湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题(解析)
3 2
z
0
，取
y
1
，得
m
(0
，1， 1)
，
设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 ，
理科数学参考答案及解析 第 4页，总 9页
则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为：
sin | |PPCC||mm| |
3 13
3 26 ． 2 26
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M ，使得二面角 M AC E 的余弦值为 10 ， 10
P(0 ，0， 3) ， C(2 ，0， 0) ， A(0 ，0， 0) ， D(2 ， 3 ， 0) ， E(1， 3 ， 3) ，
22
AE
(1,
3
,
3
)
，
AC
(2
，0，
0)
，
PC
(2
，0，
3)
，
22
设平面 AEC 的法向量 m (x ， y ， z) ，
则
AEm ACm
x 2x
3y 2 0
设 M (a ， b ， c) ， PM PB ， B(0 ，3， 0) ，则 (a ， b ， c 3) (0 ，3， 3) ，
解得 a 0 ， b 3 ， c 3 3 ， M (0 ， 3 ， 3 3) ，
AC (2 ，0， 0) ， AM (0 ， 3 ， 3 3) ，
2 ,得
p
1 3
所以 ak1 3a(2)k1, ak2 3a(2)k ,所以 dk ak1 ak2 9a (2)k1 .
18、解：（Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，并连接 EO ， 四边形 ABCD 为平行四边形， O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，
在 PDB 中 EO 为中位线， EO / / PB PB 面 AEC ， EO 面 AEC ，
1 ( b )2 ,所以双曲线 C 的离心率 5 或
a
2
5.
16.4
理科数学参考答案及解析 第 3页，总 9页
17 、 (1) 因 为 Sn pan1 , 所 以 a1 a2 an pan1 0 , 所 以 当 n 2 时 , a1 a2 an1 pan 0 , 两 式 相 减 , 得
∴ S△DEF
1 2 2 sin 60 2
3
S△ABC
1 2
7
7 sin 60 7 3 4
∴由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是：
3
P S△DEF 7 3 4 故选：D
S△ ABC
47
8.答案：B 解析：依题意， f (x) sin (x) cos (x) sin x cos x f (x) ，故函数 （f x）的图象关于 y 轴
5.答案：D 解析：∵函数 f x 2x 4sinx , f x 2x 4sin x 2x 4sinx f x ,故函数 f x 为奇
函数，所以函数 f x 2x 4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB，函数 f x 2 4cosx ,由 f x 0 得
cosx 1 ,故 x 2kπ π (k Z ) ，所以 x π 时函数取极值，排除 C，故选：D.
2
2
π 2C π 2π ，易得 C ，由余弦定理得 ccos B b cosC c a2 c2 b2 b b2 a2 c2 2
3
33
3
2ac
2ab
2 ，得 a 2
2，
易 知 π A π , π B π , 因 而 1 sin A 1, 1 sin B 1 ， 又
PB / / 面 AEC ． （Ⅱ）证明：在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ，
底面 ABCD 为平行四边形， AB AC ，且 PA AB 3 ， AC 2 ， E 是棱 PD 的中点．
以 A 为原点， AC 为 x 轴， AB 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
2
3
3
6.答案：B 解析：(
x
2 )6 x
的通项为
C6r
2r
63r
x2
，所以
(x3
1)(
x
2 )6 x
的展开式中的常数项为
x3C64
24
612
x2
和
(1)
C62 22
66
x2
，又 C64 24
C62 22
240
60
180
，所以
(x3
1)(
x
2 )6 x
的展开式中的常数项为
180.
7.答案：D 解析：设 DF 8, AF 2 则 AC 12 22 2 1 2 cos120 7
湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟
理科数学试题卷参考答案及解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C D B B D B D B A B D A
ABC 所成的角即∠DEA.则由 tan t
t
在四边形
中，
tt
所以
（ ） （ ） ,所以球 O 的表面积为 .故选 D.
12．选 A f′(x)＝－xm2－nx＝－m＋x2nx，当 n＝0 时，f′(x)＝－xm2＜0，当 0＜n≤e 时，令 f′(x)＝0，则 x＝
－m＜0，所以函数 f(x)在[1，e]上单调递减，由函数 f(x)在区间[1，e]内有唯一零点， n
4.答案：B 解析：若 a / /,b / / 则直线 a,b 可以平行,也可以相交,还可以异面,故 A 错误;若 a ,b 则
a / /b ,若 a / /b 则存在平面 .使 a ,b 故 B 正确;若 a c,b c ,则直线 a,b 可以平行,也可以相交.还
可以异面.故 C 错误;若直线 a,b 与直线 c 所成的角都是 60 ,则直线 a,b 可以平行,也可以相交.还可以异 面,故 D 错误.故选 B.
方法二：（1）当射线 OD 的斜率存在时，设斜率为 k ， OD 方程为 y kx ，
y kx
由
x2
y2
得 2
yP2
2 1 k2
，同理得 xP2
4 1 k2
，所以 xP2
2 yP2
4，
即有动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 y2 1 ． 42
当射线 OD 的斜率不存在时，点 (0, 2) 也满足．
（2）由（1）可知 E 为 C 的焦点，设直线 l 的方程为 x my 2 （斜率不为 0 时），
且设点
M
( x1
，
y1 )
，
N
( x2
，
y2
)
，由
x my
x
2
2y2
2 4
，
得 (m2 2) y2 2 2my 2 0 ，
所以
y1
y2
2 m2
2m 2
，所以
1
y1
y2
2 m2
2
| MN |
，两式作差得
t，
t t t，即 t ，设直线 的倾斜角为 ，则
或
tan
t
tan tan
，又 tan
t ，由
t
，解得
，即
，故选 B.
11．【答案】D【解析】四面体 ABCD 与球 O 的位置关系如图所示， 设 E 为 BC 的中点， 为△ABC 外接圆的圆心.
由条件可得 AE= ,又直线 DG 与平面 ABC 所成的角等于直线 DE 与平面
a p
(
p 1)k 1 p
若选①,则
ak 1
ak 2
2ak 3 ,
p 1 p
1或
p 1 p
1 2
,得
p
2 3
所以 ak 1
3a 2
(
1 2
)k
1
,
ak
3
3a 2
(
1 )k 1 2
所以 dk
ak 3
ak 1
9a ( 1 )k1 82
若选②,则
ak 2
ak 3
2ak 1 ,
p 1 p
1或
p 1 p
2
2
2
2
理科数学参考答案及解析 第 1页，总 9页
对称，故①错误；因为
f
(x
π)
sin
x 2
π 2
cos
x 2
π 2
cos
x 2
sin
x 2
f
(x)
故 x π 是函数 （f x）的一个周期，且当 x [0, π) 时 f (x) sin x cos x
2
2
2
sin
x 2
π 4
2
3
面积
3 ，即 1 bcsin 2π
3
,
bc
4
,又
AB
DA DB
DB DA
DA DB
DB2 DA2
2
3
CB
2
AB AC
2
AB AC
2
AB AC
2
4 AB
AC
AB
AC
bccosA
2
.
4
4
4
4
4
10．B【解析】设
t
t t ，则
10
且
PM
1
PB
或
PM
2
PB
．
3
3
19、解：方法一：（1）如图设 BOE ，则 B( 2 cos, 2 sin ) ，D(2 cos, 2sin ) ，所以 xP 2 cos ，yP 2 sin ． 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 y2 1 ．
湖南师范大学附属中学2020届高三月考试卷(三)数学理科附答案与详解
湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可能取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2- C. {}3,2-D. {}3,0,2-2. 已知复数11z i =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧⌝ C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝3. 若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r，则向量a r 在b r 方向上的投影为（ ）A.B. 12-C. -1D.34. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米5. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6. 设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >7. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 08. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20B. 90C. 15D. 459. 设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 310. 已知函数()222,17,1x ax x a x x x f ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤D. 2a <1l. 将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ） A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且2CD =，则球O 的表面积为（ ）A.73π B.76π C.27D.54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知1cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14. 湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______.15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 16. 对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b cc b+的取值范围. 18. 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//ED FB ，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD .（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率5e =1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.20. 某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示） （3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
精品解析：2020届湖南师大附中高三下学期统一模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数学（理科）一、选择题1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =，那么EF =( )A. 1123AB AD -B. 1132AB AD +C.1223AB AD - D.1142AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+. 因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =， 所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A.12B.2πC .12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+， 故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知α为锐角，且()cos 11α︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )B.2C.12【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =3c e a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）B.12【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242t t ab t =<≤.构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t t t t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=. 所以22bc BF b c a b ===+，22OB c b a =-=，225433a a AB a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a aAF b a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==，由此能求出结果． 【详解】解：在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PCDE E =，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=，即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6. 综上，ABC ∆的周长为6或513+.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =，1BC ⊂平面1ABC ，AB 平面1ABC ，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥， 又∵11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A，()1C ，(113,0,A B =，()111,0B C =--，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1111113030n AB x n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得()11,n =-， 而平面11BB CC 的一个法向量为()20,0,1n =， 则112122cos ,55n nn n n n ⋅===， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即2y ac =±442ac =则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,3a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞.（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+， 令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据()32||f x x -，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩，然后解不等式组即可得到解集； （2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可． 【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。
一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】湖南师大附中2020届高三摸底考试数学(理)试题
B. 60 种
C. 100 种
D. 120 种
【答案】B
【解析】
根据题意，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，有 种情况，
再从剩下的 3 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有
=60 种.
故选 B．
7.已知向量
a
，b
满足 |
a
|
2
，
|
可得答案
-1-
【详解】设复数 z x yi ，则：| z 4i || x ( y 4)i | x2 ( y 4)2 ，
| z i || x ( y 1)i | x2 ( y 1)2 ，
结合题意有： x2 ( y 4)2 4x2 4( y 1)2 ，
整理可得： x2 y2 4 .
94
2
对于②：双曲线的焦点为 2, 0 ,2, 0 ，
2a 2 22 3 02 2 22 3 02 2, a 1，从而离心率 e c 2 ，所以②
a
正确；
对于③：
F
c,
0
,
B
0,
b
,
FB
的中点坐标
c 2
,
b 2
均不满足渐近线方程，所以③正确；
故选 C.
5.已知函数 f x 的图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能是（ ）
A. x | 19 x 3
20
B. x | x 3
C.
x |
3
x
19 20
D. x | x 3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 M 和 N ，然后直接求解即可
【详解】 M
【附加15套高考模拟试卷】湖南省师大附中2020届高三月考(5)数学(理)试题含答案
湖南省师大附中2020届高三月考（5）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29 B ．49 C ．23 D ．792．已知函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，那么下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π C ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π D ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π3．函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2] 5．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．6．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A．532B．516C．1132D．11167．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>与双曲线22221(0,0)x ym nm n-=>>有共同的焦点1F，2F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e．若123F PFπ∠=，则12e e⋅的最小值是（）A．12B．2C．3D．328．已知函数()()sin3cos0f x wx wx w=->的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4π，若将函数()y f x=的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x=的图象，则在下列区间中使()y g x=是减函数的是（）A．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B．7,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．若a，b，c，满足23a=，2log5b=，32c=，则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<10．条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣（衣着）食（食品烟酒）住（居住）行（交通通信）的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．011．已知函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log5a fb fc f===，则,,a b c的大小关系为（）A．c b a>>B．a b c>>C．c a b>>D．b c a>>12．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．16πB ．323πC ．48πD ．163π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖南师大附中高考数学演练试卷(五)(5月份)(有答案解析)
2020年湖南师大附中高考数学演练试卷（五）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x（x-2）＜0}，B＝{x|-1＜x＜1}，则A∩B＝（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|x＜-1或x＞2}C. {x|0＜x＜1}D. {x|x＜0或x＞1}2.若点P（1，-2）是角的终边上一点，则cos2α=（）A. B. - C. D.3.已知i是虚数单位，复数z满足（2-i）•z=2i-1，则|z|=（）A. 1B.C.D. 54.设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.5.下列关于函数的判断中，正确的是（）A. 函数f（x）的图象是轴对称图形B. 函数f（x）的图象是中心对称图形C. 函数f（x）有最大值D. 当x＞0时，f（x）是减函数6.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（）A.B.C.D.7.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面积，则a=（）A. 1B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D. 49.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f（x）=）2018x2017+2017x2016+…+2x+1，下列程序框图设计的是求f（x0）的值，在“”和“”中应填入的执行语句分别是（）A. i≤2016和n=iB. i≤2017和n=i+1C. i≤2016？和n=2017-iD. i≤2017？和n=2018-i10.已知抛物线x2=4y上有一条长为8的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+y仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12.若函数在上有极大值，则a的取值范围为（）A. B. C. （2，e） D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题：“∃x0∈R，使得”的否定是______．14.在区间（0，4）内任取一实数1，则log2（t-1）＜1的概率是______．15.已知直线y=x+1与圆C：x2+v2-4ax-2y+3a2=0交于A、B两点，且△ABC（其中顶点C为圆C的圆心）为等腰直角三角形，则圆C的面积为______．16.对满足y≥x2-2ax+a2+1的任意x，y，恒有，成立，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n-a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC边的中点，AB=AC=2，BC=1，AA1=．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．19.当前全世界人民越来越关注环境保护问题，某地某监测站点于2018年8月起连续nAQI空气质量指数[0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （μg/m3）空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数20 40 m10 5（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别为[0，50]和（50，100]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率。
2020届湖南师大附中高三第5次月考试卷-理科数学答案
&
&
_`*2)!#"3!#":/=#0&#!EF ,4
! " "$!.!$-.%7]^8&$!&&$"&.!#&&$"& 4 #$&&5#$ &7$*)4+.*)4&8$*)44*).2$,&6#### $!%&#$0#
$ &=> 7 : u>D4&G -$&
o +&#!&:#&#:6&## -$,+&#-*6#,8#.
0
%
0
2
#
&G
>8;
%
0
2;1<
(
!
2
" %
&
! " ! " E>8; #%0# 2#>8;#
%
0
!"2
!
) +
!
"&!&#!$-.%(³´µ¶·2I¸¹&º»I´µ¶·¼I¸ ¹&; ½'-# (-# & ¾ ¿ À Á& * $ ¶ · ¸ ¹ à :ÄŽ'-"'-#&2%$!¾"&% ¶·¸ ¹ Æ : Ä Å ½'-"'-#&2%$!¾"&$ ¶ · ¸ ¹ Ã&Ç % ¶ · ¸ ¹ Æ : Ä
$.;." .;,
,:2;2",(2 ,"+(
2020年湖南师大附中高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)(有答案解析)
∴n=
；
故选：A．
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查空间几何体的三视图的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为 中档题． 画出三视图表示的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】
解：由题意可知几何体的形状如图：是长方体中截出的棱锥（底面是梯形，高为 ，底面边长 1，上
（2）根据（1）的判断结果及表 1 中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8
天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
表 2：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
车队为缓解周边居民出行压力，以 80 万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆
A. ，
B. ，-
C. ，
D. - ，
11. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|=|AD|= ，|AA1|=1，而对角 线 A1B 上存在一点 P，使得|AP|+|D1P|取得最小值，则此最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1+ D.
12. 已知 a＞0，函数 f（x）=ex-a-ln（x+a）-1（x＞0）的最小值为 0，则实数 a 的取值范围是（ ）
2020年湖南师大附中高考数学演练试卷2(四)(5月份) (含答案解析)
2020年湖南师大附中高考数学演练试卷2（四）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设ai1−i=−1+i，其中i是虚数单位，那么实数a=()A. 1B. −1C. 2D. −22.已知集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}，则A∩B=()A. {−3,0，3}B. {−3,0}C. {0,3}D. {−3,−1,0，1，3}3.据统计，2016年“十一”黄金周期间哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N(2000,1002)，则在此期间的某一天，太阳岛的人数X不超过2300的概率为()附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<x≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<x≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974。
A. 0.4987B. 0.8413C. 0.9772D. 0.99874.若双曲线x2a −y2b=1的一条渐近线经过点(3,−4)，则此双曲线的离心率为()A. √73B. 54C. 43D. 535.“x≠1且x≠2”是“x2−3x+2≠0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.设a=log13π，b=log3π，c=log4π，则()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<c<a7.我国古代重要的数学著作《孙子算经》中有如下的数学问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”意思是说：“若干根相同小木棍匝成一个截面是正方形的一束物体，最外周一匝有32根，问这束物体是由多少根这样的小木棍组成？”我们设计右边的程序框图来解决问题，设每层外周枚数为，总枚数为S，则程序框图中的a,b应该满足()A. a=0,b=8B. a=0,b=4C. a=1,b=8D. a=1,b=48.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x−9都相切，则a等于()A. −1或−2564B. −1或214C. −74或−2564D. −74或79.某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为()A. 16B. 18C. 112D. 12410.函数f(x)=sinx⋅cos(x+π6)的图象的一条对称轴方程是()A. x=π12B. x=π6C. x=π4D. x=π311.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CD，C1D1的中点，则四面体E−FGH在平面CC1D1D上的正投影是()A. B.C. D.12. 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 与BF 的长分别为m ，n ，则1m +1n 的值为( )A. 2aB. 4aC. 12aD. 14a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(2x −1x 2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n =________，展开式中的常数项是________．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ +6b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a ⃗ −2b ⃗ ，共线的三点是______ ．15. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 16. 如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45゜，沿倾斜角为30゜的斜坡前进1000m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60゜，则山的高度BC 为________m 。
2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题带答案
湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）一、选择题：1.已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2-C. {}3,2-D. {}3,0,2-【答案】D 【解析】因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭时，11033a a -+=⇒=,当12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时11022a a +=⇒=- 当B φ=时，0a =, 综合可得：{}3,0,2-;选D点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数a 的取值问题. 因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,分13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭和B φ=三种情况讨论，分别得a 的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉B φ=这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意. 2.已知复数11iz =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. ()p q ∧⌝C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】化简得到1122z i =-，故z 的虚部为12-，模为2，判断得到答案.【详解】11111222i z i i -===-+，所以z 的虚部为12-2=， 所以命题p ，q 均为假命题. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的化简，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.3.若向量a v 与b v 满足()a b a +⊥v v v，且1a =v ，2b =v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为（）A.B. 12-C. -1D.【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-vv ，再由向量a v在b v方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=v v v v v v ，∴1a b ⋅=-v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为12a b b⋅=-vv v ,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米【答案】B 【解析】 【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.【详解】根据题意：乌龟爬行的总距离为61011001010.10.010.0019000-+++++=（米）.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤ B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >【答案】A 【解析】 【分析】先计算p 为真命题的充要条件是2a ≤，在根据范围大小关系得到答案. 【详解】若p 为真命题，则当0x >时，不等式210x ax -+≥恒成立，即1a x x≤+恒成立， 所以min 1a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭.因为当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以命题p 为真，则1a ≤是使p 为真命题的一个充分非必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查了充分不必要条件，得到p 为真命题的充要条件是解题的关键. 7.已知,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若,l ααβ⊥⊥，则l β∥；②若,l ααβ∥∥，则l β∥；③若,l ααβ⊥∥，则l β⊥；④若,l ααβ⊥∥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 分析： ①和②可举反例，l β⊂，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.详解：①若,l ααβ⊥⊥，则//l β，或l β⊂； ②若,l ααβP P ，则l βP ，则//l β，或l β⊂；③若,//l ααβ⊥，则l β⊥,正确； ④若,l ααβ⊥P ，则l β⊥，或//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.8.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20 B. 90C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C 种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C ⋅⋅=种.故选：D .【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.9.设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 3【答案】D 【解析】 【分析】BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，根据比例关系计算得到答案.【详解】由题知BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，于是12a OM c a CF ==-，可得3c a =，∴3e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知函数()222,17,1x ax x f x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤ D. 2a <【答案】A 【解析】 【分析】讨论2a <和2a ≥两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当12a<，即2a <时，函数()2f x x ax =-+，在1x ≤上存在12,x x R ∈，且12x x ≠， 使()()12f x f x =，所以2a <时满足题意；当2a ≥时，需满足217a a -+>-，解得23a -<<，即23a ≤<； 综上：实数a 的取值范围为3a <， 故选：A .【点睛】本题考查了函数与方程问题，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 11.将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ）A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】计算()()sin g x x ωϕ=+，23ϕπ=，根据题意得到5272232ππππω≤+<，计算得到答案.【详解】由已知得函数()()sin g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3⎛ ⎝⎭以及点在图象上的位置， 知3sin ϕ=，23ϕπ=，∵02x π≤≤，∴2222333x πππωπω≤+≤+，由()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω≤+<， ∴11171212ω≤<. 故选：C .【点睛】本题考查了三角函数伸缩变换，三角函数图像与性质，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（ ） A.73π B.76π C.721π D.721π【答案】A 【解析】 【分析】证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.【详解】由1PA AB PB AC ====，CP =PA AC ⊥.由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得2AD =，又2CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==， 由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径2sin 60PA r ==︒，所以球O 的半径为R ==O 的表面积为2743S R ππ==. 故选：A .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos()33πα-=，则sin(2)6πα-的值是 ． 【答案】79- 【解析】试题分析：217sin(2)sin[2()]cos 2()2cos ()121.6323399πππππαααα-=-+=-=--=⨯-=- 考点：二倍角公式14.湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______. 【答案】34【解析】 【分析】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示：(),x y 可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为(){},|060,3060x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个长方形区域，面积为30601800⨯=，而甲比乙先到篮球场应满足y x >，则符合题意的图形的面积为11800303013502-⨯⨯=，所以甲参加服务工作的概率是1350318004=. 故答案为：34.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力和理解能力.15.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 2 【解析】 【分析】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ，根据均值不等式得到2MN PQ ≤到答案.【详解】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ， 则()221'''22'MM N PQ MM NN N +=+≤222222MF NFMN MN +===22PQMN ≤，当且仅当MF NF =时等号成立，所以PQ MN 的最大值为22. 故答案为：22.【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】计算14a =，得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意770a k -≥，880a k -≤，计算得到答案.【详解】由题意，当1n =时，21124a A ===，由11222n n n nA a a a -=+++L ，可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥，两式相减可得()1112n n n n nA n A a ----=，整理得()()1111121222n nn n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+，由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+， 则()22n a kn k n -=-+，由于7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且770a k -≥，880a k -≤， 解得91647k ≤≤. 故答案为：916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b c c b+的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）⎝ 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理计算得到答案.（2）根据题意得到22sin a bc A =，化简得到224b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据 114412A πππ<+<，得到答案. 【详解】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-， 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理，得222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因0B π<<，所以3B π=.（2）因为BC 边上的高AH 满足12AH BC =，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=， 即22sin a bc A =，可得2222cos 2222b c b c a bc A c b bc bc++-+==2sin 2cos 2bc A bc A bc += sin cos 2sin 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知3B π=，∴203A π<<，∴114412A πππ<+<， ∴312sin ,242A π⎛⎤-⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝， 所以22b cc b +的取值范围为31,22⎛⎤- ⎥ ⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，利用三角函数求范围，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ； (2)求二面角E AF C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；6． 【解析】 【分析】（1）根据题意，推导出ED ⊥面ABCD ，DE AC ⊥，OE OF ⊥，结合线面垂直的判定定理证得OE ⊥面ACF ；（2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1) 证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3,6,3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O ⋂=，OE ∴⊥面ACF ．（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由（1）可知(1EO =u u u v，1，1)-是面AFC 的一个法向量，设(n x =r，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由·220·20AF n y z AE n x z ⎧=+=⎨=-+=⎩u u u v r u u u v r ，令1x =得(1n =r ，2-，2)， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则·3cos cos ,·EO n EO n EO n θ===u u u v ru u u v r u u u v r，6sin 3θ∴=． ∴二面E AF C --6． 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率5e =，左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值5（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.【答案】（1）22154x y +=（2）0,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （1）计算得到a =1c =，2b =，得到椭圆方程.（2）令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -，联立方程，利用韦达定理得到1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，得到254S t =+，求最值得到答案.【详解】（1）由已知条件得5c e a ==，4a =a =，1c =，2b =， 则椭圆C 的方程为22154x y +=.（2）()21,0F ，可令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -.联立221154x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22548160t y ty ++-=，则1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 而直线'AB 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-，令0y =，得()()12211221121211D ty y ty y x y x y x y y y y ++++==++1212215ty y y y =+=+， 即点()5,0D ，于是，ABD ∆的面积为21212122S F D y y y y =-=-==， 令μ=1μ>，且2414S μμμμ==++，由于函数()14f μμμ=+在()1,+∞上单调递增，所以05S <<，故ABD ∆面积的取值范围是0,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示）（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】（1）0.9477（2）$2913404X y =-（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【解析】 【分析】（1）计算得到()480.2P X <<=，()8120.7P X ≤≤=，()120.1P X >=，再计算概率得到答案. （2）利用回归方程公式直接计算得到答案.（3）计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）依题意，()110480.250P P X =<<==，()2358120.750P P X =≤≤==， ()35120.150P P X =>==. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为()()43014343311P C P C P P =-+-0.65610.29160.9477=+=.（2）10X =，4y =，51229i ii X y ==∑，521540i i X ==∑，2940b =$，$134a y bX =-=-$， 所以y 关于X 的线性回归方程为$2913404X y =-. （3）记水电站年总利润为ξ（单位：万元）. ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000ξ=，()500015000E ξ=⨯=.②安装2台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时50008004200ξ=-=， 因此()()14200480.2P P X P ξ==<<==；当8X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000ξ=⨯=，因此()()231000080.8P P X P P ξ==≥=+=.由此得ξ的分布列如下：所以，()42000.2100000.88840E ξ⨯+⨯==. ③安装3台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时500016003400ξ=-=， 因此()()13400480.2P P X P ξ==<<==；当812X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200ξ=⨯-=， 因此()()292008120.7P P X P ξ==≤≤==；当12X >时，三台发电机运行，此时5000315000ξ=⨯=， 因此()()15000120.1P P X ξ==>=.由此得ξ的分布列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620E ξ=⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查了概率计算，回归方程，分布列，数学期望，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 21.已知函数()()22ln 218x mx x x f m =+-+-，m R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对实数2m =，令()()3g x f x x =-，正实数1x ，2x 满足()()121220g x g x x x ++=，求12x x +的最小值.【答案】（1）见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）求导得到()()()2'11x xf x mx --=，讨论0m ≤，01m <<，1m =，1m >几种情况得到答案.（2）化简得到()()()212121212291622ln x x x x x x x x +-+-=-，设12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->，根据函数的单调性得到()()2121229162x x x x +-+-≥，计算得到答案.【详解】（1）()()()()()2112221'0x f x mx mx m x x x--=+-+=>.若0m ≤，当()0,1x ∈时，()'0f x ≥，即()f x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，即()f x 在()1,+∞上单调递减. 若01m <<，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在（()0,1，1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增； 当11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 若1m =，则()'0f x ≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 若1m >，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上均单调递增； 当1,1x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当实数2m =时，()()()232ln 2980g x f x x x x x x =-=+-->，()()121220g x g x x x ++=，22111222122ln 2982ln 29820x x x x x x x x ∴+--++--+=，()()()212121212291622ln x x x x x x x x ∴+-+-=-，令12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->， 由于()()21't h t t-=，知当()0,1t ∈时，()'0h t <，即()h t 单调递减； 当()1,t ∈+∞时，()'0h t >，即()h t 单调递增. 从而，()()min 12h t h ==，于是，()()2121229162x x x x +-+-≥，即()()12122360x x x x +++-≥⎡⎤⎣⎦，而12,0x x >，所以126x x +≥，而当13x =-23x =+时，12x x +取最小值6.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=,0x m -=；（Ⅱ）m =m =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出˜PO ，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【详解】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m -=． （Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得˜PO == 由题意知0m ≠， 当0m >时，˜min2PO==，得m =当0m <时，|˜min2PO==，得m =-所以m =m =-【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在最值问题中的应用，属于中档题．对于点线距离问题范围（最值）问题，关键是运用参数法，再结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.23.已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a，b的值．【答案】（1）12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；（2）413,36a b==-．【解析】【分析】⑴运用绝对值的性质进行化简求出结果⑵分类讨论化简()f x，结合图像求出结果【详解】(1)对()()x R f x x x a x x a a∈=++≥-+=，，当且仅当()0x x a+≤时取等号，故原条件等价于31a a≤-，即3131a a a-+≤≤-，解得12a≥，故实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.(2)由(1)知实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故0a-<，故()220x a x af x a a xx a x--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，的图象如图所示，由图可知()2312331b a ab a a--=-⎧⎨++=-⎩,解得4313.6ab，⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。