【高职高考】【代数】第一章预备知识
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高等代数知识点总结
定义（集合的映射） 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结精编版
第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
《高数》课件讲解第一章第一节《预备知识》
左邻域
M OM () M
右邻域
O 例 解不等式 x 2 x 1，并用区间表示该不等 式的解集.
解 方法一 不等式两边同时平方
x 22 x 12 .
方法二 几何意义 待解不等式要求的点 x 的集合为：
到 2 的距离小于它到1 的距离. 当x 1 时 , x 到 2 的距离小于 x 到1 的距离.
三、区间与邻域
1. 常用数集的表示法: 自然数集 (非负整数集) N {0, 1, 2, , n, }; 整数集 Z { , n, , 2, 1, 0, 1, 2,, n, };
有理数集
Q
p
q
pZ, qN,q
0,
且
p 与q 互质;
实数集 R; 复数集 C; 正整数集 N ;
排除了零的实数集 R*;
端点为无限的区间表示及其含义： [a, ) {x a x } {x x a} ;
Oa
x
无
(,a) {x x a} {x x a} ;
限 区
Oa x
间
(, ) R {x x } .
4. 邻域:
(1) x0 的 邻域:
O (x0 ) (x0 , x0 ) x x x0 , 0
1 O 1 2 P x
二、实数的绝对值及其基本性质
定义1.1 设 x 是一个实数，则 x 的绝对值定义为
x
x, 当x x，当x
0时 0时
注1：绝对值 x 的几何意义是：
x 表示点x 到O的距离, 而 x y 则表示点x 与点 y
之间的距离 . 注2：设a 0 , 不等式 x a 表示点 x 到原点的距离小
由性质 3 可得 x x x， y y y
因此
高数一基础知识
高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a ⎧=⎨-⎩00a a ≥∠3．乘法公式（）()22(±)22±22 a 33=()(a 22)a 33=()(a 22)4.一元二次方程（1）标准形式：a 20(2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x2设X1、X2为x2(x)0的两个根，则；1212pqx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩ （4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1na= （2）m na=3．指数的运算（a>0>0,() ∈R ）;(1)x yx ya a a+⋅= (2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：, ，;5．对数的性质(1)· (2) loglog log a a MM N N=- (3)log log xa a N x N=⋅(4)换底公式：log log log a b a NN b=（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式（1）;X a a X a ≤⇒-≤≤（2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：00122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c =++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a=- ； 最值：244ac b y a -=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （1,2,3）；4、指数函数：x y a = （xe ）；5、对数函数： x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角2、角度与弧度的关系：0180π= 01180π=4、锐角的三角函数关系：222a b c += s i n b a c =cos a a c = b a ab5、任意角的三角函数sin y r α=αx r αyxαx y α1c o s α α1s i n α6、三角函数符号7．特殊角的三角函数值：00 300 450600900 1800 2700α0 1/2/2 21-1α 1/2/21/2 0 -10 α 0/3 1∞∞α∞13 0∞(二)三角变换1．倒数关系α·α1 α·α1α·α1α1cos αα1sin αα1tan α2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
高等数学一预备知识PPT课件
解 要使表达式有意义，当且仅当 x适合不等式 (xa)b (x)0
x a 0 x a 0 b x 0 或 b x 0
故 axb ,即函数的定义域为 [a,b]
.
29
2.2函数表示法
常用的表示方法有: 表格法、图示法、解析法(也叫公式法).
用解析法表示的函数可以由一个数学式子
给出, 也可以在其定义域的不同部分用不同的 数学式子表示,用这种方式表示的函数称为 分段函数.
为了使表达式有意义,常遇到的四种情况是: (1)分式中的分母不能为零; (2)偶次方根号下的表达式不能为负值; (3)对数的真数必须大于零; (4)反正弦、反余弦后面的表达式的绝对值小于
等于1.
.
26
例1 已知函数 yf(x) 3 1x2
,求 f (1), f (1) x
解 f(1) 3 3, 1(1)2 2
.
15
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
总收益函数和总成本函数之差 L (x)R (x)C (x)
称为总利润函数.
.
35
例10 某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出 的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求 （1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
x a 0 x a 0 b x 0 或 b x 0
故 axb ,即函数的定义域为 [a,b]
.
29
2.2函数表示法
常用的表示方法有: 表格法、图示法、解析法(也叫公式法).
用解析法表示的函数可以由一个数学式子
给出, 也可以在其定义域的不同部分用不同的 数学式子表示,用这种方式表示的函数称为 分段函数.
为了使表达式有意义,常遇到的四种情况是: (1)分式中的分母不能为零; (2)偶次方根号下的表达式不能为负值; (3)对数的真数必须大于零; (4)反正弦、反余弦后面的表达式的绝对值小于
等于1.
.
26
例1 已知函数 yf(x) 3 1x2
,求 f (1), f (1) x
解 f(1) 3 3, 1(1)2 2
.
15
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
总收益函数和总成本函数之差 L (x)R (x)C (x)
称为总利润函数.
.
35
例10 某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出 的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求 （1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
(完整版)职高数学各章节知识点汇总
p q ， p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要条件。
第二章 不等式
一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项： 二、一元二次不等式的解法
b2 4ac
二次函数
y ax2 bx c (a 0)的图象
0
y
x1 o x2 x
0
y
0
y
o x1=x2 x
2
2
2
九、三角函数性质： 函数
定义域
值域 周期 奇偶性
ｙ＝sinx
Ｒ
【－１,１】
2
奇函数
y=cosx
Ｒ
【－１,１】
2
偶函数
y=tanx
( k , k )
2
2
Ｒ
奇函数
6
单调性 最值
[ 2k , 2k ],增函数
2
2
[ 2k , 3 2k ],减函数
2
2
当 x 2k 时取最大值１ 2
o
x
1
一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)的根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
有两个不等的实根
x1, x2 (x1 x2 )
x | x x1或x x2
有两个相等的实根
x1
x2
b 2a
x |xb ax | x1 x x2
当 x 2k 时取最小值-１ 2
[ 2k ,2k ], 增函数
[2k , 2k ], 减函数
当 x 2k 时取最大值１ 当 x 2k 时取最小值-
１
( k , k )
2
2
上是增函数
有关线性代数的预备知识
集合常用的运算
• 交 由属于集A又属于集B的元构成的集，
• • 称A与B的交集，记 A∩B
• 并 由属于集A或属于集B的元构成的集，
称A与B的并集，记
A∪B
• 补 • 笛卡儿积
定义1 映射 定义2 单映射 满映射 定义3 双射
1.2 数域
定义1 封闭 定义2 数域 定理 任何数域都包含有理数域。
1.3 排列与对换
定义1 由n个数码1,2，...，n作成的排列， 称为n级排列 排列 在任一个n级排列中，总有较大的数码 排在较小的数码前面，此时称为这两个 数码构成一个逆序 逆序。排列中逆序的总数 逆序 称该排列的逆序数 逆序数。 逆序数
定义2 逆序数为偶数的排列成偶排列 偶排列，逆 偶排列 序数为奇数的排列称奇排列 奇排列。 奇排列 定理1.3.1 任一个n级排列都可经一系列对 换与n级自然排列互变。 推论 任何两个n级排列都可经一系列对换 n 互变。 定理1.3.2 每次对换都改变排列的奇偶性。 推论 在所有n级排列中，奇排列的个数与 偶排列的个数相等。
第一章 预备知识
集合与映射
集合是一个描述性的概念，一些事物的总体称为集 集合 合或集，称事物为元素或元。 若集A的任意元都是集B的元，则称A包含于B，或称 A是B的子集，记为 A ⊆ B 当A ⊆ B且A ⊇ B 时就称A与B相等 相等 不含任何元的集称为空集 空集，记为 空集
φ
本教材常用的符号有： N 表示自然数集 Z 表示整数集 Q 表示有理数集 R 表示实数集 C 表示复数集
1.4 有理系数多项式的有理根
所要了解的内容： • 有理多项式 • 相等 • 因式分解 • 定理证明及应用
新教材高中数学第一章预备知识1.3第2课时全集与补集课件北师大版必修第一册
[跟踪训练]
1．设集合 U＝R ，M＝{x|x＞2 或 x＜－2}，则∁UM＝
A．{x|－2≤x≤2} C．{x|x＜－2 或 x＞2}
B．{x|－2＜x＜2} D．{x|x≤－2 或 x≥2}
()
解析：如图，在数轴上表示出集合 M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．
答案：A
2．设集合 M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若∁R M⊇∁R N，则 k 的取值范围是 ________． 解析：由∁R M⊇∁R N，可知 M⊆N，则 k 的取值范围为 k≥2. 答案：{k|k≥2}
2．某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了 500 位市民， 调查结果显示：订阅日报的有 334 人，订阅晚报的有 297 人，其中两种都订的 有 150 人(假定只有这两种报纸)．试问： (1)只订日报不订晚报的有多少人？ (2)只订晚报不订日报的有多少人？ (3)至少订一种报纸的有多少人？ (4)有多少人不订报纸？
A．{0}
B．{1}
C．∅
D．{0，1}
答案：D
2．设全集为 U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则 U＝
A．{0，2，4，6}
B．
答案：A
() ()
补集的简单运算
[例 1] (链接教科书第 10 页例 7)(1)设集合 U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，
交集、并集、补集的综合运算
[例 2] (链接教科书第 10 页例 8)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2＜x＜ 3}，B＝{x|－3≤x≤2}．
(1)求 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)； (2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)． [解] (1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2 或 3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)∁U(A∪B)＝{x|x＜－3 或 3≤x≤4}． ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 2＜x≤4}．
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例5解方程
解：
原方程的解为
例6当 是什么值时，一元二次方程
（1）有两个不相等的实数根
（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
解：
（1）由 ，所以 ，
又 ，得
即当 且 时，原方程有两个不相等的实数根
（2）由 ，得
所以当 原方程有两个相等的实数根
（3）由 ，得
所以当 原方程没有实数根
一元二次方程根与系数的关系
解：由 得
把 代人 得
，即 ，
解得
把 代人 得
把 代人 得
所以方程组的解为
专项练习
一、选择题
1.方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
2.方程 的解是（ ）
A. B.
C. D.
3.方程 的根为（ ）
A. B.
C. D.
4.关于 的方程 是一元二次方程的条件是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
5.关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值是（ ）
三、解答题
11.解方程
12.解方程组
13.解方程组
14.解方程组
§1.2指数
1.基本概念
（1）正整数的指数幂
其中 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂.
（2）零指数幂
当 时，
没有意义
（3）负整数指数幂
如
（2）分数指数幂
正分数指数幂
如
负分数指数幂
2.幂的运算法则
当
3.根式
次方根
如果 ，那么 叫做 的 次方根.正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；零的偶次方根是零.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零.
二元一次方程组的一般形式
二元一次方程组常用的解法有代人消元法和加减消元法
例11解方程组
解：用代入消元法
由方程 得 ，把 代人 得
所以 ，
即方程组的解为
例12解方程组
解：用加减消元法
把方程 两边都乘以 ，把方程 两边都乘以
可变为
方程 方程 得
同样可把 变为
方程 方程 得 ，
即方程组的解为
二元二次方程组
对数式 中， .
特别地，以 为底的对数叫做常用对数，通常记 为 .
2.性质
（1）零与负数没有对数.
（2）底的对数等于 ，即
（3） 的对数等于 , 即
（4）
（5）当底数 时，若真数 则对数大于零，即 ，若真数 则对数小于零，即 ；
当底数 时，若真数 则对数小于零，即 ，若真数 则对数大于零，即
2.对数的运算法则
即
得
若上述方法都不容易做，就用公式法
一元二次方程 的求根公式是
叫做一元二次方程 的根的判别式
（1）当 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
（2）当 时，一元二次方程 有两个相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个相等的实数根时，
（3） 时，一元二次方程 没有实数根，反之，当一元二次方程没有实数根时，
4.若 则 （ ）
A. B. C. D.
5.设 ，则 （ ）
A. B.9C. D.
6. （ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A. B. C. D.
8.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.对任意实数 ，下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知 ，则 ___________
12. ___________
13. ___________， ___________
14. ___________，
15.若 ，则 ___________
三、解答题
16.
17.计算
18.设 ，求 的值
§1.3对数
1.定义
如果 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数.
设 是方程 的两个根，则
例7已知方程 的两个根为 ，不解方程
（1）求
（2）求
解：由一元二次方程根与系数的关系得
（1）
（2）
一元三次方程
形如 一元三次方程的解法
的解为
例8解方程
解：由 得
解得
形如 或 的解法
把 或 变为
或 再求解
例9解方程
解：由 得
即
例10解方程
解：由
得
即
解得
方程组
二元一次方程组
概念
由几个一次方程组成并且含有两个未知的方程组叫做二元一次方程组
由 得 ， 所以
由 解得 所以
选B
历年试题
(2007年试题)
下列计算正确的是
A. B.
C. D.
解析： ，
选C
(2008年试题)
设 ，则 _____________
解析：
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
算数根：正数 的正的 次方根叫做 的 次算数方根.
如果 是一个根式，则
(1)
(2)当 为奇数时，
(3)当 为偶数时，
如 ， ， ， ，
注意：
例1计算
解：
例2计算
解析：
例3如果 ，求 的值
解析：
例4若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选D
例5若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：由 得 ，所以 ；
A. B.
C. D. 或
6.已知方程 的两根互为相反数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.方程 的根是___________
8.一元二次方程 的实数根为___________
9.若关于 的方程 的两根倒数之和为 ，则 的值等于___________
10.关于 的方程 的一个根为 ，那么 ___________
第一章预备知识
§1.1方程与方程组
方程
含有未知数的等式叫方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解
一元一次方程
形如 的方程叫一元一次方程
的解是
一元一次方程求解
例1解方程
解：由 得
一元二次方程
形如 的方程叫一元二次方程
一元二次方程求解
例2解方程
解:由 得
例3解方程
解:由
得
例4解方程
解：可由十字相乘法得
若 ，则 _________
解析:
由 ，得
即 ， ，所以
填
（2008年试题）
算式 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选C
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.1
4. （ ）
A. B. C. D.
5. =（ ）
A. B. C. D.
6.设 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7.若 ，则
A. B. C. D.
8.如果 ，则 （ ）
A.D.
10.若 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11． =___________
12. ，则 ___________
13. ，则 ___________
14.若 ，则 ___________
15. __________
三、解答题
16.计算
17.设 ，求
18.
19.
20.
3.换底公式
由换底公式可得
，即
例1计算
解：
例2
解:
例3求 的值
解：
例4求值：
解：
例5求值：
解：
例6已知 则 （ ）
A. B. C. D.
解析： .
选B
例7设 ，求 的值
解析：由 得 ，由 得 所以，
历年试题
（2011年试题）
下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为：
所以选C
（2010年试题）
含有二元二次方程的方程组，叫做二元二次方程组
解二元二次方程组的方法是化二元为一元，化二次为一次，具体办法是根据方程组的特点采用代人消元法、消去二次项、消去一个未知数等.转化为解一个一元二次方程.
例13解二元二次方程组
解：由 得 ，把 代人 得
所以
把 代人 得 ，
把 代人 得 ，
所以方程组的解为
例14解二元二次方程组
解：
原方程的解为
例6当 是什么值时，一元二次方程
（1）有两个不相等的实数根
（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
解：
（1）由 ，所以 ，
又 ，得
即当 且 时，原方程有两个不相等的实数根
（2）由 ，得
所以当 原方程有两个相等的实数根
（3）由 ，得
所以当 原方程没有实数根
一元二次方程根与系数的关系
解：由 得
把 代人 得
，即 ，
解得
把 代人 得
把 代人 得
所以方程组的解为
专项练习
一、选择题
1.方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
2.方程 的解是（ ）
A. B.
C. D.
3.方程 的根为（ ）
A. B.
C. D.
4.关于 的方程 是一元二次方程的条件是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
5.关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值是（ ）
三、解答题
11.解方程
12.解方程组
13.解方程组
14.解方程组
§1.2指数
1.基本概念
（1）正整数的指数幂
其中 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂.
（2）零指数幂
当 时，
没有意义
（3）负整数指数幂
如
（2）分数指数幂
正分数指数幂
如
负分数指数幂
2.幂的运算法则
当
3.根式
次方根
如果 ，那么 叫做 的 次方根.正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；零的偶次方根是零.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零.
二元一次方程组的一般形式
二元一次方程组常用的解法有代人消元法和加减消元法
例11解方程组
解：用代入消元法
由方程 得 ，把 代人 得
所以 ，
即方程组的解为
例12解方程组
解：用加减消元法
把方程 两边都乘以 ，把方程 两边都乘以
可变为
方程 方程 得
同样可把 变为
方程 方程 得 ，
即方程组的解为
二元二次方程组
对数式 中， .
特别地，以 为底的对数叫做常用对数，通常记 为 .
2.性质
（1）零与负数没有对数.
（2）底的对数等于 ，即
（3） 的对数等于 , 即
（4）
（5）当底数 时，若真数 则对数大于零，即 ，若真数 则对数小于零，即 ；
当底数 时，若真数 则对数小于零，即 ，若真数 则对数大于零，即
2.对数的运算法则
即
得
若上述方法都不容易做，就用公式法
一元二次方程 的求根公式是
叫做一元二次方程 的根的判别式
（1）当 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
（2）当 时，一元二次方程 有两个相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个相等的实数根时，
（3） 时，一元二次方程 没有实数根，反之，当一元二次方程没有实数根时，
4.若 则 （ ）
A. B. C. D.
5.设 ，则 （ ）
A. B.9C. D.
6. （ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A. B. C. D.
8.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.对任意实数 ，下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知 ，则 ___________
12. ___________
13. ___________， ___________
14. ___________，
15.若 ，则 ___________
三、解答题
16.
17.计算
18.设 ，求 的值
§1.3对数
1.定义
如果 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数.
设 是方程 的两个根，则
例7已知方程 的两个根为 ，不解方程
（1）求
（2）求
解：由一元二次方程根与系数的关系得
（1）
（2）
一元三次方程
形如 一元三次方程的解法
的解为
例8解方程
解：由 得
解得
形如 或 的解法
把 或 变为
或 再求解
例9解方程
解：由 得
即
例10解方程
解：由
得
即
解得
方程组
二元一次方程组
概念
由几个一次方程组成并且含有两个未知的方程组叫做二元一次方程组
由 得 ， 所以
由 解得 所以
选B
历年试题
(2007年试题)
下列计算正确的是
A. B.
C. D.
解析： ，
选C
(2008年试题)
设 ，则 _____________
解析：
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
算数根：正数 的正的 次方根叫做 的 次算数方根.
如果 是一个根式，则
(1)
(2)当 为奇数时，
(3)当 为偶数时，
如 ， ， ， ，
注意：
例1计算
解：
例2计算
解析：
例3如果 ，求 的值
解析：
例4若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选D
例5若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：由 得 ，所以 ；
A. B.
C. D. 或
6.已知方程 的两根互为相反数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.方程 的根是___________
8.一元二次方程 的实数根为___________
9.若关于 的方程 的两根倒数之和为 ，则 的值等于___________
10.关于 的方程 的一个根为 ，那么 ___________
第一章预备知识
§1.1方程与方程组
方程
含有未知数的等式叫方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解
一元一次方程
形如 的方程叫一元一次方程
的解是
一元一次方程求解
例1解方程
解：由 得
一元二次方程
形如 的方程叫一元二次方程
一元二次方程求解
例2解方程
解:由 得
例3解方程
解:由
得
例4解方程
解：可由十字相乘法得
若 ，则 _________
解析:
由 ，得
即 ， ，所以
填
（2008年试题）
算式 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选C
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.1
4. （ ）
A. B. C. D.
5. =（ ）
A. B. C. D.
6.设 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7.若 ，则
A. B. C. D.
8.如果 ，则 （ ）
A.D.
10.若 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11． =___________
12. ，则 ___________
13. ，则 ___________
14.若 ，则 ___________
15. __________
三、解答题
16.计算
17.设 ，求
18.
19.
20.
3.换底公式
由换底公式可得
，即
例1计算
解：
例2
解:
例3求 的值
解：
例4求值：
解：
例5求值：
解：
例6已知 则 （ ）
A. B. C. D.
解析： .
选B
例7设 ，求 的值
解析：由 得 ，由 得 所以，
历年试题
（2011年试题）
下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为：
所以选C
（2010年试题）
含有二元二次方程的方程组，叫做二元二次方程组
解二元二次方程组的方法是化二元为一元，化二次为一次，具体办法是根据方程组的特点采用代人消元法、消去二次项、消去一个未知数等.转化为解一个一元二次方程.
例13解二元二次方程组
解：由 得 ，把 代人 得
所以
把 代人 得 ，
把 代人 得 ，
所以方程组的解为
例14解二元二次方程组