哥德尔不完备性定理
不完备定理
不完备定理哥德尔不完备定理(Godel's Inpleteness Theorem)不完备定理 1在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是指库尔特•哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。
简单地说，第一条定理指出：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。
这条定理是在数学界以外最著名的定理之一，也是误解最多的定理之一。
它是形式逻辑中的定理，所以容易被错误表述。
有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。
稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的一些误解。
把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。
该定理指出：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。
这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。
大卫•希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的兼容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。
最终，全部数学的兼容性都可以归结为基本算术的兼容性。
但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的兼容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的兼容性了。
不完备定理 2第一不完备定理的证明要点要充实对证明要点的描述，主要的问题在于：为了构造相当于“p是不可证明的”这样的命题p，p就必须包含有自身的引用，而这很容易陷入无穷循环。
将要介绍的哥德尔巧妙的把戏，后来被艾伦•图灵用于解决决定性问题。
首先，每个公式或者说可形式化的命题都被我们的系统赋予一个唯一的数，称为哥德尔数。
这要通过一种可以方便地在哥德尔数和公式之间（机械地）来回转换的方式来完成。
因为系统足以表述“数”的概念，因此也就足以表述公式的概念了。
公式可以为命题形式、命题或其他。
命题形式的哥德尔数数值不同于命题的哥德尔数数值。
像F(x)这样的公式含有一个自由变量x，它们称为命题形式。
一旦x被一个特定的数代替，它就马上变成一个真正的特定命题，于是它要么是在系统中可证明的，要么不。
哥德儿不完备性定理
哥德儿不完备性定理
哥德尔不完备定理是数学中的一个重要定理，它是由德国数学家古斯塔夫·哥德尔于1931年发现的。
这个定理表明，在
数学系统中，没有一个充分的自洽证明系统，也就是说，无论怎样，证明系统中总会有一些无法证明的命题。
哥德尔不完备定理的原理是：如果一个逻辑系统中有一个可以用它自身证明的完备性定理，那么在这个系统中将存在一个矛盾的命题，即它既可以证明也可以反证明。
因此，如果一个逻辑系统存在一个完备性定理，那么它就不能完备，即它存在一个无法证明的命题。
哥德尔不完备定理的发现是人类科学史上一个重大突破，我们对数学的认识，使我们意识到，数学并不是一种完美的系统，它中存在着一些无法证明的命题。
此外，哥德尔不完备定理也对现代计算机科学及其应用产生了深远的影响，它为计算机程序的编写提供了理论指导。
哥德尔不完备定理的发现使数学定理的范围变得更加广泛，它的提出也促使人们开始从不同角度思考数学问题，而不单纯满足于精确的数学解决方案。
因此，哥德尔不完备定理是现代数学的重要基石，它的发现为人类科学发展做出了重要贡献。
解释哥德尔不完备定理
哥德尔不完备定理是数学逻辑和计算机科学中的一个重要概念，由数学家哥德尔于1931年提出。
该定理表明，任何一个包含自然数集合的公理系统，都存在一个命题，既不能证明也不能否定。
哥德尔不完备定理的证明基于数学逻辑中的自指概念。
一个自指的概念是指一个概念自身包含自己的概念，例如，如果A是B的子集，那么A就是B的一个自指的概念。
哥德尔不完备定理的证明就是通过构造一个自指的概念，使得该概念既不能证明也不能否定。
具体来说，哥德尔不完备定理可以分为两个部分：
第一部分：任何一个包含自然数集合的公理系统，都存在一个命题，既不能证明也不能否定。
这个命题是一个自指的概念，即它自身包含了自身的概念。
第二部分：如果一个公理系统是自洽的，那么它必定是不完备的。
也就是说，如果一个公理系统能够证明自身的相容性，那么它就一定存在一个命题既不能证明也不能否定。
哥德尔不完备定理的证明对于数学和计算机科学都有着重要的影响。
首先，它说明了任何一个自洽的公理系统都是不完备的，也就是说，任何一种理论体系都不能完全解释所有的数学问题。
其次，它对于计算机科学也有着重要的影响，因为计算机科学中的许多问题都需要借助数学理论来解决。
如果一个数学理论是不完备的，那么就意味着我们无法找到一个确定的算法来解决所有的问题。
总之，哥德尔不完备定理是数学逻辑和计算机科学中的一个重要概念，它告诉我们任何一个自洽的公理系统都是不完备的，这为我们解决数学和计算机科学中的问题提供了一定的思路和方法。
哥德尔不完备定理 物理学
哥德尔不完备定理物理学在1931年，奥地利数学家哥德尔（Kurt Gödel）提出了著名的哥德尔不完备定理。
该定理指出，在任何一种足够强大的数学系统中，总存在一些命题，无法在该系统内被证明或证伪。
这一发现不仅对数学哲学产生了深远影响，也在之后的数学、逻辑学和计算机科学等领域产生了重要的影响。
尽管此定理是关于数学的，但它也能够引发物理学的思考。
物理学作为一门自然科学，借助数学来描述和解释物质、能量以及宇宙的基本规律，因此与数学存在着紧密的关联。
在物理学中，我们常常利用数学模型来预测和解释物理现象，从而推动知识的进一步发展。
然而，哥德尔不完备定理的存在给物理学带来了启示。
它表明，无论我们的数学模型多么严密、多么强大，总会存在一些命题无法在该模型内得到证明。
这一结论引发了对物理学中的数学基础的质疑：我们使用的数学模型是否真正能够完整地描述自然界？某种意义上，哥德尔不完备定理暗示了物理学的局限性。
物理学试图通过建立数学模型来捕捉自然界的本质，但由于无法证明所有的命题，我们无法保证所建立的模型穷尽了自然界的所有特性和规律。
这意味着，我们无法完全抵御科学发展中的挑战和局限性，并需要时刻开放心态迎接新的发现和理论突破。
然而，即使存在局限性，我们仍然可以借助于物理学的数学模型取得众多的成就。
物理学的数学模型在解释和预测实验结果方面表现出了极高的准确性和可靠性。
例如，牛顿的万有引力定律和爱因斯坦的相对论理论等，都通过数学模型为我们提供了对宇宙和物理现象的深入理解。
在物理学中，数学模型的应用还帮助我们从宏观层面到微观层面对物理世界进行描述。
例如，量子力学通过复杂的数学框架提供了对微观粒子行为的解释，而这种行为在日常经验中是无法理解的。
因此，数学在物理学中扮演着至关重要的角色。
尽管哥德尔不完备定理的存在引发了对物理学中数学基础的思考和质疑，但物理学家们并没有因此放弃使用数学模型。
相反，他们继续致力于发展更为精确、更为强大的数学工具，以更好地理解宇宙和探索未知的领域。
哥德尔不完备定理
哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理有两条：一、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题二、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性我们只论述第一条定理。
证明思路：①要证明蕴含皮亚诺算术公理的形式系统不完备，只需要证明皮亚诺算术公理不完备。
②要证明皮亚诺算术公理不完备，我们可以选择皮亚诺算数公理的一个模型（也就是实际意义），最简单的，选择自然数ℕ作为一个模型。
那么之后，这个公理系统都是描述自然数的了，公式的变元是自然数，项是自然数等等。
③将皮亚诺公理系统的所有有效的句子（逻辑学称为公式），映射到自然数的一个子集。
④根据皮亚诺算术公理的性质，构造一个命题，使得它可证或不可证都会产生矛盾。
皮亚诺算术公理如下1.∀x(Sx≠0)0不是任何数的后继数2.∀x∀y(Sx=Sy→x=y)x与y的后继数相等，则x与y相等3.(φ(0)∧∀x(φ(x)→φ(Sx)))→∀xφ(x)，φ(x)为算术公理的任一公式这个就是数学归纳法4.∀x(x+0=x∧x⋅1=x)存在零元和幺元5.∀x∀y(S(x+y)=x+Sy)加法的定义6.∀x∀y(x⋅Sy=(x⋅y)+x)乘法的定义递归函数我们可以根据这个公理系统定义“递归函数”，也就是编程一般都会用到的那种函数，其函数值f(a n)依赖于f(f(a n−1))(其中a n=f(a n−1))……在这里我们一般指的是定义域和值域都是自然数的子集的递归函数。
我们可以给出定义：定义1：原始递归函数为：①零函数:0(x)=0②后继函数：S(x)=Sx③射影函数：I mn(x1,x2…,x n,…,x m)=x n原始递归函数为递归函数定义2：递归函数的复合仍然是递归函数。
也就是f(x),g(x)为递归函数，则f(g(x))也是递归函数。
⌋,n!等都是递归函数。
例子：⌊√n⌋,⌊xy事实上，只要是定义域和值域都是自然数的子集的函数，都是递归函数。
爱因斯坦的相对论哥德尔不完备定律
爱因斯坦的相对论哥德尔不完备定律爱因斯坦的相对论哥德尔不完备定律是20世纪最为重要的科学成就之一，它解释了量子力学中的不完备性，更是数学分析理论中最重要的定理之一。
简要而言，哥德尔不完备定律提出了数学分析理论中存在某些非常规问题无法被解决的事实。
具体而言，该定理指出：在某些特殊情况下，特别是在无穷多里，没有任何一种基于逻辑的解决方法可以解决所有问题。
一、哥德尔不完备定律的内涵1、定义：哥德尔不完备定律是由犹太数学家哥德尔在1931年提出的，它指出特定一类的数学问题无法使用其他现有的定理去推导出来，这类问题无法通过正确的推导得到解决。
2、推论：哥德尔不完备定理是数学分析理论中的重要定理，它宣称有些无法通过当前的理论来解释或推导的问题在数学上是没有解决办法的，也就是说有些问题无论如何也无法解决。
3、实际应用：哥德尔不完备定理使得数学分析研究的研究范围变得更广，对深入理解重要的数学问题起到很大的推动作用。
此外，它还涉及到计算机科学、物理学、化学等其它领域，为科学家们解决问题提供了新的视角。
二、哥德尔不完备定理的历史1、发现：哥德尔不完备定理是1930年由哥德尔提出的，当时受到来自于爱因斯坦关于相对论及数学分析的影响，原本是为了解决证明关于自然数的问题所提出的。
后来，该定理也流传到其他领域，被证实可以应用于数学以及其它的一些领域。
2、发展：1937年，斯莱舍提出了哥德尔可判定性定理，证明了无论多么复杂的逻辑结构都可以使用哥德尔不完备定理来解决，这个定理又经过了进一步的发展，也很受到科学家们的推崇。
3、影响：哥德尔不完备定理对科学家们的解决问题具有极大的影响力，除了使数学分析理论的研究得到发展外，哥德尔定理也为深入理解重要数学问题提供了新的视角，使数学研究开拓了新的发展方向。
哥德尔不完备性定理
1.哥德尔不完备性定理
第一不完备性定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
第二不完备性定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
2.我们可以这样理解，我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误
3.首先，判定一个程序是否会停机，是指：对于其的任意一个输入，可判定其是否停机。
那么假定这样的图灵机存在，设为H。
其工作过程不妨设为：若对于任意一个程序M可停机则输出1，反之输出0（由于其是可判定的）。
那么可以构造另一程序D，其工作过程为：以H输出为输入，若输入为1则不停机，反之停机。
由于H可判定所有程序，那么其也可判定D，若其判定D输入1时不停机，则其输出0，而由于D的定义知它是可停机的，反之亦然。
故停机问题无算法解。
4.图灵机是理论模型，是对人计算过程的模拟；而冯诺依曼计算机则是图灵
机的工程化实现，程序就是图灵机中的纸带。
目前的可编程计算机都是图灵-冯诺依曼
计算机。
哥德尔不完备定理通俗解释
哥德尔不完备定理通俗解释【原创实用版】目录1.哥德尔不完备定理的背景和意义2.形式语言和自指构造3.悖论与数学家的谨慎态度4.哥德尔不完备定理的通俗解释5.结论正文哥德尔不完备定理通俗解释1.哥德尔不完备定理的背景和意义哥德尔不完备定理是数学史上具有里程碑意义的成果之一，它由奥地利数学家库尔特·哥德尔于 1931 年提出。
这一定理揭示了形式系统中的一种局限性，即在一个足够复杂的形式系统中，总会存在一些无法用该系统内的规则判断真假的命题。
这一发现不仅对数学基础理论产生了深远影响，还对计算机科学、哲学等领域产生了广泛的应用。
2.形式语言和自指构造要理解哥德尔不完备定理，首先要了解形式语言的概念。
在数学中，形式语言是用来描述数学对象及其性质的一种表达方式，它包括变元、量词、逻辑符号等元素。
通过形式语言，我们可以构建各种数学命题，从而研究它们的性质。
哥德尔不完备定理涉及到一个重要的概念——自指构造。
自指构造是指在形式系统中，一个表达式或命题能够引用自身或其他表达式或命题。
这种构造在数学中具有广泛的应用，如康托尔的对角线论证、图灵的停机问题等。
然而，哥德尔发现自指构造与形式系统的完备性之间存在一种矛盾。
3.悖论与数学家的谨慎态度哥德尔不完备定理揭示了一种名为“说谎者悖论”的现象。
该悖论表现为：一个人声称自己在说谎，那么这个说法是真是假？如果这个说法是真的，那么这个人在说谎，所以这个说法是假的；但如果这个说法是假的，那么这个人实际上是在说实话，所以这个说法又是真的。
这种悖论使得数学家在处理自指构造时变得非常谨慎。
4.哥德尔不完备定理的通俗解释通俗地解释哥德尔不完备定理，可以说在一个形式系统中，总有一些命题无法在该系统内被证明。
这些命题既不是真的，也不是假的，它们处于一种不确定的状态。
这是因为在形式系统中，我们无法判断一个自指命题的真假，从而无法确保系统的完备性。
为了解决这个问题，我们必须在系统中引入新的概念和规则，从而放弃系统的自洽性。
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哥德尔不完备性定理2010-10-28 23:09:32来自: 苏仁(履霜冰至。
一心难二用。
)一、哥德尔不完备性定理的基本内容一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。
哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。
不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。
罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。
具体说就是——定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。
作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。
映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。
哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。
这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。
其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。
映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。
哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。
类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。
对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。
我们不妨就用自然数来作为基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。
据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或他们的序列的基本概念（命题），从而就可以（至少是部分地）在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明…公式‟、…证明‟、…可证公式‟等都可在对象系统中加以定义。
”哥德尔按照上述的证明思想，为不完备性定理的证明在对象系统内构造了这样一个命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的”（作为元数学的命题——我们记为G‟，这里G‟为G的映射。
）。
哥德尔指出：一旦构成这样的命题，定理的证明就完成了，因为G正是需要的不可判定的命题。
对此，这里仅作简单描述：前提：（α）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。
（β）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和G‟是同真假的）。
结论1：G是不能证明的。
证明：用反证法设G是可以证明的（α）→G为真，（β）→G‟为真；由G‟的意义→G是不能证明的。
矛盾，证毕。
结论2：￣| G也是不能证明的。
证明：由结论1可知，G是不能证明的，由G‟的意义→G‟为真；（β）→G为真，Df→￣|G为假，（α）→￣| G是不能证明的，证毕。
由结论1和结论2可知G是不可判定的，也就是说系统是不完备的。
上述的证明，可以定性地概括如下：（1）一个包括初等数论的形式系统P，如果这个系统是一致的，那么它就是不完备的。
这条称为第一不完备性定理。
（2）如果一个包括初等数论的形式系统P是一致的，那么它的一致性在本系统中是不能得到证明的。
这条称为第二不完备性定理。
哥德尔不仅详细检验了他的论证，而且进一步断定：如果要证明一个系统S的一致性，那么在元理论中所使用的推理工具绝不能弱于系统S中所使用的推理工具。
因此，可以看出，希尔伯特的方案，即用有穷观点证明自然数论甚至整个数学的一致性是绝对行不通的。
这一点也说明了形式系统有局限性。
哥德尔定理的证明思想来源于对悖论的分析，可见深入研究悖论问题对数学和逻辑学都有着极为重要的意义。
而哥德尔定理的另一个重大意义在于：系统一致性和完备性的不相容性，仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢（自然科学系统，社会科学系统，等等）？所以，哥德尔定理已经超越了数学和逻辑学，提出了无法回避的哲学问题；在20世纪对数学的基础研究中，对数学哲学基础的研究成了十分重要的一个方面，和哥德尔定理的发现是有着直接关系的。
二、悖论与数学史上的三次数学危机在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。
这三次危机，使数学与逻辑学、哲学的联系不断加深，也使人类对各种事物的认识不断得到深化。
因此，深入了解数学史上的三次危机有助于了解数学发展的全貌。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了数学的第一次危机。
对于这个问题，可以进行如下的证明：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α︰β，并设这个比已经表达成最小整数之比：α︰β= 1︰√2；α√2 =β （1）将上式（1）两端平方后得：β平方= 2α平方。
由于β平方是偶数，β必然也为偶数；因为任一奇数的平方必是奇数，而α︰β是既约的，所以α必然是奇数。
β既是偶数，可以设为β=2γ；于是β 平方= 4γ平方= 2α平方。
因此，α平方= 2γ平方，这样α平方是个偶数，所以α也是偶数了，但α同时又是奇数，这就产生了矛盾。
在毕达哥拉斯学派深信数是万物的本原，因此数是绝对和谐的不可能有任何矛盾的，宇宙的一切现象都能归结为整数或整数比，所以希帕索斯的发现就成了荒谬的、“反常”的事情，这个发现也因此构成了数学史上的第一次危机。
这次危机，迫使数学家去认识和理解自然数及其比（有理数）不能包括一切几何量，毕达哥拉斯学派也被迫承认这一悖论并提出单子概念去解决这一悖论。
单子概念是一种如此之小的度量单位，以至于本身是不可度量的却要保持为一种单位，这应该看成是企图通过无限来解决有限问题的最早努力。
但是，毕达哥拉斯学派的努力却又遭到了古希腊诡辩学派的著名代表芝诺的质疑，他认为：一个单子或者是0或者不是0，如果是0，就是无穷多个单子相加也产生不了长度；如果不是0，那么无穷多个单子组成的有限长线段就应该是无限长的，无论如何都会产生矛盾。
所以，连同著名的芝诺悖论在内，都被列为第一次数学危机的组成部分。
需要说明的是，毕达哥拉斯学派的单子论，对哲学的影响远远超过了对数学的影响，黑格尔受单子论的启发把物质的运动解释为“在与不在的矛盾统一……运动本身就是矛盾”，而莱布尼茨在深入研究单子论的基础上创立了微积分并最早提出了建立数理逻辑的设想——他因此被看成是数理逻辑的创始人。
可以说：与莱布尼茨相比，黑格尔把单子论引向了“神秘主义”和“诡辩论”，辩证法因此被称为“通向诡辩的桥梁”是有其道理的。
希帕索斯悖论和芝诺悖论的出现，促使数学家从依靠直觉、经验转向了依靠证明，从而导致了公理几何学与逻辑学的诞生。
同时，哲学家也开始深入研究数学，从数学中吸取建立哲学方法论的材料。
如果说第一次数学危机使数学从“有限”进入了“无限”，那么第二次数学危机则是“有限”与“无限”矛盾的集中反映。
一般来说，人们把18世纪微积分的诞生以来在数学界出现的混乱局面称为第二次数学危机。
虽然在整个18世纪微积分在各个领域都得到了广泛应用，但微积分的理论基础却是含糊不清的“无穷小量”概念，因此遭到了来自各方面的责难与攻击。
大家都知道，英国的贝克莱主教对微积分的攻击是最为激烈的，他的名字几乎成了“反微积分”的代名词。
贝克莱对微积分的批判，主要是依据牛顿所创立的微积分，而不是莱布尼茨的微积分：牛顿是按照“流数法”来建立微积分的，而莱布尼茨是把单子论的哲学思想用于数学实践之中，因此两者还是有所区别的。
贝克莱批判了牛顿的许多论点，例如，在《求曲边形的面积》一文中，牛顿辩解说自己避免了“无穷小量”，他给x以增量0，展开（x + 0）n次方，减去x的n次方；再除以0，求出x的n次方的增量与x的增量比，然后扔掉0的项，从而得到x的n次方的“流数”。
贝克莱说牛顿首先给x一个增量，然后让它是0，这违背了背反律，至于导数被当作y与x消失了的增量之比，即dx与dy之比；贝克莱认为dx与dy既不是有限量也不是无限量，但又不是“无”，dx与dy只能是“消失了量的鬼魂”。
微积分中的“鬼魂论”就是著名的“贝克莱悖论”。
针对贝克莱悖论，柯西建立了严格的极限论，戴德金则在实数论的基础上证明了极限论的基本定理；此外，康托尔和魏尔斯特拉斯也加盟了进来，为微积分寻找牢固的基础。
普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述的两次数学危机已经解决了。
但事实上，建立严格的数学分析理论是以实数理论为基础的，而建立严格的实数理论又必须以集合论为基础；在集合论的发展过程中，却又出现了一系列悖论，由此构成了更大的危机。
人们把集合论悖论的出现称之为第三次数学危机，应该说是很恰当的。
从本质上看，第三次数学危机是前两次数学危机的发展和深化，因为集合论悖论所涉及的问题更加深刻，涉及的范围也更广阔。
在集合论悖论中，最著名的就是罗素悖论。
为了避免过分的专业化，只能将罗素悖论简单地加以描述：集合可以分为两种：一种是本身分子集，例如，一切概念所组成的集，由于它本身也是一个概念，所以必为该集自身的一个元素。
又如一切集合所组成的集合也是一个本身分子集。
另一种非本身分子集，例如，自然数集合N决不是某个自然数n。
这样，任给一集M，它不是本身分子集就是非本身分子集，不应有其他例外；现在考虑一切非本身分子集的集∑，试问∑是哪一种集合？若设∑为本身分子集，则∑为自身的一个元素，而∑的每一个元素皆为非本身分子集，所以∑也应该是一个非本身分子集；再设∑为非本身分子集，而一切非本身分子集皆在∑之中，所以∑也应该在其中，因此∑又是一个非本身分子集；不管哪种说法都会导致矛盾。
这就是罗素悖论。
罗素悖论也称为“说谎者悖论”，就如同下面的悖论：古希腊时代一个克里特岛上的人说：“克里特岛上的人都是说谎者。
”如果这句话为真，那他自己（是克里特岛人）就是在说谎，所以他的话就是假的；如果这句话为假，那就是克里特岛人不说谎，那他的话就是真的了。
因此，无论怎么解释，都会导致矛盾。
不难看出，数学史上的三次危机，都是与悖论联系在一起的。