高三年级(一模)考试数学试题分类汇编---函数
2018高三“一模”数学试题汇编(函数)
2018上海各区高三“一模”数学试题分类（函数）一、填空题：1．若全集U R =，集合{}02A x x x =≤≥或，则U C A =2．设集合{2,3,4,12}A =，{}0,1,2,3B =，则AB = 3．已知集合{}1,2,5A =，{}2,B a =，若{}1,2,3,5A B =，则a =4．已知全集U N =，集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则()U C A B = 5．设全集U Z =，集合{}1,2M =，{}2,1,0,1,2P =--，则()U P C M =6．已知函数{}2,3A =，{}1,2,B a =，若A B ⊆，则实数a =7．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≥，则A B =8．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}3A B =，则实数m =9．函数()lg(2)f x x =-的定义域是10．函数()f x =的定义域为11．若行列式124012x -=，则x =12．不等式10x x-<的解为 13．不等式11x<的解集是 14．不等式211x x +>+的解集是 15．不等式2433(1)12()2x x x --->的解集是 16．不等式111x ≥-的解集为 17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数()21f x x =-的反函数为1()f x -，则1(5)f -=19．若函数()f x x α=的反函数的图像经过点11(,)24，则a = 20．方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =21．已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，则1(2)1f -=，则实数a =22．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2x f x ax =-，且(2)2f =，则a =23．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像 过点(2,4)，则实数a 的值是24．已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当[2,4]x ∈时，43()log ()2f x x =- 则1()2f =25．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤， 则实数a 的取值范围是26．已知13a >，函数()lg(1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值0，且有最大值为 lg(1)a +，则实数a 的取值范围是27．若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 28．若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为29．已知函数()21f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是30．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 31．定义,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为 真命题的是 （写出所有真命题的序号）①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数.32．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：①当0x >时，()y f x =是单调递减且没有最值；②方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④()y f x =是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是33．设2()22x f x x ax b =++，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数[()]y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为给出函数2()g x x bx =-+，2()4g x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩ 恰有两个零点，则实数t 的取值范围是34．已知函数()()(2)f x m x m x m =-+-和()33x g x =-同时满足以下两个条件： ①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；②总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立.则m 的取值范围是35．已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间 [,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是36．双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题：①()f x 是奇函数；②()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④函数()y f x x =-有两个零点.则其中所有真命题的序号是二、选择题：1．若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）（A ）“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件（B ）“x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件（C ）“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件（D ）“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件，也不是“x A ∈”必要条件2．“1x >”是“21x >”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要3．命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）（A ）若1x ≠，则1x ≠或1x ≠- （B ）若1x =，则1x ≠或1x ≠-（C ）若1x ≠，则1x ≠且1x ≠- （D ）若1x =，则1x =且1x =-4．“a b >”是“2()2a b ab +>”成立的（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要5．已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要6．若实数x 、y R ∈，则命题甲：“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ） 条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要7．若存在[0,)x ∈+∞使221x xm x <成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(,1)-∞ （B ）(1,)-+∞ （C ）(,1]-∞- （D ）[1,)+∞8．给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③2xy =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）（A ） ①② （B ） ②③ （C ）①③ （D ）②④9．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在（,-∞+∞）内存在零点”的（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要10．设,a b R ∈，若a b >，则（ ）（A ）11a b< （B ）lg lg a b > （C ）sin sin a b > （D ）22a b >11．若函数(2)y f x =-的图像与函数3log 2y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）（A ）223x - （B ） 213x - （C ） 23x （D ） 213x +12．“0m >”是“函数()(2)f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要13．设()f x 定义在R 上的奇函数，当0x >时，()x f x a b =+（0a >且1a ≠），若()f x 在 R 上存在反函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩ （B ）11a b >⎧⎨≥-⎩或0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或 （C ）121a b >⎧⎨-<<-⎩或0110.5a b <<⎧⎨-<<-⎩ （D ）12a b >⎧⎨≤-⎩或010.50a b <<⎧⎨-<<⎩ 14．已知函数2(0)()(2)(0)x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(2017)f f f +++=（ ） （A ）2017 （B ）1513 （C ）20172 （D ）3025215．定义在R 上的函数()f x 满足22,01()42,10x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上所有零点之和为（ ） （A ） 4 （B ） 5 （C ） 7 （D ） 8 16．已知函数12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，*n N ∈，则满足方程()n f x x =的根的个数是（ ）（A ） 2n 个 （B ） 22n 个 （C ） 2n 个 （D ）2(21)n -个17．关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++= （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ） 22π （D ） 22π三、解答题：1．已知函数22()log (3)log (3)f x x x =+--（1）判断函数的奇偶性；（2）(sin )1f α=，求α的值.2．已知函数()3m f x x x=+-（,0m R x ∈≠） （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点个数.3．已知函数()1a f x x=-，0x ≠，常数a R ∈ （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.4．已知函数1()ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.5．设(,)P x y 为函数()f x =（x D ∈，D 为定义域）图像上的一个动点，O 为坐标原点，OP 为点O 与点P 两点间的距离.（1）若3a =，[3,4]D =，求OP 的最大值域最小值；（2）若[1,2]D =，是否存在实数a ，使得OP 的最小值不小于2？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，则说明理由.6．如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的 篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定 这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？7．如图，阴影部分为古建筑所在地，其形状是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两 边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上. 现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过 古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q .（1）设AQ x =（km ），将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数；（2）求APQ ∆的面积S （2km ）的最小值.8．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤. 经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客量为400人，当210t ≤<时， 载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为 272人，记电车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？9．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本. 已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元， （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣. 经实验知，每台机器人的日平均分拣量为8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件）. 已知传统的人工分拣每人每日的平均 分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？10．已知函数()22x x f x -=+（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 的 表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.11．若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 是“k -利普希兹条件函数”.（1）若函数()f x =14x ≤≤）的“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的取值范围； （2）判断函数2()log f x x =是否是“k -利普希兹条件函数”，若是，请证明；若不是， 请说明理由；（3）若()y f x =（x R ∈）是周期为2的“k -利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ，都有12()()1f x f x -≤.12．对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[0,)+∞上单调递减；②存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“逼进函数”.（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的“逼进函数”；（2）求证：函数1()2g x x =不是函数1()()2x f x =，[0,)x ∈+∞的“逼进函数”；（3）若()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼进函数”，求a 的值.13．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即{}()(),f D y y f x x D ==∈，若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭. （1）试分别判断函数2017()2017log xf x x =+、2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，并说明理由.（2）函数()f x k =的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数 ()f x 在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围.（3）已知函数()f x 的定义域是D ，对任意x 、y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D 上是单射. 已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()n f D D Ü， 其中1()(())n n f x f f x +=，1()()f x f x =. 证明：存在D 的真子集，1321n n D D D D D D -苘苘苘，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =）上封闭.。
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
(最新整理)2018高三“一模”数学试题汇编(函数)
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2018上海各区高三“一模”数学试题分类(函数）一、填空题： 1．若全集，集合，则U R ={}02A x x x =≤≥或U C A = 2．设集合，,则{2,3,4,12}A ={}0,1,2,3B =A B = 3．已知集合，，若，则{}1,2,5A ={}2,B a ={}1,2,3,5A B = a =4．已知全集，集合，集合，则U N ={}1,2,3,4A ={}3,4,5B =()U C A B = 5．设全集，集合，，则U Z ={}1,2M ={}2,1,0,1,2P =--()U P C M = 6．已知函数，，若，则实数{}2,3A ={}1,2,B a =A B ⊆a =7．已知集合,，则{}03A x x =<<{}24B x x =≥A B = 8．已知集合,，若，则实数{}1,2,A m ={}3,4B ={}3A B = m =9．函数的定义域是()lg(2)f x x =-10．函数的定义域为()f x =11．若行列式，则 124012x -=x =12．不等式的解为 10x x-<13．不等式的解集是 11x<14．不等式的解集是 211x x +>+15．不等式的解集是 2433(1)12(2x x x --->16．不等式的解集为 111x ≥-17．已知是定义在上的奇函数，则()f x R (1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数的反函数为，则()21f x x =-1()f x -1(5)f -=19．若函数的反函数的图像经过点，则 ()f x x α=11(,)24a =20．方程的解222log (2)log (3)log 12x x -+-=x =21．已知函数的反函数为，则,则实数2()log ()f x x a =+1()y f x -=1(2)1f -=a =22．已知函数是奇函数，当时,，且，则()y f x =0x <()2x f x ax =-(2)2f =a =23．已知函数，是函数的反函数，若的图像()1log a f x x =+1()y f x -=()y f x =1()y f x -= 过点，则实数的值是(2,4)a 24．已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，()f x R 4[2,4]x ∈43()log ()2f x x =- 则 1(2f =25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，()y f x =R [0,)+∞(1)(4)f a f +≤ 则实数的取值范围是a 26．已知，函数在区间上有最小值,且有最大值为13a >()lg(1)f x x a =-+[0,31]a -0，则实数的取值范围是lg(1)a +a 27．若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 1(1)(1)31n na n +--⋅<++n a 28．若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值222()x y cx y x -≤-0x y >>,x y c 为29．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是()21f x x x a =--a 30．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩a 31．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()f x ()g x R 真命题的是 （写出所有真命题的序号)①若、都是奇函数，则函数为奇函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ②若、都是偶函数，则函数为偶函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ③若、都是增函数,则函数为增函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ④若、都是减函数，则函数为减函数。
2019届高三年级(一模)考试数学试题分类汇编--函数,推荐文档
18、（金山区
2019
届高三）已知函数
f
(x)
| log5 (1 x) | (x 2)2 2
x
1
，则方程
f
(x
1
2)
a
（
x 1
x
a R ）的实数根个数不可能为（ ）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
19、（浦东新区 2019 届高三）已知函数 f (x) 2x | x a | 1有三个不同的零点，则实数 a 的取值
t +2
天中保温时段的通风量. （1）若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确
到 0.10C ）；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17 0C ，求大棚一天中保温时段
通风量的最小值.
期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数 f (x) 与时刻 x （时）的函数 关系为 f (x) | log25 (x 1) a | 2a 1， x [0, 24]，其中 a 为空气治理调节参数，且 a (0,1) . （1）若 a 1 ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
10、（徐汇区 2019 届高三）已知函数 f (x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x 1时，
f (x) lg(x 1) ，令函数 g(x) f (x) (x 1, 2) ，则 g(x) 的反函数为______________________.
14、（宝山区 2019 届高三）函数 y f x与 y ln x 的图像关于直线 y x 对称，则 f x
． 15、（奉贤区 2019 届高三）函数 g(x) 对任意的 x R ，有 g(x) g(x) x2 ，设函数
2021届山东省高三一模数学试题分类汇编——专题八函数与导数
专题八函数与导数一、单项选择1.（济宁一模3）已知a=sin2，6=log20.2，c=20.2，则A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a2.（潍坊一模3）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x﹣2﹣1123y0.240.51 2.02 3.988.02在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是A．y a bx=+B．by ax=+C．logby a x=+D．xy a b=+3.（滨州一模4）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且∀x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（log43）＜＜B．＜f（log43）＜C．＜＜f（log43）D．＜f（log43）＜4.（菏泽一模5）函数的图象大致为（）A．B．C．D．5.（烟台一模5）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P=P0e−kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）A.11hB.21hC.31hD.41h6.（泰安一模6）已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则（ ） A ．f （2）＜f （log 6）＜f （log 4）B ．f （log 6）＜f （log 4）＜f （2）C ．f （log 6）＜f （2）＜f （log 4）D ．f （2）＜f （log 4）＜f （log 6）7.（青岛一模5）若f(x)={log 3(x +1),x ≥02x ,x <0，则不等式f(x)>12的解集为（ ）A.()()+∞--,130,1B.()()∞+∞，，13-1- C.()()1-300,1-， D.()()∞+∞，，1-31--8.（日照一模6）如图所示，单位圆上一定点A 与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿x 轴正向滚动一周则A 点形成的轨迹为A ．B ．C ．D ．9.（潍坊一模7）已知20202021a =，20212020b =，ln2c =，则A ．log log a b c c >B ．log log c c a b >C ．c c a b <D ．a b c c <10.（烟台一模7）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(2-x)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则 A.f(2021)=0B.2是f(x)的一个周期C.当x ∈(1,3)时，f(x)=(1-x)3D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k ∈Z)11.（济南一模6）函数y=f(x)在［－2π,2π]上的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=|sinx|+cosxC.f(x)=sin|x|+cosxD.f(x)=sin|x|+|cosx|12.（青岛一模7）已知)(x f y =为奇函数，)1(+=x f y 为偶函数，若当[]1,0∈x ，)(log )(2a x x f +=，则=)2021(fA.-1B.0C.1D.213.（德州一模7）设函数f （x ）＝xe x ﹣a （x ﹣1），其中a ＜1，若存在唯一整数x 0，使得f （x 0）＜a ，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1）B ．[﹣，）C ．[，）D ．[，1）14.（聊城一模8）已知函数()2,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围为 A ．m>1 B ．m ≥1C ．m<1D ．m ≤115.（滨州一模7）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝x +2，设函数h （x ）＝e ﹣|x ﹣2|（﹣2＜x ＜6）（e 为自然对数的底数），则f （x ）与h （x ）的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021•临沂一模7）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f （x ）＝e x e x +1−12，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（ ）A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{﹣2，﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}17.（济南一模8）设a=20221n2020, b=2021ln2021, c=20201n2022,则A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c 二、多项选择18．（2021•淄博一模10）已知函数f （x ）＝2x +2﹣x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）最小值是2D ．f （x ）最大值是419.（济南一模10）已知函数f(x)=x 3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的是A.a=3B.f(x)在x= -1处取得极大值C.当x ∈(-2,1]时，f(x) ∈(-1,3]D.f(x)的图象关于点（0,1)中心对称20.（潍坊一模10）已知函数21, 0()cos , 0x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数B ．3(())12f f π-=C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[﹣1，+∞)21.（菏泽一模10）对于函数，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）在处取得极大值B ．f （x ）有两个不同的零点C ．D ．若在（0，+∞）上恒成立，则22.（日照一模10）已知x 1+log 3x1=0,x 2+log 2x2=0，则A. 0<x 2<x 1<1B. 0<x 1<x 2<1C. x 2lgx 1-x 1lgx 2<0D. x 2lgx 1-x 1lgx 2>023.（青岛一模11）若实数b a <，则下列不等式关系正确的是（ ） A.(25)b <(25)a <(35)aB.若2log ,1>>ab a a 则C.ba ab a +>+>11,022则若 D.若m >53,a,b ∈(1,3) ，则13（a 3−b 3)−m(a 2−b 2)+a −b >024.（滨州一模11）若0＜x 1＜x 2＜1，e 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ） A ．＜B ．＞C ．＞lnx 2﹣lnx 1D ．＜lnx 2﹣lnx 125.（泰安一模11）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝．则下列结论正确的是（ ）A ．当x ＜0时，f （x ）＝﹣e x （x +1）B ．函数f （x ）在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程f （x ）＝m 有解，则实数m 的取值范围是f （﹣2）≤m ≤f （2）D ．∀x 1，x 2∈R ，|f （x 2）﹣f （x 1）|＜226.（日照一模11）已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2-x).当x ≤1时f (x )={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0若函数g(x)=m|x|-2-f(x)，下列结论正确的为A. 若m<0，则g(x)恰有两个零点B. 若32<m <e ，则g(x)有三个零点C. 若0<m ≤32，则g(x)恰有四个零点D. 不存在m 使得g(x)恰有四个零点27.（济宁一模12）已知函数f(x)=e sinx -e cosx，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是 A.函数f(x)的周期为2π B.f(x)在区间(0,π2)上是减函数C.f (x +π4)是奇函数D.f(x)在区间(π2,π)上有且仅有一个极值点三、填空28．（2021•临沂一模13）若函数f （x ）满足：（1）对于任意实数x 1，x 2，当0＜x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）； （2）f （x 1x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2），则f （x ）＝ .（答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可）29.（潍坊一模14）写出一个存在极值的奇函数()f x ＝ ．30.（日照一模13）若函数f (x )=log a x(a >1)，在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= . 31.（济宁一模14）已知函数f (x )={e x ，x >0f (x +2)，x ≤0，则f(-5)= .32.（日照一模15）已知函数f (x )=3x+1+a3x +1(a ≥3)，若对任意x 1，x 2，x 3∈R ，总有f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)为某一个三角形的边长，则实数a 的取值范围是 .33．（2021•淄博一模16）已知函数f （x ）＝|x 3+2x +a |在[1，2]上的最大值是6，则实数a 的值是 ． 34.（菏泽一模16）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （0）＝1，g （x ）＝f （x ﹣1）是奇函数，则f （2021）＝ ，．35.（德州一模16）设定义在D 上的函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为l ：y ＝g （x ），当x ≠x 0时，若＜0在D 内恒成立，则称P 点为函数y ＝f （x ）的“类对称中心点”，则函数h（x ）＝+lnx 的“类对称中心点”的坐标为 ．四、解答36.（济南一模18）已知函数f(x)= 2(1),0.1,0.2x a x e x x ax x x ⎧+≤⎪⎨-+>⎪⎩. （1)若a=2,求f(x)的最小值；（2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a 的取值范围．37.（潍坊一模21）已知函数2()2sin x af x x-=-(a ∈R)．（1）若曲线()y f x =在点(2π，()2f π)处的切线经过坐标原点，求实数a ； （2）当a ＞0时，判断函数()f x 在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．38.（菏泽一模22）已知函数f （x ）＝lnx ﹣kx （k ∈R ），g （x ）＝x （e x ﹣2）． （1）若f （x ）有唯一零点，求k 的取值范围； （2）若g （x ）﹣f （x ）≥1恒成立，求k 的取值范围．39.（日照一模22）已知函数f (x )=e x −ax −1,g (x )=kx 2. （1）当a>0时，求f(x)的值域； （2）令a=1，当x ∈(0,+∞)时，f (x )≥g (x )ln (x+1)−x 恒成立，求k 的取值范围.40.（泰安一模22）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣x 2+（2a ﹣1）x （a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数； （2）已知函数g （x ）＝﹣f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2.证明：x 2﹣x 1＜．41.（2021•淄博一模22）已知数列)()11(*∈+=N n nan n (1)证明:e a n <(n ∈N *,e 是自然对数的底数);(2)若不等式e na n ≤++)11（(n ∈N *,a>0)成立，求实数a 的最大值。
2023北京高三一模数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数章节综合
2023北京高三一模数学汇编指数函数、对数函数与幂函数章节综合1．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()f x 同时满足以下两个条件：①对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=；②对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+.则函数()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2f x x =B ．()2f x x =−C ．()2x f x =D ．()2x f x =−2．（2023·北京房山·统考一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．） A ．0.3 B ．0.5 C ．0.7 D ．0.93．（2023·北京西城·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1)Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s ，则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：e 2.71828=）A ．200B ．400C ．600D ．8004．（2023·北京东城·统考一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．165．（2023·北京西城·统考一模）设c ∈R ，函数,0,()22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩ 若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．{0}[1,)+∞ C ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞6．（2023·北京丰台·统考一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则()2f −=（ ） A ．1−B ．0C ．1D ．27．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+D ．()()1e e 2x x f x −=− 8．（2023·北京顺义·统考一模）函数()e e x x f x −=−的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2023·北京顺义·统考一模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数．为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t =．若计算时取lg 20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ）A ．1.67B ．1.5C ．2.5D ．0.410．（2023·北京顺义·统考一模）如果函数()f x 满足对任意s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +<+，则称()f x 为优函数．给出下列四个结论：①()ln(1)(0)g x x x =+>为优函数；②若()f x 为优函数，则(2023)2023(1)f f <； ③若()f x 为优函数，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，则()f x 为优函数．其中，所有正确结论的序号是______________．11．（2023·北京东城·统考一模）函数()ln f x x =的定义域是____________．12．（2023·北京海淀·统考一模）设函数()()11,1()lg ,1x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩ ①当0a =时，((1))=f f _________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是_________．参考答案1．B【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=，故函数为奇函数； 对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+，即()()12120f x f x x x +−<−，即()()12120f x f x x x −<−，()12x x ≠，故函数单调递减.对选项A ：()2f x x =单调递增，不满足；对选项B ：()2f x x =−单调递减，且函数为奇函数，满足； 对选项C ：()2x f x =单调递增，不满足； 对选项D ：()2x f x =−不是奇函数，不满足. 故选：B 2．B【分析】依据题给条件列出关于时间t 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t −小时， 由题意可得60e 80K =，60e 90Kt =，两边同时取自然对数并整理， 得804ln ln ln 4ln 32ln 2ln 3603K ===−=−，903ln ln ln 3ln 2602Kt ===−， 则ln 3ln 2 1.100.691.52ln 2ln 320.69 1.10t −−=≈≈−⨯−，则给氧时间至少还需要0.5小时故选： B 3．B【分析】根据所给关系式，求出6e 1MN=−，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为12km /s 时，可得122ln (1)MN=+， 即6e 1MN=−， 因为e 2.71828=，所以近似计算可得6e 1402MN=−≈， 故选：B 4．C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N ∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =. 故选：C.5．D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c 时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意； 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点； 当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥； 综上可得c 的取值范围是{}10[,)2∞⋃+.故选：D 6．A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =， 所以()()222log 21f f −=−=−=−. 故选：A 7．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合； 对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x −−===，则()2xf x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x −=−−=−，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x −=−的定义域为R ，()()()1e e 2x xf x f x −−=−=−，则()()1e e 2x x f x −=−为奇函数，又函数e x y −=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x xf x −=−在R 上为减函数，故D 符合.故选：D. 8．B【分析】分析给定函数()f x 的奇偶性、单调性即可判断作答.【详解】函数()e e x x f x −=−定义域为R ，()e e (e e )()x x x x f x f x −−−=−=−−=−，函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 的图象关于y 轴对称，选项A ，D 不满足；因为函数e x y =在R 上单调递增，e x y −=在R 上单调递减，则函数()f x 在R 上单调递增，选项C 不满足，B 满足. 故选：B 9．B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以，2020505n n⨯=⨯，所以，542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B. 10．①②④【分析】①计算出()()()ln 1ln101st g s g t g s t s t ⎛⎫+−=+>= ⎪++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，得到①正确；②赋值法得到()()212f f >，()()313f f >，依次类推得到(2023)2023(1)f f <； ③举出反例； ④由()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，得到()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t ++<<++，整理变形后相加得到()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，即()()()f s t f s f t +<+，④正确.【详解】因为(),0,s t ∈+∞，所以()()()()()()()()11ln 1ln 1ln 1ln 1s t g s g t g s t s t s t s t+++−+=+++−++=++1lnln 1ln1011s t st st s t s t +++⎛⎫==+>= ⎪++++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，故()ln(1)(0)g x x x =+>是优函数，①正确； 因为()f x 为优函数，故()()()1111f f f +>+，即()()212f f >，()()()()21213f f f f +>+=，故()()313f f >，同理可得()()414f f >，……，()()202312023f f >，②正确；例如()2,0f x x x =−>，满足()222()()()20f s t f s f t s t s t st +−−=−+++=−<，即()()()f s t f s f t +<+，为优函数，但()2f x x =−在()0,x ∈+∞上单调递减，故③错误； 若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减， 任取(),0,s t ∈+∞，,s t s s t t +>+>， 则()()()(),F s t F s F s t F t +<+<，即()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t++<<++， 变形为()()()()()(),sf s t s t f s tf s t s t f t +<++<+， 两式相加得：()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦， 因为0s t +>，所以()()()f s t f s f t +<+， 则()f x 为优函数，④正确. 故答案为：①②④【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 11．(]0,1【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：100x x −≥⎧⎨>⎩，解得：01x <≤所以函数()ln f x x =的定义域为(]0,1 故答案为：(]0,112． 1 (][),02,−∞⋃+∞【分析】由分段函数解析式先求()1f ，再求()()1f f 的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.【详解】当0a =时，()21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()1lg10f ==， 所以()()()101f f f ==，令()0f x =，可得当1x <时，()()110x a x −++=， 所以=1x −或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解=1x −，当a<0或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为=1x −或1x a =−， 当1x ≥时，lg 0x a −=， 所以当0a ≥时，10a x =，当a<0时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解， 综上，当a<0时，函数()f x 有两个零点1,1a −−， 当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−， 当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −， 因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤， 所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞. 故答案为：1；(][),02,−∞⋃+∞.。
专题04 指对幂函数-2022届高考数学一模试题分类汇编(新高考卷)(原卷版)
04 指对幂函数【2022届新高考一模试题分类汇编】一、单选题1．（2022·黑龙江·一模（理））已知3log 7a =37log 6b =0.16c =，则（ ） A ．b c a << B ．b a c << C ．c a b << D ．a b c << 2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知实数a ，b 满足5121log 12log 25a =+，51213a a b +=，则（ ）A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2a b <<D ．2b a <<3．（2022·河南·模拟预测（理））在数列{}n a 中，()130a λλ=<，1122n n n n a a λλ+++=+，且对任意m ，*n ∈N ，1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数λ的取值范围是( ) A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．（2022·全国·模拟预测）开普勒（Johannes Kepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（ ） A ．0.66a B ．0.70a C ．0.76a D ．0.96a5．（2022·全国·模拟预测）已知0x 是函数2()log (1)4f x x x +-的零点，则()()()()00001234x x x x ----的值（ ）A ．为正数B ．为负数C ．等于0D ．无法确定正负6．（2022·全国·模拟预测）已知131log 2a =，2log 20b b +-=，b c a =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 7．（2022·广东汕头·一模）已知ln 22a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>8．（2022·河北·模拟预测）设0.44a =，0.30.25b -=，0.5log 3c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a << 9．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m ，n 满足m n e e >，则下列关系式一定成立的是（ ） A ．11m n < B ．()()22ln 1ln 1m n +>+ C ．11m n m n +>+ D ．m m n n >10．（2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n 次分形”（ *N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n 的最小值是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．9B ．10C ．11D ．1211．（2022·全国·模拟预测）设0.23a =，2log 1.5b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a c b <<12．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关健是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式01ln e m v v m ∆=，其中v ∆为火箭的速度增量，e v 为喷流相对于火箭的速度，0m 和1m 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量.在未来，假设人类设计的某火箭e v 达到5公里/秒，01m m 从100提高到200，则速度增量v ∆增加的百分比约为（ ）（参考数据：ln 20.7≈，ln5 1.6≈）A ．13%B ．15%C ．17%D ．19% 13．（2022·四川·三模（理））青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据．小数记录法的数据E 和五分记录法的数据F 满足510F E -=，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记录法的数据约为（ ）．()lg30.4771=A ．4.6B ．4.7C ．4.8D ．4.9 14．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））已知252524a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，501.02b =，1001.01c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 15．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A．1128 B ．1256C ．1512D ．1102416．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行131.2510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈10 3.16）A ．1416.3210s ⨯B ．1406.3210s ⨯C ．1413.1610s ⨯D ．1403.1610s ⨯ 17．（2022·山西临汾·一模（理））2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y 与生物死亡年数x 之间符合573012x y k ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，其中k 为死亡生物碳14的初始量.据此推断，此水坝大约是距2010年之前（ ）年建造的.参考数据∶lg552 2.74,lg20.30==A ．4912B ．4930C ．4954D ．496618．（2022·陕西武功·二模（理））北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 、火箭（除燃料外）的质量(kg)m 的关系式为2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若火箭的最大速度达到10km /s ，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（ ）（参考数据：0.005e 1.005≈）A ．1.005B ．0.005C ．0.0025D ．0.00219．（2022·江西九江·一模（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等与亮度来描述．古希腊天文学家、数学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．两颗星的星等与亮度满足普森公式：12122.5lg E m m E -=，星等为k m 的星，其亮度为()1,2k E k =．已知织女星的星等为0.04，牛郎星的星等为0.77，则织女星与牛郎星的亮度之比（ ）．（参考数据：0.2910 1.9498≈，0.310 1.9953≈）A ．0.5248B ．0.5105C ．1.9055D ．1.958820．（2022·山西晋中·模拟预测（理））中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W 增大到原来的1.2倍，信噪比S N 从1000提升到16000，则C 比原来大约增加了（ ） （附：lg20.3≈）A ．32%B ．43%C ．54%D ．68%二、多选题 21．（2022·全国·模拟预测）已知m n >，且1m n +>，则（ ）A ．22m n >B ．22m n >C ．22m m n n -<-D ．ln ln 0m n +> 22．（2022·山东济宁·一模）已知函数()2ln x f x x -=，若()0.20.3a f =，()2log 3b f =，()3log 4c f =，则（ ）A ．()f x 在()0,1上恒为正B ．()f x 在()1,+∞上单调递减C ．a ，b ，c 中最大的是aD ．a ，b ，c 中最小的是b23．（2022·山东菏泽·一模）下列结论正确的有（ ）A ．若22ln ln a b >，则22a b >B ．若22a b a b>，则22a b < C ．若b a e >>（其中e 为自然对数的底数），则b a a b <D ．若2023a b a <<<-，则sin sin 2b a < 24．（2022·湖南永州·二模）已知定义在R 的偶函数()f x ，其周期为4，当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，则（ ）A ．()2log 31f =B ．()f x 的值域为[]1,2-C ．()f x 在[]4,6上为减函数D ．()f x 在[]6,6-上有8个零点25．（2022·全国·模拟预测）若正实数,a b 满足11391log 2lo 91g 3b a a b ⎛⎫+=⎛⎫ ⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．a b >B ．a b ≤C ．2a b <D ．2a b ≥。
2023年高三一模数学12区三角形及函数教师版_20230419105614
（2023年北京西城区高三一模16）如图，在ABC △中，2π3A ∠=，AC =CD 平分ACB ∠交AB 于点D，CD =．（Ⅰ）求ADC ∠的值；（Ⅱ）求BCD △的面积．解：（Ⅰ）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CDADC A=∠∠．………2分所以2πsin 3sin 2AC A ADC CD ⋅∠∠==．………4分因为π03ADC <∠<，………5分所以π4ADC ∠=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=．………7分由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC △为等腰三角形．………8分所以π2cos 6BC AC =⨯⨯=………10分所以BCD △的面积为11ππsin )2234BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯=△． (13)分（2023年北京石景山高三一模16）如图，在ABC △中，AC =，6C π=，点D 在BC 边上，1cos 3ADB ∠=．（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）若ABD △的面积为AB 的长．解：（Ⅰ）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以1cos cos 3ADC ADB ∠=-∠=-在ADC △中，因为(0,)ADC ∠∈π，所以22sin 3ADC ∠=．在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AD ACC ADC=∠．所以1sin 232sin AC CAD ADC⋅===∠．（Ⅱ）ABD △的面积为1sin 2DB DA ADB ⋅∠=，因为ADB ADC ∠+∠=π，所以sin sin 3ADC ADB ∠=∠=又因为3AD =，所以2BD =．在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB DA DB DA DB ADB=+-⋅⋅∠2213223292=+-⨯⨯⨯=．所以3AB =（2023年北京平谷区高三一模16）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan 2sin a B b A =．（1）求角B 的大小；（2）若π4,4BC A ==，求ABC 的面积．解.【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin sin 2sin sin cos BA B A B⋅=⋅，因为0π,0π,A B <<<<所以sin 0A >，sin 0B >，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】由（1）知，π3B =，因为π4A =，所以πC AB =--，因为πA BC ++=，所以()πC B A =-+，所以()1sin sin sin cos cos sin 22224C A B A B A B =+=+=⨯+⨯=.由正弦定理sin sin a cA C=，得624sin 42sin 22a C c A +⨯⋅===+.所以11sin 4(26222ABC S ac B ==⨯⨯+⨯=+△已知函数()2sin()(00)f x x ωϕωϕπ=+><<,的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()()sin g x f x x =，求()g x 在区间4π0⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值和最小值．（Ⅰ）如图所示，可得3ππ=444T -，所以=2πT ，又因为2π=T ω，所以1ω=，又因为()f x 过点π04（，），0πϕ<<，所以4πϕ=，所以π()2sin()4f x x =+............................6分（Ⅱ）依题意()()sin g x f x x=π2sin()sin 4x x=+ππ2(sin cos cos sin )sin 44x x x=+2cos x x x=+1cos2sin 222x x =+（-）2cos2222x x =-+πsin 242x =-+（）因为4π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π42sin(2)2x ⎡-∈-⎢⎢⎥⎣⎦，当24ππ4x -=，即π4x =时，()g x ，当4π4π2x -=-，即0x =时，()g x 取最小值，最小值为0............................13分已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>，0π)ϕ<<的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω值；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，确定()f x 的解析式．设函数2()()2sin g x f x x =-，求()g x 的单调增区间．条件①：()f x 是偶函数；条件②：()f x 图象过点π(1)6，；条件③：()f x 图象的一个对称中心为5π(0)12，．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．解：（Ⅰ）因为2ππT ω==，所以2ω=.（Ⅱ）选择条件①：方法一：因为()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，所以(0)1f =±.所以sin 1ϕ=±.因为0πϕ<<，所以π2ϕ=.所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=.所以2()()2sin cos 2(1cos 2)g x f x x x x =-=--2cos 21x =-.因为cos y x =在[]π2π2πk k -+，()k ∈Z 上单调递增，由π2π22πk x k -+≤≤()k ∈Z ，解得πππ2k x k -+≤≤()k ∈Z .所以()g x 的单递增区间为πππ2k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .方法二：因为()f x 是偶函数，所以对任意R x ∈，都有()()f x f x -=，即sin(2)sin(2)x x ϕϕ+=+－，所以2π(2)2πx x k ϕϕ+=++－-，解得π2k ϕπ=+.因为0πϕ<<，所以π2ϕ=.（以下与选择方法一相同）选择条件②：因为()f x 图象过点π(1)6，，所以()ππ22π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π6()k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以6πϕ=，所以()sin(2)6f x x π=+.2()()2sin g x f x x=-所以sin(2)(1cos 2)6x x π=+--sin 2cos cos 2sin cos 2166x x x ππ=++-33sin 2cos 2122x x =+-13sin 22)122x x =+-13x π=+-.因为sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z 上单调递增，由πππ2π22π232k x k -+++≤≤()k ∈Z ,解得5ππππ1212k x k -++≤≤()k ∈Z .所以()g x 的单调增区间为5ππππ1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .选择条件③：因为()f x 的一个对称中心为5π0)12（，，所以()5π2π12k k ϕ⨯+=∈Z .解得5ππ6()k k ϕ=+∈Z －.因为0πϕ<<，所以6πϕ=.所以()sin(2)6f x x π=+.（以下与选择条件②相同）（2023年北京东城区高三一模16）已知函数()sin sin().3f x x x π=++（Ⅰ）求()f x 的最小正周期;（Ⅱ）若6x π=是函数()()y f x f x ϕ=-+(0)ϕ>的一个零点，求ϕ的最小值.解：（Ⅰ）因为()sin sin(3f x x x π=++=1sin sin cos 22x x x ++=3sin cos 22x x +6x π+（所以()f x 的最小正周期为2π………………6分（Ⅱ）由题设，()()))66y f x f x x x ϕϕππ=-+=+-++，由6x π=是该函数零点可知，sin(sin(+)06666ϕππππ++=，即3sin()32ϕπ+=.故+=+2,33k k ϕπππ∈Z 或+=+2,33k k ϕπ2ππ∈Z ，解得2,k k ϕ=π∈Z 或23k ϕπ=+π,k ∈Z .因为ϕ>，所以ϕ的最小值为3π.………13分（2023年北京朝阳区高三一模17）设函数2()sin cos cos (0,0)f x A x x x A ωωωω=+>>，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择两个作为已知，使得()f x 存在．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．条件①：()()f x f x =-；条件②：()f x 的最大值为23；条件③：()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.解：选条件②③．（Ⅰ）2()sin cos cos f x A x x xωωω=+cos21sin 222A x x ωω+=+1)2x ωϕ++（其中cos ϕϕ==）．根据条件②可知，函数()f x 1322+=．又0A >，所以A ．根据条件③可知，函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ω==，所以1ω=．所以π1()sin(2)62f x x =++． (7)分（Ⅱ）由π02x ≤≤，得ππ7π2666x +≤≤，则1π(2)126sin x -+≤≤，所以30()2f x ≤≤．当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，最小值为0；当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，最大值为32． (13)分（2023年北京门头沟高三一模16）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0A a B -=.D 是AB 的中点，2AC =，CD =.（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）求a 的值.解：cos sin 0A a B -=cos sin sin 0sin 0B A A B A A +=-=πtan3A A =⇒=（Ⅱ）由余弦定理得：2212422cos2803AD AD AD AD π=+-⨯⇒--=解得：4AD =，则8AB =，由余弦定理得：2464228cos523BC BC π=+-⨯⨯=⇒=（2023年北京海淀区高三一模17）在ABC ∆中，sin 2sin b A B =.（I ）求A ∠；（II ）若ABC ∆的面积为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，求a 的值.条件①：27sin 7C =；条件②：334b c =；条件③：21cos 7C =注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（Ⅰ）由sin 2sin b A B =及正弦定理，得sin sin 2sin B A A B =.由倍角公式得2sin sin cos sin B A A A B =.在ABC △中，sin 0,sin 0A B构，得cos 2A =.因为π(0,)2A Î，所以π6A =.（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A =，又由题知ABC S △=，可得1sin 2△ABC S bc A =得bc =.又由条件②，即334b c =，解得4b c ==.由余弦定理，得2222cos 2716247a b c bc A =+-=+-创=，所以a =选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =.所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+1272714=+⨯=由（Ⅰ）知π6A =，又由题知ABC S △=，可得1sin 2△ABC S bc A =.得bc =.由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a b c A B C ==可设7,,a k b c ===.由bc =k =.得a =（2023年北京延庆区高三一模17）在ABC ∆中，4cos 5B =，6b =.（Ⅰ）当5a =时，求A 和c ；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.解：解：（Ⅰ）因为4cos ,5B =且(0,),B π∈所以3sin 5B =.……………1分因为sin sin b aB A=，所以653sin 5A =.所以1sin 2A =.……………3分所以6A π=或56A π=.……………4分因为3sin ,56B B π=∴>，所以56A π<.所以6A π=.……………5分cos cos c a B b A =+4356452=⨯+⨯=+.……………7分（Ⅱ）因为2222242cos 2365b ac ac B a c ac =+-=+-⨯=，……………8分因为222a c ac +≥，所以8236255ac ac ac ≥-=.所以90ac ≤，当且仅当为a c =时，等号成立.……………10分13sin 210ABC S ac B ac ∆==.所以27S ≤，当且仅当为a c =时，等号成立.……………12分即a c ==时，27S =.所以ABC ∆面积的最大值为27.……………14分（2023年北京通州区高三一模16）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-.（Ι）求sin sin CA的值；（П）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：6c s 1o 11B =；条件②：sin 4C =；条件③：△ABC 的周长为9．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，所以：sin cos cos sin 2sin A B A B A +=，即sin()2sin A B A +=.……………….2分又因为sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+,所以sin 2sin C A =，……………….4分即：sin 2sin CA=， (5)分（Ⅱ）选条件①：6c s 1o 11B =，且（Ⅰ）中sin 2sin C c A a==， (6)分由余弦定理，得222cos 2a c b B ac+-=2249112(2)16a a a a +-== (8)分所以2,4a c ==. (10)分又由6c s 1o 11B =可知16sin B =， (11)分所以△ABC 的面积11sin 2422164S ac B ==⨯⨯⨯=.……………….13分选条件○3：△ABC 的周长为9，且（Ⅰ）中sin 2sin C cA a==，……………….6分239a b c a a ++=++=，则42，c a ==.……………….8分由余弦定理，得222cos 2a c b B ac+-=41691122416+-==⨯⨯，……………….10分所以16sin B =.……………….11分所以△ABC 的面积11sin 2422S ac B ==⨯⨯=.……………13分（2023年北京顺义区高三一模16）在△ABC 中，a ＝6，sin A sin B ．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积．条件①：∠B ；条件②：BC 边上中线的长为；条件③：sin B ＝sin2A ．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）因为3sin sin 2A B =，在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，…………………………………………2分可得：32a b =,………………………………………………………………………3分又因为6a =，所以4b =.……………………………………………………………………………5分（Ⅱ）选择条件①按公式酌情给分，最高4分；选择条件②设BC 边上的中线为AD ，则AD =，3CD =，……………………………6分在△ACD 中，由余弦定理得：222222431cos 22433AC CD ADC AC CD+-+-===⋅⋅⨯⨯，…………………………9分因为1cos 3C =，()0,C π∈，所以22sin 3C ==，……………11分所以△ABC 的面积为11sin 64223S ab C ==⨯⨯⨯=.………………13分选择条件③方法1：由题设，因为sin 22sin cos A A A =，所以sin 2sin cos B A A =,………………6分因为3sin sin 2A B =，所以sin 3sin cos B B A =因为()0B π∈，，所以sin 0B ≠，…………………………………………………7分所以1cos 3A =,………………………………………………………………………8分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：…………………………………………9分213616243c c =+-⨯⨯⨯,整理得238600c c --=，解得1063c =或-（舍），………………………………10分因为1cos 3A =，()0,A π∈，所以22sin 3A ==，………………11分所以△ABC 的面积为1122sin 46223S bc A ==⨯⨯⨯=………………13分方法2：由题设，因为sin 22sin cos A A A =，所以sin 2sin cos B A A =,……………6分因为3sin sin 2A B =，所以sin 3sin cos B B A=在△ABC 中，因为b a <，所以B A <，即0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，……7分所以1cos 3A =,………………………………………………………………………8分因为1cos 3A =，()0,A π∈，所以22sin 3A ==，所以22sin sin 3339B A ==⨯=，…………………………………………9分所以7cos 9B ==，…………………………………………………10分因为A B C π++=，所以()22714222sin sin sin cos cos sin 39393C A B A B A B =+=+=⨯⨯，…………………………………………………………………………………………11分所以△ABC 的面积为1122sin 64223S ab C ==⨯⨯⨯=.………………13分方法3：因为sin sin 2B A =且()0,B π∈,()20,2A π∈所以2B A π+=或2B A =，………………………………………………………7分因为b a <，所以2B A π+=，……………………………………………………8分又因为=A B C π++，所以=A C 即=6a c =，………………………………………………………………9分所以△ABC 为等腰三角形，设AC 边上的高为BD ，则=2AD ，由勾股定理BD ，……………………………………………11分所以△ABC 的面积为11=422S b BD =⨯⨯⨯⨯.……………………13分。
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上海市2019届高三年级(一模）考试数学试题分类汇编－－函数 一、填空、选择题1、（宝山区20１9届高三)方程ln(931)0xx+-=的根为 .2、（崇明区2０19届高三)若函数2()log 1x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-,则a =3、（奉贤区2０19届高三)设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5),则()y f x =的反函数1()f x -=4、(虹口区2０19届高三）设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a =5、(金山区２019届高三)已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -= ６、(浦东新区201９届高三)若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点7、（普陀区2019届高三）函数2()f x x =的定义域为 8、（青浦区2019届高三)已知函数()2f x +=,当(0,1]x ∈时，2()f x x =,若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点,则实数t 的取值范围是9、（松江区2０１9届高三)已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =１0、（徐汇区2019届高三）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+,令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_____＿＿＿__＿＿__＿__＿____. 11、（杨浦区2019届高三）下列函数中既是奇函数,又在区间[1,1]-上单调递减的是( )A ． ()arcsin f x x =B ． ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 12、（长宁区201９届高三）已知幂函数()af x x =的图像过点(2,)2，则()f x 的定义域为 １3、（闵行区20１9届高三）已知函数()|1|(1)f x x x =-+,[,]x a b ∈的值域为[0,8],则a b +的取值范围是1４、（宝山区2019届高三)函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称,则()f x = ．15、（奉贤区201９届高三)函数()g x 对任意的x ∈R ,有2()()g x g x x +-=,设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增,若2()(2)0f a f a +-≤,则实数a 的取值范围为16、（虹口区201９届高三)函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为 17、(虹口区2０１9届高三）已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）Ａ． (0,)+∞ Ｂ. (,0)(0,1)-∞ Ｃ. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D ． (,0)(0,2)-∞1８、(金山区2019届高三)已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩,则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R )的实数根个数不可能为( )A. 5个B. ６个C. 7个D. 8个１9、（浦东新区2019届高三）已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点,则实数a 的取值范围为２0、（普陀区2019届高三）设11{,,1,2,3}32α∈--,若()f x x α=为偶函数,则α=2１、（松江区201９届高三）已知函数()f x 的定义域为R ,且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立,若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2],则当[100,100]x ∈-时,函数()f x 的值域为二、解答题1、(宝山区２01９届高三)某温室大棚规定:一天中,从中午1２点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位：度)与时间t (单位:小时,[0,20]t ∈)近似地满足函数13+2by t t =-+关系,其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.(1）若一天中保温时段的通风量保持10０个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到00.1C );（2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于017C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.2、（崇明区２0１9届高三）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～１600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元）随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金不超过７5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励 方案函数模型为()y f x =时,则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时,①()f x 是增函数;②()75f x ≤恒成立;③()5xf x ≤恒成立．） (1)判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2)已知函数()5g x =（1a ≥)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值 范围．3、(奉贤区2019届高三)入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重,市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现,每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时)的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈,其中a 为空气治理调节参数,且(0,1)a ∈． (1)若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低; (2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过３，则调节参数a 应控制在什么范围内?4、(虹口区２019届高三)已知函数16()1x f x a a+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数.(1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立,求实数t 的取值范围.5、(金山区20１9届高三）设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -,4()log (31)g x x =+.(1)若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； (2）在(1)的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时,函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围．6、（青浦区2019届高三）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立,则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数． (1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的 取值范围;(２)证明:函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数.7、（松江区20１9届高三）已知函数2()21xf x a =-+(常数a ∈R ) （1）讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由；（2)当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈,都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.８、（徐汇区2019届高三)已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1)解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2)求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.上海市2019届高三年级（一模)考试数学试题分类汇编－－函数参考答案一、填空、选择题1、02、63、2log (1)x -,1x > ４、8 5、16 ６、(1,3)7、(,0)(0,1]-∞ 8、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9、2 10、[]310,0,lg2xy x =-∈11、Ｃ 12、),0(+∞ 13、[2,4] １４、xy e -=- 15、[2,1]- 16、[42,9) 17、Ｂ 1８、A 19、(,2)-∞- ２０、－2 21、100100[2,2]- 二、解答题1、解：（1）10013+2y t t =-+，1=[0,13)D ，2[13,20]D =, 当1t D ∈时,100132y t t =-++是减函数， ………………………………………２分当2t D ∈时，10013+2y t t =-+是增函数,………………………………………4分所以,0min (13) 6.7y y =≈，因而,大棚一天中保温时段的最低温度是06.7C .………………………………6分 (2）由题意1317+2by t t =-+≥,所以()(2)1713b t t ≥+--,…………８分 令()12(2)(4+),()(2)1713(2)(30),t t t D g t t t t t t D +∈⎧=+--=⎨+-∈⎩，只需求()g t 的最大值，……………………………………………………………1０分 当1t D ∈时,()g t 递增,()(13)=255g t g <,…………………………………１1分 当2t D ∈时,2=30t t +-,即=14t ,()(14)256max g t g ==，……………12分 故，()(14)256max g t g ==，所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为2５６个单位. …………………１4分 17. 2、解:(1）因为525(25)1065f =>, 即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分 (2)因为1a ≥,所以函数()g x 满足条件①，……………………………………２分结合函数()g x 满足条件①,由函数()g x 满足条件②,得：1600575a -≤，所以2a ≤ ………………………………………………………………４分 由函数()g x 满足条件③,得：55xa x -≤对[25,1600]x ∈恒成立 即x a x≤+对[25,1600]x ∈恒成立 因为25x x+≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分 所以2a ≤………………………………………………………………８分 综上所述，实数a 的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分 3、4、5、6、解：(1)因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ,即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤(2）22()()2121f x g x x x x x -=-=-[)2,+x ∈∞，22()()212(1)f x g x x x x x ∴-=--=--令22222211()()()2(1)11x x x x h x f x g x x x x x x x --=-=-==+-+-任取122x x ≤<,则2212311x x ≤-<-2212311x x ≤-<-221122011x x x x <-+-12221122()()11h x h x x x x x ⇒>⇒<+-+-即函数2()()()2(1)h x f x g x x x =-=-在区间[)2,+∞上单调递减, 所以(()()0,43f x g x ⎤-∈-⎦,又([]0,4231,1-⊆-,即满足()2g x x =使得对于任意的[)2,x ∈+∞有()()1f x g x -≤恒成立，所以函数()2g x x =是函数()f x =在区间[)2,+∞上的弱渐近函数． ７、解：(1)若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =,……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………４分又2(1)3f a =-,4(1)3f a -=-,∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分(2)由条件可得:222()2(1)(21)32121x x xx x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分 记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈, ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =, ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 (14)分8、解：(1)不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时,不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞;……………….4分当1a =-时,不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞; ……………….５分当1a >-时,不等式解集为(]2,0.-……………….６分（2)任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++ (9)120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+>……………….1１分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- .........13分 故当1a <-时,()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 (14)。