现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论稳定性
Modern Control Theory
第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性
§3.1 李亚普诺夫第二法概述 §3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 §3.3 李亚普诺夫稳定性定理 §3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析
§3.1 李亚普诺夫第二法的概述
一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是
(3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。
(4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可 为负值．则V(X)为不定。
赛尔维斯特准则
①二次型 V(X) XT PX 或对称矩阵P为正定的充要条件是 P的主子行列式均为正，即
(3.1)
时，称
X e
为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一
切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系
统 X f (X,t) AX ，A为非奇异时,X=0是其唯一的平
衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解，
系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一
个或多个平衡状态。
由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的 变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇 点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系 统在运动过程中的平衡点。
因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。 系统的状态方程为
X f [X(t), u(t)]
设 u(t) 0 且系统的平衡状态为 X e , f [X e (t)] 0 。有扰 动使系统在t t0 时的状态为X e ，产生初始偏 差 X 0 - X e，则 t t0后系统的运动状态从 X 0 开始随时 间发生变化。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
现代控制理论4稳定性
现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
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现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法
1. 传递函数法
传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法
状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法
极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，
则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点
1. 灵活性
现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可
以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变
系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以
根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性
现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具
有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，
在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性
极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘
制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可
以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计
和调试提供有价值的参考。
三、结论
现代控制理论中的稳定性判定方法是工程控制科学中至关重要的内容。
传递函数法、状态方程法和极点分布法是其中最常用的方法。
这
些方法具有灵活性、准确性和直观性的优点，能够为工程师提供有力的工具和理论支持。
在控制系统的设计和运营中，合理选择和运用这些方法，可以确保系统的稳定性，提高系统的性能和可靠性。
通过以上对现代控制理论稳定性判定方法的详细介绍，我们可以看到，这些方法在实际工程应用中发挥着至关重要的作用。
掌握和应用这些方法，不仅可以保证控制系统的稳定性，还能够提高系统的性能和可靠性。
因此，对于从事控制工程领域的专业人士来说，深入了解和熟练掌握这些稳定性判定方法，具有重要的意义。
同时，我们也希望未来能够有更多关于现代控制理论稳定性判定的研究和发展，为控制工程的进一步创新和应用提供更好的理论基础和方法支持。