数学模型人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用统计分析和分类讨论的方法，得出人在雨中奔跑时最佳的奔跑速度与淋雨量的关系。

因此从以下方面分析：一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W 与跑步速度v 之间的函数关系。

分析表明当跑步速度为maxv 时，淋雨量最少。

并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s 时淋雨量最少四，列出淋雨量W 和跑步速度v 之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。

分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

1、问题的重述要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高 1.5/a m s =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =，设跑步距离1000d m =，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量2/w cm h =，记跑步速度为v 。

问题一，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1,建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u w θ之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算0,30oθθ==时的总淋雨量。

问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u w θ之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算30oθ=时的总淋雨量。

问题四，以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

问题五，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

2、问题的分析问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w 均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总 面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W 。

问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。

根据分析可以得到人在头部及身体前面淋雨，计算模型中长方体的面积，再根据人的速度和跑步路程得出时间t,进而求出在人体总的淋雨量.据此可得W 与v 之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。

图1问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2图二所示。

左右方向上淋雨量为0。

头顶上单位时间内接收雨的量1w 与雨速垂直方向上的分量成正比，1W 为头顶面积bc 与时间的d/v 以及1w 之积。

当sin v u θ<时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量2w 与人前进方向上人相对于雨的速度（usin θ-v ）成正比，据此推算出2W ；而当sin v u θ<时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即2w 与sin v u θ-成正比。

2W 为人体前面积ab 和跑步时间d/v 顶淋雨量以及2w 之积。

由此可计算出总的淋雨量。

12W W W =+，据此可得W 与v 之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。

问题四以总淋雨量W 为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB 作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。

问题五，如图三，为人体模型的俯视图。

需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为cos u β，相对速度为sin cos v u θβ-，乘上垂直受雨的面积ab 以及时间dv 即为前后侧受雨量2W 。

因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为sin sin u θβ乘上面积ac 以及时间dv极为左右受雨量3W .而头顶受雨与雨速和人速夹角大小无关，因此1W 仍按（2）、（3）问的算法做。

由123W W W W =++可得雨量求法公式。

图33、模型的假设与符号说明、模型的假设1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。

人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

、符号说明h :人的身高w :宽度d ：厚度v :速度θ：降雨下落方向与人的夹角W ：淋雨总量I :降雨大小(降雨强度) D ：路程4、模型的建立与求解问题一：不考虑雨的方向，因为降雨量w 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下： ()max22d W ab bc ac w v =++，利用MATLAB 编程求解，可得： 0.0024W ≈3m 问题二：将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1u 、行走时间有关。

列式求解如下： 头顶：11cos u u s bc==θ假设降雨量w 与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：111111cos cos cos w u w w d bcdw W w s t w bcv v∝====θθθ正面：2sin v v u=+θ而222222212sin sin sin sin v u uw v w wv uw w u v abdW w s t wu v bd av W W W w c a v u +∝=+=⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭θθθ+1θ利用MATLAB 编程求解，可得：当v =5m/s 时，淋雨量W 最小；当θ=0°时，W = 3m ，当θ=30°时，W =3m图4图5问题三：将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前后两面），1s 面积为1s bc= 假设：1w 与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

头顶：111111cos cos cos w v v u w w ds w t bcw vααα∝=∴===1W正面：当sin u v α<时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面2222sin sin w v v u v v u w w uαα∝-=-∴=2sin v u dW wab u vα-=当sin u v ≥θ时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面2222sin sin w v u v v u vw w uαα∝-=-∴=2sin u v dW wab u vα-=，因为12W W W =+ 所以[][]cos sin sin cos sin sin bcw d u v d wab u v v u v W bcw d v u d wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩>编程求解可得：当v =2m/s 时，总淋雨量最少；雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为3m 。

问题四： 合速度sin u v α-总淋雨量 [][]cos sin sin cos sin sin bcw d u vd wab u v v u v W bcw d v u d wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩>若ccos α-asin α<0,即：tan α>c/a,则v=usin α时，W 最小。

否则，V=m v 时，W 最小。

（如下图）α当a=30°，tanα>,v=2m/s,W ≈升最小，可与v=Vm,≈升相比。

分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要α不太小，满足tanα>c/a,即：α>时，v=usinα,W最小。

此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

问题五：该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。

设雨线与跑步速度方向夹角为δ。

作图如下：W1=bcdwsinδcosβ/v雨速水平分量 ucosδ(方向与v相反)合速度 ucosδ+v 单位面积时间的淋雨量ω（ucosδ+v）/uW2=abdω(ucosδ+v)/uvW3=acdwsinδsinβ/vW=W1+W2+W3=bcdwsinδcosβ/v+abdw(ucosδ+v)/uv+acdwsinδsinβ/v由以上式子可知，当v 最大时，W最小。

其他情况与问题二处理类似，利用速度分解和合成，可以解决。

本质并无区别。

5、模型的评价、模型优点通过模型的建立，对雨的各个方向进行了讨论，比较客观得出了人的速度与淋雨量的关系。

同时应用了matlab等软件的得到了比较准确的结果，并与实际情况相比较，忽略次要干扰，得到了比较满意的结果。

、模型改进此模型将人近似类比为长方体，与人体的实际形状有较大的差异，经分析后发现可以将人类比于一个长方体加一个球；并且文章没有考虑到人在奔跑时雨淋到身上并不是准确的直线，而是会发生偏折。

参考文献：l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998) 2、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)小组成员：熊俞超辛晓云。