哥德尔不完备定理
哥德儿不完备性定理
哥德儿不完备性定理
哥德尔不完备定理是数学中的一个重要定理，它是由德国数学家古斯塔夫·哥德尔于1931年发现的。
这个定理表明，在
数学系统中，没有一个充分的自洽证明系统，也就是说，无论怎样，证明系统中总会有一些无法证明的命题。
哥德尔不完备定理的原理是：如果一个逻辑系统中有一个可以用它自身证明的完备性定理，那么在这个系统中将存在一个矛盾的命题，即它既可以证明也可以反证明。
因此，如果一个逻辑系统存在一个完备性定理，那么它就不能完备，即它存在一个无法证明的命题。
哥德尔不完备定理的发现是人类科学史上一个重大突破，我们对数学的认识，使我们意识到，数学并不是一种完美的系统，它中存在着一些无法证明的命题。
此外，哥德尔不完备定理也对现代计算机科学及其应用产生了深远的影响，它为计算机程序的编写提供了理论指导。
哥德尔不完备定理的发现使数学定理的范围变得更加广泛，它的提出也促使人们开始从不同角度思考数学问题，而不单纯满足于精确的数学解决方案。
因此，哥德尔不完备定理是现代数学的重要基石，它的发现为人类科学发展做出了重要贡献。
哥德尔不完全性定理
由来
20世纪，一小部分聪明人才隐约觉察到，在悖论中有着一些深刻的数学理论。
事情要从崇尚理性的文艺复兴时期谈起，当时的学者如笛卡儿、莱布尼茨等都想创造一个理论解决一切问题。 莱布尼茨甚至设想把逻辑学用数学符号表示，以后每逢争论，拿支笔一算就见分晓了。事实证明，莱布尼茨的对 符号逻辑的建立起了很大作用。
哥德尔不完全性定理
数理逻辑术语
01 简介
03 引入
目录
02 内容 04 由来
05 误解
地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了 划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定 问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等 数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。
误解
由于哥德尔的第一条定理有不少误解。我们举出一些例子：
该定理并不意味着任何有意义的公理系统都是不完备的。该定理需假设公理系统可以“定义”自然数。不过 并非所有系统都能定义自然数，就算这些系统拥有包括自然数作为子集的模型。例如，欧几里得几何可以被一阶 公理化为一个完备的系统（事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直 观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们），塔尔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是 完备的一阶公理化系统。这理论用在人工智能上，则指出有些道理可能是我们能够判别，但机器单纯用一阶公理 化系统断却无法得知的道理。不过机器可以用非一阶公理化系统，例如实验、经验。
哥德尔不完备性定理
1.哥德尔不完备性定理
第一不完备性定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
第二不完备性定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
2.我们可以这样理解，我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误
3.首先，判定一个程序是否会停机，是指：对于其的任意一个输入，可判定其是否停机。
那么假定这样的图灵机存在，设为H。
其工作过程不妨设为：若对于任意一个程序M可停机则输出1，反之输出0（由于其是可判定的）。
那么可以构造另一程序D，其工作过程为：以H输出为输入，若输入为1则不停机，反之停机。
由于H可判定所有程序，那么其也可判定D，若其判定D输入1时不停机，则其输出0，而由于D的定义知它是可停机的，反之亦然。
故停机问题无算法解。
4.图灵机是理论模型，是对人计算过程的模拟；而冯诺依曼计算机则是图灵
机的工程化实现，程序就是图灵机中的纸带。
目前的可编程计算机都是图灵-冯诺依曼
计算机。
哥德尔不完备性定理
哥德尔不完备性定理
“哥德尔不完备性定理”，一则传说中最重要的数学命题，深深影响着日常生活。
哥德尔于1931年提出了这一行之有效的重要的定理，认为在不可解的命题下，总是无法证明其真假，即没有任何逻辑证据来证明所陈述的定理。
因此，任何不可解的命题永远无法给出完全正确的答案，无论你如何猜，都有可能出错，无论考虑多少证据，结果也一定是不对的，或者没有正确的定义。
哥德尔不完备性定理有着深远的意义，它指出了人类智慧的普遍局限性，这是
也是人类未来研究方向的重要指引。
它为现代哲学研究奠定了基础，从而推动了很多学者和思想家来展开深入的研究，以期发展出跨越时空的全新认知。
在日常生活中，哥德尔不完备性定理也可以用于鼓励我们勇于面对挑战，作出
正确的选择。
无论是制定并实施政策，抑或是应对复杂的情况，哥德尔不完备性定理都可以作为人们的参考，提醒我们注重解决问题的思路，而不是情绪化地猜测结果，以此克服逆境。
哥德尔不完备性定理，一条鲜明的信息，让我们深深认识到，只有凭借智慧和
学习，才能改变未来，它可以让我们以积极的态度，去面对现实、勇敢面对挑战，做出积极的选择。
哥德尔的不完备定理
哥德尔的不完备定理
弗朗西斯·哥德尔，被誉为数学史上最伟大的独立思想家，他卓越的数理逻辑思想改变了数学观念，他提出的“哥德尔不完备定理”更是撼动了科学界和哲学界的根基，使它成为科学界最大的一个“终身任务”。
弗朗西斯·哥德尔的不完备定理是这样的：“在数学的一般化演绎体系中，会出现可以被本体系检验但无法被本体系证明的定理”。
即，在一个受正确表示能力限制的演化体系里，存在着这样的定理，它的用中的一些公理可以证明它93），但是缺少一些演讲，使它无法被证明。
哥德尔不完备定理说明了数学的无限性，让人们对完备性这一重要概念也有了更深一步的理解。
如果使用完备性，把奇异事物放到完整体系中，就可以发现新的东西，形成新的完整性。
哥德尔不完备定理也引发了两种不同思想：一种主张去拓展不完备定理，一种是坚持完备性以尊重完整性。
对于进一步研究，这两种思想都具有重要的意义。
哥德尔的不完备定理的发现，不但为人们提供了一种全新的数学思想，突出了数学体系的完整性，也给了科学当前一个重大的课题，这一不完备定理也在其他学科如计算机科学和哲学等领域中有广泛的应用。
非但如此，它也开拓了人们对认识世界的眼界，让我们有望通过“探索神秘的无限”，发现全新的奥秘。
正确理解哥德尔不完全性定理
哥德尔不完备定理通俗解释
哥德尔不完备定理通俗解释摘要：一、哥德尔不完备定理的基本概念二、哥德尔不完备定理的通俗解释1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得2.举例说明：系统的矛盾与悖论3.数学与逻辑系统的局限性正文：**哥德尔不完备定理的通俗解释****一、哥德尔不完备定理的基本概念**哥德尔不完备定理，是奥地利数学家哥德尔于1938年提出的一个震惊数学界和哲学界的定理。
这个定理的核心观点是：在任何强公理化的形式系统中，都存在一些既无法被证明为真，也无法被证明为假的陈述。
换句话说，就是存在一些语句，无论我们如何努力，都无法在系统内证明其正确性。
**二、哥德尔不完备定理的通俗解释****1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得**通俗地讲，哥德尔不完备定理告诉我们，一个系统要么选择自洽性，要么选择完备性，但不能同时拥有两者。
自洽性是指系统内的所有陈述都可以在系统内找到证明；完备性则是指系统内的所有真陈述都可以找到证明。
举例来说，如果我们允许在数学系统中讨论自身的性质，那么我们就会遇到一些无法证明的陈述，这就放弃了完备性。
反之，如果我们坚持完备性，那么就无法避免矛盾和悖论的出现，这就放弃了自洽性。
**2.举例说明：系统的矛盾与悖论**以经典的“说谎者悖论”为例，这是一个自指命题，即一个人说：“我在说谎。
”如果这个命题是真的，那么这个人在说谎，所以陈述不是真的；但如果这个命题是假的，那么这个人实际上是在说实话，所以陈述又是真的。
这样的悖论表明，在系统中存在一些既不能证明为真，也不能证明为假的陈述。
**3.数学与逻辑系统的局限性**哥德尔不完备定理揭示了数学和逻辑系统内部的局限性。
它告诉我们，无论我们如何努力，总会有一些陈述句无法在系统内被证明。
这个定理对于我们理解数学和逻辑的本质，以及认识人类认知的局限性具有重要意义。
在理解哥德尔不完备定理时，我们需要意识到，这种局限性并非系统的缺陷，而是系统的一种本质特征。
正如哥德尔本人所说：“我的定理并不是要证明数学是无效的，而是要证明数学是有限的。
哥德尔不完备性定理
哥德尔不完备性定理2010-10-28 23:09:32来自: 苏仁(履霜冰至。
一心难二用。
)一、哥德尔不完备性定理的基本内容一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。
哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。
不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。
罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。
具体说就是——定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。
作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。
映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。
哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。
这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。
其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。
映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。
哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。
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哥德尔不完备定理
哥德尔不完备定理有两条：
一、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题
二、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性
我们只论述第一条定理。
证明思路：
①要证明蕴含皮亚诺算术公理的形式系统不完备，只需要证明皮亚诺算术公理不
完备。
②要证明皮亚诺算术公理不完备，我们可以选择皮亚诺算数公理的一个模型（也
就是实际意义），最简单的，选择自然数ℕ作为一个模型。
那么之后，这个公理系统都是描述自然数的了，公式的变元是自然数，项是自然数等等。
③将皮亚诺公理系统的所有有效的句子（逻辑学称为公式），映射到自然数的一个
子集。
④根据皮亚诺算术公理的性质，构造一个命题，使得它可证或不可证都会产生矛
盾。
皮亚诺算术公理如下
1.∀x(Sx≠0)
0不是任何数的后继数
2.∀x∀y(Sx=Sy→x=y)
x与y的后继数相等，则x与y相等
3.(φ(0)∧∀x(φ(x)→φ(Sx)))→∀xφ(x)，φ(x)为算术公理的任一公式
这个就是数学归纳法
4.∀x(x+0=x∧x⋅1=x)
存在零元和幺元
5.∀x∀y(S(x+y)=x+Sy)
加法的定义
6.∀x∀y(x⋅Sy=(x⋅y)+x)
乘法的定义
递归函数
我们可以根据这个公理系统定义“递归函数”，也就是编程一般都会用到的那种函数，其函数值f(a n)依赖于f(f(a n−1))(其中a n=f(a n−1))……在这里我们一般指的是定义域和值域都是自然数的子集的递归函数。
我们可以给出定义：
定义1：原始递归函数为：
①零函数:0(x)=0
②后继函数：S(x)=Sx
③射影函数：I mn(x1,x2…,x n,…,x m)=x n
原始递归函数为递归函数
定义2：递归函数的复合仍然是递归函数。
也就是f(x),g(x)为递归函数，则f(g(x))也是递归函数。
⌋,n!等都是递归函数。
例子：⌊√n⌋,⌊x
y
事实上，只要是定义域和值域都是自然数的子集的函数，都是递归函数。
哥德尔数
哥德尔数这个是哥德尔证明哥德尔不完备定理的一个创造性的一个构造。
它使得公理中的每一个合法的句子都对应着一个自然数。
这个有什么用呢？是为了可以创造一个自我指涉(self-reference)的句子……嘛这样的句子很容易出现自我矛盾，比如说一个出名的就是“这句话是假话”，否定这句还是肯定这句话都会出现矛盾。
自我指涉这种方法也算是反证法的一个特例了。
言归正传，那么根据这个公理系统，我们可以证明自然数的算术基本定理：每个非零非一的自然数都能唯一地分解为有限个素数的积。
构造哥德尔数分两部分：
①先把公理系统的字符表与自然数的子集一一对应，记为f：
比如说：
比如f(∀)=11
② 再建立起句子与数的对应关系 记一个句子A 的哥德尔数为[A ]
句子A ，从左到右的字符为：字符1，字符2，字符3，……字符n 那么[A ]=质数1
f (字符1)
⋅质数2
f (字符2)
…质数n
f (字符n )
质数我们可以取所有质数的集合，质数1就是2，质数2就是3等等。
举个例子：
句子A 为∀xP (x )，那么
[A ]=2f (∀)⋅3f (x )⋅5f (P )⋅7f (()⋅11f (x )⋅13f ())=211⋅315⋅514⋅73⋅1115⋅134 这是个大的恐怖的数字，但是，在基本算数定理下，只要一个数对应的是一个合法的句子，那么总是可以还原成为那个所对应的句子的。
需要注意的是，因为同一个句子可能有不同种形式，所以不同的哥德尔数可以对应着同一个句子。
不过一些自然数却不能对应一个合法的句子，只有按照上面方式得到的自然数才能对应一个合法的句子。
还有就是一个确定形式的句子，只能对应一个哥德尔数。
（ps ，这里说的句子就是按照一定形成规则的排列的“字符串”，而命题就是不含自由变元的句子。
比如说P(x)是个句子，但是不是一个命题，因为有一个自由变元x ；把x 确定下来，确定为一个常值a ，或者限制x 的范围，P (a ),∀xP (x )都才是一个命题。
变元和常值都称为项）
（再ps ，重申一遍，我们现在一直在讨论都只是皮亚诺算数公理，而且选定是自然数作为一个模型。
那么公理系统里的所有变元还有常值的实际意义都是自然数，谓词都是判段自然数的性质的，句子中的变元也都是自然数。
）
证明过程（简要）
在证明之前，我们先来定义两个递归函数：
①证明函数：x=Pr(z)
表示的是，z所对应的命题，是x所对应的命题的充分条件。
②代入函数：对于一个含自由变元的句子A(x)，还有一个项t
[A(t)]=Sub([A(x)],[t])
表示的是，将项t代入到A(x)中，得到一个新句子的哥德尔数。
引理（对角线定理）：对于任一只含一个自由变元的句子ψ(x)，存在一个命题φ，使得φ⟺ψ([φ])。
证明：令β(x)=ψ(Sub(x,[x]))，φ=β(m)，m=[β(x)]
则
φ⟺β(m)⟺ψ(Sub(m,[m]))⟺ψ(Sub([β(x)],[m]))⟺ψ([β(m)])⟺ψ([φ])得证。
以上无论是引理本身还是证明本身，无不充满着自我指涉的思想，这个引理就是哥德尔不完备定理证明的精髓所在。
下面就是哥德尔耍鬼把戏的时候了。
定理：皮亚诺算术公理系统，存在一个真命题，在公理内无法证明其为真。
证明：根据引理有φ⟺ψ([φ])
令ψ(x)为¬∃z(x=Pr(z))(其意义就是x不能被证明)
那么就有φ⟺¬∃z([φ]=Pr(z))
假设φ为真，则φ不存在一个证明
假设¬φ为真，则存在一个证明使得φ为真命题，与¬φ为真矛盾。
综上，存在一个真命题φ，在公理内无法证明其为真。
这样就完成了对哥德尔不完备第一定理的证明。
那么对于哥德尔不完备第二定理如何证明？
对于一个公理系统T，记CON(T)为“T是相容的”，若T包含皮亚诺算术公理，则只需要证明CON(T)⟺φ就好了（φ就是上文的φ）
后记
其实并没有什么后记。
我想说的是，之前看的民科，导致我对哥德尔不完备定理的误解，其实到最近才纠正过来：我貌似把他理解为所有的公理系统都是不完备的。
其实这是不正确的。
原来哥德尔不完备定理有一个很重要的条件：这个公理系统要包含（或者说证明）皮亚诺算术公理啊！
其实完备的公理系统也是蛮多的，比如说谓词逻辑的推理的公理（这也是哥德尔率先证明其完备性的，叫做“哥德尔完备性定理”），完善后的欧氏几何（比如说希尔伯特公理系统），还有实数，复数理论（塔斯基证明的）等等都是完备的。
不过当然，不完备的公理也未必需要有皮亚诺算数公理，举个例子，就是去掉平行公理的欧氏几何……
参考书籍
《数理逻辑与集合论》清华大学。