高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.2习题课—指数函数及其性质课件新人教A版必修1
a x ( ) >1来解. b
【补偿训练】函数y= 2x1 3x 的定义域是_______.
【解析】由32x-1-3x≥0得32x-1≥3x,所以2x-1≥x,即 x≥1.
答案:[1,+∞)
类型三
指数函数性质的综合应用
【典例3】(2017·大庆高一检测)已知定义在R上的
x 2 奇函数f(x)= x a . 2 b
(1)求a,b的值.
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性. (3)求该函数的值域.
【解题指南】(1)利用奇函数的定义列出a,b的方程组,
求解a,b的值. (2)利用增函数、减函数的定义去判断.
(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 (或
分母)含有未知数的形式更容易求值域.
【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,
2
2 1 2 22 2 2 1 2 1.
x1 x1 x1 x2 x1 x2
1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x1 1
x2
1
因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,
所以 2x 2x <0.又因为( 2 x +1)( 2x +1)>0,
【解析】(1)原不等式⇔2-2x+1≤2⇔-2x+1≤1⇔x≥0, 故原不等式的解集为[0,+≦). (2)因为f(x)=ax(a>1)是R上的增函数,且a-3x>ax+4, 所以-3x>x+4,即x<-1,故x的取值范围是x<-1.
【延伸探究】 1.若把本例(2)中的“a>1”换为“0<a<1”,其他条件 不变,则结果又是什么呢?
【解析】(1)因为0< 2 <1,所以函数y= ( 2 ) x 在其定义
5 5
域R上单调递减,又因为-1.8>-2.5,所以 ( 2 )1.8 ( 2 ) 2.5 .
5 5
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y= ( 2 ) x
与y= ( 3 ) x 的图象,如图所示.当x=-0.5时,由图象观察
②因为 ( 5 ) 0.4 =0.80.4,
4
7
7
又因为y=0.8x是减函数且0.5>0.4,
所以0.80.5<0.80.4,即0.80.5< ( 5 ) 0.4 ;
4
③因为0.6-2>0.60=1,
2 4 所以0.6-2> ( ) 3 . 3
4 2 4 ( ) 3 ＜( )0 1, 3 3
4 可得 ( 2 )0.5 ( 3 ) 0.5 . 3 4
3
(3)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在 定义域R上均是减函数,且在区间(0,+≦)上函数y=0.2x 的图象在函数y=0.3x的图象的下方(类比于题(2)图), 所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数可得 0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
【方法总结】比较幂值大小的三种类型及处理方法
【巩固训练】已知a是方程x2-x-1=0的正根且 f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小
关系是________.
【解析】由题意a=
5 1 >1,所以f(x)=ax在R上是 2
增函数,又因为f(m)>f(n),故m>n. 答案:m>n
类型二
简单的指数不等式
2
【典例2】(1)解不等式 ( 1 ) 2x 1 ≤2. (2)若a-3x>ax+4(a>1),求x的取值范围.
【解题指南】(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算 性质化为以2为底的指数式,然后利用指数函数y=2x的 单调性即可求解. (2)利用指数函数y=ax(a>1)在R上是增函数,将原不等 式化为一元一次不等式来求解.
【补偿训练】比较下列各组数的大小:
5 5 5 ①( ) 1.8 ,( ) 2.5；②0.80.5 ,( ) 0.4； 7 7 4 2 4 ③0.62 ,( ) 3 . 3
【解析】①因为y= ( 5 ) x 是减函数且-1.8>-2.5,
7
所以 ( 5 ) 1.8＜( 5 ) 2.5 ;
【方法总结】af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)型的指数不等式 的解法 (1)a>1时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x). (2)0<a<1时,af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x). 提醒:不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,不 能写成不等式的形式.
【拓展】非同底的简单指数不等式的解法 (1)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂 的形式,再借助y=ax的单调性求解. (2)形如ax>bx的不等式,可借助图象求解,也可转化为
第2课时
习题课——指数函数及其性质
类型一
比较两数的大小
【典例1】比较下列各题中两个值的大小:
2 1.8 2 2.5 2 0.5 3 0.5 ( ) . 2 ( ) ， ( ) . 1 ( ) ， 5 5 3 4
(3)0.20.3,0.30.2.
【解题指南】利用指数函数的单调性、图象或中间量 比较大小.
【解析】因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数, 所以a-3x>ax+4⇔-3x<x+4⇔x>-1, 故x的取值范围是x>-1.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0且a≠1”,其他 条件不变,则结果又是什么呢?
【解析】当a>1时,原不等式⇔-3x>x+4⇔x<-1, 当0<a<1时,原不等式⇔-3x<x+4⇔x>-1, 故当a>1时,x的取值范围是x<-1, 当0<a<1时,x的取值范围是x>-1.
1 a 1 b 0, a 1, f 0 0, 1 所以 即 a 解得 2a b 1. f 1 f 1， 2 , 2b 1 b 2
(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
x 2 由(1)知f(x)= x 1 .设x1,x2∈R,且x1<x2,则 2 1 2x1 1 2x 2 1 f(x1)-f(x2)= x x2 1 2 1 2 1
【补偿训练】函数y= 2x1 3x 的定义域是_______.
【解析】由32x-1-3x≥0得32x-1≥3x,所以2x-1≥x,即 x≥1.
答案:[1,+∞)
类型三
指数函数性质的综合应用
【典例3】(2017·大庆高一检测)已知定义在R上的
x 2 奇函数f(x)= x a . 2 b
(1)求a,b的值.
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性. (3)求该函数的值域.
【解题指南】(1)利用奇函数的定义列出a,b的方程组,
求解a,b的值. (2)利用增函数、减函数的定义去判断.
(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 (或
分母)含有未知数的形式更容易求值域.
【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,
2
2 1 2 22 2 2 1 2 1.
x1 x1 x1 x2 x1 x2
1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x1 1
x2
1
因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,
所以 2x 2x <0.又因为( 2 x +1)( 2x +1)>0,
【解析】(1)原不等式⇔2-2x+1≤2⇔-2x+1≤1⇔x≥0, 故原不等式的解集为[0,+≦). (2)因为f(x)=ax(a>1)是R上的增函数,且a-3x>ax+4, 所以-3x>x+4,即x<-1,故x的取值范围是x<-1.
【延伸探究】 1.若把本例(2)中的“a>1”换为“0<a<1”,其他条件 不变,则结果又是什么呢?
【解析】(1)因为0< 2 <1,所以函数y= ( 2 ) x 在其定义
5 5
域R上单调递减,又因为-1.8>-2.5,所以 ( 2 )1.8 ( 2 ) 2.5 .
5 5
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y= ( 2 ) x
与y= ( 3 ) x 的图象,如图所示.当x=-0.5时,由图象观察
②因为 ( 5 ) 0.4 =0.80.4,
4
7
7
又因为y=0.8x是减函数且0.5>0.4,
所以0.80.5<0.80.4,即0.80.5< ( 5 ) 0.4 ;
4
③因为0.6-2>0.60=1,
2 4 所以0.6-2> ( ) 3 . 3
4 2 4 ( ) 3 ＜( )0 1, 3 3
4 可得 ( 2 )0.5 ( 3 ) 0.5 . 3 4
3
(3)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在 定义域R上均是减函数,且在区间(0,+≦)上函数y=0.2x 的图象在函数y=0.3x的图象的下方(类比于题(2)图), 所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数可得 0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
【方法总结】比较幂值大小的三种类型及处理方法
【巩固训练】已知a是方程x2-x-1=0的正根且 f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小
关系是________.
【解析】由题意a=
5 1 >1,所以f(x)=ax在R上是 2
增函数,又因为f(m)>f(n),故m>n. 答案:m>n
类型二
简单的指数不等式
2
【典例2】(1)解不等式 ( 1 ) 2x 1 ≤2. (2)若a-3x>ax+4(a>1),求x的取值范围.
【解题指南】(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算 性质化为以2为底的指数式,然后利用指数函数y=2x的 单调性即可求解. (2)利用指数函数y=ax(a>1)在R上是增函数,将原不等 式化为一元一次不等式来求解.
【补偿训练】比较下列各组数的大小:
5 5 5 ①( ) 1.8 ,( ) 2.5；②0.80.5 ,( ) 0.4； 7 7 4 2 4 ③0.62 ,( ) 3 . 3
【解析】①因为y= ( 5 ) x 是减函数且-1.8>-2.5,
7
所以 ( 5 ) 1.8＜( 5 ) 2.5 ;
【方法总结】af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)型的指数不等式 的解法 (1)a>1时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x). (2)0<a<1时,af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x). 提醒:不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,不 能写成不等式的形式.
【拓展】非同底的简单指数不等式的解法 (1)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂 的形式,再借助y=ax的单调性求解. (2)形如ax>bx的不等式,可借助图象求解,也可转化为
第2课时
习题课——指数函数及其性质
类型一
比较两数的大小
【典例1】比较下列各题中两个值的大小:
2 1.8 2 2.5 2 0.5 3 0.5 ( ) . 2 ( ) ， ( ) . 1 ( ) ， 5 5 3 4
(3)0.20.3,0.30.2.
【解题指南】利用指数函数的单调性、图象或中间量 比较大小.
【解析】因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数, 所以a-3x>ax+4⇔-3x<x+4⇔x>-1, 故x的取值范围是x>-1.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0且a≠1”,其他 条件不变,则结果又是什么呢?
【解析】当a>1时,原不等式⇔-3x>x+4⇔x<-1, 当0<a<1时,原不等式⇔-3x<x+4⇔x>-1, 故当a>1时,x的取值范围是x<-1, 当0<a<1时,x的取值范围是x>-1.
1 a 1 b 0, a 1, f 0 0, 1 所以 即 a 解得 2a b 1. f 1 f 1， 2 , 2b 1 b 2
(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
x 2 由(1)知f(x)= x 1 .设x1,x2∈R,且x1<x2,则 2 1 2x1 1 2x 2 1 f(x1)-f(x2)= x x2 1 2 1 2 1
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高中数学第二章基本初等函数I1-2指数函数及其性质3课件新人教版必修
解析答案
题型四 指数型函数的综合应用 例 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数.
(1)求a的值；
解 ∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即 a＋12＝0，a＝－12.
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； 解 由(1)知 f(x)＝－12＋4x＋1 1，
反思与感悟
解析答案
1 跟踪训练2 (1)不等式4x<42－3x的解集是_{_x_|x_<_2_}_.
(2)设 0<a<1，关于 x 的不等式 a2x2 3x+7 > a2x2 2x-3 的解集是{_x_|_x_>_2_}_. 解析 (1)由 4x<42－3x，得 x<2－3x，即 x<12， 所以不等式的解集为{x|x<12}.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
解析答案
题型二 利用指数型函数的单调性解不等式 例 2 (1)解不等式(12)3x－1≤2； 解 ∵2＝(12)－1， ∴原不等式可以转化为(12)3x－1≤(12)－1. ∵y＝(12)x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 求函数 y＝ 2x2 2x 的单调区间. 解 函数 y＝ 2x2 2x 的定义域是 R. 令u＝－x2＋2x，则y＝2u. 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数， 所以函数 y＝ 2x2 2x 在(－∞，1]上是增函数. 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数， 所以函数 y＝ 2x2 2x 在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数 y＝ 2x22x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
题型四 指数型函数的综合应用 例 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数.
(1)求a的值；
解 ∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即 a＋12＝0，a＝－12.
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； 解 由(1)知 f(x)＝－12＋4x＋1 1，
反思与感悟
解析答案
1 跟踪训练2 (1)不等式4x<42－3x的解集是_{_x_|x_<_2_}_.
(2)设 0<a<1，关于 x 的不等式 a2x2 3x+7 > a2x2 2x-3 的解集是{_x_|_x_>_2_}_. 解析 (1)由 4x<42－3x，得 x<2－3x，即 x<12， 所以不等式的解集为{x|x<12}.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
解析答案
题型二 利用指数型函数的单调性解不等式 例 2 (1)解不等式(12)3x－1≤2； 解 ∵2＝(12)－1， ∴原不等式可以转化为(12)3x－1≤(12)－1. ∵y＝(12)x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 求函数 y＝ 2x2 2x 的单调区间. 解 函数 y＝ 2x2 2x 的定义域是 R. 令u＝－x2＋2x，则y＝2u. 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数， 所以函数 y＝ 2x2 2x 在(－∞，1]上是增函数. 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数， 所以函数 y＝ 2x2 2x 在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数 y＝ 2x22x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第2
2．(1)f(x)＝ax－1＋1 过定点________．
(2)函数 y＝a2x＋b＋1(a>0 且 a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1,2)，则 b 的值为
________．
(3)y＝a|x|的图象关于________对称( )
A．x 轴
B．y 轴
C．原点
D．y＝x
解析：(1)f(x)＝ax－1＋1 的图象是由 y＝ax 向右平移一个单位，然后向上平移一个 单位得来． (2)令 2x＋b＝0，得 2×1＋b＝0，∴b＝－2. (3)y＝a|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称． 答案：(1)(1,2) (2)－2 (3)B
[双基自测] 1．若函数 f(x)＝3x＋3－x 与 g(x)＝3x－3－x 的定义域为 R，则( ) A．f(x)与 g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与 g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
答案：B
2.指数函数 y＝ax 与 y＝bx 的图象如图，则( ) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 答案：C
3．y＝2|x|的图象可能是( )
答案：C 4．y＝ax＋1(a>0 且 a≠1)过定点________． 答案：(0,2)
探究一 指数函数的图象 [典例 1] 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx； ④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( ) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
∴f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.2指数函数图象与性质的应用课件新人教A版必修1
解 (1)证明：由题知 f(x)的定义域为 R. f(－x)＝33－ －xx－ ＋11＝33－ －xx－ ＋11··33xx＝11＋－33xx＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．
(2)f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：任取 x1，x2∈R，且 x1<x2，
f(x2)
－
f(x1)＝
3x2－1 3x2＋1－
(3)函数 y＝af(x)的单调区间既要考虑 f(x)的单调区间，又 要讨论 a 的取值范围：当 a>1 时，函数 y＝af(x)与函数 f(x) 的单调性相同；当 0<a<1 时，函数 y＝af(x)与函数 f(x)的单调 性相反．
【跟踪训练 4】 已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11. (1)证明：f(x)为奇函数； (2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明．
解得
7 x<6.
综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围是76，＋∞；当
0<a<1 时，x 的取值范围是－∞，76.
探究4 指数函数性质的综合应用 例 5 已知函数 f(x)＝a－2x＋1 1(x∈R)． (1)用定义证明：不论 a 为何实数，f(x)在(－∞，＋∞) 上为增函数； (2)若 f(x)为奇函数，求 a 的值； (3)在(2)的条件下，求 f(x)在区间[1,5]上的最小值．
解 af(x)>ag(x)(a>0，且 a≠1)此类不等式主要依据指数函 数的单调性，它的一般步骤为：
【跟踪训练 3】 求满足下列条件的 x 的取值范围： (1)3x－1>9x； (2)0.2x<25； (3)a－5x<ax－7(a>0，且 a≠1)．
解 (1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x， 又 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， ∴x－1>2x，∴x<－1，即 x 的取值范围是(－∞，－1)．
(2)f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：任取 x1，x2∈R，且 x1<x2，
f(x2)
－
f(x1)＝
3x2－1 3x2＋1－
(3)函数 y＝af(x)的单调区间既要考虑 f(x)的单调区间，又 要讨论 a 的取值范围：当 a>1 时，函数 y＝af(x)与函数 f(x) 的单调性相同；当 0<a<1 时，函数 y＝af(x)与函数 f(x)的单调 性相反．
【跟踪训练 4】 已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11. (1)证明：f(x)为奇函数； (2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明．
解得
7 x<6.
综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围是76，＋∞；当
0<a<1 时，x 的取值范围是－∞，76.
探究4 指数函数性质的综合应用 例 5 已知函数 f(x)＝a－2x＋1 1(x∈R)． (1)用定义证明：不论 a 为何实数，f(x)在(－∞，＋∞) 上为增函数； (2)若 f(x)为奇函数，求 a 的值； (3)在(2)的条件下，求 f(x)在区间[1,5]上的最小值．
解 af(x)>ag(x)(a>0，且 a≠1)此类不等式主要依据指数函 数的单调性，它的一般步骤为：
【跟踪训练 3】 求满足下列条件的 x 的取值范围： (1)3x－1>9x； (2)0.2x<25； (3)a－5x<ax－7(a>0，且 a≠1)．
解 (1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x， 又 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， ∴x－1>2x，∴x<－1，即 x 的取值范围是(－∞，－1)．
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质课件新人教A版必修1
解:y=2|x|= 1
, < 0,
2
其图象是由 y=2 (x≥0)与 y=
x
1
(x<0)两部分合并而成,
2
则原函数的图象关于y轴对称,如图.
由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递
减区间为(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三指数函数的性质及其应用
象过定点(m,k+b).
1
3.指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是
利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?
2 , ≥ 0,
④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图
象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标
即为底数,由此可得底数的大小.
2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数
, < 0,
2
其图象是由 y=2 (x≥0)与 y=
x
1
(x<0)两部分合并而成,
2
则原函数的图象关于y轴对称,如图.
由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递
减区间为(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三指数函数的性质及其应用
象过定点(m,k+b).
1
3.指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是
利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?
2 , ≥ 0,
④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图
象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标
即为底数,由此可得底数的大小.
2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数
高中数学第二章基本初等函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数性质的应用新人教A版必修1
• 2．有关指数型函数的性质
• (1)求复合函数的定义域
• 形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
• 求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再 由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a 进行讨论．
• 求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再 结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
41
(4)∵
5 9
2 1
＝(89)12
<(89)0＝1，
10 2
∴(45)21
91 <(10)2
，
∵y＝(190)x在R上为减函数，又12>13，
∴(190)21
91 <(10)3
Байду номын сангаас
，∴(45)12
91 <(10)3
.
• 『规律方法』 比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当 底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间 量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．
• [错因分析] 换元时，要利用指数函数的性质确定t的取值 范围，错解中忽略了这一点．
[正解] 令t＝(12)x，则t＞0，y＝f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34， 因为函数f(t)＝(t＋12)2＋34在(0，＋∞)上为增函数， 所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
• [警示] 用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元” 的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的 取值范围．
• 二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图 象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
1．下列判断正确的是 A．2.52.5>2.53 C．π2<π 2
高中数学第2章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质课件新人教A版
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
(2)函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3，4) [(1)由于 f(x)的图象单调递减，所以 0<a<1， 又 0<f(0)<1，所以 0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选 D. (2)令 x－3＝0 得 x＝3，此时 y＝4.故函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1) 的图象过定点(3，4)．]
即函数 y＝4x＋2x＋1＋2 的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝ 13x－1”，求其定义域． [解] 由13x－1≥0 得13x≥130，∴x≤0，即函数的定义域为(－ ∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] (1)函数 f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝13－1＝3， f(π)＝3π，g(－π)＝13－π＝3π， f(m)＝3m，g(－m)＝13－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数 值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 y 轴对称．
并能根据指数函数的图象说明指 的求法，培养逻辑推理素养.
数函数的性质．(重点)
自主预习 探新知
1．指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自 变量，函数的定义域是 R ．
2．指数函数的图象和性质
a 的范围
a＞1
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.1指数函数的定义与简单性质课件新人教A版必修1
解析 (1)解法一：由图象可知③④的底数必大于 1，① ②的底数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点 的纵坐标即各指数函数的底数，则 1<d<c，b<a<1，从而可 知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 b<a<1<d<c.
解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再由③④比较 c，d 的大小，由①②比较 a，b 的大小．当指数函数的底数 大于 1 时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近 y 轴； 当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向右越 靠近 x 轴．
随堂达标自测
1．下列各函数中是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝12x
解析 根据指数函数的定义，y＝ax(a>0 且 a≠1)，可 知只有 D 项正确，故选 D.
2．若函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1
探究 1 指数函数的概念
例 1 1 (1)①若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，则 f(－ 2)＝_____9___，f(1)＝____3____；
②若函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且 a≠1)是指数函数， 则 m＝__0_或___1__.
(2)下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x； ②y＝2x2－1； ③y＝ax； ④y＝(2a－1)xa>12，且a≠1； ⑤y＝2·3x.
【跟踪训练 3】 求下列函数的定义域和值域：
解 (1)由 x－1≠0 得 x≠1，所以函数的定义域为 {x|x≠1}．
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点 的纵坐标即各指数函数的底数，则 1<d<c，b<a<1，从而可 知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 b<a<1<d<c.
解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再由③④比较 c，d 的大小，由①②比较 a，b 的大小．当指数函数的底数 大于 1 时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近 y 轴； 当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向右越 靠近 x 轴．
随堂达标自测
1．下列各函数中是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝12x
解析 根据指数函数的定义，y＝ax(a>0 且 a≠1)，可 知只有 D 项正确，故选 D.
2．若函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1
探究 1 指数函数的概念
例 1 1 (1)①若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，则 f(－ 2)＝_____9___，f(1)＝____3____；
②若函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且 a≠1)是指数函数， 则 m＝__0_或___1__.
(2)下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x； ②y＝2x2－1； ③y＝ax； ④y＝(2a－1)xa>12，且a≠1； ⑤y＝2·3x.
【跟踪训练 3】 求下列函数的定义域和值域：
解 (1)由 x－1≠0 得 x≠1，所以函数的定义域为 {x|x≠1}．
高中数学第二章基本初等函数I1-2指数函数及其性质5课件新人教版必修
知识点一 指数函数的概念 [核心解读]
指数函数中规定a>0，且a≠1的原因 1．如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． 2．如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，该函数无意义． 3．如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
思考 1 形如 y＝ax 型的式子一定是指数函数吗？ y＝2ax 型的式子？y＝ax＋1 呢？
提示： y＝ax中当a>0且a≠1时才是指数函数． y＝2ax与y＝ax＋1都不是指数函数，只有形如y＝ax(a>0且a≠1)时才是指数函数． 思考 2 确定指数函数的解析式时，主要是确定哪个量？
提示：因为指数函数的解析式为y＝ax(a>0，且a≠1)，故要确定指数函数的解析式，只需确定a的值．
当x<0时，__y_>_1___.
是R上的___增_函__数___
是R上的_减__函__数__
自我小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
提示： 通过图象看出y＝2x与y＝21x的图象关于y轴对称，y＝3x与y＝31x的图象也关于y轴对称． 图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}．
思考2 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 提示：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0,1)．
[典例示法]
例2 如图是指数函数： ①y＝ax(a>0且a≠1)， ②y＝bx(b>0且b≠1)， ③y＝cx(c>0且c≠1)， ④y＝dx(d>0且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
指数函数中规定a>0，且a≠1的原因 1．如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． 2．如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，该函数无意义． 3．如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
思考 1 形如 y＝ax 型的式子一定是指数函数吗？ y＝2ax 型的式子？y＝ax＋1 呢？
提示： y＝ax中当a>0且a≠1时才是指数函数． y＝2ax与y＝ax＋1都不是指数函数，只有形如y＝ax(a>0且a≠1)时才是指数函数． 思考 2 确定指数函数的解析式时，主要是确定哪个量？
提示：因为指数函数的解析式为y＝ax(a>0，且a≠1)，故要确定指数函数的解析式，只需确定a的值．
当x<0时，__y_>_1___.
是R上的___增_函__数___
是R上的_减__函__数__
自我小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
提示： 通过图象看出y＝2x与y＝21x的图象关于y轴对称，y＝3x与y＝31x的图象也关于y轴对称． 图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}．
思考2 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 提示：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0,1)．
[典例示法]
例2 如图是指数函数： ①y＝ax(a>0且a≠1)， ②y＝bx(b>0且b≠1)， ③y＝cx(c>0且c≠1)， ④y＝dx(d>0且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )