控制理论中的稳定性概念
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
第4章 Lyapunov稳定性分析
二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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频域稳定性判据
频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中，需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性，为控制系统设计和优化提供依据 。
此外，频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法，可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时，还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应，可以判断系统是否稳定，以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用，有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂， 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法， 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的快速发展，可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中， 以实现自适应控制和智能控制。 例如，可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应， 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据，可以快速判断系统的稳定性，并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点，可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中，频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析，如航空航天、电力、化 工等领域。
此外，随着绿色环保理念的普及， 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域，例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
最优控制问题的稳定性分析
最优控制问题的稳定性分析在控制理论中，最优控制是指在给定系统和目标函数的情况下，通过选择最佳的控制策略以最小化或最大化目标函数。
而稳定性分析则是对系统的动态行为进行评估，以确定系统是否趋向于稳定状态。
因此，最优控制问题的稳定性分析是对最优控制理论与稳定性理论的结合应用。
为了进行最优控制问题的稳定性分析，我们可以采用如下的模型和方法。
模型建立：首先，需要建立最优控制问题的动力学模型和目标函数。
动力学模型可以是基于物理方程、差分方程或微分方程等。
而目标函数则是描述系统优化目标的数学表达式，可以是最小化误差、最大化效能等。
线性系统稳定性分析：在稳定性分析中，线性系统是最常见的研究对象。
我们可以通过线性化的方法，将非线性系统转化为线性系统，然后利用线性系统稳定性分析的方法来判断最优控制问题的稳定性。
常用的线性系统稳定性分析方法包括根轨迹法、频率响应法和状态空间法等。
非线性系统稳定性分析：对于非线性系统的稳定性分析，可以通过利用李雅普诺夫方法进行评估。
李雅普诺夫方法基于函数的变化率来衡量系统的稳定性。
通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以判断系统在某种条件下是否稳定。
Lyapunov稳定性分析方法可以进一步细分为解析法和数值法两种。
解析法是通过数学推导，构造出合适的Lyapunov函数和不等式，利用解析解进行稳定性分析。
数值法则是通过数值计算，利用差分方程或微分方程的数值解进行稳定性分析。
鲁棒稳定性分析：除了对最优控制问题进行基本稳定性分析外，还需要考虑外界扰动或系统参数变化对系统稳定性的影响。
因此，鲁棒稳定性分析方法被广泛应用于最优控制问题的研究。
鲁棒稳定性分析方法可以通过系统的特性不变集、边界Lyapunov函数等进行评估。
实例分析：为了更好地理解最优控制问题的稳定性分析，我们可以通过一个具体的实例进行分析。
以经典的倒立摆问题为例，我们可以建立摆杆的动力学模型，并定义目标函数为使摆杆保持垂直的控制策略。
然后，我们可以利用线性化方法将系统转化为线性系统，并利用线性系统稳定性分析的方法来评估最优控制问题的稳定性。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
李亚普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫稳定性分析
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有 引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时 讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地 位。 ➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域 人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要 方法,并得到了进一步研究和发展。 ➢ 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。
定理2 设定常系统的状态方程为 x f (x)
其中xe=0为其平衡状态。 ➢ 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足 下述条件: 1) 若 V ( x ) 为负定的; 2) 当||x||→,有V(x)→, 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。
李亚普诺夫稳定性分析
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
况，则 V ( x ) 为正半定或负半定。不属以上所有情况的V ( x ) 不定。
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: ➢ 渐近稳定性定理 ➢ 稳定性定理 ➢ 不稳定性定理
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
Lyapunov稳定性理论概述
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
t>t0 时不恒为零,那么该平衡态 x0 亦是不稳定的。
由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表：
V(x) 正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V/（x） 负定(<0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提XTBX dt
(自动控制原理)3.5稳定性的概念
一个稳定的系统不一定是鲁 棒的，但一个鲁棒的系统必
须是稳定的。
在系统设计中，应综合考虑稳 定性和鲁棒性，以确保系统在 各种条件下都能保持稳定和可
靠的运行。
THANKS
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系统在受到外部扰动后能够回到原来的平衡状态。
内部稳定性
系统在没有外部扰动的情况下，能够保持内部平衡状态。
稳定性与系统性能的关系
01
稳定性是系统性能的重要指标之一，它决定了系统能否正常工 作。
02
稳定性好的系统，其性能通常较好，能够更好地适应外部环境
的变化。
稳定性差的系统，其性能通常较差，容易受到外部扰动的影响，
环频率响应曲线来判断系统的稳定性。
02
博德图判据包括两个主要条件：一是系统的开环传递函数在复 平面的右半部分没有极点；二是系统的开环频率响应曲线在负
实轴上没有穿越点。
03
博德图判据的优点是直观易懂，适用于多变量系统和非线性系 统。但是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于高阶系统，需要借助计算机辅助工具进行计算
和分析。
05
稳定性与系统设计
劳斯表是一个包含系统极点的表格，通过计算可以得到系统的极点。赫尔维茨矩阵是由系统传递函数的 零点和极点构成的矩阵，其行列式和迹决定了系统的稳定性。
劳斯-赫尔维茨判据的优点是简单易行，适用于多变量系统。但是，对于高阶系统，计算量较大，需要借 助计算机辅助工具进行计算。
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据是一种通过分析系统的频率响应来判断系统 稳定性的方法。它基于频率域分析，通过分析系统的开环 频率响应曲线来判断系统的稳定性。
系统设计中的稳定性考虑
01
稳定性是系统设计的重要考虑因素，因为不稳定的 系统可能导致不可预测的行为和性能下降。
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控制理论中的稳定性概念
控制理论是应用数学、工程学和自动化学等多个学科的交叉领域。
控制系统是由一组相关的元件和设备组成的系统，它的目的
是使某个变量达到一个预定值或保持在一定限度内。
在控制系统中，稳定性是一个重要的概念，它关系到控制系统的性能和效果。
1. 稳定性的概念
稳定性是指当系统受到外界的干扰或内部变量有所改变时，系
统的输出是否会趋向于一个固定值或者一个稳定的周期性运动状态。
控制系统中，稳定性是指当控制系统的输入发生改变时，控
制系统的输出是否会在一段时间后稳定在一个目标值或在一个范
围内波动。
2. 稳定性的种类
在控制理论中，稳定性可以分为三种：渐进稳定、有限时间稳
定和指数稳定。
渐进稳定是指当系统偏离目标值时，系统的输出
趋向于目标值，但是需要无限时间才能到达目标值。
有限时间稳
定是指当系统偏离目标值时，系统的输出在有限时间内趋向于目
标值。
指数稳定是指当系统偏离目标值时，系统的输出可以在有限时间内渐进地趋向于目标值，并以指数形式逼近目标值。
3. 稳定性的判断
稳定性的判断是控制系统设计中的重要问题。
控制系统的稳定性可以通过系统的传递函数来判断。
当系统的传递函数的分母多项式中所有的根都具有负实部时，系统是稳定的。
这是因为当分母多项式的根具有负实部时，系统的单位阶跃响应和自由响应都能以指数形式收敛到零，并稳定在零附近。
这种根的数量和位置能够影响系统的稳定性和响应速度。
此外，控制系统的稳定性也可以通过判断系统的特征方程的根的位置来判断。
当系统的特征方程的根都具有负实部时，系统是稳定的。
这是因为特征方程的根能够代表系统的自由响应的动态特性，在负实部根的作用下，自由响应能够稳定地趋向于零。
4. 稳定性的应用
控制系统的稳定性对于自动控制的实现至关重要。
在实际控制中，我们通常不仅要控制系统的目标变量，还要控制系统的稳定性。
稳定性不仅是控制系统功能的保证，还能保证系统有较长寿
命和更高的工作效率。
控制系统的稳定性也对于一些特殊的控制
应用有着广泛应用。
例如：在火箭的飞行控制、机械手臂的运动
控制和工业机器人的运动控制中，稳定性都是一个十分重要的因素。
总之，稳定性是控制系统设计中的一个核心概念。
控制系统的
稳定性不仅关系到系统的性能，还对于控制系统的应用和实现有
着深刻的影响。
在控制系统开发中，既要保证控制系统稳定，同
时也要尽可能提高系统的控制精度、快速响应能力和抗干扰能力，从而达到控制系统的最佳性能。