d ⎰∞+-=xu e x 015.0015.0d []1.0015.0015.0<=-=-+∞x xue e u即 －0.015x ＜ln0.1即 x ＞015.01.0ln -22. 解：（1）P {︱X ︱≤30｝=P {－30≤x ≤30｝=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ4020304020304931.018744.05987.0)25.1()25.0(=-+=-Φ-Φ= （2）令Y 表示三次测量绝对值误差不超过30的次数 则Y ～B （3，0.4931）因此P {Y ≥1｝=1－P {Y ＜1}=1－P {Y =0｝=3)4931.0(1-≈0.88 23. 解： （1）由于因此 Y =－2X 的分布列为（2）由于因此 Y =X 2的分布列为24. 解：由于 ),(,21)(22∞+-∞=-x e x f π当{}{}0)()(02==≤=≤=<φP y X P y Y P y F y 时当{}{}{}y X y P y X P y Y P y F y ≤≤-=≤=≤=≥2)(0时2221x yye --⎰=πd x 2221x ye-⎰=πd x所以'⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=⎰-0,00,22)()(022y y e y F y f yx π所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,21)(2y y e y y f x π25. 解：Y =︱X ︱的取值为x y =≥0因此 当{}0)(0=≤=<y Y P y F y 时当{}{}{}y X y P y x P y Y P y F y ≤≤-=≤=≤=≥)(0时xyye --⎰=21d x x y e ⎰-=021d x +x y e -⎰021d x=1－y e -所以⎩⎨⎧≥<='=⎩⎨⎧≥-<=--0,0,0)()(,0,10,0)(y e y y F y f y e y y F y y则26. 解：（1）关于X 、Y 的边缘分布列分别为（2）经验证：对一切j i ij p p p j i ⋅⋅=有,因此X 与Y 相互独立。