八年级数学上册 分式混合运算(讲义及答案)(人教版)
分式混合运算（讲义）
知识点睛
1. 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________．
分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________．
精讲精练
1. 分式的混合运算：
（1）242
222x x x x x ⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭；
（2）21
11122x
x x x ⎛⎫
-÷ ⎪-+-⎝⎭；
（3）24142a
a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭；
（4）341132a a a a -⎛⎫⎛
⎫
+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭；
（5）2344
111x x x x x -+⎛⎫
+-÷ ⎪--⎝⎭；
（6）11-+a a 221a
a a -÷-+a 1
．
2. 化简求值：
（1）先化简，再求值：
2
2
11
2111
x x x
x x x x
⎛⎫
--
+÷
⎪
-++-
⎝⎭
，其中x=3．
（2）先化简，再求值：
222
2
211
b a ab b
a
a a
b a a b
⎛⎫
-+⎛⎫
÷++
⎪ ⎪
-⎝⎭
⎝⎭
，其中
11 a b
==
，．
（3）先化简分式
2
2
1221
x x x x
x x x x
-
⎛⎫
-÷
⎪
---+
⎝⎭
，然后从13
x
-≤≤
中选取一个你认为合适的整数x代入求值．
（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝
⎭，然后从不等式组 25<324a a --⎧⎨⎩
≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．
3. 化简：22
111a a ab a ab --÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：
22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a ab
a a a
b a a ab ab
+--=÷
⋅++-=⨯⋅+-=解：原式①②③
当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；
还有第_______步出错（填写序号），原因：
___________________________________________________．
请你写出此题的正确解答过程．
4. 课堂上，王老师出了这样一道题：
已知2015x =-22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭
的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：
2(1)13(1)(1)1
111112(1)
12
_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④
当2015x =-12
=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；
（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．
5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b
个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．
6. 若把分式x y x y
+-中的x 和y 都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的10倍 B ．不变
C ．缩小为原来的110
D ．不能确定 7. 若把分式2x y xy
+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变
C ．缩小为原来的13
D ．缩小为原来的16
8. 已知53m n =，则222
m m n m n m n m n +-=+--__________． 9. 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则A =______，B =______．
【参考答案】
知识点睛
1. 因式分解，约分，通分，最简分式或整式
精讲精练
1. （1）2x
（2）
4x
（3）2a a + （4）2a +
（5）22
x x +- （6）21(1)
a -- 2. （1）原式41
x =+，当x =3时，原式1=
（2）原式1ab
=-，当11a b ==，时，原式1=- （3）原式12
x =--，当x =3时，原式1=- （4）原式=a +3，当0a =时，原式3= 3. ③，约分出错
④，a 的取值不能为1，当a =1时，原分式无意义 正确的解答过程略
4. （1）分解因式，通分，分式的基本性质
（2）221
x x -+ （3）约分，分式的基本性质 5.
bm a b + 6.
B 7.
C 8.
4116 9.
1，2。
人教版八级上数学优质课件分式的混合运算
4a
.
b2(ab) b2(ab) abb2
★分式的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算 括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
例1 计算：（ 1） （ m2 5 )2m4;
2m 3m
解：原式 (m2)(2m)52m4 2m 3m
(2) x x x21. x1 x1 x
解：（1）原式 3(x2)x(x2) x2
2x6.
（2）原式
x
x21
x
x21
x1 x x1 x
x1x1
2 x.
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
5. 先化简，再求值：aa22abb2 (a2abab2) ，其中a=1,b=3.
解：原式= (ab)(a-b)a22abb2
a(a-b)
a
(aa(ba)(-ab)-b)aab2
1. ab
当a=1，b=3时，原式=
1 . 1 1. ab 13 4
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
第2课时 分式混合运算
葫芦岛第六初级中学
混合运算
2a2
b
1 -a a-b b
b 4
解：
2a b
2
a
1 b
a b
b 4
4a2 1 a 4
b2 ab b b
先乘方，再乘 除，最后加减.
b2(4 a a 2b)4 ba 2b2(4 a a 2b)4 ba 2((a a b b))
15.2.2.2分式的混合运算(课件)八年级数学上册(人教版)
原式
a(a-2b)
a-2b
a 4a
a-2 a-2
(a-3b) 2 9b 2 -a 2
a(a-2b)
a-2b
a-4a
a-2
(a-3b) 2
a-2b
a(a-2b) (3b a )(3b-a )
3a
.
a-2
a-3b
- 2
.
x
解：原式= 2
2
x 1 ( x 1)
x
（x 1)
= （x 1)( x 1)· x 2
x 1
=
x( x 1)
2
计算:
x 1
x
x
x 2
(
)( 2 )(
)
x
x 1
x 1
x 1
（x 1)( x 1）- x 2
x
( x 1)2
解：原式
2
•
x( x 1)
7.计算：
2a 2 1 a b
( )
-
b
a-b b 4
4a 2 1 a 4
解：原式 2
-
b
a-b b b
4a 2
4a ( a-b)
2
- 2
b (a-b) b (a-b)
4a 2 - 4a (a-b)
b 2 (a-b)
4ab
4a
2
.
2
b (a-b)
ab-b
x2 9
解：原式=
=
－
人教版八年级数学上册(RJ)第15章 分式 第2课时 分式的混合运算 第2课时 分式的混合运算
第十五章 分 式15.2 分式的运算 15.2.2 分式的加减 第2课时 分式的混合运算学习目标：1．复习并巩固分式的运算法则．2．能熟练地进行分式的混合运算．重点：明确分式混合运算的顺序． 难点：熟练地进行分式的混合运算．一、知识链接1．计算：454377511⎛⎫÷÷-= ⎪⎝⎭．2．实数的混合运算法则是什么？一、要点探究探究点：分式的混合运算问题：如何计算2214a ab b a b b ⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭？请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成．要点归纳：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．计算结果要化为最简分式或整式．例1：计算：（1）524223mmm m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭；（2）22214.244x x xx x x x x+--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭计算：2211.211mm m m⎛⎫÷-⎪+++⎝⎭例2：计算：2224.442x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度．用两种方法计算：234.22xx x x x x -⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭例3：计算：221111.()()a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-÷-⎪⎢⎥+-+-⎝⎭⎣⎦例4：先化简：22213111x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．方法总结：把分式化成最简形式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求使原分式有意义，所有分母和除式不能为 0．先化简，再求值：()322x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，其中x=3.2-例5：繁分式的化简：111111aa -++-．方法总结：1．把繁分式写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简；2．利用分式的基本性质化简．参考答案自主学习 一、知识链接 1．44292．先乘方，后乘除，再加减，有括号的先算括号里的． 课堂探究 二、要点探究探究点：分式的混合运算问题 解：先乘方，再乘除，最后加减．22222222222222214144444()4()()()44444.()()a a b a a a a a a a b b a b b b a b b b b a b bb a b b a b a a ab ab a b a b b a b ab b -⎛⎫⋅-÷=⋅-⋅=-=- ⎪-----⎝⎭-+===---例1 解：（1）原式()()()222522249-2323m m m m m mmm m+-+--=⋅=⋅---- ()()()()3322232623m m m m m mm+---=⋅=-+=----.（2）原式()()()()()()222212124422x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+---+-=-⋅=⋅⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦()()()()2241.242x x x x x x -==---解：原式()()()22222211111.1111111m m m m m m m m m m m m m m m ++-+⎛⎫=÷-=÷=⋅= ⎪++++⎝⎭+++例2 解：原式()()221122x x x x x +-⎛⎫=-⋅⎪-+⎝⎭()()()()222211224.22x x x x x x x x x x x x x+-+-+-=⋅-⋅=-=-+解：按运算顺序：原式()()222222322428428.444x x x x x x x x x x x x x x +-⎡⎤-+-=-⋅=⋅=+⎢⎥---⎣⎦利用乘法分配律： 原式()()()()()()()()3222232228.22x x x x x x x x x x x x x ⋅+-⋅+-=-=+--=+--例3解：原式22111111112.a a b a b a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-÷-=+= ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例4 解：原式()()()()()()()22113111.1111122x x x x x x x x x x x x -+--+-=÷==⋅=+-++---若令x=0(x≠±1且x≠2)，得原式=1.2解：原式()()3222 6.2x x x x x +-=⋅+=++当x=32-时，原式=3．例5 解：解法1：原式11111.11111a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-÷+=÷= ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭解法2：原式()()()()()()11(1)(1)111111.111111(1)(1)11aa a a aa a aa aa a a aa aa aaa⎛⎫-+-+-⎪--+⎝⎭+====++⎛⎫+-++-⎪--⎝⎭。
人教版八年级上数学课件分式的混合运算
a 1. a 1
把繁分式写成分子除 以分母的形式，利用
除法法则化简.
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
(方法二)
原式
1 1
1 1 a
1 a 1
(a (a
1)(a 1)(a
2.
化简
x y
y x
xy x
y
的结果是
x y
.
2x 2y
3.
化简1
x y x 3y
x2
x2 y2 6xy 9 y2
的结果是
xy .
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
4.计算：(1)
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
5.
先化简，再求值：a2
a2
b2 ab
(a
2ab a
b2
)
，其中a=1,b=3.
解：原式= (a b)(a - b) a2 2ab b2
a(a - b)
a
(a
b)(a a(a - b)
b)
a
a
b2
1. ab
2020年秋人教版八年级上数学课件 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
（2）
x2 x2 2x
x2
x 1 4x
4
x
x
4.
x2
x 1 x
解：原式
x(
x
2)
八年级数学上册分式混合运算(讲义及答案)(人教版)
②
1
③
ab
当 a=1， b=1 时，原式 =1．
④
以上过程有两处错误，第一次出错在第
______步（填写序号） ，原因：
____________________________________________；_
还有第 _______步出错（填写序号） ，原因：
__________________________________________________．_
x 2； 2x
11
x
（2） x1 x1
2x2
； 2
（3） 1
4 a2 4
a； a2
第1页 共7页
（4） a 3a 4 1 1 ；
a3
a2
（5） x 1 3
x2 4x 4 ；
x1
x1
（6） a a
1 1
a a2 2a 1
1． a
2. 化简求值：
第2页 共7页
（1）先化简，再求值：
x2 1 1 x x2 2x 1 x 1
请你写出此题的正确解答过程．
4. 课堂上，王老师出了这样一道题：
已知 x
2 015
5
3 ，求代数式
x2 2x 1 x2 1
1 x 3 的值． x1
小明觉得直接代入计算太复杂了， 同学小刚帮他解决了问题， 并解释说：“结
果与 x 无关”．解答过程如下：
第5页 共7页
x ，其中 x=3． x1
（ 2）先化简，再求值：
b2 a2
a2 ab
a 2 1， b 2 1．
2ab b2 a
a
1 1 ，其中 ab
（ 3）先化简分式 x
人教版八年级上册数学：分式的混合运算》(2)
热点关注： 在国外一些地方，流传着对
中国人一种不好的看法，他们认为中国人不善于 合作，一个人做事会做得相当漂亮，多个人做事 就会相互推脱，谁也不去认真做，甚至互相拖后 腿。所以这些人说：一个中国人是一条龙，两个 中国人就变成了两条虫。
二、目标 要求
1.你能把分式的基本性质叙述一遍吗？ 2.分式运算的加减、乘除法则是什么？ 3.你认为在分式通分时应该注意什么问题？ 4.你认为在分式约分时应该注意什么问题？ 5.你能出三道你认为最好、最重要、最常考
试的分式计算题吗？分式.gp让我们到专业软件《几何画板》 中去研究吧
九、今日回眸
新人教版八年级数学上册 15.2.2 第2课时 分式的混合运算
a
(a
1)(a
1)
a1
a(a 1) a(a 1)
a1 a1
利用分式的基 本性质化简
例6.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
2m 3m
m 2 (m 2)(2 m)
解：原式
(m1 2)(2 2 mm) 5
2m
2m 4 3m
9-m2 2(m 2)
先算括号里的 加法，再算括
2m 3m
号外的乘法
(3 m)(3 m) 2(2 m)
2m
3m
2(m 3) 2m 6;
(x 2)
x
(x 2)
x
x2 x2 4 x xx
利用乘法分配 率简化运算
方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算 律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度.
做一做
用两种方法计算：( 3x x ·) x2 4 . x2 x2 x
解：（按运算顺序）
原式
[
3x x 2
x4
x2 4 x2 x (x 2)2 (x 4) 注意：分子或分母是多项
1. (x 2)2
式的先因式分解，不能分 解的要视为整体.
做一做
计算：m2
m2 2m
1
(1
1) m 1
解：原 m式m212
(m 1 m 1
1) m 1
m2
第十五章 分 式
15.2.2 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
分式有哪些运算法则？ 1、加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 再加减． 2、乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积 的分子，分母的积作为积的分母. 3、除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、 分母颠倒位置后，与被除式相乘.
八年级上册数学(人教版)课件：15.2.2.2 分式的混合运算
(2)x＋2y 可以看作x＋12y. 例 3 计算：
21x－x＋1 y·(x2＋xy－x－y)．
分析：本题可用分配律简便计算． 例 4 [（a＋1b）2－（a－1b）2]÷(a＋1 b－a－1 b)． 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约 分．
例 5(教材例 7) 计算(2ba)2·a－1 b－ba÷b4. 解：(2ba)2·a－1 b－ba÷b4 ＝4ba22·a－1 b－ba·4b ＝b2（4aa－2 b）－4ba2＝b2（4aa－2 b）－4ba2（（aa－－bb））
(
)，最后算(
)，有括号先算(
)里
的．
2．一些题应用运算律、公式能简便运算．
五、布置作业
1．教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．
2．先化简再求值x＋1 1－x2－1 1·x2－x＋2x1＋1，其中 x＝ 2 －1.
分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式 分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况， 适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并 提高运算能力．
＝4ab22－（4aa－2＋b）4ab＝b2（4aa－b b）
＝ab4－a b2.
点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方， 再乘除，然后加减．
例 6(教材例 8) 计算： (1)(m＋2＋2－5 m)·23m－－m4； (2)(xx2－＋22x－x2－x－4x1＋4)÷x－x 4.
解：(1)(m＋2＋2－5 m)·23m－－m4 ＝（m＋2）2（－2m－m）＋5·23m－－m4 ＝92－－mm2·2（3m－－m2） ＝（3－m2）－（m3＋m）·－2（3－2－mm） ＝－2(m＋3)；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人教版数学八年级上册：15.2.2 第2课时《分式的混合运算》 练习课件(附答案)
a
b
b
a 2b ab
＝____a___b_____.
6．(2019·绥化中考)当
a＝2018
时，式子
a
a
1
a
1 1
a 1
÷ (a
1)2
的值是___2_0_1_9_____.
7．计算：
(1)1
1 x
x； x2 1
解：原式＝ x 1
x
1.
x (x 1)(x 1) x 1
(2)
a2 b
(2)先化简,再求值：Fra bibliotek3x x2 2x
x2
2x x3 8
4
,其中
x＝3.
解：原式＝
3x x(x
2)
(x
x2 2x 2)(x2
2
4 x
4)
＝
x
3
2
1＝2. x2 x2 当 x＝3 时，原式＝ 2 ＝2.
32
a
a2
b2 b
；
解：原式＝
a2
b
ab
a2
b
b2
＝
a(a b
b)
(a
b b)(a
b)
a. ab
(3)
x
x
3
x3 x2 9
x2
x
2x 1. 3
解：原式
x2 3x
(x
3)(x
3)
(
x
x 3)(
3 x
3)
(
x 1)2 x3
(x (x
1)( x 3)( x
3) 3)
(
x x
x2 4 4x
4
x2
x
人教版八年级上册 15.2 分式的混合运算 讲义
分式的混合运算这节课我们学什么1.理解分式的加减运算法则2.掌握分式的混合运算3.掌握分式的化简求值知识点梳理1．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。
注：（1）通分的过程中分式的值不变；（2）分母必须相同；（3）通分的依据是分式的基本性质；（4）通分的关键在于确定最简公分母。
2．最简公分母的确定方法：（1）最简公分母的系数，取分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。
3．分式加减法的法则：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
即a b a bc c c±±=。
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
典型例题分析1、 分式的加减运算；例1、计算：（1）222125282828x x x x x x x x x ++--------- （2）2222222222(2)54999x a x a a ax x a a x x a---++---【答案：（1）12x -+ （2）0】例2、计算：（1）34659281224b c a b a c bc ab ac +-+-- （2）255520920x x x x ++--+ 【答案：（1）13a（2）25(4)(5)x x x -- 】例3、计算：（1）222274418714x x x x x x x -++--+- （2）22211442428x x x x x x -----++-【答案：（1）1(21)(1)x x --- （2）72(2)(2)x x -+ 】例4、计算：3722448811248y y y x y x y x y x y x y -----++++ 【答案：15161616y x y- 】例5、计算：（1）12212112x x x x +---+-+ （2）11111234x x x x --+++++ 【答案：421254x x -+；410(1)(2)(3)(4)x x x x x +++++】2、 分式的混合运算；例6、计算：35(2)242a a a a -÷---- 【答案：12(3)a -+】例7、计算：22214()244x x x x x x x x+---÷--+ 【答案：21(2)x -】例8、计算：44()()xy xy x y x y x y x y-++--+【答案：22x y -】例9、计算：2111211aa a a a +-+--+ 【答案：2a 】3、 分式的化简求值；例10、若114a b -=，求2272a ab b a ab b --+-的值【答案：6 】例11、已知：2343212x a b x x x x -=+-+--，求,a b 的值【答案：1,2a b ==】例12、化简111(1)(1)(2)(2010)(2011)x x x x x x ++⋅⋅⋅⋅++++++，并求1x =时的值 【答案：2011(2011)x x +；20112012】 例13、已知0a b c ++=,0abc ≠，求证111111()()()3a b c b c c a a b +++++=- 【答案：111111()()()3a b c b c c a a b++++++ 111111()()()a b c a b c b c a c a b a b c++++++++，111111111()()()a b c b c a c a b a b c++++++++】例14、1xyz =，求111x y z xy x yz y zx z ++++++++的值 【答案：1】课后练习练1． 化简2()()()()x xy x y x y y x y x --+---的结果为________. 【答案：x x y+】练2． 计算23311211x x x x x x --÷--++- 【答案：221x x x +-】练3． 计算2411111111x x x x ⋅⋅⋅-+++ 【答案：811x-】 练4． 若3(1)(1)11x A B x x x x -=+-++-，则,A B 为多少？ 【答案：2；-1】练5． 已知3421(2)(1)A B x x x x x -+=----，则求A B +的值. 【答案：3】练6． 计算：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x +++⋅⋅⋅+------- 【答案：1100x -】 练7． 当133x =-时，代数式211(2)()111x x x x x +-÷+-+-的值是 【答案：35-】 练8． 计算（1）22222222()(22)(2)x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+--【答案：x y -】练9． 已知：234410a b b ++++=，求22222234244a b a b a ab a b a ab b a ab ---÷⋅++++的值【答案：167】 练10． 先化简，再求值：22122()121x x x x x x x x ----÷+++，其中210x x --= 【答案：1】课后小测验1. 已知13x x +=,求2421x x x ++的值 . 【答案：18】 2. 若3(1)(3)13x A B x x x x -=+-+-+，则2008()A B +的值为多少【答案：1】3. 计算：.222235124(1)()111a a a a a a a -+--⋅----+【答案：810a -+；】4. 计算：222111111x x x x x x x ---+-+-+【答案：0】5. 已知22221111x x x y x x x x+++=÷-+--，试说明y 的值与x 取值无关 【答案：2(1)(1)11(1)(1)1x x x y x x x x +-=⋅-+=-++】 本章小结。