中心极限定理实验仿真
基于Mathematica的中心极限定理的实验分析
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（ ） １ 析．
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融入数学建模思想和MATLAB的中心极限定理形象化教学
167EDUCATION FORUM 教育论坛摘要：中心极限定理是学员学习《概率论与数理统计》课程中的难点内容，论文通过引入军事案例，将数学建模思想融入课堂教学中，同时利用MATLAB软件对中心极限定理进行随机模拟，用图像将结果直观演示的方法，进行形象化教学，使得抽象的定理具体化、直观化，加深学员对中心极限定理的理解与掌握，进而使得学员将所学内容用于解决实际问题，达到教学目的，优化教学效果。
关键词：数学建模；中心极限定理；MATLAB一、前言中心极限定理是《概率论与数理统计》课程中十分重要的一个定理。
它是数理统计部分的理论基础，给出了大量随机变量和的分布近似于服从正态分布的条件，揭示了正态分布产生的源泉，解释了个体千变万化群体却呈现出规律性的自然现象的原因。
而正态分布有很多完美的结论，因此中心极限定理在很多领域也都有特别重要的应用。
然而，由于中心极限定理理论性较强，比较抽象，因此学员在学习过程中很难做到熟练掌握和深刻理解，更谈不上对实际问题建立数学模型，用已知定理解决实际问题了。
MATLAB是一种用于分析数据、开发并应用算法的编程语言，它具有强大的数据可视化与数学统计分析功能，编程环境简单易用，使得其成为数学学习的一个重要辅助工具。
在欧美国家，MATALB已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，成为攻读学位的大学生、硕士生必须掌握的基本技能。
在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛应用于研究和解决具体实际问题。
鉴于此，本文将数学建模思想融入到中心极限定理的教学中，并借助MATLAB软件对中心极限定理进行仿真模拟，通过图形将模拟结果直观演示，从而让学员对该定理有直观的理解，进而将定理应用于实际。
二、将数学建模思想融入中心极限定理的教学中数学建模是一种利用数学工具解决实际问题的重要手段。
当需要从定量的角度去分析和研究一个实际问题时，我们需要了解背景知识、做出简化假设、用数学符号和语言将其表述为数学式子，也就是建立数学模型，然后通过计算机对模型进行求解，这就是数学建模思想。
中心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
０．０１３７１
０．０５６０２
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
０．２６０２５５
０．７９４７
９９４１．０５９
０．３１６０３４
０．７５２０
９９５２．５９２
－ １．０５００７１
０．２９３７
１００３１．３６
７．３６４７３ ７．２８００ ８．１１５９４
检验概率 ０．３４２４ ０．３７３０ ０．４０７８
均匀分布 泊松分布 指数分布
０．００８６９７ 均值
０．０６６７ຫໍສະໝຸດ ０．６１３１８０．１１２７
几个描述性统计量
０．０８１２０５
方差
偏度
锋度
０．２０７６ 级差
０．００２６３
０．９９４２８
–０．０４２２２
–０．０２８６１
０．００３１５
０．９９５３６
–０．０１１２３
–０．１１３０８
–０．０１０６７
１．００３２４
１００７１．４４
－ ０．７１７７３２
０．４７２９
１００５１．１２
检验概率 ０．３０３０ ０．３５４７
三、基本结论
通过本文蒙特卡罗模拟研究表明， 在所选取了几种常 见的分布类型情况下， 三个中心极限定理得到了很好的验 证， 虽然不同分布类型对求和变量个数要求不尽相同， 但只 要满足定理的条件， 都能得到理想的模拟结果， 对于随机变
足定理所要求的条件， 表 ７ 给出了本次模拟正态性检验结 果， 表明了由两种分布下产生的随机变量按照定理要求处 理后新随机变量序列的确服从正态分布； 表 ８ 给出了几个 常见的描述性统计量， 显然均值和方差都分别比较接近 ０ 和 １， 而表 ９ 的检验说明了均值为 ０ 而方差为 １， 从而李雅 普洛夫中心极限定理在这两种分布下得到验证。
中心极限定理实验仿真
中心极限定理的仿真实验目的：模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验，重复进行104次，统计出现的点数和，并将数据标准化处理后，画出频率直方图，通过观察比较验证数据的正态性。
所用的软件：Microsoft EXCEL步骤如下：1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1，按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数，并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。
2鼠标点击A2格子，并移动到格子的右下角，出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来，这样就得到了500个随机数据，都是在1-6中随机取值的。
（当然你越往下拖，产生的随机整数越多，试验效果越好）3 在第二列重复第1步和第2步，第三列，第四列……直到CZ列都和第二列同样操作，这样产生了104列随机数据。
4 在DB列分别求出每行数据的和，用的函数是“SUM”，接着依次求出500行数据的和。
5 复制DB列到DC列，注意值复制数值。
6 对DC列数据进行排序，7对DC列数据进行标准化处理，即每个数据减去平均值再除以标准差（均值函数为average,样本方差函数为var）8处理后的数据放在DE列。
根据最大值和最小值，把数据分到20个区间，这里数据范围从-2.7到2.7，故每个区间长度为0.27，这样得到（-2.7，-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间，这时区间长度为0.36）。
9统计每个区间里的数据个数，用函数countif(区域，条件），详见EXCEL文件。
10 画出频率直方图，大家可以看到，投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。
请大家按照以上方法，产生200列数据，每列1000个数据，按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。
按个步骤写出实验过程，并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面，完整一份实验报告。
中心极限定理应用[五篇范例]
![中心极限定理应用[五篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/2aa288a0dc88d0d233d4b14e852458fb770b382f.png)
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξk1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时，∑ξk=1k-naσn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
中心极限定理实验
一、指数分布随机变量和的实验
设随机变量 X k 服从指数分布，密度函数为：
x 1 e f ( x) 0
x0 x0
数学期望和方差分别为：
EX ， DX 2
设 Y X i ，且各 X k 相互独立。由独立随机变量和的计算公式，通过递推可得到 Y 的密
P( X i )
i
i!
e
i 1,2,3,
数学期望和方差分别为
EX ， DX
设 Y X i ，且各 X k 相互独立。由独立随机变量和的计算公式，通过递推可得到 Y 的
i 1
n
分布律为：
P( X i ) (n )i n e i 1,2,3, …… i!
5
数学期望和方差分别为
EX n ， DX n 该分布恰为参数为 n 的 Poisson 分布，因此计算时也采用 Poisson 分布的密度函数。
下面利用 Matlab 编程进行实验： （ 1.2 ， n 5 及 n 30 ）
x=1:80; lam=1.2; %给出参数值 n=5; %给出随机变量个数 mu=n*lam; %数学期望 sig=sqrt(n*lam);%标准差 y1=poisspdf(x,n*lam); %n个指数分别和的密度函数 y2=normpdf(x,mu,sig); %对应正态分布的密度函数 subplot(2,1,1); plot(x,y1,'r',x,y2,'b') %红色为那个Poisson分布随机变量和的密度函数 %蓝色为对应正态分布的密度函数 n=30; %给出随机变量个数 mu=n*lam; %数学期望 sig=sqrt(n*lam);%标准差 y1=poisspdf(x,n*lam); %n个指数分别和的密度函数 y2=normpdf(x,mu,sig); %对应正态分布的密度函数 subplot(2,1,2); plot(x,y1,'r',x,y2,'b') %红色为那个Poisson分布随机变量和的密度函数 %蓝色为对应正态分布的密度函数
系统仿真结果分析
面连小草也长不出来的。
第八章 系统仿真结果分析采用统计方法来估计系统的性能，利用统计分析方法要求样本数据具有统计独立性，但实际上在很多情况下这个条件并不能满足。
解决这一难题的途径无非两条：一是对样本序列进行处理，使之尽量满足统计独立性条件；二是在经典统计方法的基础上进行修正使之适合于处理相关的样本序列。
终态仿真是指仿真实验在某个持续事件段上运行。
稳态仿真则是通过系统的仿真实验，希望的得到一些系统性能测度指标在系统达到稳态时的估计值。
有必要采用方差减小技术，即在相同的仿真运行次数下获得较小方差的仿真输出结果。
§8.1终态仿真的结果分析8.1.1 重复运行法所谓重复运行方法是指选用不同的独立随机数序列，采用相同的参数、初始条件以及用相同的采样次数n 对系统重复进行仿真运行。
对于一终态仿真的系统，由于每次运行是相互独立的，因此可以认为每次仿真运行结果()n i X i ,,2,1⋅⋅⋅=是独立同分布的随机变量，是服从正态分布的随机变量。
随机变X 量的期望值E (X )地估计值μ为：面连小草也长不出来的。
n n S t Xnj n jn/)(211,112∑=--±=αμ(8.1)其中， ()[]()1/)(212--=∑=n X n X n S nj j(8.2)∑==nj jnXX 11 (8.3)α为置信水平。
根据中心极限定理，若产生的样本点X j 越多，即仿真运行的次数越多，则X j 越接近于正态分布，因此在终态仿真中使用仿真方法运行的重复次数n 不能选取得太小。
8.1.2序贯程序法在终态仿真结果分析得重复运行法中，通过规定次数得仿真 可以得到随机变量取值的置信区间，置信区间的长度与仿真次数的平方根成反比。
显然，若要缩小置信区间的长度就必然增加仿真次数n 。
这样就产生了另一个方面的问题，即在一定的精度要求下，规定仿真结果的置信区间，无法确定能够达到精度要求的仿真次数。
这样就可以对置信区间的长度进行控制，避免得出不适用的结论。
基于Mathematica的中心极限定理的实验分析
基于Mathematica的中心极限定理的实验分析
易秀英;王三宝
【期刊名称】《湖北理工学院学报》
【年(卷),期】2010(026)001
【摘要】基于Mathematiea讨论了二项分布与正态分布之间的关系,对棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理进行实验研究,通过图像演示和相对误差分析,给出二项分布的极限分布及其相应的准确度分析,并得出了一些计算概率的近似公式.
【总页数】4页(P29-32)
【作者】易秀英;王三宝
【作者单位】黄石理工学院师范学院,湖北,黄石,435003;黄石理工学院师范学院,湖北,黄石,435003
【正文语种】中文
【中图分类】TB115
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中心极限定理的仿真实验
目的：模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验，重复进行104次，统计出现的点数和，并将数据标准化处理后，画出频率直方图，通过观察比较验证数据的正态性。
所用的软件：Microsoft EXCEL
步骤如下：
1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1，按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数，并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。
2鼠标点击A2格子，并移动到格子的右下角，出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来，这样就得到了500个随机数据，都是在1-6中随机取值的。
（当然你越往下拖，产生的随机整数越多，试验效果越好）
3 在第二列重复第1步和第2步，第三列，第四列……直到CZ列都和第二列同样操作，这样产生了104列随机数据。
4 在DB列分别求出每行数据的和，用的函数是“SUM”，接着依次求出500行数据的和。
5 复制DB列到DC列，注意值复制数值。
6 对DC列数据进行排序，
7对DC列数据进行标准化处理，即每个数据减去平均值再除以标准差（均值函数为average,样本方差函数为var）
8处理后的数据放在DE列。
根据最大值和最小值，把数据分到20个区间，这里数据范围从-2.7到2.7，故每个区间长度为0.27，这样得到（-2.7，-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间，这时区间长度为0.36）。
9统计每个区间里的数据个数，用函数countif(区域，条件），详见EXCEL文件。
10 画出频率直方图，大家可以看到，投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。
请大家按照以上方法，产生200列数据，每列1000个数据，按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。
按个步骤写出实验过程，并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面，完整一份实验报告。