2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(含答案解析)
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数()()()212z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】复数2(1)(2)z a a i =-+-为纯虚数， 则210a -=且20a -≠， 解得1a =±，所以“1a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件． 故选A ．2．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ） A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p - 【答案】D【解析】分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<<详解：Q 随机变量ξ服从正态分布()0,1N ∴正态曲线关于0ξ=对称Q (1)P p ξ>=∴ 1(10)2P p ξ-<<=- 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.3．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则3456784.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-A ．0a >，B ．0a >，C ．0a <，D ．0a <，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由表格数据,x y 的变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a >【考点】回归方程4．在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是（ ） A A合计 B200 800 1000 B180 a 180+a 合计 380800+a1180+aA ．200B ．720C ．100D ．180【答案】B【解析】把列联表中所给的数据代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a 的可能值. 【详解】解：因为两个分类变量A 和B 没有任何关系，所以()()()()221180200800180 2.7023808001000180a a K a a +-•=<•+••+ ， 代入验证可知720a = . 故选：B.【点睛】本题考查两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断.5．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 1【答案】B【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<Q 选B.【考点】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．小明，小光，小亮，小美，小青和小芳6人站成一排拍合影，要求小明必须排在从右边数第一位或第二位，小青不能排在从右边数第一位，小芳必须排在从右边数第六位，则不同的排列种数是（ ） A ．36 B ．42 C ．48 D ．54【答案】B【解析】由题意可分析小明在右边第一位时和小明在右边第二位时的排种数进行求和即可. 【详解】解：依题意，若小明排在右边第一位有44A 种排法； 若小明排在右边第二位，则有1333C A 种排法，所以不同的排列种数是41343342A C A +=.故选：B. 【点睛】本题考查排列、组合的运用及简单的计数问题，属于基础题.7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( )A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9．若函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．(3,)+∞C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】D【解析】由函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，可得21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，进而转化为212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，构造函数求出212x x -在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的最值，可得a 的取值范围. 【详解】解：因为函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数， 所以21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 令()212h x x x =-，则()322h x x'=--， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '<， 则()h x 为减函数. 所以()132h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 所以3a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档.10．已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ） A ．22(1)12x y +-=B ．22(1)16x y +-=C ．22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案. 【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为圆2C 的圆心, 所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等， 故点F 到直线CD 的距离1d = ， 所以直线AB 的方程为：32y = ， 所以33,2A ⎫⎪⎭， 故圆2C 的半径()223130222r AF ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题. 11．()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，满足(0)0f =，x R ∀∈都有()1()f x f x '>-，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(,1)(0,)-∞-+∞UB ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】构造函数()()xxg x e f x e =-，()x R ∈，研究()g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解. 【详解】 ，解：设()()xxg x e f x e =-，()x R ∈，则()[]()()()()1xxxxg x e f x e f x e ef x f x =+-'=+'-'，因为()1()f x f x '>-， 所以()()10f x f x '+->， 所以()0g x '>，所以()y g x =在定义域上单调递增， 因为()1xxe f x e >-， 所以()1g x >-， 又因为()()0g x g >， 所以0x > ，所以不等式的解集为(0,)+∞.故选：C.【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.12．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种B．264种C．240种D．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．二、填空题13．观察下列等式：据此规律，第个等式可写为 ________． 【答案】【解析】试题分析：由已知得，第个等式含有项，其中奇数项为，偶数项为，其等式右边为后项的绝对值之和，所以第个等式为．【考点】归纳推理．14．已知曲线:ln C y x =的切线l 经过原点，则切线l 的方程为________. 【答案】1y x e=【解析】设出切点的坐标，根据设出的切点坐标和原点求出切线的斜率，同时由()f x 求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，进而得到切点坐标，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为(),ln a a ，由切线过原点()0,0，得到切线的斜率ln ak a= ， 又因为()1f x x'=，把x a = 代入可得斜率()1k f a a '==，所以ln 1a a a=，得到ln 1a =，解得a e =， 则切点坐标为(),1e ， 所以切线方程为：1y x e=. 故答案为：1y x e=. 【点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的方程，属于基础题.15．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中的常数项为________． 【答案】240【解析】根据题意有3729n =，求出n 的值，即可求出二项展开式的通项，进而可求常数项. 【详解】解：令1x =得232279nn x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，解得6n =，26222nx x x x =⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其二项展开式的通项为：()6212316622rrrr r rr T C x C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230r -=，得4r =，444162240T C +=⋅=，所以展开式中的常数项为240， 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，要注意正确利用二项展开式的通项.16．已知1F ，2F 分别是双曲线2221y x b-=的左，右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若22AF =且1245F AF ∠=︒.延长2AF 交双曲线右支于点B ，则1F AB ∆的面积等于________． 【答案】4【解析】结合双曲线性质，可以计算1AF ，进一步结合双曲线性质，得到∆AB 1F 为等腰三角形，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。
2019年福建省厦门市双十中学高二数学理月考试卷含解析
2019年福建省厦门市双十中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．2. 设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A、A与B是对立事件B、A与B是互斥事件C、A与是相互独立事件D、与不相互独立参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件【解答】解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，∴A错误； B 中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，∴B错误；C中，当A与B是相互独立事件时，A与是相互独立事件，∴C正确；D中，A与B是相互独立事件时，与不是相互独立事件，是错误的；故选：C【分析】相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不发生，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；由相互独立事件以及互斥、对立事件的概念判定选项中的正确命题．3. 已知等差数列，，，…，的公差为，则，，，…，（为常数，且）是（）A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列C．非等差数列 D．以上都不对参考答案：B4. 从甲口袋摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，则是（）A．2个球不都是红球的概率 B． 2个球都是红球的概率C．至少有一个个红球的概率 D． 2个球中恰好有1个红球的概率参考答案：C略5. 命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0，x2≥0C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是?x≤0，x2＜0．故选：A．6. 如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）参考答案：C7. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积和体积分别为A．88 ,48B．98 ,60C．108,72D．158,120参考答案：A8. 不等式的解集为R，那么必有（）A. B. C. D.参考答案：略9. 设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3 D．a＞0参考答案：A略10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A．1 B．C．D．参考答案：D由正弦定理，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 .12. 四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得﹣60分，答对乙得180分，答错乙得﹣180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有种．参考答案：44【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分5种情况讨论：①、四位同学都选甲题目，则其中2人答对、2人答错，②、四位同学都选乙题目，则其中2人答对、2人答错，③、四位同学中2人选甲，其中1人答对、1人答错；剩下2人选乙，其中1人答对、1人答错，④、四位同学中3人选甲，且回答正确；剩下1人选乙，且回答错误，⑤、四位同学中3人选甲，且回答错误；剩下1人选乙，且回答正确，分别求出每一种情况下的不同的得分情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：①、四位同学都选甲题目，则其中2人答对、2人答错，有C42=6种情况；②、四位同学都选乙题目，则其中2人答对、2人答错，有C42=6种情况；③、四位同学中2人选甲，其中1人答对、1人答错；剩下2人选乙，其中1人答对、1人答错，有C42×A22×A22=24种情况，④、四位同学中3人选甲，且回答正确；剩下1人选乙，且回答错误，有C43=4种情况，⑤、四位同学中3人选甲，且回答错误；剩下1人选乙，且回答正确，有C43=4种情况，则一共有6+6+24+4+4=44种情况；故答案为：44．13. 在△ABC中，若则参考答案：14. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则∠B的大小是。
福建省厦门双十中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
福建省厦门双十中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．2． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）A ．B ． C. D ． 3． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 4． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75． 设a ，b为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 6． 若集合,则= ( )ABC D7． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）AB ． C． D．8． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 9． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.11．已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ） A． B． C．2 D．412．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos sin 12ααπ-的值为 ．15．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.16．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 三、解答题（本大共6小题，共70分。
厦门市第十中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
厦门市第十中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．2． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<3． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C. D 4． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 5． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.6． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2407． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
福建厦门双十中学2018-2019学年高二数学下学期开学考试试题理(扫描版)
厦门双十中学2018-2019学年(下)开学考高二数学(理科)试题选择题：本大题共12小题,毎小题5分，共60分•在毎小题给出的四个选硒中.只有一项長符合题目要求的•请 把答臬填涂在答題卷的相应位置. 1•在AABC 中，B = 45f ,C = 60\c = l, 短边的边长等于］) A 卫B 卫C.1 D.迴3 2 2 2 2•下列函数中•最小值赴2的是() A. y = - + — B ・ 丁二厶耳2 +■厂・L … C ・ v = 7x +7"x D ・ y = x 2 +-(x>0) 2 x V?+2 x ・ 3. 已知等菱数列｛牛｝的公差为2,若角卫“兔成铮比数列，则勺等于(厂 A, -4 B. -6C ・-8 D. -10 X? y4. 方程 -------- # 宀 =ia 示双曲线的一个充分不必要条件是() m + 2 m + 1 A. m>-2 B. AM <-l C ・ m<-2 D. m>-l 或肋 < -25. 若ax 2+5x+c>0的解集退{x|*xv*},则a 和c 的值分别为() A. a = 6,c = 1 B ・ a = 6,c = -l C ・ a = -6,c = l D ・ a = -6,c - *16. 已知&»}中,a }=2,a…-a^=2n(n^2),则a”等于() A ・ n 2 +n B ・ n 2 -n C. 2n D ・7. 已知AABC 三个内角A,B,C 对应边ag A. o: 6:c = sin>4:sin 5: sinCC.在AABC 中，=——— sin A sinB + sinC8. 己知正方体肋CD-£BQQ 中.点E 为上底面人G 的中心：若AE^AA {+xAB + yAD 9则禺儿的值分别为() A ・ x = l,y = 1 B. x = l,y = — C ・ x = —, y = — D ・ 2 2 z 2 9. 下列有关命题的说法正确的杲() A. 命题“若x 2=h 则*1”的否命题为“若?=1,则x#P B. a x = -r 是“r-5x-6 = 0”的必要不充分条件 C. 命题 “3xoW&jr ：+%+lvO” 的否定是 “0XW 凡X+x+lvO” D. 命题"若x = y 9则sin x 二siny”的逆否命感为真命题 10. 椭圆^-+^- = l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳,E ，点P 在椭圆上，\PF {\^-\PF 2\,则椭圆的离心率e 为() A. ?3 32n 2 则下列结论错课的是() • • B.若 sinl4=sin2/?,则a = b D.若sin A>sinB.则 A> B1 1 x = -,y =- 2，z 3如果p 斥的中点在y 轴上.且D •血3B 返2II •设抛物线C:/=2px(p>0)fe 焦点为八 点M 在C 上.= 若以MF 为直径的21过点(0,2)>则C 的方C-~2程为() (A) /=4x 或於=8x (B) y 2^2x 或八8x (C) y 2 -4xi&y 2 =16x (D) y 2= 2x 或才=16x 12.设儿八z 为正数，且2—3鼻5‘，则() A. 2X3X5龙 B. 5X2X37 C. 3y<5X2^ D. 3X2乂5z二、填空盟：本大題共题，每小题纟分，共加分.请把答案填在答题卷的相应位覽丁血，I .. < ■ ；： ? * ••、.、■-11・已知实数X』满足■ j>-2xJ,则目标函数z = x-2y的最小值是_ ."3,b13・条件p:|x|>h条件q-.x<m,若rp凫rq的充分不必要条件，则实数m的取值范围为15. MBC中，ZC=90°,A/是DC的中点，若sin/B4M=4,则sin乙％C= ________ °316•几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问題的答案：已知数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2,・■4, 8, 16,，・・，其中第一项是2°,接下来的两项是2°, 2\再後下来的三项是2‘，2\ 2‘，依此类推.求满足如下条件的最小整数M A>100且该数列的前川项和为2的整数藕那么该款软件的激活码是三、解答题；本大题共6小题，毎小题分数见旁注，共70分•'解答应写出文字说明，证明过程或演算步猱请在答题卷相应題目的答题区城内作答.17・（本小題满分10分）等比数列｛%｝中，已知a产2,兔曰6・'（I）求数列｛%｝的通项公式；（II）若“3,他分别为箒差数列｛»｝的第3项和第5陨，试求数列0」的通项公式及前”项和&・18・（本小题満分12分）（I）求ZB的大小）（II）若a = 4,S = 5jJ,求方的值.在AABC中，a,b,c是A,B,C所对的边，S是该三角形的面积，且—=~—cosC2a + c19.(本小题满分12分)如图所示，在三梭锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形.ZBAC =则,0为BC中点.(I) 证明：SO丄平面ABC；(II) 求二面角A-SC-B的余弦值.20.(本小題满分12分)”2乂一2 +『己知曲线Ci —= 1 f直线/「. (r为参数).4 9 卜= 2-2/(I)写出曲线C的参数方程，直线/的普埴方程并画出图像：(II)过曲线C上任一点P作与/夹角为30°的宜线，交I于点A,求的最大值与最小值.21.（本小题满分12分）/ 、从址会效益和经济效益出发•某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业•根据规划，本年度投入800万元,1以后每年将比上一年减少;•本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对能游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上_年增加J4<1）设川年内（本年度为第一年）总投入为陽万元，旅游业总収入为-万元.写出匕,％的表达式；（II）问至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考敷据:lg2«0.3）22.（本小题满分12分）设抛物线G /=4x的焦点为F,过F作倾斜角为锐角的宜线/与C交于4. B两点，.（1）若\AB\^,求过点"，3且与C 的准线相切的圆的圆心坐标. • •（2）是否存在圆心在x轴上的圆「・使得圆「始终内切于以AB为直径的圆，若存在求出圆F方程.否则说明理由。
2018-2019学年人教A版福建省厦门市双十中学高二第二学期期中(理科)数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题1．定积分的值为（）A．1B．e2C．e2+3D．e2+42．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1＝（a≠1，n∈N*），在验证n＝1成立时，左边的项是（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a43．在复平面内，复数表示的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828经计算K2＝10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响5．设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0B．1C．2D．36．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞07．设M（x，y）是区域内的动点，且不等式x+2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[8，10]B．[8，9]C．[6，9]D．[6，10]8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD•BC；类似地有命题：在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有．上述命题是（）A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A﹣BCD是正三棱锥”才是真命题9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）＝x3﹣3bx+3在（﹣1，2）内有极值，则实数b的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，4）C．[1，4）D．（1，4）11．已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．412．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0二、填空题13．若复数z＝a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则|z|＝．14．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于cm3．15．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝．16．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．三、解答题：共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13＝34，S3＝9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n（Ⅱ）求证：．18．已知函数f（x）＝x2+alnx，a≠0．（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求证：2+．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD ＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．20．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720.60.782.350.81﹣19.316.2表中．（1）根据散点图判断，y＝a+bx 与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v ＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．21．设A、B是椭圆3x2+y2＝15上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．22．已知f'（x）为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣mx2﹣2的导函数（Ⅰ）分别判断f（x）与f'（x）的奇偶性；（Ⅱ）若m＞1，求f'（x）的零点个数；（Ⅲ）若对任意的x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．（考后研究题）23．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x）在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．证明：h'（αx1+βx2）＜0．24．若中心在原点的椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与双曲线x2﹣y2＝2有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆C2的直径是椭圆C1的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过点C且与圆C2交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值，并求此时直线AB的方程．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷的相应位置．1．定积分的值为（）A．1B．e2C．e2+3D．e2+4【分析】根据定积分的运算法则求出即可．解：＝，故选：C．2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1＝（a≠1，n∈N*），在验证n＝1成立时，左边的项是（）A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【分析】在验证n＝1时，左端计算所得的项．把n＝1代入等式左边即可得到答案．解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1＝（a≠1，n∈N*），在验证n＝1时，把当n＝1代入，左端＝1+a+a2．故选：C．3．在复平面内，复数表示的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由＝﹣+i，得复数表示的点所在的象限是第四象限．解：∵＝＝﹣+i，∴在复平面内，复数表示的点所在的象限是第四象限．故选：D．4．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828经计算K2＝10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．解：因为7.879＜K2＝10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5．设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x＝x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）＝a﹣1＝2，∴a＝3．故选：D．6．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．7．设M（x，y）是区域内的动点，且不等式x+2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[8，10]B．[8，9]C．[6，9]D．[6，10]【分析】由题意作出其平面区域，由x＝6与x+2y＝14解得，x＝6，y＝4；从而求出a 的最大值，由图求a的取值范围．解：由题意作出其平面区域，由x＝6与x+2y＝14解得，x＝6，y＝4；故此时a＝6+4＝10，故由图可知，8≤a≤10，故选：A．8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD•BC；类似地有命题：在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有．上述命题是（）A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A﹣BCD是正三棱锥”才是真命题【分析】连接AE，证明AM⊥DE，AD⊥AE，由射影定理可得AE2＝EM•ED，再结合三角形的面积公式可得结论．解：连接AE，则因为AD⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AD⊥AE．又AM⊥DE，所以由射影定理可得AE2＝EM•ED．于是S△ABC2＝＝S△BCM•S△BCD．故有S△ABC2＝S△BCM•S△BCD．所以命题是一个真命题．故选：A．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的定义域，进而设t＝e x﹣1﹣x，求出其导数，分析t的最小值，分析可得f（x）＞0，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，有e x﹣1﹣x≠0，则有x≠1，即函数的定义域为{x|x≠1}，设t＝e x﹣1﹣x，其导数t′＝e x﹣1﹣1，易得在区间（﹣∞，1）上，t′＜0，t＝e x﹣1﹣x为减函数，在区间（1，+∞）上，t′＞0，t＝e x﹣1﹣x为增函数，则t＝e x﹣1﹣x有最小值t x＝1＝e0﹣1＝0，则有t≥0，对于f（x）＝，必有f（x）＞0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}且f（x）＞0，分析选项可得意D符合；故选：D．10．若函数f（x）＝x3﹣3bx+3在（﹣1，2）内有极值，则实数b的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，4）C．[1，4）D．（1，4）【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件可转化为f'（x）＝3x2﹣3b＝0在（﹣1，2）内有变号零点，结合二次函数的性质可求．解：题意可得由f'（x）＝3x2﹣3b＝0在（﹣1，2）内有变号零点，及x2＝b在（﹣1，2）内有变号零点，结合二次函数的性质可得，0＜b＜4．．故选：A．11．已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．解：双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|＝＝3．故选：B．12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f（x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y＝（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x＝1时，y＝0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13．若复数z＝a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则|z|＝2．【分析】利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出不等式组，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．解：z是纯虚数所以解得a＝1所以z＝2i所以|z|＝2故答案为214．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于14πcm3．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图判断几何体的结构特征，结合直观图判断三视图的数据所对应的几何量，求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中SA⊥平面ABC，CB⊥平面SAB，∴外接球的球心为SC的中点，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4π×＝14π．故答案为：14π．15．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝．【分析】设∠AFx＝θ，θ∈（0，π）及|BF|＝m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值．解：设∠AFx＝θ，θ∈（0，π）及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝﹣1的距离为3．得3＝2+3cosθ⇔cosθ＝，又m＝2+m cos（π﹣θ）⇔＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【分析】由题意可得T＝2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x＝或cos x＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．三、解答题：共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13＝34，S3＝9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n（Ⅱ）求证：．【分析】本题第（Ⅰ）题设等差数列{a n}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果代入表达式后运用放缩法，以及裂项相消法即可证明．【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，即，解得．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．S n＝n+•2＝n2．（Ⅱ）证明：由（I）知，当n＝1时，＝1．当n≥2时，++…+＝1+++…+＜1+++…+＝1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+1﹣＝2﹣＜2．故得证．18．已知函数f（x）＝x2+alnx，a≠0．（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求证：2+．【分析】（1）由f′（1）＝0，可得a＝﹣2，令或x＜﹣1，从而可得f（x）的单调递增区间，继而可得其单调递减区间；（2）由（1）知x2﹣2lnx≥f（1）＝1，利用替换x，得到，分别让x＝2，，，…，，累加即可证得结论成立．【解答】（1）解：，x＞0（1分）因为f′（1）＝0，所以2+a＝0，得a＝﹣2，令或x＜﹣1又x＞0，所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）证明：由（1）知x2﹣2lnx≥f（1）＝1，利用替换x，得：分别让x＝2，，，…，，不等式两端分别累加，得：＝ln（n+1）+n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD＝60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD＝60°，∵AP＝1，AD＝，∠ADP＝30°，∴PD＝2，E为PD的中点．AE＝1，∴DM＝，CD＝＝．三棱锥E﹣ACD的体积为：＝＝．20．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720.60.782.350.81﹣19.316.2表中．（1）根据散点图判断，y＝a+bx 与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v ＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．解：（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…（1分）（2）由公式可得：，…，…所以所求回归方程为．…（3）设t＝kx，则煤气用量，…当且仅当时取“＝”，即x＝2时，煤气用量最小．…答：x为2时，烧开一壶水最省煤气．…21．设A、B是椭圆3x2+y2＝15上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．【分析】（Ⅰ）方法一、判断直线的斜率不存在的情况不成立，设出AB的方程为y＝k （x﹣1）+3，联立椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理及中点坐标公式，求得k，可得所求直线方程；方法二、设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用两式相减，结合平方差公式和中点坐标公式，可得直线的斜率，进而得到所求直线方程；（Ⅱ）求得AB的垂直平分线CD的方程，联立椭圆方程，设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），求得弦长|CD|，以及M的坐标，计算M到A的距离，即可判断A，B，C，D是否共圆．解：（Ⅰ）解法1：当k不存在时，即直线AB的方程为x＝1，可得N不为AB的中点，不符合题意；可设AB的方程为y＝k（x﹣1）+3，代入椭圆方程3x2+y2＝15，整理得（k2+3）x2﹣2k （k﹣3）x+（k﹣3）2﹣15＝0．①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，∴△＝4k2（k﹣3）2﹣4（k2+3）[（k﹣3）2﹣15]＝4[15（k2+3）﹣3（k﹣3）2]＞0，②且，由N（1，3）是线段AB的中点，得，∴k（k﹣3）＝k2+3，解得k＝﹣1，经检验符合．于是，直线AB的方程为y﹣3＝﹣（x﹣1），即x+y﹣4＝0．解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，依题意，x1≠x2，∴k AB＝＝﹣，∵N（1，3）是AB的中点，∴x1+x2＝2，y1+y2＝6，从而k AB＝﹣1．由3×12+32＝12＜15，可得N（1，3）在椭圆内，则直线AB的方程为y﹣3＝﹣（x﹣1），即x+y﹣4＝0．（Ⅱ）∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y﹣3＝x﹣1，即x﹣y+2＝0，代入椭圆方程3x2+y2＝15，整理得4x2+4x﹣11＝0，③又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4＝﹣1，x3x4＝﹣，且，，即，于是由弦长公式可得|CD|＝•＝•＝2，④将直线AB的方程x+y﹣4＝0，代入椭圆方程得4x2﹣8x+1＝0，⑤则x1+x2＝2，x1x2＝，|x1﹣x2|＝＝＝，可得．点M到直线AB的距离为．⑦∴＝|MD|＝|MB|，∴A、B、C、D四点共圆，且圆的方程为：．22．已知f'（x）为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣mx2﹣2的导函数（Ⅰ）分别判断f（x）与f'（x）的奇偶性；（Ⅱ）若m＞1，求f'（x）的零点个数；（Ⅲ）若对任意的x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断，（Ⅱ）由（Ⅰ）知只需先研究x≥0时的零点，利用记f'（x）的导数为f''（x），研究f'（x）的单调性，由此判断f'（x）在（0，+∞）时，存在唯一解，即可求出，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数f（x）为偶函数，要使∀x∈R，f（x）≥0恒成立，只需研究x ≥0时f（x）≥0，对m进行分类，利用导数即可求出．解：（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数；f'（x）＝e x+e﹣x﹣2mx，且f'（﹣x）＝﹣f'（x），∴f'（x）为奇函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知只需先研究x≥0时的零点．记f'（x）的导数为f''（x），f''（x）＝e x+e﹣x﹣2m，令f''（x）＝e x+e﹣x﹣2m＞0⇔（e x）2﹣2me x+1＞0，∵m＞1，∴△＝4m2﹣4＞0，设方程t2﹣2mt+1＝0两根为，又∵m＞1，∴t2＞1，，∴f''（x）＞0⇔e x＜t1或e x＞t2⇔x＜lnt1＜0或x＞lnt2＞0又x≥0，∴f'（x）在（0，lnt2）递减，（lnt2，+∞）递增，∴f'（lnt2）＜f'（0）＝0，且x→+∞，f'（x）→+∞，∴f'（x）在（0，+∞）时，存在唯一解，∴f'（x）在R上有三个零点；（Ⅲ）∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，要使∀x∈R，f（x）≥0恒成立，只需研究x≥0时f（x）≥0，①a≤1时，f''（x）＝e x+e﹣x﹣2m≥2﹣2m＞0，即m∴f'（x）在（0，+∞）递增，∴f'（x）＞f'（0）＝0，∴f（x）在（0，+∞）递增，∴f（x）＞f（0）＝0②a＞1时，令f'（x）＜0由（Ⅰ）知，f'（x）在（0，lnt2）递减，∴f'（x）＜f'（0）＝0在（0，lnt2）恒成立，∴存在x＝lnt2，使得f（lnt2）＜f（0）＝0，∴不满足题意．练上所述，m≤1．（考后研究题）23．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x）在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．证明：h'（αx1+βx2）＜0．【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值．（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）递增，所以g'（x）≥0在（0，3）恒成立，分离参数a，求出a的范围即可；（3）由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2）．可得h′（αx1+βx2）的解析式，由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．解：（1）∵函数f（x）＝alnx﹣x2 ，可得当a＝2时，f′（x）＝﹣2x＝，故函数y＝f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（x）max＝f（1）＝2ln1﹣12＝﹣1．（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，所以g′（x）＝﹣2x+a，若y＝g（x）在区间（0，3）上为单调递增函数，所以g′（x）≥0在（0，3）恒成立，有在（0，3）恒成立，而y＝，y′＝＞0，故函数y＝在（0，3）递增，故y＜，综上：；（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，∴，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣）＝m（x1﹣x2），∴m＝﹣（x1+x2），于是h′（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：＝﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*），令＝t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）＝lnt+＜0即可，∵u′（t）＝+＝﹣＝，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）＝0，∴lnt+＜0，即﹣ln＞0，∴h′（αx1+βx2）＜0．24．若中心在原点的椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与双曲线x2﹣y2＝2有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆C2的直径是椭圆C1的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过点C且与圆C2交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值，并求此时直线AB的方程．【分析】（1）求出双曲线的截距，利用椭圆与双曲线的离心率关系求出椭圆的离心率，然后求出椭圆的长半轴，短半轴，即可求椭圆C1的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离，求出弦长，联立直线AB的方程与椭圆方程，求出三角形的面积，然后求解△ABD面积的最大值，即可求解此时直线AB的方程．【解答】（1）解：双曲线x2﹣y2＝2的焦点为（±2，0），离心率为，，椭圆的离心率为：由题意，c＝2，解得：a＝2．∴b2＝a2﹣c2＝45∴椭圆方程为（2）解：当直线AB斜率不存在时，不符合题意．当AB斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx+2，直线CD的方程为圆心（0，0）到直线AB的距离为∴直线AB被圆C2所截得的弦长由得：（k2+2）x2﹣8kx＝0∴故∴令，则故当且仅当，即时，等号成立此时当直线AB斜率为0，即AB∥x轴时，∴△ABD面积的最大值为，这时直线AB的方程为y＝±x+1．。
福建省厦门市湖里区厦门双十中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
12.已知 是定义在 R 上的减函数，其导函数 满足
，则下列结论正确的是
（）
A. 对于任意 ，
B. 对于任意 ，
C. 当且仅当
，
D. 当且仅当
，
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值，令 ，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】从选择支看，只需判断 的符号， ，
，
，排除
A、C、D，故本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
三、解答题：本大题共 6 小题，每小题分数见旁注，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答．
17.设等差数列 的前 n 项和为 ，且
，．
（1）求数列 的通项公式 及前 n 项和公式 ；
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【详解】当 时，左边为
，故选 C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
3.在复平面内，复数 A. 第一象限
表示的点所在的象限是（ ）
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
-1-
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5. 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
D
福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学(理)试题
的僧侣人数为 S0 ，运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）
A. 414
B. 504
C. 462
7.若函数 f (x) 3sin(
5 x) sin
2
下列判断正确的是（
）
A. f x 图象关于直线 x 对称 6
x ，且 f
2， f
B. f x 图象关于点
, 0 对称
3
2
C. f x 区间
福建省厦门第一中学 2018-2019 学年高二下学期第二次月考 理科数学试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 z 1 i 3 i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是（ ）
A. 2
B. 2
C. 2i
D. 2i
2.已知命题 p : A x | x2 5x 6 0 ，命题 q : B x | y lg(2 x a), a R . 若命题 q是 p 的必要不充
y sin
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .
3y 1 0 . 以原点 O
（ 1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C 2 的极坐标方程；
（ 2）若直线 l : y kx 与曲线 C1 ， C 2 的交点分别为 A ， B （ A ， B 异于原点），当斜率 k
3 , 3 时，
3
1
求 |OA |
）
A. 1
B. 2
C. 3
二、填空题。
13. 已知向量 a 2,3 ， b m, 6 ，若 a b ，则 | 2a b | __________ .
D. 4
1
14.
1
x
5
x 1 的展开式中， x 的系数为 __________.
福建省厦门市湖里区厦门双十中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
厦门双十中学2018-2019高二数学（理科）期中考试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷的相应位置1.定积分的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，计算出定积分.【详解】.故选C.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.2.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.3.在复平面内，复数表示的点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】 【分析】利用复数的除法和乘方运算化简为的形式，由此判断出对应点所在的象限.【详解】对应的点在第二象限,，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数对应点坐标所在的象限.4.某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表经计算，则下列选项正确的是（ ）附表A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】 根据的值，结合附表所给数据，选出正确选项.【详解】依题意，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，所以选A.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验的知识，属于基础题.5. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6.已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为的形式，用特殊值法选出正确选项.【详解】，不妨令，，.故选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7.设变量满足约束条件且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出可行域，根据在点处取得最大值，求得的取值范围.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然，否则可行域无意义．由图可知在点处取得最大值，由得，，综上：【点睛】本小题主要考查已知线性目标函数的取值范围，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.如图，在中，于点，于点，则有，类似地有命题：如图（2），在三棱锥中，面ABC，若在内的射影为 ,则，那么上述命题（）A. 是真命题B. 增加条件“”后才是真命题C. 是假命题D. 增加条件“三棱锥是正三棱锥”后才是真命题【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形中的射影定理，类比到空间三棱锥的摄影定理.【详解】由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图（2）中的，，分别与题图（1）中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE，则，．因为面ABC，所以．又因为，所以，所以．故选A．【点睛】本小题主要考查类比推理，考查合情推理的方法，属于基础题.9.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用常用不等式，求得，且，由此得出正确选项.【详解】，当且仅当时等号成立，故选A【点睛】本小题主要考查识别函数图像，考查常用不等式.属于基础题.10.若函数在内有极值，则实数b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令函数的导函数等于零，分离常数得到，根据的取值范围，求得的取值范围. 【详解】，在内有极值，．注时，在上递增，没有极值．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究极值问题，属于基础题.11.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12.已知是定义在R上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（）A. 对于任意，B. 对于任意，C. 当且仅当，D. 当且仅当，【答案】B【解析】【分析】取特殊值，令，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】从选择支看，只需判断的符号，，，，排除A、C、D，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝______.【答案】2【解析】【分析】由题易知a2－1=0，且(a＋1)0，求得a的值，得出复数z，再求得其模长.【详解】因为复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，所以a2－1=0，且(a＋1)0，解得所以复数，即|z|＝2故答案为2【点睛】本题考查了复数的定义，纯虚数，以及模长的求法，属于基础题.14.已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于________【答案】【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体可看作长方体一角，长方体的外接球即是三棱锥的外接球，根据长方体的体对角线，求得外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是长方体一角，体对角线即外接球的直径，故.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查长方体外接球半径的求法，属于基础题.15.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点．若，则的长________．【答案】【解析】【分析】画出图像，根据抛物线的定义求得，利用相似三角形，对应边成比例，列方程求得的长.【详解】设,如图：；，由相似于三角形FHB得：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查相似三角形的性质，属于基础题.16.已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答． 17.设等差数列的前n 项和为，且，．（1）求数列的通项公式及前n 项和公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式以及前项和公式.（2）利用放缩法和裂项求法和，证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由已知得，即解得，故，.（2）．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式以及前项和公式，考查放缩法和裂项求和法证明不等式，属于中档题.18.已知函数，．（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）求证：．【答案】（1）在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据列方程，由此求得的值，进而利用导数求得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论，得到，对进行赋值，然后相加，利用对数运算公式化简，由此证得不等式成立.【详解】（1）解：，,因为，所以，得，令或,又，所以在单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，，，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查不等式的证明，属于中档题. 19.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．(1)证明：∥平面；(2)设二面角为，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积，体积．试题解析：（1）证明：连，设，连，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则．设．则．设为平面的法向量，则取．又为平面的一个法向量，∴，∴．因为为的中点，所以三棱锥的高为，∴．考点：线面平行判定，二面角．20.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．表中．（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小．【解析】【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．【详解】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为．（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“=”，即时，煤气用量最小．【点睛】本题考查可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，熟记回归方程计算公式和基本不等式，准确计算是关键，属于中档题．21.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）求直线AB的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）利用点差法列式进行化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）求得直线的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式，求得弦长，求得中点的坐标.同理求得弦长，计算到直线的距离，由此计算出【详解】（1）设，，则有,依题意，，．是AB的中点，，，从而．又，在椭圆内，直线AB的方程为，即．（2）垂直平分AB，直线CD的方程为，即，代入椭圆方程，整理得①．又设，，CD的中点为，则，是方程①的两根，，且，，即中点,于是由弦长公式可得将直线AB 的方程，代入椭圆方程得,同理可得．点M到直线AB 的距离为．，四点共圆，且原方程为：.【点睛】本小题主要考查利用点差法求解有关弦的中点问题，考查四点共面的证明，属于中档题.22.已知为函数的导函数.（1）分别判断与的奇偶性；（2）若，求的零点个数；（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）为偶函数，为奇函数；（2）三个；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇偶函数定义对的奇偶性进行判断.（2）根据（1）求得的的奇偶性可知，只需先研究时的零点．利用的导数，研究的单调性，由此判断出在时，存在唯一解，根据函数为奇函数，得到的零点个数为个.（3）由（1）知为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.对分成，利用函数的一阶导数，和二阶导数研究的单调性，由此求得的取值范围.【详解】（1），为偶函数；，且所以为奇函数；（2）由（1）知只需先研究时的零点．记的导数为，令，，设方程两根为，又，，，或或又，在减，在增，，且，在时，存在唯一解，在R上有三个零点；（3），为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.①时，，在增，，在增，；②时，令由（1）知，在减，在恒成立，存在，使得，所以不满足题意,综上所述，.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.23.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.【答案】(1)-1；(2)；(3)参考解析【解析】试题分析：（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立。
2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二(下)第二次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆C ：x 2+y 2+mx +1=0的面积为π，则m =( )A. ±2B. ±22C. ±42D. ±82.若随机变量X ～N(3,22)，随机变量Y =12(X−3)，则E(Y)+1D(Y)+1=( )A. 0B. 12C. 45D. 23.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )A. 6种B. 3种C. 20种D. 12种4.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )A. 若m ⊥α、n//α，则m ⊥n B. 若m ⊥α，m//n ，则n ⊥αC. 若m//n ，n ⊥β，m ⊥α，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α5.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=14，P(B)=13，P(A∪B)=12，则P(B|−A )=( )A. 14B. 13C. 16D. 1126.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ≥na n ”是“{a n }是递减数列”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a =ln1.1，b =1e 0.9，c =0.1，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. a <c <bD. c <a <b8.如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，其内切圆与AC 边相切于点D ，且AD =1.延长BA 至点E.使得BC =BE ，连接CE.设以C ，E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为e 1，以C ，E 两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A. [32,+∞) B. (32,+∞) C. [1,+∞) D. (1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。