正方体PPT课件
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长方体和正方体表面的展开图ppt课件.ppt
“二三一” 型
“三三” 型
“二二二” 型
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
练习题
下面是一个正方体的展开图，当折成一个 纸盒时，A点与哪些点重合？
K
J
I HG
A B
一个正方体纸盒，像下面的样子沿 着画有红线的棱剪开，就可以得到它的 展开图。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一个正方体纸盒，像下面的样子沿 着画有红线的棱剪开，就可以得到它的 展开图。
DE F C
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一个长方体展开后有两个面的形状如 下图。请你继续画出其他四个面。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
谢谢
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
121正方体的展开与折叠PPT课件
第四类:两排各三个，只有一种(33).
新知探究
正方体展开图”口诀”
中间四个面，上下各一面 中间三个面，一二隔河见 中间两个面，楼梯天天见 中间没有面，三三连一线
新知探究
1.把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一 个平面图形，你能得到下面这些平面图形吗？
能
2.下面哪一个图形经过折叠可以得到正方体？
第一章 丰富的图形世界
展开与折叠
第1课时
课件
学习目标
1.通过动手操作，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展 开成一个平面图形； 2.会判断一个平面图形是不是正方体的表面展开图. 重点：将一个正方体的表面沿某些棱展开，展成平面图形；表面展 开图的辨认. 难点：鼓励学生尽可能多地将一个正方体展成平面图形，并用语言 描述其过程.
问题：你能将得到的平面图形分类吗？ 你是按什么规律来分类的？
小组活动：分组讨论，得出分类. 用自己的语言表示其分类规律
新知探究
第一类：中间四个面，两侧各一个， 共六种(141).
新知探究
第二类:中间三个面，两侧各有一、 二个面，共三种(231).
新知探究
第三类:中间两个面，两侧各有两 个面，只有一种(222).
141型 6种 231型 3种 222型 1种
33型 1种
展
折
开
叠
立体图形
2、不同的展开图可以折叠成同一个立体图形
课堂小测
1.下列平面图形中不能围成正方体的是 (A )
课堂小测
2. 如图是一个正方体纸盒的展开图,每
个面内都标注了数字，则面2在展开前
所对的面
新课引入
在生活中，我们经常见到正方体形状的物体.
将正方体完全展开 后形状是怎样的？
新知探究
正方体展开图”口诀”
中间四个面，上下各一面 中间三个面，一二隔河见 中间两个面，楼梯天天见 中间没有面，三三连一线
新知探究
1.把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一 个平面图形，你能得到下面这些平面图形吗？
能
2.下面哪一个图形经过折叠可以得到正方体？
第一章 丰富的图形世界
展开与折叠
第1课时
课件
学习目标
1.通过动手操作，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展 开成一个平面图形； 2.会判断一个平面图形是不是正方体的表面展开图. 重点：将一个正方体的表面沿某些棱展开，展成平面图形；表面展 开图的辨认. 难点：鼓励学生尽可能多地将一个正方体展成平面图形，并用语言 描述其过程.
问题：你能将得到的平面图形分类吗？ 你是按什么规律来分类的？
小组活动：分组讨论，得出分类. 用自己的语言表示其分类规律
新知探究
第一类：中间四个面，两侧各一个， 共六种(141).
新知探究
第二类:中间三个面，两侧各有一、 二个面，共三种(231).
新知探究
第三类:中间两个面，两侧各有两 个面，只有一种(222).
141型 6种 231型 3种 222型 1种
33型 1种
展
折
开
叠
立体图形
2、不同的展开图可以折叠成同一个立体图形
课堂小测
1.下列平面图形中不能围成正方体的是 (A )
课堂小测
2. 如图是一个正方体纸盒的展开图,每
个面内都标注了数字，则面2在展开前
所对的面
新课引入
在生活中，我们经常见到正方体形状的物体.
将正方体完全展开 后形状是怎样的？
人教版正方体的认识精选PPT课件
名
称 数量
面
棱
顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
相对面完全相
12条
相对的棱的长
8个
方
两个相对的面 同
度相等
体
是正方形）
•1
高
长
宽
•2
正方Байду номын сангаас也叫立方体
•3
观察要点： ①正方体有几个面？有什 么特点？ ②正方体有几条棱？有什 么特点？ ③正方体有几个顶点？
•4
•10
•11
•12
•13
•14
•15
•16
长方体 正方体
正方体可以说成是长、宽、 高都相等的长方体，正方体 是特殊的长方体
•17
10cm
这个正方体的棱长和 是多少？
10×12=120（cm） 正方体的棱长和公式 是什么？
正方体棱长和=棱长×12
•18
不同点
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
6个
12条
8个
都是长方形（ 相对面的 相对的4 也有可能有2个面积完全 条棱的长
相对面是正方 一样
度相等
形）
正方体
6个 12条 8个
都是正方形 6个面的面 12条棱
积都相等 的长度 都相等
•6
通过对比观察和研究，长方 体和正方体之间有何关系？
•7
•8
•9
名
称 数量
面
棱
顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
称 数量
面
棱
顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
相对面完全相
12条
相对的棱的长
8个
方
两个相对的面 同
度相等
体
是正方形）
•1
高
长
宽
•2
正方Байду номын сангаас也叫立方体
•3
观察要点： ①正方体有几个面？有什 么特点？ ②正方体有几条棱？有什 么特点？ ③正方体有几个顶点？
•4
•10
•11
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•13
•14
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长方体 正方体
正方体可以说成是长、宽、 高都相等的长方体，正方体 是特殊的长方体
•17
10cm
这个正方体的棱长和 是多少？
10×12=120（cm） 正方体的棱长和公式 是什么？
正方体棱长和=棱长×12
•18
不同点
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
6个
12条
8个
都是长方形（ 相对面的 相对的4 也有可能有2个面积完全 条棱的长
相对面是正方 一样
度相等
形）
正方体
6个 12条 8个
都是正方形 6个面的面 12条棱
积都相等 的长度 都相等
•6
通过对比观察和研究，长方 体和正方体之间有何关系？
•7
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•9
名
称 数量
面
棱
顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
正方体的认识课件
正方体的认识课件
学习目标
1.认识正方体，掌握正方 体的特征。
2.知道长方体与正方体的 联系与区别。名称 ຫໍສະໝຸດ 量面棱顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
相对面完全相
12条
相对的棱的长
8个
方
两个相对的面 同
度相等
体
是正方形）
() ()
()
(高) (宽)
(长)
正方体还有一个名 字你知道吗？
顶点
正方体是有（ 6 ）个（ 完全相同）的正方
形围成的（ 立体）图形。正方体有（ 12 ） 条棱，它们的长度（ 相等）。正方体也有
（ 8 ）个顶点.
长方体和正方体有哪些相同点， 有哪些不同点？
学习提示：
在小组内交流长方体和正方体的特点， 说一说长方体和正方体有什么相同点和 不同点，完成下面表格。
形
相同点
不同点
体
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
长方体
正方体
形 体
长方体
相同点
不同点
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
6个
12条
8个
都是长方形（ 相对面的 相对的4 也有可能有2个面积完全 条棱的长
相对面是正方 一样
度相等
形）
正方体
6个 12条 8个
都是正方形 6个面的面 12条棱
积都相等 的长度
先求出棱长是多少 知道正方体的棱长和，怎 么求正方体的棱长?
正方体棱长=棱长和÷12
用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正 方体，至少需要多少个小正方体？动手摆 一摆。
学习目标
1.认识正方体，掌握正方 体的特征。
2.知道长方体与正方体的 联系与区别。名称 ຫໍສະໝຸດ 量面棱顶点
形状
哪些面完 全相同
数量
哪些棱长 度相等
数量
长
6个
长方形 （特殊情况有
相对面完全相
12条
相对的棱的长
8个
方
两个相对的面 同
度相等
体
是正方形）
() ()
()
(高) (宽)
(长)
正方体还有一个名 字你知道吗？
顶点
正方体是有（ 6 ）个（ 完全相同）的正方
形围成的（ 立体）图形。正方体有（ 12 ） 条棱，它们的长度（ 相等）。正方体也有
（ 8 ）个顶点.
长方体和正方体有哪些相同点， 有哪些不同点？
学习提示：
在小组内交流长方体和正方体的特点， 说一说长方体和正方体有什么相同点和 不同点，完成下面表格。
形
相同点
不同点
体
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
长方体
正方体
形 体
长方体
相同点
不同点
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
6个
12条
8个
都是长方形（ 相对面的 相对的4 也有可能有2个面积完全 条棱的长
相对面是正方 一样
度相等
形）
正方体
6个 12条 8个
都是正方形 6个面的面 12条棱
积都相等 的长度
先求出棱长是多少 知道正方体的棱长和，怎 么求正方体的棱长?
正方体棱长=棱长和÷12
用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正 方体，至少需要多少个小正方体？动手摆 一摆。
《正方体展开图》课件
连续性
总结词
正方体展开图展示了正方体的连续变化过程 。
详细描述
正方体展开图不仅展示了正方体的各个面， 还通过连续的图形变化展示了正方体的形成 过程。这种连续性使得正方体展开图具有动 态感，能够让人们更加直观地理解正方体的 形成和变化过程。
稳定性
要点一
总结词
正方体展开图具有稳定性，能够清晰地表达出正方体的结 构和特征。
REPORT
《正方体展开图》 ppt课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 正方体的基本性质 • 正方体的展开图种类 • 正方体展开图的特性 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
特殊型展开图
总结词
不包含在正方体的11种展开图中的特殊类型。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的11种展开图中并不常见，其形状和结构相对较为特殊。这种展开图的特 点是需要学生具备更强的空间想象能力和分析能力，才能理解和掌握。同时，这种展开图也是考试中 经常出现的一种类型，需要学生特别注意。
REPORT
制作步骤包括在三维建模软件中创建 正方体模型、导出STL文件、3D打印 等。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
正方体展开图的应用
在几何教学中的应用
帮助学生理解立体几何
正方体展开图可以帮助学生更好地理 解立体几何的概念，通过将三维图形 展开成二维图形，可以让学生更好地 理解空间关系和几何形状。
五年级下册数学课件 - 长方体和正方体的认识 人教版(共38张PPT)
8x12=96（厘米）
3、有一根150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方 体框150-6）÷12 =144÷12 =12（厘米）
4、小明用一根铁丝围成一个长30厘米、宽20厘米、高 10厘米的长方体框架。如果把它改围成一个正方体框架， 这个正方体框架的棱长是多少厘米？ (30+20+10)x4
=（长+宽+高）X 4
随堂练习
1、长方体有（ 6 ）个面，它们一般都是（ 长方形 ）， 也有可能有（ 2 ）个相对的面是正方形。 2、长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都 叫做（ 相对面），他们相对的面积（ 相等 ）。 3、长方体有（ 12）条棱，每相对的（ 4 ）条棱算作一 组，可以分成（ 3 ）组。
正方体棱长=棱长总和÷12
例3 用一根铁丝围成一个长方体，它的长是12分米，
宽是8分米，高是4分米。如果把这根铁丝改围成一个
正方体，这个正方体的棱长是多少？
（12+8+4）x4 =24x4 =96(分米) 96÷12=8(分米)
随堂练习
一个棱长6分米的正方体框架，若把它改成一个长10分
米，宽5分米的长方体框架，这个长方体的高是多少分
100÷4-(8+12) =25-20 =5(厘米) 12x5=60(平方厘米)
例3 有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结 部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
（30+20）x2+20x4 =100+80 =180（厘米） 180+10=190（厘米）
例4 用一根长28厘米的铁丝做一个棱长是整厘米数的 长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高可能是多少 厘米？想一想，填一填。
4、相较于一个顶点的三条棱的长度，叫做长方体的 （ 长）、（ 宽）、（ 高）。
3、有一根150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方 体框150-6）÷12 =144÷12 =12（厘米）
4、小明用一根铁丝围成一个长30厘米、宽20厘米、高 10厘米的长方体框架。如果把它改围成一个正方体框架， 这个正方体框架的棱长是多少厘米？ (30+20+10)x4
=（长+宽+高）X 4
随堂练习
1、长方体有（ 6 ）个面，它们一般都是（ 长方形 ）， 也有可能有（ 2 ）个相对的面是正方形。 2、长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都 叫做（ 相对面），他们相对的面积（ 相等 ）。 3、长方体有（ 12）条棱，每相对的（ 4 ）条棱算作一 组，可以分成（ 3 ）组。
正方体棱长=棱长总和÷12
例3 用一根铁丝围成一个长方体，它的长是12分米，
宽是8分米，高是4分米。如果把这根铁丝改围成一个
正方体，这个正方体的棱长是多少？
（12+8+4）x4 =24x4 =96(分米) 96÷12=8(分米)
随堂练习
一个棱长6分米的正方体框架，若把它改成一个长10分
米，宽5分米的长方体框架，这个长方体的高是多少分
100÷4-(8+12) =25-20 =5(厘米) 12x5=60(平方厘米)
例3 有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结 部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
（30+20）x2+20x4 =100+80 =180（厘米） 180+10=190（厘米）
例4 用一根长28厘米的铁丝做一个棱长是整厘米数的 长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高可能是多少 厘米？想一想，填一填。
4、相较于一个顶点的三条棱的长度，叫做长方体的 （ 长）、（ 宽）、（ 高）。
《长方体和正方体的展开图》PPT课件
黑 红蓝
白 黄红
绿 蓝黄
甲
乙
丙
A
B
C
D
E
F
“1 - 4 - 1”
“3 - 3”
“2 - 3 - 1 ”
“2 - 2 - 2
从每个相对的面来看，你能看出
什么规律吗？
上面
左 面
前面
右 面
后面
下面
问题：下面有三个图形． （1）哪一个图形是一个长方体的表面展开图？ （2）在刚才选的图形中，如果面D在长方体的 底部，上面是哪一个面？
下面是一个正方体的展开图，当折成 一个纸盒时，A点与哪些点重合？ KJ
I HG
A
DE F
BC
下面的图形，哪些可以折成一个正方体？
A
B
C
D
E
F
把同一个正方体的表面沿某 些棱剪开,展开所得到的平面 图形共有几种情况? (比一比 看哪个小组找的最多)
注意：剪开时保证每两个正方形有 一条公共边。
1.每组的组长与一个组员负责剪正方体 的展开图。
长方体和正方体的展开图
（Suitable for teaching courseware and reports）
复习：
1.长方体和正方体分别有哪些特征？ 2.长方体和正方体从特征来看有什么关系？
一个正方体纸盒,像下面这样沿着画 有红线的棱剪开,就可以得到它的展开图.
上面 后面 左面 下面 右面 前面
2. 中间为三个正方形,上为两正方形,下为一正方 形。此时下一正方形可以在任何位置。(2-3-1)
3.中间为两个正方形,上为两正方形,下为两正方 形。此时只有一种情况。(2-2-2)
二:当分两行时,只有一种情况。(3-3)
正方体动态展开图(11种)ppt课件
正 方 体 的 展 开 图
动画演示
1
2
3
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5
6
7
11
8
个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有 一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二 个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
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动画演示
1
2
3
4
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8
个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有 一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二 个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
练一练
用手势判断下面的平面图形是 不是正方体的展开图？
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D1 M
A1
E
C1 B1
C
A
B
2020年10月2日
17
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020年10月2日
18
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020年10月2日
19
线面角与二面角有时是统一的
α
D1
2020年10月2日
8
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1 D1
D1
C1
A1 A1
B1
ooo FFD1 B1
A AA
F
B1
A1 F
o D
A
B1 C
B
由正三棱锥A1-AB1D1中，A1F垂直面AB1D1 ， F为三角形AB1D1
的中心，OF=
3 6
AD1 ，
看谁有创意
P D
A
B1
C B
2020年10月2日
15
练习题4
下图是正方体的展开图
N
那么在这个正方体中，
正确地有（ ）
1. BM与ED平行
D
C
M
2. CN与BE是异面直线
3. CN与BM成60度角
4. DM与BN垂直
E
A
B
看谁的想像力更强
F
2020年10月2日
16
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
判定方法：除可用定义判定外，也可以 由直线垂直平面内的两条相交直线，判 定直线垂直这个平面
2020年10月2日
21
直线与平面所成的角
直线平行或在平面内，与该平面成0度角。 直线垂直平面，与该平面所成角为直角。 直线与平面斜交，称为平面的斜线。斜
线与平面所成的角为斜线与其在该平面 的射影所成的锐角。 范围：0-90度。
C1
l A
BC
AC垂A1直平面β， B1
则∠ABoC是直F线AB与平面β所成的角，
又AB垂D直两平面交线lD，CB也垂直l
则∠ABC又是二面角α-l –β的平面角
βA
B
在锐角二面角中，第一个平面上垂直棱的直线与第二个 平面所成的角等于二面角的平面角。
2020年10月2日
20
直线与平面垂直
定义：直线垂直于一个平面内任一条直 线，则直线垂直这个平面
A1
AA11 A
AA AA
A1B1垂直面AA1D1 ，
D1
A1 F
o D
A
C1 B1
C B
练习
cosα=
SΔAA1D1 SΔAB1D1
=
1 AD 4
2 1
=
3 4
AD
2 1
3 3
2020年10月2日
11
练习题1
看谁认得快
D1 E
A1
F
C1 B1
D 正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）当正方体的棱长为a, 则BC1与AA1 A 的距离是多少？
则OF也垂直AD1
∠A1OF又是二面角A1-AD1-B1的平面角
2020年10月2日
10
解更是正？决要方？立注体A体意BC几调D-何 整A1B问 看1C1题 图D1中， 角，应 度二注 ，面角意 减A转少1-AD换视1-B思觉1的路误余；差弦值
B1DBD11 B1 B1
A1 ADD1 11D1
B1
在等腰直角三角形中，A1O=
1 2
AD1 ，则cos∠A1OF =
3 3
2020年10月2日
9
正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-AD1-B1的余弦值
是？？
还可以怎么求二 面角的余弦值
D1
C1
线面角与二面 A1
B1 F
角的平面角有
o D
C
时是统一的 A
B
A1O垂直AD1 A1F垂直面AB1D1
C CD C1C 1 6a3
B
M
C
S CE= 3VC1-BCD / △ BC1D = 3 a 3 同理A1F = 3 a 3
C1 E
B
C1
C B
D
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1
C1
解法1 解法2
A1 F
o
D
A A1C垂直面AB1D1
B1 C
B
斜线与平面所成的角为斜线与 其在该平面的射影所成的锐角。
2020年10月2日
22
二面角
由一条直线出发的两个半平面组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
二面角用其平面角来测量。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。
C是平面BDC1外一点，
CC1、BC、CD两两垂直，
且长都为3，
求C到面BDC1的距离。
D1 A1
C1 B1
D
E
C
A
B
解：CE垂直面BDC1，CE是 A1C的三分之一，
又 A1C= 3 BC=3 3
则CE= 3
练习题3
如图ABCD是正方形，PA 垂直平面ABCD， PA=AB，则面PAB与面PCD所成角为 ？？
正方体
2020年10月2日
1
正方体是一种特殊的四棱柱
棱柱：侧棱都相等平行，两底面是全等多边形， 各侧面是平行四边形（见课本42页）
使侧棱垂直底面
使底面为平行四边形
直
四 棱
直 平
四棱柱
柱
行 六
平
面
行
体
六
面
体
使底面为长方形
长 方 体
使底面为平行四边形
使侧棱垂直底面
底面为长方形
底面为正方形
长 方 体
正 四 棱 柱
D1 A1
D A
C1 B1
C B
回5
2020年10月2日
5
体对角线1C
D1 A1
D A
C1 对角线A1C与面对角线BC1所成角为？
B1 体对角线A1C与面BDC1的关系 垂直
C 体对角线垂直于与其不相交的面对角线
B
2020年10月2日
6
如图,求证:正方体ABCD-A1B1C1D1的对
角线A1C被面AB1D1和面BC1D三等分
C B
（2）E、F是所在棱的中点，则BC1与EF所成的角为多少？
2020年10月2日
12
P
M
P
l NM l MP
A
B
Ml
NP C
N Nl D
（3）以上各正方体中，点M、N、P 都是所在棱的中点，能得出对角线l 垂直面MNP的有哪些？
练习题2 分解和组合立体图形是立几解题中常用的方法
C
C1
D
E
B
看谁算得快
解:由上知体对角线AC1与 面ABD1和面BC1D都垂直， D1
CE是锥体C-BC1D的高，
考虑证CE 是A1C的三 C1 分之一
设CC1=BC=CD=a，则
BD=BC1=C1D= 2 a ， AC1= 3a
A1 F
D
B1
E
CD
E
S = △ BC1D
3•
2
2a
3a2
A
4
2
又VC1-BCD
=
11B 32
正 方 体
侧面为长方形
侧面为正方形
正方体是一个的所有棱长都相等，各 面都是全等的正方形的正四棱柱
面对角线（BC1）
D1 A1
C1
B1
➢与相邻面对角线所成角 ：成60°角
D A
C B
2020年10月2日
4
如图ABCD是正方形，AA1 垂直平面ABCD， AA1=AB，则A1B与AC所成角为 ？60？°
A1
E
C1 B1
C
A
B
2020年10月2日
17
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020年10月2日
18
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020年10月2日
19
线面角与二面角有时是统一的
α
D1
2020年10月2日
8
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1 D1
D1
C1
A1 A1
B1
ooo FFD1 B1
A AA
F
B1
A1 F
o D
A
B1 C
B
由正三棱锥A1-AB1D1中，A1F垂直面AB1D1 ， F为三角形AB1D1
的中心，OF=
3 6
AD1 ，
看谁有创意
P D
A
B1
C B
2020年10月2日
15
练习题4
下图是正方体的展开图
N
那么在这个正方体中，
正确地有（ ）
1. BM与ED平行
D
C
M
2. CN与BE是异面直线
3. CN与BM成60度角
4. DM与BN垂直
E
A
B
看谁的想像力更强
F
2020年10月2日
16
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
判定方法：除可用定义判定外，也可以 由直线垂直平面内的两条相交直线，判 定直线垂直这个平面
2020年10月2日
21
直线与平面所成的角
直线平行或在平面内，与该平面成0度角。 直线垂直平面，与该平面所成角为直角。 直线与平面斜交，称为平面的斜线。斜
线与平面所成的角为斜线与其在该平面 的射影所成的锐角。 范围：0-90度。
C1
l A
BC
AC垂A1直平面β， B1
则∠ABoC是直F线AB与平面β所成的角，
又AB垂D直两平面交线lD，CB也垂直l
则∠ABC又是二面角α-l –β的平面角
βA
B
在锐角二面角中，第一个平面上垂直棱的直线与第二个 平面所成的角等于二面角的平面角。
2020年10月2日
20
直线与平面垂直
定义：直线垂直于一个平面内任一条直 线，则直线垂直这个平面
A1
AA11 A
AA AA
A1B1垂直面AA1D1 ，
D1
A1 F
o D
A
C1 B1
C B
练习
cosα=
SΔAA1D1 SΔAB1D1
=
1 AD 4
2 1
=
3 4
AD
2 1
3 3
2020年10月2日
11
练习题1
看谁认得快
D1 E
A1
F
C1 B1
D 正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）当正方体的棱长为a, 则BC1与AA1 A 的距离是多少？
则OF也垂直AD1
∠A1OF又是二面角A1-AD1-B1的平面角
2020年10月2日
10
解更是正？决要方？立注体A体意BC几调D-何 整A1B问 看1C1题 图D1中， 角，应 度二注 ，面角意 减A转少1-AD换视1-B思觉1的路误余；差弦值
B1DBD11 B1 B1
A1 ADD1 11D1
B1
在等腰直角三角形中，A1O=
1 2
AD1 ，则cos∠A1OF =
3 3
2020年10月2日
9
正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-AD1-B1的余弦值
是？？
还可以怎么求二 面角的余弦值
D1
C1
线面角与二面 A1
B1 F
角的平面角有
o D
C
时是统一的 A
B
A1O垂直AD1 A1F垂直面AB1D1
C CD C1C 1 6a3
B
M
C
S CE= 3VC1-BCD / △ BC1D = 3 a 3 同理A1F = 3 a 3
C1 E
B
C1
C B
D
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1
C1
解法1 解法2
A1 F
o
D
A A1C垂直面AB1D1
B1 C
B
斜线与平面所成的角为斜线与 其在该平面的射影所成的锐角。
2020年10月2日
22
二面角
由一条直线出发的两个半平面组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
二面角用其平面角来测量。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。
C是平面BDC1外一点，
CC1、BC、CD两两垂直，
且长都为3，
求C到面BDC1的距离。
D1 A1
C1 B1
D
E
C
A
B
解：CE垂直面BDC1，CE是 A1C的三分之一，
又 A1C= 3 BC=3 3
则CE= 3
练习题3
如图ABCD是正方形，PA 垂直平面ABCD， PA=AB，则面PAB与面PCD所成角为 ？？
正方体
2020年10月2日
1
正方体是一种特殊的四棱柱
棱柱：侧棱都相等平行，两底面是全等多边形， 各侧面是平行四边形（见课本42页）
使侧棱垂直底面
使底面为平行四边形
直
四 棱
直 平
四棱柱
柱
行 六
平
面
行
体
六
面
体
使底面为长方形
长 方 体
使底面为平行四边形
使侧棱垂直底面
底面为长方形
底面为正方形
长 方 体
正 四 棱 柱
D1 A1
D A
C1 B1
C B
回5
2020年10月2日
5
体对角线1C
D1 A1
D A
C1 对角线A1C与面对角线BC1所成角为？
B1 体对角线A1C与面BDC1的关系 垂直
C 体对角线垂直于与其不相交的面对角线
B
2020年10月2日
6
如图,求证:正方体ABCD-A1B1C1D1的对
角线A1C被面AB1D1和面BC1D三等分
C B
（2）E、F是所在棱的中点，则BC1与EF所成的角为多少？
2020年10月2日
12
P
M
P
l NM l MP
A
B
Ml
NP C
N Nl D
（3）以上各正方体中，点M、N、P 都是所在棱的中点，能得出对角线l 垂直面MNP的有哪些？
练习题2 分解和组合立体图形是立几解题中常用的方法
C
C1
D
E
B
看谁算得快
解:由上知体对角线AC1与 面ABD1和面BC1D都垂直， D1
CE是锥体C-BC1D的高，
考虑证CE 是A1C的三 C1 分之一
设CC1=BC=CD=a，则
BD=BC1=C1D= 2 a ， AC1= 3a
A1 F
D
B1
E
CD
E
S = △ BC1D
3•
2
2a
3a2
A
4
2
又VC1-BCD
=
11B 32
正 方 体
侧面为长方形
侧面为正方形
正方体是一个的所有棱长都相等，各 面都是全等的正方形的正四棱柱
面对角线（BC1）
D1 A1
C1
B1
➢与相邻面对角线所成角 ：成60°角
D A
C B
2020年10月2日
4
如图ABCD是正方形，AA1 垂直平面ABCD， AA1=AB，则A1B与AC所成角为 ？60？°