高数预备知识
r 2 sin , (0 )
极坐标方程 r r ( ) 化成参数方程为
x r ( ) cos y r ( ) sin
0.7 关于命题
数学的讨论离不开命题. 本节我们简单介绍一些 关于命题的有关问题, 特别介绍命题的否定形式. 我们用A 表示一个命题，命题A 的否定记为 A, 读作非A. 如果命题A 成立时命题B 一定成立题,
角度进行定义.
设 A, B是两个非空集合, 称
A B {( x, y ) | x A, y B}
为A与B的直积, 或笛卡尔积, ( x, y ) 称为有序对.
A B 的任意子集都称为集合A 到集合B的
一个二元关系.
如果 f 是集合A 到B的一个二元关系, 并且 x A,
都存在唯一的 y B , 使得 ( x , y ) f , 则称 f 是A到B的 一个函数. 设 y f ( x ) 是一元函数, 如果 y R f , 都存在 唯一的 y D f ,使得 y f ( x ), 记之为 x f 1 ( y ), 称为 y f ( x ) 的反函数.
2
x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是奇函数.
余弦函数 y cos x
y
1
y cos x
2
3 2
2
O
1
3 2
2
5 2
x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是偶函数.
sin x 正切函数 y tan x cos x
y
1, y sgn x 0, 1,
x0 x0 x0
1
o
1
x
x R, 有
x x sgn x .
例4 取整函数 y [x ] 表示不超过x 的最大整数.
y [x ] n, 当 n x n 1 , n Z
如
2.5 2
5.2 5
基本初等函数只有11种形式, 简单的复合函数 也只有11种形式, 更复杂的复合函数则可以由这11
种形式多层复合得到. 复合函数的11种形式如下：
[ f ( x )] , a f ( x ) , log a
f ( x)
, sin f ( x ) ,cos f ( x )
tan f ( x ),cot f ( x ), arcsin f ( x ) , arccos f ( x )
arctan f ( x ), arc cot f ( x ),
其中 f ( x ) x.
形如 f ( x ) g ( x ) 的函数称为幂指函数, 幂指函数 也是复合函数,
因 f ( x ) g ( x ) e g ( x ) ln f ( x ) .
复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数), 剥皮法 由函数的最外层运算一层层剥到最
标方程.
y f ( x ) 称为显函数.
), 如果x I ( I为区间 都存在唯一的 y, 满足方程
F ( x, y ) 0
则称 y是由方程 F ( x, y ) 0 确定的 x的隐函数.
通常很难或无法写出隐函数的显式表达式.
例如,
e xy x y 1 0.
1. 参数方程
1 正割函数 y sec x cos x
余割函数
1 y csc x sin x
常用三角函数公式:
(1) sin2 x cos 2 x 1
( 2) tan x 1 sec x
2 2
( 3) cot 2 x 1 csc2 x
(4) sin 2 x 2 sin x cos x
或者简记为 D f 和 R f .
如果用集合的记号, 则一元函数 y f ( x ) 可表示为
f {( x , y ) | x D f , y f ( x )}
R 2 的子集, 这个子集在平面上的表示就是 集合 f 是
函数 y f ( x ) 的图像.
集合论是现代数学的基础, 函数也可以从集合
y
y x
(1,1)
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
幂函数的定义域与
的取值有关.
x 2. 指数函数 y a
(a 0, a 1)
1 y a
x
y ax
(a 1)
( 0,1)
特别地， y e , e 2.718.
x
3. 对数函数 y log a x
解
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t , y a sin3 t 令
则星形线的参数方程为
a
y
a
x a cos 3 t , (0 t 2 ) 3 y a sin t
O
a
a
x
2. 极坐标系与极坐标方程
(1) 极坐标系
在空间取定一点O, 称为极点,以O为起点作射线,
| sin x | 1,
| cos x | 1,
x (,)
| arcsin x | | arctan x |
2
,
| arccos x | , x [1,1]
2
, | arc cot x | , x (,)
0.3.3 分段函数与Dirichlet函数
y
3
2
1
阶 梯 曲 线
2.5 3
2
1 1 o 1
2
2
3
4
x
定义域 dom ( f ) R, 值域 ran( f ) Z .
0.4 基本初等函数
基本初等函数可分为五大类, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数. 1. 幂函数 y x ( 是常数, 0)
(a 0, a 1)
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
特别地，y log e x 记为
y ln x 称为自然对数.
4. 三角函数 正弦函数 y sin x
y
1
y sin x
2
3 2
2
O
1
2
3 2
设 x0 与 是两个实数, 且 0.
数集{ x x x0 }, 称为点 x0 的 邻域,
点 x0 称为邻域的中心, 称为邻域的半径.
记作
U ( x0 , ) { x x0 x x0 }
x0
x0
x0
x
点 x0 的去心的 邻域, 也称空心邻域, 记作 U ( x0 , ).
高等数学教程
北京工业大学
第0章
0.1 两个常用符号
全称量词：
预备知识
: Any(每一个)或All(所有的)的字头 A 的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定”.
存在量词：
:
Exist(存在)的字头 E 的倒写
“ ” 表示 “存在 ”, “至少存在一个 ”.
0.2 邻域与去心邻域
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不
同的式子来表示的函数, 称为分段函数.
2 x 1, 例1 f ( x ) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
1, 例2 狄里克莱函数 D( x ) 0,
x 是有理数 , x 是无理数 .
例3 符号函数
2
y 1 x2 .
定义 设函数 y f (u) 的定义域为 dom ( f ), 而函数
u g( x ) 的值域为 ran( g ), 若 dom ( f ) ran( g ) ,
则称函数 y f [ g( x )] 为x 的复合函数. x 是自变量, u 称为中间变量, y 是因变量. 注意: 复合函数可由两个以上的函数复合而成.
设 f ( x ) 是D上有定义若 M 0, 使得x D, 有 .
f ( x) M
; 则称 f ( x ) 在D上有界, 也称 f ( x ) 是D上的有界函数
否则, 称 f ( x ) 在D上无界.
y
M
y f ( x)
y
M
o
M
x
x0
o
y f ( x)
有界 D
D
无界
x
M
六个常见的有界函数:
里边, 切不可漏层.
x 例如 y cot , 2
x y u , u cot v , v . 2
2. 初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示的函数, 称为初等函数.
0.6 函数的表示
数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析
表达式)、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐
y tan x
cos x 余切函数 y cot x sin x
y y cot x
3 2
2
O
2
3 2
x
2
O
2
3 2
2
x
高数一基础知识
高数一基础知识高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a⎧=⎨-⎩a a ≥∠3．乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)4.一元二次方程（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2+px+q=0设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；1212p qx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩（4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1nna a = （2）m n m na a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;(1)x y x y a a a +⋅=(2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数,记作：log a n =X,lnX ，lgX;5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N(2) loglog log a a MM N N=- (3) log log xa a N x N =⋅ (4)换底公式：log log log a b a NN b =（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式 （1）;X a a X a ≤⇒-≤≤ （2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程 判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;xx -+≥ （2）2320;xx -+＜（四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c=++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a-（-,）； 对称轴：2bx a=-； 最值：244ac b y a-=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （n=1,2,3）；4、指数函数：xy a = （x e ）；5、对数函数：y=ln x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角(二)三角变换 1．倒数关系sin α·csc α=1 tan α·cot α=1 sec α·cos α=1sec α=1cos α csc α=1sin α cot α=1tan α 2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
1.1 高等数学预备知识
有理数集
Q
p
q
p Z,
q
N
且
p 与q 互质;
实数集 R; 正实数集 R . 非零实数集 R+ .
复数集 C {z x iy | x, y R, i2 1}.
其中 i 称为虚单位，实数 x 和 y 分别称为复数 z 的实部和虚部， 记为 x Re z, y Im z 。
第一节 预备知识
性质：(1) (2) (3) ， C C.
第一节 预备知识
3.集合的运算：并、交、补 交集： AI B {x x A,且 x B}
并集: AUB {x x A,或 x B} 差集: A \ B {x x A,且 x B}
补集设: A是一个集合，B是A的一个子集，由A中所有
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
第一节 预备知识
分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用 不同的式子来表示的函数。
例如,
f
(x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
第一节 预备知识
2、几个特殊的函数举例
（1）
绝 对 值 函 数:
第一节 预备知识
为了叙述的方便和简洁，引入两个常用的逻辑符号：
逻辑符号 ：表示“任意给定”或“任取”或“对所
有的”。
例如 >表0示任意给定的一个正数 或任取一个正数 或对 所有大于零的数。
逻辑符号 ：表示“存在”或“至少存在一个”。
例如 n 表N示 存在正整数 n。
第一节 预备知识
定义1.1 设A R，且A ，若存在L R，使x A，
高等代数 预备知识
高等代数预备知识一知识回顾1、数的发展自然数(N)→整数(Z)→有理数(Q)→实数(R)→复数C（）（这会导致数的研究）2、式的发展字母代替数→单项式→多项式、分式、根式3、方程的发展（1）（一元多次方程）一元一次方程→一元二次方程→…（这会导致抽象代数的研究）（2）（多元一次方程组）二元一次方程组→三元一次方程组→…（这会导致高等代数的研究）4、函数的发展具体函数（一次、二次、指数、对数函数）→抽象函数（这会导致数学分析的研究）二、复习知识1、复数复数是指能写成如下形式的数a bi+,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开平方根）。
由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。
它满足四则运算等性质。
它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。
复数有多种表示形式，常用形式Z a bi =+叫做代数形式。
下面介绍另外几种复数的表达形式。
①几何形式。
在直角坐标系中，以x 为实轴，y 为虚轴，O 为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图）这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定复数Z a bi =+用复平面上的点(,)Z a b 表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形()()2k2kcos sinin nπθπθ++⎤=+⎥⎦01231n⋯⋯-（k＝，，，）8、单位根次根是次幂为的。
为次根次根有个：次根以乘法构成次次本原根是，其中和互质。
单位的次本原根数目为。
）单位的一次根有一个。
）单位的二次根有两个：和，只有是本原根。
其中是；除外都是本原根。
（4）单位的四次根是其中和是本原根。
10、和式当不小于，单位的次根总和为。
这一结果可以用不同的方法证明。
一个基本方法是等比级数：。
第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。
高等数学《预 备 知 识》课件
则称函数 f ( x) 在 X 上有界 . 否则称无界 .
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
f ( x) 1 在 (1,2)上有界 , 在 (1,1)上无界. x
函数有界的另一种定义:
设 f(x) 在区间 X 内有定义,若 M1 和 M2 使xX, 都有 M1 < f(x)< M2 , 则称 f(x) 在 X 内有界,而M1 和 M2称为f(x)在 X 上的一个下界和一个上界.
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5.反三角函数 (inverse trigonometric function)
五、复合函数(composite function)
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
在 X 上的全体有界函数构成的集合记为 B( X ).
f(x)在 X 上有界可表示为 f B( X ).
2．函数的单调性:
设函数 f (x) 的定义域为 D , 区间 I D ,
如果对于区间 I 上任意两点x1 及 x2 , 当 x1 x2 时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x) 在区间 I 上是单调增加的;
预备知识——高等数学
n
lim f ( x i )x .我们把这类形式的运算统一用符号
n
i 1
a
b
f ( x )dx
来表示，称为定积分。
为求和之意；f(x)称为被积函数；x为积分变量；a、b为积分限。
2. 定积分的几何意义：
定积分的几何意义为：积分区间范围内函数曲线下的面积。
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3. 定积分的计算： 原函数：如果某函数的导数等于被积函数
F ( x) f ( x)
'
则F(x)称为f(x)的原函数。 牛顿—莱布尼兹公式：
a f ( x )dx F ( x )
例题：计算下列定积分
b
b a
F (b) F (a )
1.
2 0
cos xdx sin x 0
( 2)
n
( k为常数）
1 n1 x dx n 1x C
1 （3 dx ln x C ） x
1 1 x
2
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
( 5)
dx arcsin x C
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( 6)
(7)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
(13) (arcsin x) (14) (arccos x)
1 1 x2 1
， ，
(6) (cot x) csc2x， (7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x) csc x cot x，
(9) (ax)ax ln a ， (10) (ex)ex，
上页 下页
高数-预备知识
绝对值有以下一些基本性质： 绝对值有以下一些基本性质：
为任意实数， 设 x，y 为任意实数，则
1. x ≥ 0; 2. − x = x ; 4. x± y ≤ x + y ;
3.− x ≤ x≤ x ;
5. x − y ≤ x− y ;
6 . xy = x y ;
x x 7. = y y
( y ≠ 0) .
−1
O
1
2
P
x
数轴上的点 P
实数 x
一一对应
的右侧时， 当点 P 在原点 O 的右侧时，点 P 对应的实数 x 是 线段 OP 的长度 OP ，
x
P
x P O 的左侧时， 当点 P 在原点 O 的左侧时，点 P 对应的实数 x 是
通常称数轴为 1 维坐标系 .
线段 OP 的长度的相反数 − OP .
性质4 证明： 性质 证明：只证 x + y ≤ x + y .
由性质 3 可得
− x ≤ x ≤ x， y ≤ y ≤ y −
因此
这等价于
−( x + y)≤ x + y ≤ x + y x+ y ≤ x + y
性质5 证明： 由性质4 性质 证明： 由性质 可得
x = x− y+ y ≤ x− y + y
a x O b 类似地还有半开半闭区 间 (a , b] 和 [a , b ) .
这里 a , b分别为区间的左右端点 ， b − a 称为区间的长度 .
端点为无限的区间表示及其含义： 端点为无限的区间表示及其含义：
[a , + ∞ ) = { x a ≤ x < +∞ } = { x x ≥ a } ;
高等数学预备知识二---高等数学
积分与求和： 积分与求和： [ ∑ un ( x , t )]dxdt = ∑ [ ∫∫ un ( x , t )dxdt ] 0预 ∫∫
D xt
d ∂ u( x , y, t ) 求导与积分： dxdt 求导与积分： ∫∫ u( x , y, t )dxdt = ∫∫ Dxt dy Dxt ∂y
0 预 备 知 识 高 数 f (x)dx 部 分
1 x y(x) = C1 coskx + C2 sinkx + ∫ f (τ)sin[k(x − τ)]dτ 西安交通大学理学院 k 0
4. y′′ + k y = f (x)的通 解
2
数 学 物 理 方 程
1)r ≠ r2 ⇒ y = c1e + c2e 1 rx 2)r = r2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 1 1 0 αx 3)r ,2 = α ±βi ⇒ y = e (c1 cosβx + c2 sinβx) 预备 1
数 学 物 理 方 程
常数变易法 y 记 ′′ + py′ + qy = 0 线 无 解1(x), y2 (x) 的 性 关 y 设 齐 程 为y(x) = c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) 非 方 解 ′ ′ 充 件 y1c1 + y2c2 = 0 − − − −补 条 解方程组 y′c′ + y′c′ = f ( x) − −代 方 入 程 2 2 1 1
0 预 备 知 识 高 数 部 分
三. 交换运算次序---各式成立的条件 交换运算次序 各式成立的条件: 各式成立的条件
∞ ∞
∞ ∂ ∞ ∂ 求导与求和： ∑ un ( x , t ) = ∑ 求导与求和： un ( x , t ) L L
高等数学预备知识
b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
(1) (2)
(3) (4)
(5)
k dx k x C (k是常数)，
1 m1 x C ， x dx m 1 1 dx ln |x|C ， x 1 dx arctan x C ， 2 1 x 1 dx arcsin x C ， 2 1 x cos x dx sin x C ，
基本求导公式：
(1) (C)0， (2) (xm)m xm1，
(11)
(12)
(13) (14)
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ，
f ' ( x) tan
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导 数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢 量。
注意：以下是易混淆的两个表示：
y
和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即
kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
高数基础知识总结,助你轻松掌握数学要点
高数基础知识总结，助你轻松掌握数学要点
一、函数与极限
1. 函数的概念及其性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 函数的极限，包括趋近于无穷大时的极限和趋近于某点的极限，以及极限的四则运算法则。
3. 无穷小量与阶的比较，包括无穷小量及其性质，以及阶的比较及其应用。
二、导数与微分
1. 导数的概念及其几何意义，包括导数的定义、几何意义、物理意义等。
2. 导数的运算法则，包括四则运算法则、复合函数求导法则等。
3. 微分概念及其运算，包括微分的定义、几何意义、运算性质等。
三、积分与级数
1. 定积分的概念及其性质，包括定积分的定义、几何意义、可积条件等。
2. 定积分的计算方法，包括直接法、换元法、分部积分法等。
3. 无穷级数的概念及其性质，包括无穷级数的定义、收敛性、绝对收敛与条件收敛等。
4. 无穷级数的求和运算，包括幂级数求和、交错级数求和等。
四、多元函数微积分
1. 多元函数的极限与连续性，包括极限的定义、性质，连续性的概念等。
2. 偏导数与全微分，包括偏导数的概念、全微分的概念及其计算方法等。
3. 二重积分，包括二重积分的概念、性质、计算方法等。