现代控制理论4稳定性
现代控制理论第四章答案
G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2
现代控制理论-复习第四章
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
现代控制理论 第四章 稳定性理论
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
现代控制理论四-控制系统稳定性
则 xe 0 为不稳定的。
例4-5 系统的状态方程为 x1 x2 x2 x1 x2
分析系统平衡状态的稳定性。
解 系统的平衡状态为 xe 0
选取Lyapunov函数：V ( x) x12 x22
显然它是正定的，即满足
V (x) 0 x 0 V (x) 0 x 0
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；3）除了xe 0 平衡状态外， 还有V( x) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V ( x) 0
则 xe 0 为一致渐近稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则V ( x) 是大范围一致渐近稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 x f (x,t) ，其初始状态
为x(t0 )。系统的状态轨线 x(t)是随时间而变化的。当且仅当 x xe
（当 t≥t0 ）则称 xe 为系统平衡。
xe如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0 ，
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；
则 xe 0 为一致稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。
（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证 渐近稳定，只能保证一致稳定。）
因为 V ( x)≤0
则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V( x) 0 ，则系
4.4 线性连续系统的稳定性
对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 x A(t)x
由第2章介绍的方法求出其解为 x(t) (t, t0 ) x(t0 )
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
《现代控制理论(第3版)》刘豹 唐万生课件 第4章
的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。
1．李雅普诺夫意义下稳定 2．渐近稳定 3．大范围渐近稳定 4．不稳定
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
是从
开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使： （3） 成立，则称 为系统的平衡状态。 出
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯
一的，例如对线性定常系统：
1.标量函数的符号性质 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，如果： ，且在 处恒
有
所有在域
。
中的任何非零矢量
2．二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作 用。 设 为n个变量，定义二次型标量函数为：
（8）
矩阵 P 的符号性质定义如下： 设P 为 实对称方阵， 为由P 所决定的二次型函数。
称稳定判据。 ②若 来说，除去 为负定；或者虽然 外，对 为半负定．但对任意初始状态 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳 ，则系统是大范围渐近稳定
定的。如果进一步还 的。此称渐近稳定判据。
③若 4.3.3
1)
为正定，那么平衡状态 对李雅普诺夫函数的讨论
是不稳定的。此称不稳定判据。
是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具
由稳定性判据可知，当
为正定对称矩阵时，若
现控稳定性
是系统的李雅普诺夫函数
判断步骤
Step 1:确定系统平衡状态 Step 2:确定Q和P的形式 Step 3:根据 计算P矩阵的各元素 Step 4:判断P的正定性，如果P为正定，那么系统 是渐近稳定的 P为正定的实质：
4-4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
例题: 4-9 分析系统平衡状态的稳定性
系统传递函数
4-2 李雅普诺夫第一法
系统输出的稳定？ 输出的渐近稳定=状态的渐近稳定 当没有零极点对消时:传递函数的极点=A的特征值
4.3 李亚普诺夫第二方法
一、二次型函数的基本概念 1定义：标量函数的各项最高次数不超过2次 2表达式：
3矩阵表达
11 1 n n 1
n 1 n n n 1
4-2 李雅普诺夫第一法
通过状态方程的解来判断系统的稳定性 •线性系统的特征根 •非线性系统—线性化 判断线性系统稳定性的步骤: 平衡状态xe=0 稳定性属于李氏的哪一种 状态稳定与输出稳定的关系
4-2 李雅普诺夫第一法
线性系统的稳定判据
Ax bu x y cx
Ax x
( x ) v
负定
x ,..v( x)
那么平衡状态是大范围渐近稳定的.
4-3 李雅普诺夫第二法
例题4-4 非线性方程平衡点状态轨迹
几 种 情 况
ε
x0
δ xe
1
v(x)正定
负定
渐近稳定
2
3 4
v(x)正定
v(x)正定 v(x)正定
负定
负半定 负半定
大范围渐近稳定
渐近稳定 稳定
5
v(x)正定
正定
不稳定
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现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
（2）非线性系统的稳定性设系统状态方程为[],x f x t =，ex 为其平衡点 ,nf x R ∈可将邻域内展成泰勒级数()()e T fx x x R x x=-+?，()R x —高阶导数项1111......enTn n n x x f f x x f A f f xx x ===???????称为雅可比矩阵线性化近似方程为x A x ?=?，()ex x x ?=-李氏结论：① 如果系数矩阵A 的所有特征根都具有负实部则原系统在平衡点ex 是渐近稳定的，与()R x 无关；② 如果A 的特征根有位于S 右半面的，系统的平衡点e x 不稳定；③ 如果A 的特征根有位于S 平面纵轴上的，则ex 的稳定性将取决于()R x ，仅由A 不能下结论。
例11122212x x x x x x x x =-??=-+?判断系统的稳定性。
解：系统有三个平衡点100e x ??=??，211e x=在1e x 处将其线性化得：x A x=?，1001A ??=??-?，特征根为-1，1，原系统在1e x 是不稳定的；在2e x 处将其线性化得：x Ax=，0110A -??=，特征根为s j =±，在纵轴上难以得出2e x 点的稳定性结论。
（可由第二方法判定）4．3李氏第二方法第二方法也称直接法，构造系统的李亚普诺夫函数对系统的平衡点进行判断。
（1）预备知识1）标量函数正定性的定义：设()V x 是由n维矢量定义的标量函数，x ∈Ω[属于欧氏空间]，在0x =处，()0V x =，而x ∈Ω的其他非0向量如果成立① ()0V x >，则称()V x 为正定的，如()22122V x x x =+ ② ()0V x ≥，则称()V x 半正定，如()()212V x x x =+ ③ ()0V x <，则称()V x 为负定的，如()()2212V x x x =-+ ④ ()0V x ≤，则称()V x 半负定，如()()212V x x x =-+ ⑤ ()0V x >或()0V x <，则称为不定的，如()12V x x x =+例判断下列函数的正定性[]123Tx x x x =，()()22123V x x x x =++解：()00V =，对于非0的x ，例如[]0x a a =-，()0V x =，其它为()0V x >，所以()V x 是半正定的。
2）二次型标量函数定义二次型标量函数()[]1111121.........n T n n nn n P P x V x x Px x x x P P x==若P 为实对称矩阵则必存在正交矩阵T 通过变换x Tx =使其化成()()1TTTTTV x x Px x P Px x T PT x x Px -====121nT i i i n x x x λλλ===?∑称以上形式为二次型函数的标准型，()V x 正定的充要条件是P 的所有特征值iλ均大于0，于是()V x 的正定性与P 的正定性一致，只需判定P 的正定性即可得知()V x 的正定性。
3）希尔维斯特判据设i ?为P 的i 阶主子行列式，则实对称矩阵P 的正定性判别如下① 0i ?>，n i ,,1 =，则P 是正定的；② 0i i i ><?为偶数为奇数，则P 是负定的；③0110i n i i n>=-<=?，则P 是半正定的（非负定）；④00i i i i n≥≤??==?为偶数为奇数，则P 是半负定的。
（2）稳定判据充分条件系统状态方程 ()x f x =平衡状态点 0ex =，满足0)(=ex f 如果存在一个标量函数()V x ，满足()V x 对所有的x 都具有连续的一阶偏导，()V x 正定，当0x =时0)(=x V ;0x ≠，0)(>x V()V x 沿状态轨迹方向对时间的导数()V x 各种情况的判据为① ()0V x ≤，负半定，ex 稳定；② ()0V x <，负定；或()0V x ≤，对于任意0x ≠，()V x 不恒为0，ex 是渐近稳定的；③ ()0V x >，则ex 不稳定；④ 若()V x 正定，()V x 负定，x →∞有()V x →∞时e x 为大范围渐近稳定平衡点。
以上判据为充分条件，如找不到适当的李氏函数则不能做出任何结论。
例已知()()2212112222121x x x x x x x x x x =-+=--+ 分析平衡点的稳定性。
解：0ex =是唯一的平衡点取正定的标量函数为()2212V x x x =+()112222V x x x x x =+，将系统方程1x ，2x 代入 ()()222122V x x x =-+ 可见()V x 负定。
当x →∞有()V x →∞，系统在ex 处为大范围渐近。
例 1111A ??=??-?确定0ex=处的稳定性解：取()2212V x xx =+，()0V x >，对于0x ≠， ()()22112212220V x x x x x x x =+=+>因此系统在0ex =点是不稳定的。
由0SI A -=可得1s j =±，二个根全位于S 右平面。
例 0110A ??=??-?，01B ??=，分析系统的稳定性解：00ex=，取()2212V x xx =+，()112222V x x x x x=+()121220x x x x =-≡可见()V x C ≡，表明系统能量为一常数，相平面（3）关于李氏函数的几点讨论1）李氏函数是象征系统运动能量的标量函数，如存在不是唯一的。
2）()V x 的最简形式可以考虑二次型函数，但有时也需要考虑高次的正定函数。
3）如找不到()V x ，对系统不能做任何结论，李氏方法只是充分条件。
4．4李氏方法在线性系统中的应用（1）线性定常系统的稳定判据x Ax =系统在平衡点0ex =大范围渐近稳定的充要条件是李亚普诺夫方程T A P PA Q +=-存在对称、正定的唯一解P ，其中Q 为任意正定实对称矩阵，并且()TV x x Px =是系统的李亚普诺夫函数。
证明：取()TV x x Px =，n nP R ?∈设P 为正定实对称矩阵，于是可知()0V x >（除0x =外），且x →∞时()V x =∞。
()T TV x x Px x Px =+PX AX PAX x TT )(+= PX A X PAX X TT T += X P A PA X TT)(+=若使系统稳定应有()0V x <，即()TV x x Qx =-，Q 正定对称于是有 TA P PA Q +=-例 0123x x ??=??--??，分析系统在平衡点处的稳定性。
解：00ex ??=，取I θ=，1223p p P p p ??=，李氏方程为12122323020110132301p p p p p p p p -+=----??????可求得 511114P ??=，1504=>，25110114?=>P 正定，因此系统是大范围渐近稳定的。
（2）线性定常离散系统稳定判据()()1x k Gx k += 0e x =点渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵Q 必存在唯一正定实对称矩阵P ，满足TG PG P Q -=-而且系统的李亚普诺夫函数为()()()TV x k x k Px k =证明：设()()()TV x k xk Px k =，P 正定实对称矩阵，则()()()()()()()()()()()()()111T T TTTT TV x k V x k V x k x k Px k x k Px k xk G PGx k x k Px k x k G PG P x k ?=+-=++-=-??=-??若使系统渐近稳定，应要求 ()0V x k ?<因此应满足TG PG P Q -=-，Q 为正定对称矩阵。
4．5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用（1）雅可比矩阵法设系统为()x f x =，,nx f R ∈，f 为非线性函数。
设0ex =是平衡点()()1111n T n n n f f x x f x J x x f f x x==?则系统在原点渐近稳定的充要条件为：任给正定实对称矩阵P 满足TJ P PJ Q +=-，0Q > 并且()T TV x x Px f Pf ==。
当x →∞时()V x →∞，系统在0ex =点是大范围渐近稳定的。
证明：取 ()T TV x x Px f Pf ==()()T Tf dx f f x J x f x x dt x===??()T T T T T TTV x f Pf f Pf f PJf f J Pff PJ J P f=+=+??=+??系统渐近稳定要求()T V x f Qf=-，()0Q x > 即 TPJ JP Q +=-若取P I =，则()()()TV x f x f x =，()()()()()TTV x f x Jx J x f x ??=+??则李氏方程为()()()T J x J x Q x +=-取P I =时，称为克拉索夫斯基法。