2020年中考数学考点第06讲一次方程(组)及其应用

(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是 1 的方程组叫三元一次方程组． (2)三元一次方程组的解法： 三元一次方程组―消―元→二元一次方程组―消―元→一元一次方程 7．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设：设关键未知数； (3)找：找出各量之间的等量关系； (4)列：根据等量关系列方程(组)； (5)解：解方程(组)； (6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意； (7)答：规范作答，注意单位名称． 8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式 (1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程； 追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程； 水中航行问题：
31 5
故答案为： ．
31
9. 当 y=﹣3 时，二元一次方程 3x+5y=﹣3 和 3y﹣2ax=a+2（关于 x，y 的方程）有相同的解，则 a 的值是 ．
【答案】﹣ ． 【解答】：当 y=﹣3 时， 3x+5×（﹣3）=﹣3， 解得：x=4， 把 y=﹣3，x=4 代入 3y﹣2ax=a+2 中得， 3×（﹣3）﹣2a×4=a+2，
【答案】15 【解答】∵
当 y=127 时，
解得：x=43；
当 y=43 时，
解得：x=15；
当 x=15 时,
解得
不符合条件。
则输入的最小正整数是 15.
故答案为：15.
8. （2019•湖南岳阳•4 分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，
五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日
{ ) 顺水速度＝船在静水中速度＋水流速度；
逆水速度＝船在静水中速度______水流速度. (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量． (3)利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率； 售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ． (4)利息问题： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息．
【例题 3】（2018•德州）对于实数 a，b，定义运算“◆”：a◆b=
，例如 4◆3，因为
4＞3．所以 4◆3=
=5．若 x，y 满足方程组
，则 x◆y= ．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
【解答】：由题意可知：
，
解得： ∵x＜y， ∴原式=5×12=60 故答案为：60 考点 4：二元一次方程(组)的应用 【例题 4】(2019 甘肃省陇南市)（6 分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性 笔和笔记本的单价分别是多少元？
若买 3 支玫瑰和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元．若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31 元
B．30 元
C．25 元
D．19 元
【答案】A 【解答】解：设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元， 依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4， ∴y＝x+7， ∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31． 故选：A．
解得：a=﹣ ． 三、解答题：
{ ) x－3y＝5，①
10. (2018·嘉兴)用消元法解方程组 4x－3y＝2② 时，两位同学的解法如下： 解法一：由①－②，得 3x＝3. 解法二：由②，得 3x＋(x－3y)＝2，③ 把①代入③，得 3x＋5＝2. (1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【解析(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得 3x＝3“×”． 应为由①－②，得－3x＝3. (2)由①－②，得－3x＝3，解得 x＝－1. 把 x＝－1 代入①，得－1－3y＝5，解得 y＝－2.{ ) Nhomakorabeax＝－1，
故原方程组的解是 y＝－2. 11. 已知 n 边形的内角和 θ＝(n－2)×180°.
5x 6 y 1
6x 5y 1
A. 5x y 6 y x B. 5x y 6 y x C. 4x y 5y x D. 4x y 5y x
【答案】C．
【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：
然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）=6；
解得：a=2．
故选 C． 3. （2019，四川巴中，4 分）已知关于 x、y 的二元一次方程组
的解是
，则 a+b 的值是
（ ） A．1 【答案】B 【解答】解：将
B．2 代入
C．﹣1 得：
D．0
，
∴a+b＝2；
故选：B．
4. （2019•浙江宁波•4 分）小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元；
{ ) x＝a
注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即 y＝b ，任何一个二元一次方程都有无数多个解． (3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值， 求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解． 5．二元一次方程组 (1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含 未知数的项的次数都是 1，这样的方程组叫二元一次方程组． (2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法. ①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是 1 或－1，选择代入消元法较简单； ②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法． 6．三元一次方程组
5
各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
31 5
【答案】
31 【解答】解：设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织 布 16x 尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5， 5
解得：x＝ ， 31 5
即该女子第一天织布 尺．
人只能走 60 步，及追及问题可列方程求解． 【解答】解：（1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，由题意得 x：600＝100：60 ∴x＝1000 ∴1000﹣600﹣100＝300 答：当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步． （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，由题意得
【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是 x 元、y 元，根据题意可得：
12 y 20x 112 12x+20 y 144 ，
x 2
解得：
y
6
，
答：中性笔和笔记本的单价分别是 2 元、6 元．
一、选择题：
1. （2019•湖南怀化•4 分）一元一次方程 x﹣2＝0 的解是（ ）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝0
D．x＝1
【答案】A
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
2. 若方程组 A．﹣4 B．4
C．2
的解 x、y 的值相等，则 a 的值为（ ） D．1
【考点】解三元一次方程组．
【答案】C
【解答】：由题意可得方程 x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则 x=y=2；
考点 1：一元一次方程(组)的解法
{ ) x＋y＝5，①
【例题 1】(2017·广州)解方程组： 2x＋3y＝11.② 【解答】 解：方法一：由①，得 x＝5－y.③ 把③代入②，得 2(5－y)＋3y＝11.解得 y＝1. 把 y＝1 代入③，得 x＝5－1＝4.
{ ) x＝4，
∴原方程组的解为 y＝1. 方法二：由①，得 y＝5－x.③ 把③代入②，得 2x＋3(5－x)＝11.解得 x＝4. 把 x＝4 代入③，得 y＝5－4＝1.
第 6 讲 一次方程(组)及其应用
1．等式的基本性质 性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果 a＝b，c 为任意数(或式子)，那么 a±c＝b±c； 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，即：①如果 a＝b，那么
ab ac＝bc；②如果 a＝b，c≠0，那么c＝c. 2．方程及方程的解 (1)方程：含有未知数的等式． (2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． 3．一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是 1 的整式方程． (2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负 号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化 1. 4．二元一次方程 (1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为 1 的整式方程． (2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
5. ( 2019 甘肃省兰州市) （4 分）≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、
六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的
重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程为 （ ）
5x 6 y 1
6x 5y 1
{ ) x＝4，
∴原方程组的解为 y＝1. 方法三：①×3－②，得 x＝4. 把 x＝4 代入①，得 y＝1.