牛顿迭代法概论
牛顿迭代法
xn1
xn
xne xn 1 e xn (1 xn )
xn
xn exn 1 xn
取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714
1.5 牛顿下山法
通常,牛顿迭代法的收敛性依赖于初始值 x0 的选取,
如果 x0 偏离所求的根 x* 比较远,则牛顿法可能发散。
由定理2.2知,牛顿迭代法在 x* 附近局部收敛。又由 定理2.3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。
利用泰勒公式
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x*
xk )
f ( ) (x*
2
xk )2 ,
xk
x*
f f
(xk ) (xk )来自f 2f( )
(xk )
(x*
xk
)2
x*, xk
为了防止迭代发散,我们对牛顿迭代法的迭代过程再附
加一项要求,即具有单调性
f (xk1) f (xk )
满足这项要求的算法称下山法。 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山
法保证函数值下降的前提下,用牛顿迭代法加快收敛 速度。把这一算法称为牛顿下山法。即
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
f (xk ) f (xk )
x*
f ( ) (x*
2 f (xk )
xk )2
所以
xk 1
x*
f ( )
2 f (xk )
(x*
xk
)2
lim x* xk1 f (x* ) k x* xk 2 2 f (x* )
证毕
1.3 牛顿迭代法的收敛性
§5.3 牛顿迭代法
(取初值 x 0.0 也可以，满足条件)
§5.3 牛顿迭代法
§5.3 牛顿迭代法
2x 例12：用牛顿迭代法求方程 e x 4 0 在区间 0.5, 1内根的近似值。
2x 解：设 f ( x) e x 4
f ( x) 2e2 x 1 0, f ( x) 4e2 x 0
说明 牛顿法计算时要用到函数的导数，很多情况下难以使用。
特点 迭代格式中没有用到函数的导数，计算方便，但收 敛速度较牛顿法要慢，开始时要用到两个不同的根 的近似值作初值。
f ( xn ) xn1 xn ( xn xn1 ) n 0, 1, 2, 3.... f ( xn ) f ( xn1 )
§5.3 牛顿迭代法 结 论
可以看出，用牛顿法求得的序列 xn 均是单调地趋于 x 故牛顿法是收敛的。 凡满足关系式
*
f ( x0 ) f ( x0 ) 0
x0 均可作为初始值。
例如图(1)，(4)取 x0 b，图(2)，(3)取 x0 a
§5.3 牛顿迭代法
定理
设函数 f ( x) 在 a, b 上存在二阶导数，且满足下列条件： (1)
§5.3 牛顿迭代法 例18：在相距100m的两个塔（高度相等的点）上悬挂 一根电缆(如下图所示)，允许电缆中间下垂10m。 试确定悬链线方程
x y ach a 中的参数 a
x [50, 50]
解：由于曲线最低点和最高点相差10m，有 y(50) y(0) 10 50 ach a 10 a 要确定参数 a，先构造函数
xn 1
f ( xn ) xn ( x n xn 1 ) n 0, 1, 2, 3.... f ( xn ) f ( x n 1 )
1 牛顿迭代法的简介
1 牛顿迭代法的简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
1.2 牛顿迭代法的优点迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
分析论述牛顿迭代法
分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
23牛顿法
, k 0,1,2,
|xk-xk-1| 0.07102044 0.00386487 0.00001228 0.00000000
计算方法
例2 用 Newton 迭代法求
c ( c 0)
解：设 x c , 则 x 2 c 0, 取
f ( x) x2 c
2
则由Newton迭代公式
xn c 1 c x n 1 x n ( xn ) 2 xn 2 xn
开 始
计算方法
牛 顿 迭 代 法 的 算 法 实 现
根唯一
f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶 的。
计算方法
证明：以 f ' ( x ) 0, f "( x) 0, f ( x ) 0 为例证明
0
将f(x*)在 xk 处作Taylor展开
f ( ) 0 f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 2
f ( xk ) f ( ) x xk ( x xk ) 2 f ( xk ) 2 f ( xk ) f ( ) 2 xk 1 ( x xk ) 2 f ( xk )
计算方法
说明数列{xk}有下界 x
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
计算方法
牛顿迭代法（单击播放）
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
牛顿迭代法
4.优缺点 • 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
5.牛顿迭代法的改进——弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
( x) x
1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 1 | ( x*) | 1 2 n f ( x*)
f ( x) f ( x )
，则
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
f ( xk ) f ( xk ) xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) f ( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1 xk n k 0,1, 2,
* 则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
割线 切线 收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
切线斜率
割Hale Waihona Puke 斜率f ( xk )( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
xk 1 xk
需要2个初值 x0 和 x1。
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• 原理：取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
在 x0 和 x 之间，取 x x* ，可将 (x* x0)2 看成高阶
小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
而且
lim
k
xk
x，则
x*就是
f
的根。
3.几何解释
• 方程 f (x) 0的根 x*在几何上是曲线 y f (x) x轴的 交点的横坐标。若 xk是根 x*的一个近似，过曲线上横
坐标为 xk的点 Pk 作曲线 y f (x) 的切线，则该切线
与 x 轴交点的横坐标即为 xk 1。
证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
需要2个初值 x0 和 x1。
x* x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x1
y
x1是如下线性方程的根！
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x1 x0
xk 1 xk
f ( xk ) f ( xk )
x
k 0,1, 2,
只要 f C1，每一步迭代都有 f ( xk ) 0
k
)
(
x
*
xk
)2
x*
xk
f ( xk ) f ( xk )
f (k )
2! f ( xk )
(
x
*
xk
)2
k 在 x* 和 xk 之间
x k 1
在单根附近收敛快！
xk1 x * ( x * xk )2
f (k )
2 f ( xk )
只要 f ( x ) 0，则令 k 可得结论。
3.牛顿迭代法的改进
(x) x (x) x
f (x) f (x)
( x)
[ f (x)]2 f (x) f (x)
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
xk
[
f
f (xk ) f (xk ) (xk )]2 f (xk ) f
( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1
xk
n
f ( xk ) f ( xk )
➢ 重根
Q1: 若 f ( x*) ，0 牛顿迭代法是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x )n q( x) 且 q( x ) 0 。
因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代，
其中 ( x) x ，ff (则(xx))
| ( x*) |
1
f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) f ( x*)2
1 1 n
1
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。
Q2: 如何加速重根的收敛？
A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
令
(x)
f f
((xx))，则
f 的重根是
的单根，且
(x)
(x x*)g(x) mg(x) (x x* )g(x)
对 (x) 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为
5.牛顿迭代法的改进——弦割法 基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f， 为了避免计算导 数值，现用 f 的差商近似代替微商 ，从f 而得到弦割法。
割线
收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。
切线
x2 x1 x0
切线斜率 割线斜率
xk 1
xk
f ( xk )( xk xk1 ) f ( xk ) f ( xk1 )
k 0,1, 2,
则 (x* ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
4.优缺点
• 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
牛顿迭代法
1.背景
• 一维搜索：本身可以用来解决科学和实践中的许多一 维最优化问题,但它更多的是作为一种加速算法收敛的 手段,用来与多维优化方法相结合以求解众多的多维优 化问题。
• 精确一维搜索 • 不精确一维搜索
2.基本思想与原理
• 基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逼 近非线性方程的解。
其中 ( x) x ，ff则((xx))
( x) 1
f 2 ( x) f ( x) f ( x) f 2( x)
✓ ( x*)
f ( x*) f ( x*) f 2 ( x*) 0 1
收敛
由泰勒展开：
0
f ( x*)
f ( xk )
f ( xk )(x * xk )
f
(
2!