2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷和答案(理科)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。
辽宁省2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
辽宁省2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 若z=4+3i，则 =（）A . 1B . ﹣1C . + iD . ﹣ i2. （2分）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={2,4,5}，B={1,3,4,6}，则为（）A . {0,1,3,6}B . {0,2,4,6}C . {0,1,6}D . {1,3,6}3. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．则下列判断正确的是（）A . p为真B . ￢q为假C . p∧q为假D . p∨q为真4. （2分）执行右边的程序框图，输出的结果为（）A . 15B . 16C . 64D . 655. （2分）已知x>0，由不等式……可以推出结论,则a= （）A .B .C . a=1D .6. （2分） (2019高二上·江门月考) 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·四川模拟) 在中，，，，点D为BC边上一点，且，则（）A .B .C . 1D . 28. （2分）(2019·天河模拟) 在区间上随机取两个数，记为事件“ ”的概率，为事件“ ”的概率，为事件“ ”的概率，则（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·天津模拟) “ ”是“直线：与直线：平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）(2020·潍坊模拟) 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共6分)11. （2分）(2020·温岭模拟) 展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数和为________.12. （1分） (2019高二上·双鸭山期末) 设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．13. （1分）命题“∀x∈R，sinx≠x﹣1”的否定是________．14. （1分） (2019高二下·金华期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．15. （1分）若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=________．三、解答题： (共6题；共60分)16. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+ c=a．（1）求△ABC的内角B的大小；（2）若△ABC的面积S= b2 ，试判断△ABC的形状．17. （15分）(2020·合肥模拟) 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 .附：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证： .18. （10分） (2020高一下·大庆期中) 若数列是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求数列 , 的通项公式；（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.19. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8．（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．20. （5分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=ex﹣a+lnx．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0 ，求实数a的取值范围．21. （10分） (2017高二下·河北开学考) 已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
2020年辽宁省大连八中高考数学一模试卷2 (含答案解析)
2020年辽宁省大连八中高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x≥0}，A={x|x≥1}，则∁U A=()A. φB. {x|x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|x≥0}=1−2i,求 | z|=()2.已知ziA. √3B. √5C. 3D. 5≥1成立的充要条件是()3.不等式|a+b||a|−|b|A. |a|>|b|B. |a|≥|b|C. |a|<|b|D. |a|≤|b|4.实数a=30.4，b=log432，c=log550的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. b>a>c5.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n等于A. 20B. 21C. 22D. 236.西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有()A. 36种B. 68种C. 104种D. 110种7.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310 D. 3208. 点P(a,a +1)在不等式x +ay −3>0所表示的平面区域内，则a 的取值范围为( ) A. (−3,1) B. (−∞,−3)∪(1,+∞) C. (−1,3)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 是AA 1的中点，点Q 是△BDC 1内的动点，若，则点Q 到平面A 1B 1C 1D 1的距离的范围是( )A. [1,2]B. [2,3]C. [3,4]D. [1,3]10. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π 11. 在△ABC 中，AB ⊥AC ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 1B. √2C. 2D. 2√212. 设0<m ≤2，已知函数f(x)=x3−12x+5016m，对于任意x 1，x 2∈[m −2,m]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤1，则实数m 的取值范围为( )A. [53,2]B. [43,2]C. [13,1]D. [23,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }中，a 1=1，且2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则a 3=________． 14. 已知n =∫1x dx e 61，那么(x−3x )n展开式中含x 2项的系数为________．15. 已知抛物线C ：x 2=8y ，直线l ：y =x +2与C 交于M ，N 两点，则MN =__________． 16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意x ∈R ，都有f′(x )<12，则不等式f(x 2)>x 2+12的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=2cos x 2(√3cos x 2−sin x2)．(1)设，且f(θ)=√3+1，求θ的值；(2)若，求函数f(x)值域；(3)在△ABC 中，AB =1，f(C)=√3+1，且△ABC 的面积为√32，求sinA +sinB 的值．18.某教育主管部门到一所中学检查高一年级3000名学生的体质情况，从中分别抽取了100名男生和100名女生的体育成绩(满分100分)，由男生的体育成绩得到了如图所示的频率分布直方图，由女生的体育成绩知其服从正态分布N(72,102).(1)根据学生体质标准，成绩大于92的为特别优秀，则样本中男生、女生特别优秀的大约各多少人？(2)试问本次体育成绩男生和女生的平均成绩哪个较高，并说明理由；(男生中每组数据以区间的中点值为代表)(3)将得到的频率视为概率，从该校所有男生中随机抽取3人，体育成绩位于[50,80]的人数为Y，求Y的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.96，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.99．19.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，△ABE为AB=1．等边三角形，且CE=√5,CD=BC=12(Ⅰ)求证：AB⊥DE；(Ⅱ)求CE与平面ABCD所成角的正弦值；+y2=1下顶点为E，过原点且异于y轴直线交⊙O:x2+ 20.如图，平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x24y2=1于两点，直线EA与椭圆的另一个交点为D，直线EB与椭圆的另一个交点为F.设直线EA的斜率为k．(1)当k=1时，①求点D的坐标；②设以DF为直径的圆为⊙C1，Q在P上移动，P在椭圆P上移动，求PQ的最大值；(2)设ΔEAB的面积为S1，ΔEDF面积为S2，求S1的最大值．S221.已知函数f(x)=e x+ax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ex−y−2=0．(1)求函数f(x)的解析式，并证明：f(x)≥x−1．(2)已知g(x)=kx−2，且函数f(x)与函数g(x)的图象交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且线段AB的中点为P(x0,y0)，证明：f(x0)<g(1)<y0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的普通方程；(2)若点B是射线l：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U={x|x≥0}，A={x|x≥1}；∴∁U A={x|0≤x<1}．故选：C．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查复数的四则运算法则及模，首先利用复数的运算法则化简复数，再求模即可，是基础题．【解答】=1−2i，所以z=i−2i2=2+i，解：因为zi所以|z|=√22+12=√5，故选B．3.答案：A解析：【分析】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，考查不等式的性质，属基础题．根据不等式的性质判断充分性和必要性即可．【解答】≥1，则|a|−|b|>0;解：因为|a+b|>0，|a+b||a|−|b|≥1；若|a|−|b|>0，由|a+b|≥|a|−|b|，则|a+b||a|−|b|≥1⇔|a|−|b|>0，故|a+b||a|−|b|故选A．4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了对数函数和指数函数及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题． 根据对数函数和指数函数的性质即可推出a ，b ，c 的范围，从而得到它们之间的关系． 【解答】解：∵b =log 432=52，bc =52log550=522+log 52=54+log 54， ∵log 54<log 55=1，∴4+log 54<5， ∴bc >1，即b >c ，∵a =30.4<30.5=√3，而c =log 550=2+log 52>2， ∴c >a ， 综上，b >c >a ． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】此题考查程序框图的循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行， 可得n =11，11=2(mod3)，满足循环条件，则n =12，12=0(mod3)，满足循环条件，则n =13，13=1(mod3)，13=3(mod5)，…可知，n 满足条件n =1(mod 3)且n =2(mod 5)， 则n =22，退出循环，输出n 的值为22． 故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题考查排列组合的应用，属于中档题．由题意，第一类，一组3人，一组4人，有(C73−1)⋅A22种分配方案;第二类，一组5人，一组2人，有(C72−C32)⋅A22种分配方案，根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：本题考查排列组合问题及计数原理.依题意，得有两类分配方案：第一类，一组3人，一组4人，有(C73−1)⋅A22=68种不同的分配方案;第二类，一组5人，一组2人，有(C72−C32)⋅A22=36种不同的分配方案，根据分类加法计数原理，共有68+36=104种不同的分配方案．故选C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．【解答】解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．8.答案：B解析：【分析】。
2020届辽宁省大连市普通高中高三下学期一模考试数学(理)试题及解析
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
先根据抛物线定义可得到 点的横坐标，再代入抛物线方程即可.
【详解】设 ，
因为点 到焦点 距离为5即 ,
根据抛物线定义： ，
解得： ，
代入抛物线方程 ，
得 即
故选：C
7.设非零向量 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出结论）；
（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 服从正态分布 ．其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于 的人数，求 的数学期望．
【详解】因为对任意的 恒有 成立，
所以有： ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以
故答案为：
16.如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上二面角 的平面角为 ，用图中字母表示角 为__________， 的最小值是__________．
【答案】 (1). (2).
2020年辽宁省大连市高考数学第一次模拟试卷(理科)(Word版 含解析)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cos x C．y＝﹣x2D．y＝x34．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．(4，√3) 7．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，π3B．1，−π6C．2，−π6D．2，π69．设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．已知a＞0，b＞0，1a +1b=1，则a+b的最小值为（）A．14B．12C．2D．411．已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．15B．16C．17D．314二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．已知x，y满足约束条件{x−y≤0，x≥0，y≤2则z＝x+y的最大值为．14．双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，二面角A 1﹣BD ﹣P 的平面角为α，用图中字母表示角α为 ，sin α的最小值是 ．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设函数f （x ）＝2sin x cos x ﹣2cos 2（x +π4）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （B 2）＝0，a ＝1，c ＝1，求b ．18．某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s 12，s 22，试比较s 12，s 22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=√142.75≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若∠CBB1=60°，cos∠ACC1=√24，在线段C1A1上是否存在点F（F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为√37．若存在，求出C1FC1A1的值；若不存在，说明理由．20．已知过点P(1，32)的曲线C的方程为√(x−1)2+y2+√(x+1)2+y2=2a．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD||AF|最大值．21．已知函数f（x）＝2sin x﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：1−π2π(x2−x1−2π)≥a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．1【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cos x C．y＝﹣x2D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cos x，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．48【分析】由等差数列的性质得S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)，由此能求出结果．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)=4×12＝48．故选：D．5．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是43【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．(4，√3)【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．设a→，b→是非零向量，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若“|a→+2b→|＝|a→−2b→|，则平方得|a→|2+4|b→|2+4a→•b→=|a→|2+4|b→|2﹣4a→•b→，即4a→•b→=−4a→•b→，得a→•b→=0，即a→⊥b→，则“a→⊥b→”是“|a→+2b→|＝|a→−2b→|的充要条件，故选：C．8．如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，π3B．1，−π6C．2，−π6D．2，π6【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．解：∵由函数图象可知T＝2×（2π3−π6）＝π，∴ω＝2，∵x=π6时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×π6+φ）＝2，可得：2×π6+φ＝2kπ+π2，即φ＝2kπ+π6，k∈Z，∵|φ|＜π2，∴φ=π6．故选：D．9．设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．40【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．已知a＞0，b＞0，1a +1b=1，则a+b的最小值为（）A．14B．12C．2D．4【分析】根据1a +1b=1，可以得到a+b＝（a+b）×（1a+1b），展开后再运用基本不等式可求得最小值．解：∵1a+1b=1，∴a+b＝（a+b）×（1a+1b）＝1+1+ba+a b≥2+2√1=4，当且仅当ba =ab时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．15B．16C．17D．314【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：∁31⋅∁51+∁32=18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：∁32=3种；故P（A|B）=318=16；故选：B ．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≤0，x ≥0，y ≤2则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z ＝x +y 的最优解，代入坐标求得z ＝x +y 的最小值．解：由x ，y 满足约束条件{x −y ≤0，x ≥0，y ≤2作出可行域如图，联立{y =2x =y，解得A （2，2）．由图可知，使目标函数z ＝x +y 取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标， ∴z ＝x +y 的最大值为：4． 故答案为：4．14．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝x ，则该双曲线的离心率e＝ √2 ．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab 关系式，然后求解离心率．解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝x ，可得a＝b，则c=√2a，∴e=√2．故答案为：√2．15．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是2．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（32）来表示即可求解．解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（32）＝4×（2−32）＝2．故答案为：2．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为∠A1OP，sinα的最小值是√63．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P 的位置，求解最小值即可．解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A 1OP ，设正方体的列出为2，则A 1O =√6，OC =√2，A 1C ＝2√3， 由题意可知P 在C 处时，cos ∠A 1OP =2×√2×√6=−√33，此时sin ∠A 1OP =√63，是最小值．故答案为：∠A 1OP ；√63．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设函数f （x ）＝2sin x cos x ﹣2cos 2（x +π4）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （B 2）＝0，a ＝1，c ＝1，求b ．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f （x ）＝2sin2x ﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f （B 2）＝2sin B ﹣1＝0，可得sin B =12，结合B 为锐角，可得B =π3，进而根据余弦定理即可求解b 的值．解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=2sinxcosx −2cos 2(x +π4)=sin2x ﹣[1+cos （2x +π2）]＝2sin2x﹣1，由2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π4≤x≤kπ+π4，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ−π4，kπ+π4]，k∈Z．（Ⅱ）由f（B2）＝2sin B﹣1＝0，可得sin B=12，由题意可得B为锐角，可得B=π3，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b=√a2+c2−2accosB=√1+1−2×1×1×12=1．18．某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2=√142.75≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）求解即可．（Ⅲ）x=26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）＝0.42．（Ⅲ）x=26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，A 在侧面BB 1C 1C 上的投影恰为B 1C 的中点O ，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：OE ∥平面ACC 1A 1；（Ⅱ）若∠CBB 1=60°，cos∠ACC 1=√24，在线段C 1A 1上是否存在点F （F 不与（C 1，A 1重合）使得直线EF 与平面ACC 1A 1成角的正弦值为√37．若存在，求出C 1FC 1A 1的值；若不存在，说明理由．【分析】（I ）连接BC 1，AC 1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC 1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II ）由AO ⊥侧面BB 1C 1C ，侧面BB 1C 1C 为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC ＝2，由∠CBB 1＝60°，cos ∠ACC 1＝cos ∠ACO •cos ∠OCC 1，可得cos ∠ACO =√22，AO＝1．设C 1F →=λC 1A 1→（0＜λ＜1），可得F （−√3，λ，λ），EF →=（−3√32，λ，λ−12）．设平面ACC 1A 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），可得n →•CA →=n →•CC 1→=0．利用√37=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|，解得λ．即可得出．【解答】（I ）证明：连接BC 1，AC 1，∵O 为B 1C 的中点，E 为AB 的中点，∴OE ∥AC 1， ∵OE ⊄平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1． ∴OE ⊄平面ACC 1A 1．（II ）解：∵AO ⊥侧面BB 1C 1C ，侧面BB 1C 1C 为菱形，∴AO ⊥OB ，AO ⊥OB 1，OB ⊥OB 1．∴以点O 为坐标原点，OB ，OB 1，OA 为x ，y ，z 轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．设BC ＝2，∵∠CBB 1＝60°，cos ∠ACC 1＝cos ∠ACO •cos ∠OCC 1∴cos ∠ACO =√22，∴AO ＝1．∴B （√3，0，0），C （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，0），A （0，0，1），A 1（−√3，1，1），∴E （√32，0，12），设C 1F →=λC 1A 1→（0＜λ＜1），∴F （−√3，λ，λ），∴EF →=（−3√32，λ，λ−12）．设平面ACC 1A 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），∵CA →=（0，1，1），CC 1→=（−√3，1，0）．∴n →•CA →=n →•CC 1→=0．∴y +z ＝0，−√3x +y ＝0．取n →=（1，√3，−√3）． ∴√37=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|=√3√7×√274+λ2+(λ−12)2，解得λ=12． ∴C 1F C 1A 1=12．20．已知过点P(1，32)的曲线C 的方程为√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2a ．（Ⅰ）求曲线C 的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求|BD||AF|最大值．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出|BD||AF|的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：x24+y23=1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立{x=my+1x24+y23=1，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，所以中点M （44+3m 2，−3m 4+3m 2），因为k OA =−3m 4=k OM ， 所以OA 平分线段BD ；（ii ）|AF |＝3√1+m 2，|BD |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(1+m 2)4+3m 2， 所以|BD||AF|=4√1+m 24+3m 2，令t =√1+m 2≥1， 所以|BD||AF|=4t3t 2+1=43t+1t ≤1，当且仅当t ＝1时取等号，所以|BD||AF|最大值为1．21．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x 2+2πx ﹣a ．（Ⅰ）当a ＝0时，求f （x ）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：1−π2π(x 2−x 1−2π)≥a ．【分析】（Ⅰ）将a ＝0带入，求导得f ′（x ）＝2cos x ﹣2x +2π，f ''（x ）＝﹣2sin x ﹣2＜0，进而可知存在x 0，使得f ′（x 0）＝0，且f （x ）在x ∈（﹣∞，x 0）上单调递增，在x ∈（x 0，+∞）上单调递减，进一步可得x ＝0，x ＝2π是f （x ）的两个零点，再求得f ′（0）＝2+2π，f ′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F （x ）＝（2+2π）x ﹣2sin x +x 2﹣2πx ，F ′（x ）＝2﹣2cos x +2x ，F ''（x ）＝2sin x +2≥0，可知（2+2π）x ≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2+2π）x 与y ＝a 的交点横坐标为x 3，可得x 3=a (2+2π)≤x 1；设G （x ）＝（2﹣2π）（x ﹣2π）﹣2sin x +x 2﹣2πx ，G ′（x ）＝2﹣4π﹣2cos x +2x ，G ''（x ）＝2sin x +2≥0，可知（2﹣2π）（x ﹣2π）≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）与y ＝a 的交点横坐标为x 4，可得x 4=a 2−2π+2π≥x 2，由此即可得证．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sin x﹣x2+2πx，定义域为一、选择题，则f′（x）＝2cos x﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sin x﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sin x+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cos x+2x，F''（x）＝2sin x+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sin x﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则(2+2π)x1≥2sinx1−x12+2πx1=a=(2+2π)x 3，∵y ＝（2+2π）x 为增函数，∴x 3=a (2+2π)≤x 1；同理设G （x ）＝（2﹣2π）（x ﹣2π）﹣2sin x +x 2﹣2πx ，则G ′（x ）＝2﹣4π﹣2cos x +2x ，G ''（x ）＝2sin x +2≥0，∴y ＝G ′（x ）在R 上为增函数，又G ′（2π）＝0，∴当x ∈（﹣∞，2π）时，G ′（x ）＜0，即G （x ）在（﹣∞，2π）上单调递减， 当x ∈（2π，+∞）时，G ′（x ）＞0，即G （x ）在（2π，+∞）上单调递增，∴G （x ）≥g （2π）＝0，即（2﹣2π）（x ﹣2π）≥2sin x ﹣x 2+2πx ，设y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）与y ＝a 的交点横坐标为x 4，则(2−2π)(x 2−2π)≥2sinx 2−x 22+2πx 2=a =(2−2π)(x 4−2π)，又y ＝（2﹣2π）（x ﹣2π）为减函数，则x 4=a 2−2π+2π≥x 2，故x 2−x 1≤x 4−x 3=4πa (2−2π)(2+2π)+2π=aπ1−π2+2π， ∴1−π2π(x 2−x 1−2π)≥a ，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （1，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣4．记M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0．（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求C 上的点到1距离的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）已知点A （﹣1，0），B （1，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣4．整理得y x+1⋅y x−1=−4，化简得：x 2+y 24=1（x ＝±1）． 直线1的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0．转换为直角坐标方程为2x +√3y +11=0．（Ⅱ）把方程x 2+y 24=1（x ＝±1）转换为{x =cosθy =2sinθ（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C （cos θ，2sin θ）到直线2x +√3y +11=0的距离d =√3sinθ+11|√7=|4cos(θ−π3)+11|√7，当θ=−2π3，所以d min =√7=√7． [选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立， ∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥||若m ≤0，则解集为∅，不合题意；若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020年辽宁省大连二十四中高考(理科)数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为（）A．1B．2C．3D．42．复数z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，则z＝（）A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i3．下列4个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0；（2）已知X～N（2，σ2），P（x＞2）＝0.5；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝2x﹣3；（4）“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件．A．1B．2C．3D．44．公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．45．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）＝3，则D（X）＝（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．8．数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{a n}的前100项的和S100＝（）A．132B．299C．68D．999．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．B．3C．D．10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．12．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有＝e2x，当x＜0时，f（x）+f'（x）＞0，若e a f（2a+1）≥f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]二、填空题（共4小题）13．已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，则a+b＝．14．设S n为数列{a n}的前n项和，若a n＞0，a1＝1，且2S n＝a n（a n+t），n∈N*，则S10＝．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于．16．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．AB＝2，AD＝PA＝1，PH＝．（Ⅰ）求证：平面APE⊥平面ABCD；（Ⅱ）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．19．某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭圆，点A（1，0），B（0，1），点P满足（其中O为坐标原点），点B，P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C 交于M，N两点，且与圆x2+y2＝1相切．△MNF的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），证明：+＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2a cosθ（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若点P的极坐标为（2，π），|PM|+|PN|＝5，求a的值．[选修4-5：不等式证明选讲]23．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）1．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据并集的定义，结合题意写出对应集合X，即可得出结论．解：集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，若M∪X＝N，则集合X＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共4个．故选：D．2．复数z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，则z＝（）A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i【分析】由实部为0且虚部不为0求得a值，则z可求．解：∵z＝（a2﹣1）+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，∴，解得a＝﹣1．∴z＝﹣2i．故选：B．3．下列4个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0；（2）已知X～N（2，σ2），P（x＞2）＝0.5；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝2x﹣3；（4）“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件．A．1B．2C．3D．4【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解：（1）对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0，正确；（2）已知X～N（2，σ2），P（x＞2）＝0.5，正确；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为＝2x﹣3，正确；（4）“x≥1”可得“x+≥2”“x+≥2”不能得出“x≥1”，比如x＝，则“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件，正确．故选：D．4．公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】设出数列的公差，利用a1+a2+a5＝13，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a5成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．解：设数列的公差为d则3a1+5d＝13①∵a1、a2、a5成等比数列∴（a1+d）2＝a1（a1+4d）②①②联立求得d＝2故选：B．5．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）＝3，则D（X）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意知，X～B（5，），由EX＝5×＝3，知X～B（5，），由此能求出D（X）．解：由题意知，X～B（5，），∴EX＝5×＝3，解得m＝2，∴X～B（5，），∴D（X）＝5××（1﹣）＝．故选：B．6．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，可根据向量运算法则得到＝+（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．7．已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y＝g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）＝9求得x1、x2满足的条件，再求|x1﹣x2|的可能取值．解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．8．数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{a n}的前100项的和S100＝（）A．132B．299C．68D．99【分析】对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）＝0，a n+3＝a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）＝0，故a n+3＝a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1＝a7＝2，a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，∴S100＝（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100＝33（2+4+3）+a1＝299．故选：B．9．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．B．3C．D．【分析】设P（1﹣my，y），由|PA|＝2|PB|结合两点间的距离公式，得到关于y的一元二次方程，利用判别式≥0可解出m的范围，取其最小的正值即可．解：设P（1﹣my，y），由|PA|＝2|PB|得（1﹣my﹣1）2+y2＝4×[（1﹣my﹣4）2+y2]化简得（m2+1）y2+8my+12＝0，∴△64m2﹣48（m2+1）≥0，解得或（舍），易知时，y＝﹣．故m的最小值为．故选：D．10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．解：如图，设＝，＝，＝，棱长均为1，则＝，＝，＝，∵＝+，＝+，∴＝（+）•（﹣+）＝﹣1++﹣+1＝1，||＝＝＝＝，||＝＝＝，∴cos＝＝∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．11．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【分析】设直线方程为y＝x，联立双曲线方程，可得Q的坐标，由题意PF⊥QF，即有△PQF为等边三角形，可得|OQ|＝|OF|＝c，再由a，b，c和e的关系式，计算可得所求值．解：设直线方程为y＝x，联立双曲线方程可得：（b2﹣3a2）x2＝a2b2，则x2＝，y2＝，可得|OQ|2＝x2+y2＝，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，可得PF⊥QF，即有△PQF为等边三角形，可得|OQ|＝|OF|＝c，＝c2＝a2+b2，化为b4﹣6a2b2﹣3a4＝0，解得b2＝（3±2）a2，由b2＞3a2，可得b2＝（3+2）a2，则e＝＝＝＝1+．故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有＝e2x，当x＜0时，f（x）+f'（x）＞0，若e a f（2a+1）≥f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]【分析】由已知可得，＝e﹣x f（﹣x），构造函数g（x）＝e x f（x），则g（﹣x）＝g（x），根据x＜0时f（x）+f'（x）＞0，可得函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而可求解．解：∵＝e2x，∴＝e﹣x f（﹣x），令g（x）＝e x f（x），则g（﹣x）＝g（x），当x＜0时f（x）+f'（x）＞0，∴＝e x[f（x）+f'（x）]＞0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵e a f（2a+1）≥f（a+1），∴e2a+1f（2a+1）≥e a+1f（a+1），∴g（2a+1）≥g（a+1），|2a+1|≤|a+1|，解可得，，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，则a+b＝0．【分析】根据切点是公共点和切点处的导数是切线的斜率，列出方程组即可．解：∵在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，∴f（e）＝2e，代入f（x）＝axlnx﹣bx得a﹣b＝2①又∵f′（x）＝a（1+lnx）﹣b，∴f′（e）＝2a﹣b＝3②联立①②解得：a＝1，b＝﹣1．∴a+b＝0．故答案为：0．14．设S n为数列{a n}的前n项和，若a n＞0，a1＝1，且2S n＝a n（a n+t），n∈N*，则S10＝55．【分析】本题在当n＝1时将a1＝1代入表达式计算出t的值，再在n≥2时运用公式a n ＝S n﹣S n﹣1代入计算，并化简整理可得到a n﹣a n﹣1＝1，即可判别出数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出S10的值．解：由题意，当n＝1时，2a1＝2S1＝a1（a1+t），∵a1＝1，∴2×1＝1×（1+t），解得t＝1．当n≥2时，由2S n＝a n（a n+1），可得2S n﹣1＝a n﹣1（a n﹣1+1），两式相减，可得2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝a n（a n+1）﹣a n﹣1（a n﹣1+1），整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣1＝0，即a n﹣a n﹣1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴S10＝10×1+×1＝55．故答案为：55．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于2．【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，继而可得F为HR的中点，问题得以解决．解：如图所示：连接MF，QF，∵y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点∴FH＝2，PF＝PQ∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴MN∥QF，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∵PQ＝PF，∠NRF＝60°，∴△PQF为等边三角形，∴MF⊥PQ，∴F为HR的中点，∴FR＝FH＝2，故答案为：2．16．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝．【分析】由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则a可求．解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则，又，可得x＝y＝2，∴a＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和正弦定理即可求得sin A的值；（Ⅱ）由三角恒等变换和正弦定理以及三角形的面积公式求得△BCD的面积．解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB×BD×cos∠ABD＝9+1﹣2×3×1×＝7，所以AD＝；…3分由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cos A＝＝；…7分在△ABC中，sin C＝sin（120°+A）＝×﹣×＝；…8分在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝；…10分所以△BCD的面积为S＝×BD×BC×sin∠CBD＝×1××＝．…12分18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．AB＝2，AD＝PA＝1，PH＝．（Ⅰ）求证：平面APE⊥平面ABCD；（Ⅱ）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）先由勾股定理可得PA⊥AH，进而根据面面垂直的性质定理得PA⊥平面ABCD，由此可证平面APE⊥平面ABCD；（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足条件的E，求出各点的坐标，再求出平面APE与平面PHC的法向量，利用题设条件可建立关于y的方程，解出后即可作出结论．解：（Ⅰ）证明：∵AB＝2，H为AB中点，∴AH＝1，又，∴PA2+AH2＝PH2，则PA⊥AH，又侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，∴PA⊥平面ABCD，又PA在平面APE内，∴平面APE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，1），H（0，1，0），C（1，2，0），假设存在点E（1，y，0）满足题意，则，设平面APE的一个法向量为，则，设a＝1，则，设平面PHC的一个法向量为，则，设k＝1，则，∵平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为，∴，∴y＝1，即存在点E为CD的中点，使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为．19．某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明了第一次是从（红、黄、白）中摸一球，第二次摸的是黑球．即可得出1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P．（Ⅱ）X的可能取值为：0，10，20，30，40．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出数学期望．解：（I）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明了第一次是从（红、黄、白）中摸一球，第二次摸的是黑球．∴1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P＝＝．（Ⅱ）X的可能取值为：0，10，20，30，40．P（X＝0）＝，P（X＝10）＝＝，P（X＝20）＝+＝，P（X＝30）＝＝，P（X＝40）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X010203040P数学期望E（X）＝0×+10×+20×+30×+40×＝20，20．已知椭圆，点A（1，0），B（0，1），点P满足（其中O为坐标原点），点B，P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C 交于M，N两点，且与圆x2+y2＝1相切．△MNF的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），根据条件可求出P的坐标，再利用B，P在椭圆上，代入椭圆方程求出a，b即可，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|MQ|，|NQ|，再利用焦半径公式表示出|MF|，|NF|，进而求出周长为定值．解：（1）设P（x，y），因为，即（1，0）+（0，1）＝（x，y），则x＝1，y＝，即P（1，），因为B，P均在C上，代入得，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）得F（1，0），e＝，a＝，作出示意图，设切点为Q，M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），则|MQ|2＝|OM|2﹣|OQ|2＝x12+y12﹣1＝x12，同理|NQ|2＝x22+y22﹣1＝x22，即|MQ|＝，|NQ|＝，所以|MN|＝（x1+x2），又|MF|＝a﹣ex1＝，|NF|＝a﹣ex2＝则．△MNF的周长＝|MN|+|MF|+|NF|＝（x1+x2）++＝2，所以周长为定值．21．已知函数f（x）＝．（1）若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），证明：+＞2．【分析】（1）求出导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最值，进而求出a的范围；（2）求出导函数，根据极值点判断函数的零点位置，对零点分类讨论，构造函数，利用放缩法，均值定理证明结论成立．解：（1）f（x）＝＝+a+．f''（x）＝﹣，∴f（x）在（0，l）上递增，（1，+∞）上递减，∴f（x）≤f（1）＝a+1，∴a+1＜0，∴a＜﹣1；（2）证明：由（1）知，两个不同零点x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若x2∈（1，2），则2﹣x2∈（0，1），设g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝+﹣﹣，则当x∈（0，1）时，g'（x）＝﹣﹣＞﹣﹣＝﹣＞0，∴g（x）在（0，1）上递增，∴g（x）＜g（1）＝0，∴f（x）＜f（2﹣x），∴f（2﹣x1）＞f（x1）＝f（x2），∴（2﹣x1）＜x2，∴2＜x1+x2，若x2∈（2，+∞），可知2＜x1+x2，显然成立，又+x2≥2＝2x1，同理可得+x1≥2x2，以上两式相加得：++x1+x2≥2（x1+x2），故：+≥（x1+x2）＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2a cosθ（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若点P的极坐标为（2，π），|PM|+|PN|＝5，求a的值．【分析】（Ⅰ）由ρ＝2sinθ+2a cosθ得ρ2＝2ρsinθ+2aρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，消去参数t能求出直线l的普通方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2＝2y+2ax，化简并整理后，利用根与系数的关系可得，而注意点P在直线l上，由此根据题意，可建立关于a的方程，解出即可．解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2a cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ+2aρcosθ，则x2+y2＝2y+2ax，化简得（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，∴曲线C的直角坐标方程（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，∵直线l的参数方程为，∴x＝﹣2+y，即直线l的普通方程为x﹣y+2＝0；（Ⅱ）将P（2，π）化为直角坐标为P（﹣2，0），将直线l的参数方程代入x2+y2＝2y+2ax，化简并整理得，∵直线l与曲线C交于M，N两点，∴，即a2﹣2a+9＞0恒成立，由根与系数的关系得，∵P（﹣2，0）在直线l上，∴，∴a＝7．[选修4-5：不等式证明选讲]23．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．。
2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,含答案)(1)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤2} B.{x|x ≤0} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x −1)2+y 2＝1B.(x +1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.9 B.0 C.18 D.124. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，博士B.国防大学，研究生C.国防科技大学，研究生D.军事科学院，学士5. 下列说法正确的是（ ）A.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件B.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件C.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题D.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π3 B.π6C.5π6D.2π37. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.7.5%B.6.25%C.31.25%D.10.25%8. 若抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），当点P(cos α, sin α)是OM 上的点时，则cos (2α+π2)的值等于（ ） A.−45 B.45C.43D.−439. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√2 B.√3C.2D.2√3310. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD)，若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A.异面直线BM 与A 1E 所成角是定值B.与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直C.一定存在某个位置，使DE ⊥MOD.三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值11. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[43, 2]B.[1, 2)C.(43, 2)D.[43, 2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是（ ）A.1B.0C.2D.3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是________．函数y =2sin (π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为________．已知函数f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率为________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c cos B =a −12b 且c =√3． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60∘，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． (Ⅰ)求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA −V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布N(270, 52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p <1)． （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260, 270)内的排球个数（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p 0，并以p 0作为p 的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973．设函数f(x)=x −1x ，g(x)＝t ln x(t ∈R)，（1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调区间；（2）若当x∈(0, 1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−ty=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选做题已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答选做题【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含 答案
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x ， G( x) = 2sin x + 2 0 ，
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x 在 x R 上为增函数， G(2 ) = 0 ，
当 x 2 , +) 时， G( x) 0 ，即 G ( x) 在 x 2 , +) 上为增函数，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
，
故：
x2
−
x1
x4
−
x3
=
4 a
(2 − 2 )(2 +
（Ⅱ）因为AO ⊥ 平面BB1C1C, BB1C1C为菱形，
E
如图建立空间直角坐标系O − xyz,
x
y
设BC = 2,因为CBB1 = 60 ,
cos ACC1 = cos ACO cos OCC1,
大连市高三一模数学理科参考答案第 | 页 2
所以cos ACO =
2 , 所以AO = 1, 所以B( 2
f (0) = 2 + 2 0, f ( ) = −2 0 ........................ ......2 分
由零点存在定理可知， f ( x) 在 x (0, ) 上必存在一点 x0 使 f ( x0 ) = 0 当 x (−, x0 ) 时， f ( x) 0，即 f ( x) 在 x (−, x0 ) 上为增函数，
| |
BD AF
| |
=
3t
4t 2+
1
=
4 3t + 1
1(当且仅当“t
= 1”时取得等号）.....
......11 分
t