高考数学三轮冲刺摸底卷(3)理

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2021年高三数学第三次模拟考试理(含解析)

2021年高三数学第三次模拟考试理（含解析）【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，类比，推广，特殊化等都有涉及，注重通性通法，.完全符合高考题型和难度，试题的题型比例配置与高考要求一致，侧重于知识交汇点的考查是一份优质的考前训练卷第I卷（选择题共5 0分）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M ={x|x2 -x<0}，N={x||x|<2}，则A．M N= B．MN'=R C． MN=M D．MN=M【知识点】集合的概念；交集、并集的概念.【答案解析】D解析：解：由题可知，所以【思路点拨】分别求出两个集合的取值范围，求交集与并集后找到正确选项. 2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A．（3,3）B．（-l,3）C．（3,-1）D．（2,4）【知识点】复数概念；复数分母实数化；复平面内的点.【答案解析】B解析：解：,所以z在复平面内对应的点的坐标是【思路点拨】对复数进行分母实数化化简可得实部与虚部，即可求出对应点的坐标.3．下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是A．y=log2 |x| B．y=cos 2x C．y= D．y=lo【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.【答案解析】A解析：解：由题可知C、D为奇函数，排除C、D，再根据余弦函数的图像可知在上不单调，所以排除B，在上递减，在上递增，函数为偶函数，且在上单调递增，所以A正确.【思路点拨】分别对函数的奇偶性进行验证，对单调区间时行分析即可得到正确选项. 4．如图，程序框图所进行的求和运算是A．B．C．D．【知识点】程序框图.【答案解析】A解析：解：由程序框图可知第一次运行，第二次运行，按执行过程可知程序为.【思路点拨】可按程序框图进行运算，累计各次结果即可求出.5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为A．B．C．D．【知识点】三视图；圆柱的体积公式；长方体的体积公式.【答案解析】C解析：解：由题意可知几何体的体积为圆柱体积加长方体体积再减去的与长方体等高的圆柱的体积，【思路点拨】作出与三视图对应的几何体，按分割法求出各部分的体积.6．函数f（x）=sin（）（其中．（>0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【知识点】y=Asin（ωx+φ）的图象变换;识图与运算能力.【答案解析】A解析：解：由图知，17122 41234T T Tππππππωω=-=∴===∴=又又A=1，∴，g （x ）=sin2x ，∵()sin 2sin 2663f x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将的图象向右平移个单位长度．【思路点拨】由，可求得其周期T ，继而可求得ω，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换及可求得答案.7．下列四个图中，函数y=的图象可能是【知识点】函数的图象变换及函数性质；排除法、特殊值法；定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.【答案解析】C 解析：解：∵是奇函数，向左平移一个单位得∴ 图象关于（-1，0）中心对称，故排除A 、D ，当x ＜-2时，y ＜0恒成立，排除B ．故选：C【思路点拨】．根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断.8．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为A ．B ．C ．D ．【知识点】概率；相互独立事件；分布列.【答案解析】B 解析：解：设第一个学生通过的概率为，第二个学生为，所以所以通过概率最小值为【思路点拨】按题意可设出两人分别通过的概率，知只有一人通过的概率，两人都通过的概率，根据关系式可求出两人分别通过的概率.9．设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，，∠BAC=60o ，则·=A ．B ．C ．D ．【知识点】角平分线定理；向量的计算；余弦定理.【答案解析】C 解析：解：由图可知向量的关系，根据角平分线定理可得，根据余弦定理可知，所以()23321555AD BC AB BC BC AB BC BC AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=⋅-+ ⎪⎝⎭22121932cos609555AB AC AB =⋅-+=⨯⨯︒-+=- j 2DBCA【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理，可求出的模等向量，再通过向量的计算法则对向量进行转化.10．定义在R 上的函数f （x ）满足：f (x)+(x)>l ，f (0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．B ．C ．D ．【知识点】导数；函数的单调性与导数；解不等式.【答案解析】A 解析：解：由题意可知不等式为，设()()()()()()()310x x x x x x g x e f x e g x e f x e f x e e f x f x '''=--∴=+-=+->⎡⎤⎣⎦所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为【思路点拨】把不等式转化成函数问题，利用函数的导数判断函数的单调性，根据函数性质可求出解集.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是。

【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(三)-理科数学(附答案及答题卡)

上有
且仅有"个零点$则符合条件的正整数的值为!!!!!! 三解答题共7$分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
一必考题共6$分
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第卷
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2023年成都石室中学高三数学(理)高考三模试题卷附答案解析

2023年成都石室中学高三数学（理）高考三模试题卷（试卷满分150分；120分钟完卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{N1},{04}A x x B x x =∈>=<<∣∣，则A B = （）A.{14}x x <<∣B.{0}xx >∣ C.{}2,3 D.{}1,2,32.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A.2i-- B.2i -+ C.2i + D.2i-3.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路4.已知()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，a b +=r r ，则a b -= （）A.B.1C.2D.125.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（）A.561B.595C.630D.6666.《易∙系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A.14B.13C.12D.237.“1a =”是“函数())lgf x x =-是奇函数”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.过圆2216x y +=上一点P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A B 、，若23AOB π∠=，则实数m =A.2B.3C.4D.99.用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A.840种B.1200种C.1800种D.1920种10.蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）【参考数据】π 3.14≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈．A.101gB.182gC.519gD.731g11.函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.412.已知函数()2,0ex x f x x =>.若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，则正实数m 的取值范围为（）A.1,12⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()0,1 D.(]0,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若三个元件A 、B 、C 按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件A 正常工作且B 、C 中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件A 、B 正常工作的概率依次为0.7、0.8，且这个系统正常工作的概率为0.686，则元件C 正常工作的概率为______.14.已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．15.已知,αβ均为锐角，()tan tan 4sin αβαβ+=+，则()cos αβ+的最小值为______.16.1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =-且,,A B D 三点共线，则实数k =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和n A ．18.如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，BC AC ⊥．（1）证明：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）若BC SC =，SC SA ⊥，试问在线段SC 上是否存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°，若存在，请求出D 点的位置；若不存在，请说明理由．19.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩（随机误差ii i e y bx =-）．请推导：当随机误差平方和Q ＝21ni i e =∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii)令变量x t t y w w =-=-，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()nii tt r w w -=-∑，()25176.9ii w w =-=∑，()()5127.2i i i t t w w =--=∑，5160.8ii w ==∑27.7≈20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()πln sin 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中a 为实数．（1）若()f x 在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求a 的取值范围；（2）求证：对任意的实数a ，方程()cos f x x =均有解．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为332(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，若函数()f x 的最小值为t ，且满足a b c t ++=，求证：1119a b c++≥.1.C【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题意，{N14}A x x B ∈<<==I ∣{}2,3故选：C 2.B【分析】根据复数的除法运算，化简可得2i z =--，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，12i 2i iz -==--，从而2i z =-+.故选：B.3.D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.4.B【分析】根据a b 、，利用a b +=r r 求出2a b⋅ ，根据a b -= .【详解】∵()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，所以1a b ==，由22||2321a b a b a b a b +=⇒++⋅=⇒⋅=，所以1a b -=== .故选：B.5.D【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律得出结果.【详解】由题意，第一层1个球，第二层123+=个，第三层1236++=个，第四层123410+++=个，据此规律，第三十六层有小球36(136)123366662⨯+++++== 个.故选：D 6.C【分析】本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则2155310105512012C C P C ´===，若任取3个数中有3个阳数，则3531010112012C P C ===，故这3个数中至少有2个阳数的概率51112122P =+=，故选：C.【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N 个物品（包括M 个指定物品）中抽取n 个物品，若抽取的n 个物品中有k 个指定物品，则概率k n k M N MnNC C P C --=，考查计算能力，是中档题.7.A【分析】函数())lg f x x =-为奇函数，解得1a =±，判断1a =±与1a =的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数())lg f x x =-为奇函数，则()()))2lg lglg 0f x f x x x a +-=+==，解得1a =±.所以“1a =”是“函数())lg f x x =-为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.8.A【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆2216x y +=上一点()40P ，，过P 作圆()2220O x y m m +=：＞的两条切线PA PB 、，求出23AOB π∠=时OA 的值即可．【详解】如图所示，取圆2216x y +=上一点()40P ，，过P 作圆()2220O x y m m +=：＞的两条切线PA PB 、，当23AOB π∠=时，3AOP π∠=，且4OA AP OP ⊥=，；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．9.D【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂A 、B 、C 三点，再确定1A 、1B 、1C 三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若5种颜色全用上，先涂A 、B 、C 三点，有35P 种，然后在1A 、1B 、1C 三点中选择两点涂另外两种颜色，有23P 种，最后一个点有2种选择，此时共有32532720P P ⨯=种；②若用4种颜色染色，由45C 种选择方法，先涂A 、B 、C 三点，有34P 种，然后在1A 、1B 、1C 三点中需选择一点涂最后一种颜色，有3种，不妨设涂最后一种颜色的为点1A ，若点1B 与点A 同色，则点1C 只有一种颜色可选，若点1B 与点C 同色，则点1C 有两种颜色可选，此时共有4354331080C P ⨯⨯=种；③若用3种颜色染色，则有35C 种选择方法，先涂A 、B 、C 三点，有33P 种，点1A 有2种颜色可选，则1B 、1C 的颜色只有一种选择，此时共有33532120C P ⨯=.由分类加法计数原理可知，共有72010801201920++=种涂色方法.故选：D.10.B【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a 63=，设正四面体外接球半径为R ，则2222()()332R R a =-+⨯，解得R =所以3D 打印的体积为：323346113662343223812V a a a ππ⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，又336216a ==，所以207.71125.38182.331182V =-≈-=≈，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．11.C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.12.A【分析】依题意，令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，求出()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于max 12()f g a m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，进而转化为()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，再根据函数()2,0e x xf x x =>的单调性，得到10210mm ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，从而求出正实数m 的取值范围.【详解】令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，则()()()232321g a a a a a '=--=+-，∴当[]a 0,1∈时，()0g a '≤，函数()g a 在[]0,1上单调递减，∴()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得不等式3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于1max 12()e f g a m -⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭成立，又 ()11e f -=，∴()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ()2exx f x =，所以()()222,0e e x x x x x x f x x --==>'.当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,2上单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，m 为正实数，∴122m-<，又函数()f x 在()0,2上单调递增，∴10210mm ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，解得1 1.2m <≤∴正实数m 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.13.0.9##910【分析】设元件C 正常工作的概率为P ，当系统正常工作时，当且仅当A 正常工作，B 、C 中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于P 的等式，即可解得P 的值.【详解】设元件C 正常工作的概率为P ，系统正常工作，当且仅当A 正常工作，B 、C 中至少有一个正常工作，由题意可得，系统正常工作的概率为()0.710.210.686P ⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦，解得0.9P =.故答案为：0.9.14.-7【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15.12-##0.5-【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.【详解】()()sin sin cos sin cos 4sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为,αβ均为锐角，则()sin 0αβ+≠，因此1cos cos 4αβ=，因此()1cos cos cos sin sin 4αβαβαβ+=-=1144==111442≥==-，当且仅当1cos cos 2αβ==时，等号成立.故答案为：12-16.8-【分析】先表示出BD，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，123BC e e =-- ，于是121212432BD e e C e D e e B C e =+-+-=-=-，由,,A B D 三点共线可知，存在λ，使得AB BD λ=，即()121224e ke e e λ+=- ，由于1e ，2e 是两个不共线的向量，则24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-.故答案为：8-17.（1）证明见解析（2）()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭【分析】（1）由前n 项和与通项之间的关系即可证明数列{}n S 是等比数列；（2）以错位相减法求数列{}n na 的前n 项和n A 即可解决．【小问1详解】因为n T 为数列{}n S 的前n 项和，当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S =当2n ≥时，1n n nT T S --=2n n S T +=①112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18.（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【分析】（1）先证线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）先假设存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°，然后建立空间直角坐标系，求出相关向量，再用夹角公式计算即可求解.【小问1详解】法一证明：取AB 的中点E ，连接SE ，CE ，∵SA SB =，∴SE AB ⊥，因为BC AC ⊥所以三角形ACB 为直角三角形，所以BE EC=又BS SC =所以SEC SEB ≌△△所以90SEB SEC ∠=∠=︒所以SE EC ⊥又SE AB ⊥，AB CE E ⋂=，∴SE ⊥平面ABC ．又SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABC ．法二、作SE ⊥平面ABC ，连EA ，EC ，EB ，EA ，EC ，EB 都在平面ABC 内所以SE EA ⊥，SE EC ⊥，SE EB ⊥又SA SB SC ==所以EA EC EB==因为BC AC ⊥所以三角形ACB 为直角三角形，所以E 为AB 的中点则SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以E 为坐标原点，平行AC 的直线为x 轴，平行BC 的直线为y 轴，ES 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设2AS SB SC ===，SC SA ⊥，则22AC =，2BC SC ==知23EC =，1SE =则()A，)1,0B-，)C ，()0,0,0E ，()0,0,1S ，∴()2,0AB =-，()1SA =-，设(),,D x y z ，CD CS λ=()01λ≤≤，则()()1,1,1x y z λ--=-，∴),1,D λλ-，(),2,BD λλ=-．设平面SAB 的一个法向量为()111,,n x y z =则11111200n AB y n SA y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取11x =，得()n = ，sin 60n BD n BD ⋅︒=2=，得2710λλ++=，又∵01λ≤≤，方程无解，∴不存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°19.（1）0.98r ≈,这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）（i ）121ˆniii nii x ybx===∑∑；（ii ）经验回归方程 2.72y x =;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.【分析】（1）根据相关系数计算，若0r >两个变量正相关，若0r <两个变量负相关，r 越接近于1说明线性相关越强.（2）(i )整理得2221112nn nii i i i i i Q bxb x y y ====-+∑∑∑，根据二次函数求最小值时b 的取值；(ii )根据ˆb计算公式求得经验回归方程，并代入7t =可预测2024年移动物联网连接数.【小问1详解】由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.因为1(12345)35t =++++=,所以52222221()(13)(23)(33)(43)(53)10ii tt =-=-+-+-+-+-=∑,所以()()527.20.9827.7ii ttw w r --=≈∑,所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.【小问2详解】(i )()()222221112n n niiii i i i i i i Q e y bx ybx y b x =====-=-+∑∑∑2221112nn nii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，要使Q 取得最小值，当且仅当121ˆniii nii x ybx===∑∑.(ii )由(i )知()()()5511552211ˆi ii i i i ii i i x y ttw w bxt t====--==-∑∑∑∑27.22.7210==，所以y 关于x 的经验回归方程 2.72y x =，又5160.812.1655i iww ====∑，所以当7t =时，则734, 2.72412.1623.04x w y w =-==+=⨯+=，所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.20.（1）2212x y +=；（2）存在，y =+y =.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -==，则椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的离心率为e =.因为双曲线E 的实轴长为4，设椭圆C 的焦距为2c，则2,4c 成等比数列，所以28c =，解得1c =.又c e a ==222a b c =+，解得1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E的虚轴上端点为2B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l的方程为y kx =+，联立方程组221,2x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()221220k x +++=.显然()22)41220k∆=-+⨯>，解得2k >或2k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y，则1212222,1212x x x x k k+=-=++，所以(()2121212122y y kx kx k x x x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅=，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得k =()*式，所以直线l的方程为y =或y =+.21.（1）,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭（2）证明见解析【分析】（1）由题意π()cos 4af x x x '=+≥-在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()maxc s πo 4a x x ⎡⎤⎛⎫≥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，记()c π3π()os ,,4π44g x x x x ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数求解即可；（2）设,0π4x t t -=>，故方程转化为ln 0a t t +=，设()ln h t a t t =，分为0a =，0a ≠两种情况讨论，结合零点存在定理得出结论．【小问1详解】因为π()ln sin 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以π()cos 4af x x x '=+≥-在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()maxc s πo 4a x x ⎡⎤⎛⎫≥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．记()c π3π()os ,,4π44g x x x x ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4πy x =-在π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增且恒大于0，cos y x =-在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0y x =-<，所以()g x 不可能取得最大值；当π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0y x =->且单调递增，4πy x =-单调递增且恒大于0，所以()g x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()443πg x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以4a ≥，即a的取值范围是,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭．【小问2详解】设,0π4x t t -=>，由方程()cos f x x =得πln sin cos 04a x x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即ππln 044a x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ln 0a t t +=，设()ln h t a t t =+，当0a =时，由()0h t t ==，得π,(0,Z)t k k k =>∈，故原方程有解；当0a ≠时，110h ⎛⎫=++- ⎪⎝≥ ⎪⎭，1e 10eh ⎛=++ ⎭≤ ⎪⎝，则0e h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理可知，()h t 在e⎛ ⎪⎝⎭上有零点，故原方程有解．综上，对任意的实数a ，方程()cos f x x =均有解．【点睛】方法点睛：一般地，由函数的单调性求参数范围的问题常转化为不等式恒成立问题，常见处理方法有：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若()0f x ≥恒成立，则()min 0f x ≥；若()0f x ≤恒成立，则()max 0f x ≤；③数形结合法：若()()f x g x >恒成立，则()y f x =图象始终在()y g x =的上方；④分段讨论法：对变量x 进行分段讨论，然后再综合处理．22.1）30x --=，22(2)4x y -+=（2）2【分析】（I）将2t y =代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离.【详解】解：（I）将2t y =代入32x t =+，整理得30x --=，所以直线l 的普通方程为30x --=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（II）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22132422t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=1222p t t t +==-.设()00,P x y，则0093,2241,224x y ⎧⎛⎫=+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=⨯-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩则93,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以点P 到原点O的距离为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.1）[]1,4-（2）证明见详解.【分析】（1）转化为分段函数解不等式即可；（2）由（1）知t ，运用基本不等式证明即可.【小问1详解】由条件可知：()32,1121,1223,2x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()[]3251,1f x x x =-≤⇒∈-，当12x <<时，()()151,2f x x =≤⇒∈，当2x ≥时，()[]2352,4f x x x =-≤⇒∈，综上()5f x ≤的解集为[]1,4-；【小问2详解】由（1）可知当1x ≤时，()321f x x =-≥，1x =时取得最小值，当12x <<时，()1f x =，当2x ≥时，()231f x x =-≥，2x =时取得最小值，综上，故()min 1f x =，即1t a b c =++=，则1113a b c a b c a b c b a c ac b a b c a b c a b a c b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵a ，b ，c 均为正实数，∴2,2,2b a c a b c a b a c c b +≥=+≥≥，当且仅当13a b c ===时取得等号，即332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，。

高三数学第三次模拟考试试题理含解析试题

三中2021届高三年级第三次模拟考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学〔理科〕试卷考前须知：1.本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.2.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，那么A B =〔〕A. {1,2}B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3}【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1AB ∴=，4}．应选：B ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.91i 1i+=- 〔〕 A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D 【解析】按照复数的运算规那么进展运算即可.【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--.应选：D【点睛】此题考察复数的根本运算，属于根底题. 3.,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么tan θ=〔〕 A. 2 B.43C. 3D.125【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的根本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 410πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 应选：A【点睛】此题考察三角恒等变换，考察运算求解才能，属于根底题.4.在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，假设P 为CD 的中点，那么PA PB ⋅的值是〔〕A. 5-B. 4-C. 4D. 5【答案】D 【解析】由题意可知5cos 5PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD ，∴BCD PDA π∠=-∠，∴()()()()2PA PB PD DA PC CB PD CB PD CB ⋅=+⋅+=+⋅-+()222525cos 24PD PD CB CB PDA π=--⋅+=--⨯⨯-∠+⨯5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察两个向量的加减法法那么，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题. 5.?算数书?竹简于上世纪八十年代在江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖〞的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一〞.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为〔〕 A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，那么213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=，故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 应选：C.【点睛】此题利用古代数学问题考察圆锥体积计算的实际应用，考察学生的运算求解才能、创新才能.6.等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，那么6S =〔〕 A. 51 B. 54 C. 68 D. 96【答案】A 【解析】【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ．【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a =所以665613512S ⨯=⨯+⨯=．应选：A.【点睛】此题主要考察等比中项及等差数列前n 项和公式，属于根底题． 7.以下说法正确的选项是〔〕A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀>，2sin x x >〞B. 假设平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥那么//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ〔0σ>〕，假设(01)0.4P ξ<<=，那么(0)0.8P ξ>=D. 设x 是实数，“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件【答案】D【分析】由特称命题的否认是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或者1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀≤，2sin x x >〞，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，那么,αβ可能相交，故B 错误；假设(01)0.4P ξ<<=，那么(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或者1x >，故“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件，D 正确. 应选：D.【点睛】此题考察命题的真假判断，涉及到特称命题的否认、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假玩耍某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨〞是“甲在原始森林〞的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．假设以上语句都正确，那么玩耍千丈瀑布景点的同学是〔〕 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】【分析】根据演绎推理进展判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此玩耍千丈瀑布景点的同学是丁．应选：D ．【点睛】此题考察演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题根底．9.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的局部图像如下图，给出以下四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是〔〕 A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，那么4ω=，即()()sin 4f x A x =+ϕ，又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=，所以4A =，从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确，而()0f π≠，所以③错误，又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈，得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 应选：B.【点睛】此题主要考察利用三角函数局部图象求解析式和三角函数的根本性质，考察运算求解才能，是根底题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是〔〕 A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增，所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，假设()0,1x ∈，那么()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误应选：A【点睛】此题考察详细函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.P 为双曲线C ：22221x y a b-=〔0a >，0b >〕左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，假设2||MP PF +的最小值为12F F ，那么C 的离心率为〔〕B. 2+D.4【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得.【详解】解：21||||2MP PF MP PF a+=++1222MF a a c +==，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得42e =或者42e =，所以42e +=. 应选：C【点睛】此题考察双曲线的离心率，考察化归与转化的数学思想. 12.函数()ln(f x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔〕 A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C 【解析】【分析】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立，即满足()2211max2maxln 2x x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =，求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==，即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-，应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分. 13.(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 2=____. 【答案】84- 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721rrr r T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，那么284a =-. 故答案为：84-【点睛】此题考察求二项展开式指定项的系数，是根底题.14.f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7 【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6 一共7个点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么2ABF 的内切圆半径是________.【答案】23【解析】【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，12226AF AF a +==1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中6a =2b =222c a b -，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么有222116AF AF -=，122AF AF a +==解得1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进展转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC上的中线长为4．那么c ＝_____；AB BC ⋅=_____．【答案】967-【解析】【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，所以sin 〔A ﹣B 〕＝0，故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =，由余弦定理得16＝c 2+〔2a 〕2﹣2c •2a •cos 6π，解得c =；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967727=-=-．故答案为：7，967-．【点睛】此题考察了正弦、余弦定理的综合应用，考察了学生综合分析，转化化归，数学运算的才能，属于中档题.三、解答题:(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.等比数列{}n a 〔其中n *∈N 〕，前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T .【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=． ()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，那么112n n n b ++=-． ∴ 12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝，故231231222n n n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++. 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．【点睛】此题考察等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考察转化思想，数学运算才能，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点〔1〕证明：BE DC ⊥；〔2〕假设F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见详解；〔2310【解析】【分析】〔1〕以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；〔2〕设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：〔1〕∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B 〔1，0，0〕，P 〔0，0，2〕，C 〔2，2，0〕，E 〔1，1，1〕，D 〔0，2，0〕，(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥；〔2〕∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， ∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，那么(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，那么0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =，设二面角F AB P --的平面角为θ，那么||cos 10||||103m n m n θ⋅===⋅，∴二面角F AB P --【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.19.十八大以来，HYHY 提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目的，国家对“新农合〞〔新型农村医疗〕推出了新政，各级财政进步了对“新农合〞的补助HY ．进步了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表假如一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．假设李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．〔Ⅰ〕李村在这个结算年度内去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？〔Ⅱ〕假如将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用〔报销后个人应承当局部〕X 的分布列与期望．【答案】〔Ⅰ〕316495；〔Ⅱ〕X 的发分布列为：期望61EX =．【解析】【分析】〔Ⅰ〕由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；〔Ⅱ〕由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X 的分布列，进而求出概率．【详解】解：〔Ⅰ〕由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，那么()2802100316495C P A C ==；〔Ⅱ〕由题意可得随机变量X 的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X 的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】此题主要考察互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.在直角坐标系xOy 中，点()1,0P 、Q (x ，y )，假设以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.〔1〕求点Q 的轨迹C 的方程；〔2〕假设C 上存在两动点A B ，〔A ，B 在x 轴异侧〕满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】〔1〕24y x =；〔2〕48AB =【解析】【分析】〔1〕设(),Q x y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.〔2〕设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】〔1〕设(),Q x y ，那么圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ，化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+，联立24y x =得2440y my n --=，设()()1122,,A B x y x y ，〔其中120y y <〕所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或者4n =- 〔舍〕，直线:8AB x my =+，因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+ 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】此题考察曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或者y 的一元二次方程，再把等式化为关于两个的交点横坐标或者纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或者1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.此题属于中档题.21.函数2()cos 2a f x x x =+〔a ∈R 〕，()f x '是()f x 的导数. 〔1〕当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕1a ≤ 【解析】【分析】〔1〕设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】〔1〕由，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-，设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点；〔2〕设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=，即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令'2()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，那么()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，此题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．做答时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2 2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 是参数〕. ()1假设直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或者3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的间隔求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l 的间隔〔弦心距〕2d ==圆心()2,0到直线y x m =-的间隔为2=, ∴21m -=∴1m =或者3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为： 22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕 (),M x y 为曲线C 上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣. 【点睛】此题考察参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4—5；不等式选讲.23.函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.【答案】〔1〕{}|11x x -<<；〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M . 〔2〕将不等式坐标因式分解，结合〔1〕的结论证得不等式成立.【详解】〔1〕解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11M x x =-<<.〔2〕证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <，所以()()()1110ab a b a b -++=-->，所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的证明，属于根底题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷三(word含答案)

1 2 2020 届全国高考模拟冲刺卷三数学(理)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两卷.满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷(选择题共 60 分)一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若集合 A = {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 B = {x | x (4 - x ) < 0} ，则图中阴影部分表示（）A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {4, 5}D. {1, 4}2、已知复数 z 满足(1 + i ) z = 2 ，则复数 z 的虚部为（）A ．1B ．-1C ．iD ．-i3、函数 f ( x ) = + ln ( x +1)的定义域为（）A. [3, 0) U (0,3]B. (-1, 0) U (0,3]C. [-3,3]D. (-1,3]4、已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 到直线 3x - 4 y + 4 = 0 的距离等于 p ，则抛物线的准 2线方程为()A. x = 1B. x = 2C. x = -1D. x = -25、已知 (1 + λ x )n 的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,且(1 + λ x )n = a 0 + a 1 x + a 2 x +L + a n x,若 a 1 + a 2 + L a n = 242 ,则实数 λ = ( )A.3B.2C.1D.46、已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点(-4,3) ，则sin 2α - cos 2α = ()7 1731 5 A.B. -C. -D. -5252539 - x 2 n3 ⎨⎝ ⎭ ⎩7、从 6 名大学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人,组成 4 人知识竞赛代表队,则不同的选法共有( ) A.15 种B.180 种C.360 种D.90 种8、如图所示，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()2 16 A.B.33⎧⎛ ⎫ xC.6D.419、已知 f ( x ) = ⎪ 2 ⎪,( x ≤ 1) ，若关 x 于的方程 a = f ( x ) 恰有两个不同实根， ⎪⎪-x 2+ 4x - 2, ( x > 1)则实数 a 的取值范围是（）A. ⎛ -∞, 1⎫ U [1, 2) B. ⎛ 0, 1⎫ U [1, 2) C. (1, 2) D. [1, 2) 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭2210、已知 O 为坐标原点，过双曲线 x - ya 2b 2= 1(a > 0，b > 0) 右焦点 F 作倾斜角为 π 的直线 l ，3与该双曲线在第一象限交于点A ，且△OAF 是等腰三角形，则该双曲线的离心率为( )A.2B.3 +12C.7 + 13D. + 1o则异面直线 AB 与 BC11、已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 ，∠ABC = 120 ，AB = 2, BC = CC 1 = 1 , 1所成角的余弦值为（）A. 12、已知函数 f (x ) = 1sin 2x - a sin x ，且对于任意的 x , x ∈(-∞, +∞) ，x 1 ≠ x 2 3 , f (x 1 ) - f (x 2 ) x 1 - x 21 2< 1 成立，则实数a 的取值范围是()A. [- 1 , 1] 4 4B. [- 1 , 1] 3 3C. [- 1 , 1]2 2D. [-1,1]15 2 5 15 5B. 5C. 5D. 5第II 卷(非选择题共90 分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22 题和第23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分)13、已知{a n }为等差数列，若a2= 2a3+1, a4= 2a3+ 7, 则a3=.14、设m, n 是两条不同的直线α ,β 是两个不同的平面，且直线m ⊂ 平面α 直线n ⊂ 平面β 给出下列说法:①” m ⊥ n ”是” n ⊥ α ”必要条件②“m / /n ”是”m / /β ”的必要条件③”m / /n ”是”α / / β ”充要条件④” m ⊥ n ”是” α ⊥ β ”的充分条件,其中所有正确说法的序号是.u uu r u uu r u u u r15、已知A(2,1, 3) ,B(－4, 2, x), C(1, -x, 2) ，若向量OA + OB 与OC 垂直(O 为坐标原点)，则x 等于.x2 y216、设F1, F2 为椭圆C : + = 1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF1F236 20为等腰三角形，则M 的坐标为.三、解答题：(本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知△ABC 中,内角A, B, C的对应边分别为a,b,c , a cos C + c cos A = b sin B, b = 2c(1)求角C 的大小(2)点D 在与B 在AC 的两侧,且满足AD = 2,CD = 3 ,求四边形ABCD 面积的最大值. 18、为了推进产业转型升级,加强自主创新,发展高端创造、智能制造.把我国制造业和实体经济搞上去,推动我国经济由量大转向质强,许多企业致力于提升信息化管理水平,一些中小型工厂的规模不大,在选择管理软件时都要进行调查统计,某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员.欲购买管理软件服务公司的管理软件.并让其提供服务,某一管理软件服务公司有如下两种收费方案:方案一:管理软件服务公司每月收取工厂4800 元.对于提供的软件服务.每次另外收费200 元; 方案二:管理软件服务公司每月收取工厂7600 元.若每月提供的软件服务不超过15 次.不另外收费.若超过15 次,超过部分的软件服务每次另外收费500 元1 11(1)设管理软件服务公司月收费为y 元.每月提供的软件服务的次数为 x,试写出两种方案中 y 与 x 的函教关系式.(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去 20 个月提供的软件服务的次数放进行了统计,得到如图所示的条形统计图.该工厂要调查服务质量,.现从服务次放为 13 次和 14 次的月份中任选 3 个月.求这 3 个月恰好是 1 个 13 次服务、2 个 14 次服务的概率.(3)依据条形统计图中的数据，把频率视为概率.从节约成本的角度考虑该工厂选择.种方案更合适请说明理由.19、如图,在直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB = CD , AA = AD = 2BC , ∠DAB = 60o , M , N 分别为 A D , CD 的中点(1)证明 MN / / 平面 ABCD(2)求直线 MN 与平面 MCD 所成角的正弦值20、椭圆 C : x 2 y 2+ = 1(a > b > 0) ， A , B 是椭圆与 x 轴的两个交点，P 为椭圆 C 的上顶点，a 2b 22设直线 PA 的斜率为 k 1 ，直线 PB 的斜率为 k 2 ， k 1k 2 = - ．3MDAOB xE Ny(1).求椭圆 C 的离心率；(2).若 a = 3 时，点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M , N ,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ，求△BDE 与△BDN 的面积之比.2x -121、已知 f (x ) = a ( x - ln x ) +（1）讨论 f (x ) 的单调性;, a ∈ R . x 2（2）当 a = 1时,证明 f (x )>f '( x ) + 3对于任意的 x ∈[1, 2]成立. 2 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用 2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.⎧x = 1 + 1 t ⎪⎪ 22、在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ⎨ 2⎪ y = 3 t ⎪⎩ 2 ( t 为参数),椭圆 C 的参⎧ x = cos θ 数方程为 ⎨ ⎩ y = 2sin θ(θ 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.23、已知函数f (x ) = x + b + x - a (a > 0,b > 0) 的值域为[1, +∞) .（1）若 a = b ，求 a 的值；（2）证明： a 2 + b 2 - ab ≥ 1.4⎩ ⎩1 答案及解析：答案：A答案以及解析解析：解：图中阴影部分表示的集合是 C A ( A I B ) ，∵ B = {x | （x 4 - x ）＜0} ，即 B = {x | x ＜0或x ＞4} ，∴ A I B = {5} ，∵集合 A = {1，2，3，4，5} ，∴C A ( A I B ) = {1, 2, 3, 4} .故选 A.2 答案及解析：答案：B解析： (1 + i ) z = 2 ，∴ z =2= 2(1 - i )= 1 - i . 1 + i (1 + i ) (1 - i )则复数 z 的虚部为−1.3 答案及解析：答案：B⎧x +1 > 0 ⎧x > 1解析：由 ⎪ln ( x +1) ≠ 0 得 ⎪x ≠ 0 ⇒ -1 < x ≤ 3 且 x ≠ 0 ⎨ ⎪9 - x 2 ≥ 0 ⎨ ⎪-3 ≤ x ≤ 34 答案及解析：答案：D解析:由题意，知抛物线的焦点F ⎛ p , 0 ⎫ ，则p ，解得 p = 4 ，所以抛物线的准 2⎪ = ⎝ ⎭ 2线方程为x = -2 ，故选 D.5 答案及解析：答案：Bn n 6 4解析：由 (1 + λ x )n 得展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,得 C 2 = C 3 解得 n = 5 ,所以 (1 + λ x )5 = a + a x + a x 2 +L + a x 5 ,令 x = 0 得 a = 1 ,令 x = 1 ,得125(1 + λ x )5 = a 0 + a 1 + a 2 +L + a 5 = 243 ,所以1 + λ = 3 ,解得λ = 26 答案及解析：答案：C解析：依题意s in α = 3 ， cos α = - 4.所以 55sin 2α - cos 2α = 2sin α cos α -1 + 2sin 2α = 2 ⨯ 3 ⨯⎛ - 4 ⎫ -1+ 2 ⨯ ⎛ 3 ⎫ = - 31 . 55 ⎪ 5 ⎪ 25⎝ ⎭ ⎝ ⎭7 答案及解析：答案：B解析：先从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，再从剩下的 4 人选 2 人，故有 A 2C 2 = 180种。

2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)

ˆ
ˆ
ˆ 并根据你的判断结果求回归方程．（b 结果保留一位小数）
（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L 365 入住率收费标
准 x）
xy
ˆ n nx y ， aˆ y ˆbx ， x 200， x 2 325000 ，
参考数据：b
i1
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019· 新疆一模]在直角坐标系
xOy
中，圆 C
的参数方程为
x
2
2cos
为参数，以坐标
原点为极点，x 轴
y 2sin
的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为， 0 ．
数列， a 2 ， b b 4 ．
1
3
2
（1）求数列a 与b 的通项公式；
n
n
（2）若数列c 满足 c
a n
n N* ，T 为数列c 的前 n项和，证明T 1．
nn
bb
n
nn
n n1
18．（12 分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日）， t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图：

高三数学第三次模拟考试试卷理含解析试题

郓城一中等2021届高三数学第三次模拟考试试卷理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题1.集合A＝{x|－2≤x≤3}，函数f〔x〕＝ln〔1－x〕的定义域为集合B，那么A∩B＝〔〕A. [－2，1]B. [－2，1〕C. [1，3]D. 〔1，3] 【答案】B【解析】【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.应选：B【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，属于根底题。

2.假设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，那么〔〕A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】利用求得，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。

【详解】，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，应选:B【点睛】此题主要考察了复数的对称关系，还考察了复数的除法、乘法运算，属于根底题。

3.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及可求得，整理得，问题得解。

【详解】由得：又所以应选：A【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系及诱导公式，还考察了二倍角公式，考察计算才能，属于中档题。

4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规那么多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉?冷庐杂识?写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部?七巧新谱?．假设用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，那么恰好取自雄鸡鸡尾〔阴影局部〕的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设包含7块板的正方形边长为，其面积为，计算雄鸡的鸡尾面积为，利用几何概型概率计算公式得解。

【详解】设包含7块板的正方形边长为，其面积为那么雄鸡的鸡尾面积为标号为的板块，其面积为所以在雄鸡平面图形上随机取一点，那么恰好取自雄鸡鸡尾〔阴影局部〕的概率为.应选：C.【点睛】此题主要考察了几何概型概率计算，考察观察才能，属于根底题。

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(三)理科数学

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（三)高三理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=，则A B =I （）A. {1,1}x y ==B. {1,1}C. {(1,1)}D. ∅【答案】C【解析】【分析】根据集合A 和集合B 所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=集合A 表示满足210x y -+=的点的集合，即直线210x y -+=的图像，集合B 表示满足0x y -=的点的集合，即直线0x y -=的图像，所以A B I 表示两条直线的交点，解2100x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=-⎩所以{(1,1)}A B =I .故选：C.【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题.2.已知复数32(1)i z i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行化简，从而得到z ，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】()322(1)21i i z i i i ==--- ()()111i i i +=-+- 1122i =--，则1122z i =-+， z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3.如图所示，ABC V 中，2,AB =2,AC =120BAC ︒∠=，半圆O 的直径在边BC 上，且与边AB ，AC 都相切，若在ABC V 内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O 内）的概率为（）A. 3πB. 3πC. 4πD. 3π【答案】A【解析】【分析】根据条件得到半圆O 的半径，然后计算出ABC V 的面积和半圆O 的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，1OA =，60OAC ︒∠=，3r OD ==，所以ABCV 的面积132232S =⨯⨯⨯=，半圆O 的面积21328S r ππ'==，根据几何概型公式得：3383S P S ππ'===. 故选：A.【点睛】本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题 4.将函数()y f x =的图象向左平移4π后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，若2C 的解析式为cos y x =，则()f x 的解析式为（）A. sin 4y x =B. cos 2y x =C. sin 2y x =D. cos 4y x = 【答案】C【解析】【分析】将2:cos C y x =横坐标压缩到原来的一半得到1C ，再向右平移4π得到函数()f x 【详解】先将2:cos C y x =图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线1:cos 2C y x =，再将曲线1:cos 2C y x =上所有的点向右平移4π得到函数()cos 2sin 24f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式，属于简单题.5.函数()ln(31)f x x =-的定义域为（） A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，得到2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解出x 的取值范围，得到()f x 定义域.【详解】因为函数()ln(31)f x x =-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ 所以解集为1132x <≤ 所以()f x 定义域为11,32⎛⎤⎥⎝⎦，故选：B.【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =± 因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+整理得到2c a =，故双曲线C 的离心率为2c e a==. 故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7.已知实数x ，y 满足不等式202501x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3y z x =+的最大值为（） A. 35 B. 45 C. 34 D. 32【答案】C【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，目标函数3y z x =+转化为点(),x y 与()3,0-连线的斜率，从而求出其最大值. 【详解】根据约束条件202501x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩画出可行域，图中阴影部分为可行域，目标函数3y z x =+，表示可行域中点(,)x y 与(3,0)-连线的斜率，由图可知点(1,3)P 与(3,0)-连线的斜率最大，故z 的最大值为34，故选：C.【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.8.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（）A. 最小长度为8B. 最小长度为2C. 最大长度为8D. 最大长度为42【答案】B【解析】【分析】设,BC a =CD b =，得到4ab =，所求的篱笆长度为2a b +，根据基本不等式，得到最小值.【详解】设,BC a =CD b =，因为矩形的面积为4，所以4ab =，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为422a b a a +=+≥= 当且仅当42,a a=即a =. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.9.若sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A. 12 B. 12-C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.10.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c b a >> 【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x x x=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D .点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11.已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ︒∠=，2PA PB ==，则下列说法中错误的是（）A. 若O 为ABC ∆的外心，则2PC =B. 若ABC ∆为等边三角形，则⊥AP BCC. 当90ACB ︒∠=时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若OM P 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2【答案】B【解析】【分析】利用射影相等可知PA PB PC ==，利用反证法可知⊥AP BC 不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为PBC ∆中与PC 边平行的中位线. 【详解】若O 为ABC ∆的外心，则OA OB OC ==，由射线相等即可知PA PB PC ==，故A 正确；假设⊥AP BC ，则再根据PO BC ⊥，得BC ⊥平面APB ，则BC AB ⊥，与ABC ∆为等边三角形矛盾，故B 错误；当90ACB ︒∠=时，2OC =，2PC =，过C 作CH AB ⊥，连结PH ，易知CPH ∠为PC 与平面PAB 所成角，2sin 0,22CH CPH ⎛⎤∠=∈ ⎥ ⎝⎦，故CPH ∠的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，故C 正确；取1M ，2M 分别为PB ，BC 的中点，则平面12//OM M 平面APC ，则线段12M M 为M 在三角形PBC 内的轨迹，其长度为2，故D 正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.12.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>5，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =u u u r u u u r ，则直线AB 的斜率为（）A. 13-或13 B. 16-或16 C. 2 D. 16【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =±当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A A x y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A BAB x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222AA AA y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A A cx cy ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AF k k =42ccc =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立.故选：B .【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=CA CB ==CA AB ⋅=u u u r u u u r ________.【答案】-2.【解析】【分析】先求出AB u u u r ，再根据向量数量积公式，求出CA AB ⋅u u u r u u u r的值，得到答案.【详解】等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=CA CB ==所以2AB =u u u r所以()cos CA AB CA AB A π⋅=⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r222⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：2-【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题. 14.sin 613cos1063tan30︒︒︒++的值为________.【答案】3. 【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案. 【详解】sin 613cos1063tan30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+ ()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan30︒︒︒-++=【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题. 15.数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为________.【答案】11. 【解析】【分析】1(252)2n n a n -=-，2n ≥时，11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，得到关于n 的不等式组，解得n 的范围，结合*n ∈N ，得到n的值，再与1n =时进行比较，得到答案.【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n nn n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩解得212322n ≤≤. 而*n ∈N ，所以11n =又1n =时，有122342a a =<=，所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11.故答案为：11【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题.16.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，5,PA BC ==PB AC ==PC AB ==，则球O 的表面积为________. 【答案】29π 【解析】【分析】将三棱锥P ABC -补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案. 【详解】如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体，球O 为长方体的外接球，边长分别为a ，b ，c ，则222222251320a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以22229a b c ++=，所以29R =，则球O 的表面积为24S R π=22942π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭29π=. 故答案为：29π.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且116,a =328S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12log n n b a =，求数列{}nb 的前n 项和n T .【答案】(1) 52nn a -=()*n ∈N ；(2)292n n -. 【解析】【分析】（1）设等比数列公比q ，根据116,a =328S =，得到关于q 的方程，解出q ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）写出n b 的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为116a =，328S =，所以()216128q q++=，因为{}n a 各项均为正数解得12q =（负值舍去），所以151122n n n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭()*n ∈N ；（2）由已知得，12log n n b a =512log 2n-=5n =-，所以{}n b 为等差数列，所以(45)2n n n T -+-=292n n-=. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.18.如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积. 【答案】(1)7b =217；(2)34. 【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到3BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=，所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B =，所以sin sin c B C b=22sin π=7=；（2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以BD =，因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin2ABDS AB BD ABD=⨯⨯∠V1312222=⨯⨯⨯34 =.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题. 19.如图，三棱锥D-ABC中，2,AB AC==23,BC=3DB DC==，E，F分别为DB，AB的中点，且90EFC︒∠=.（1）求证：平面DAB⊥平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)370-.【解析】【分析】（1）取BC的中点G，可得BC AG⊥，BC DG⊥，从而得到BC⊥平面DAG，得到BC DA⊥，由DA EF∥，EF CF⊥，得到DA CF⊥，从而得到DA⊥平面ABC，所以平面DAB⊥平面ABC；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC︒∠=，5DA=，得到DCE的法向量1nu r，平面FCE的法向量2nu u r，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F--的余弦值【详解】（1）如图取BC的中点G，连接AG，DG，因为2AB AC==，所以BC AG⊥，因为DB DC=，所以BC DG⊥，又因为AG DG G =I ，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥，则DA CF ⊥.又因为BC CF C =I ，所以DA ⊥平面ABC ，又因为DA ⊂平面DAB ，所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==，在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-，所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,,222E ⎛- ⎝⎭31,022F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =u r(0,2,DC =u u ur 1,2DE =-⎝⎭u u u r . 所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v，即1111120102y x y z ⎧=--=，可取1n =u r.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =u u r5,,0,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u ur 0,0,2FE ⎛= ⎝⎭u u u r .所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v，即2225020y z ⎧+=⎪⎪=，可取2n =u u r，则12cos ,n n <>=u r u ur=因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为28-. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数 6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值. 【答案】（1）117.8（分）；（2）75分；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1，a ，b ，c 成等差数列，2c a =，解出,,a b c 的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值. 【详解】（1）根据频率分布直方图得，()20.0240.0200.04101a b c +++++⨯= 又因2,a c b +=2c a =，解得0.008,a =0.012,b =0.016c =，故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯117.8=（分），（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X 的取值为0、1、2、3.33361(0),20C P X C ===1233369(1),20C C P X C ===2133369(2),20C C P X C ===33361(3)20C P X C ===.所以分布列为：期望值：1991()012320202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯32=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.21.已知函数3()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数. （1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求证：()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【答案】（1）y x =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，代入0x =得到切线斜率，利用切点()0,0，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据()f x '解析式，得到()f x '为偶函数，且(0)1f '=，对()f x '求导，得到()f x ''，判断出()f x ''的正负，得到()f x '的单调性，结合02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，由零点存在定理得到()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，从而得到()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点. 【详解】（1）()2cos 3,f x x x '=-()01f '=，又()00f =，所以切点为()0,0.故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '为偶函数，且()01f '=，则只需证明()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点即可. ()sin 6f x x x ''=--，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ''<，故()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，因为()010f '=>，23022f ππ⎛⎫⎛⎫'=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理，可知存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，因此()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点. 【点睛】本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.22.已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2211612x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，得到||1PM r =+，||7PN r =-，从而得到||||8PM PN +=，得到28,2a c ==，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设:(l y kx m m =+≠±，代入椭圆方程，得到12x x +，12x x ，表示出直线QA 与直线QB 的斜率，根据2Q QA B k k +=-，得到k ，m 的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l 斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+，因为动圆P 与圆N 内切，所以||7PN r =-，则||||(1)(7)8||4PM PN r r MN +=++-=>=，由椭圆定义可知，曲线C 是以(2,0)M -、(2,0)N 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则4a =，2c =，故22212b a c =-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=.（2）①当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，m ≠±联立2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484480k x kmx m +++-=，设点()11,,A x y ()22,B x y ，则122212283444834kmx x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212Q QA B yy k k x x --+=+()()21212112x kx m x kx m x x +-++-=()1212122(2kx x m x x x x +-+==-，所以()1212(22)(0k x x m x x ++-+=，即2224488(22)(03434m km k m k k --++-=++，得212120m k -+-=.则((0m m m +-+-=，因为m ≠0m +=.即m =--直线:l y kx =--(k x =--，所以直线l过定点(-.②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且44t -<<，则点,,A t ⎛ ⎝B t ⎛ ⎝QA QB k k +==2=-，解得t =所以直线:l x =(-.综上所述，直线l过定点(-.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.。

2022年全国卷Ⅲ高考冲刺模拟押题卷数学(理)(含解析)

（1）解决比较大小类题目常用方法有：不等式性质直接应用、作差（商）比较法、函数单
调性法、中间量法、等价转化法等.
（2）几个常用不等式结论：
a b a2 b2 ； a b a3 b3 ；
若 a b ， ab 0 ，则 1 1 ； ab
若 a b 0 ， c 0 ，则 b c b （真分数不等式性质）； ac a
h0 h 2 的平面截该几何体，则截面面积为（）
A． 4
B． 4 h2
C． 2 h2
D． 4 h2
9．已知向量 a ， b 满足 a b 3 ， a b 0 ，若 c a (1 )b( R) ，且 c a c b ，
则 c 的最大值为（）
A．3
B．2
C． 1 2
10． x 2y2x y5 的展开式中的 x3 y3 系数为（）
（1）求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程；（2）已知射线 OM 的极坐标方程是，且与曲线 C 和直线 l 在第一条限的交点分别为
3 P,Q ，求 PQ 的长.
23．已知函数 f x x 2 2 x 1 ， x R .
（1）求函数 f x 的图象与直线 y 6围成区域的面积；
（2）若对于 m 0， n 0 ，且 m n 4 时，不等式 f x mn 恒成立，求实数 x 的取
点，直线 QA 与椭圆 C 的另一个交点为 F .
（ⅰ）证明：直线 AQ ， AP 的斜率之比为定值；（ⅱ）求直线 EF 的斜率的最小值．
21．已知函数 f (x) sin x ex ．
（1）求函数
f
(x)
在
3 2
, 2
的最大值；
（2）证明：函数 g(x)
1 2

(浙江专用)2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷(三)

（浙江专用）2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷（三）一、选择题 (本大题共 10小题，每题 4分，共40分)1 ．已知会集＝ {x ∈ Z| ≤ 0} ，＝{ x |－1≤x ≤6，则 ∩ 等于 ()A x B}ABA ．{x |－1≤x ≤0}B ．{x |x ≤6}C ．{0,1,2,3,4,5,6}D ．{0，－1}答案 D分析A ＝{x ∈Z|x ≤0}，B ＝{x |－1≤x ≤6}，则A ∩B ＝{0，－1}．2．若双曲线x 22 2，则其渐近线方程为 ()2－y ＝1(a >0)的实轴长为aA ．y ＝±xB ．y ＝±2x1C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x答案 A分析双曲线的实轴长为 2，得a ＝1，又b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为 y ＝±x .3．设α是空间中的一个平面， l ，m ，n 是三条不一样的直线． ①若m ?α，n ?α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α； ②若l∥，∥， ⊥α，则 n ⊥α；m m n l③若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则n ∥l ； ④若m ?α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m .则上述命题中正确的选项是( ) A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案D分析关于①，当， n 订交时，才能获取l ⊥α，①错误；关于②，由 l∥，∥ 得 l ∥，mmmn n又因为l ⊥α，所以n ⊥α，②正确；关于③，因为 m ⊥α，n ⊥α，所以m ∥n ，又因为l ∥m ，所以n ∥l ，③正确；关于④，直线 l 与m 可能订交、平行或互为异面直线，④错误．综上所述，正确命题的序号为②③.π4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜2的最小正周期是 π，若将该函数的图象向右ππ平移6个单位长度后获取的函数图象关于直线 x ＝ 2对称，则函数 f (x )的分析式为()A ．f (x )＝sin 2x ＋πB ．f (x )＝sin 2x －π3 3 ．＝ sin 2x ＋π ． (x ) ＝ sin 2x －πC f (x ) 6D f 6答案D分析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期是π，2π所以ω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将该函数的图象向右平移π个单位长度后，6获取图象所对应的函数分析式为y ＝sin2x－π＋φ＝sin 2＋φ－π ，6 x3 由此函数图象关于直线x ＝π对称，得2π π ππ2×2＋φ－3＝k π＋2，k ∈Z ，即φ＝k π－6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ＝－π，满足|φ|<π，62所以函数f (x )的分析式为f (x )＝sin2x － π 6.3x 3)5．函数f (x )＝|x|的图象大体为(4 －4答案 A分析由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠±1}且满足 3－x 33x 3f (－x )＝|－x|＝－ 4 |x| ＝－4－4 －4f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，消除C ，D 项；又由当x ∈(0,1) 时，函数f (x )的值小于0，消除B 项，应选A.6．已知等比数列{a }的前n 项和为S ，则“a >0”是“S >S ”的()nn132A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件答案C2分析设等比数列{a n}的公比为q，S3>S2?a3>0?a1q>0?a1>0，应选C.7．一个箱子中装有形状完整同样的5个白球和(∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取4次，nn每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)等于( )A．1B．2C．3D．4答案B分析设摸取一次摸得白球的概率为p，则易得X～B(4，p)，D(X)＝4p(1－p)＝1，解得p＝112，则( )＝4×2＝2.8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1,2，，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不一样的放法有( )A．98种B．196种C．252种D．336种答案D分析3个球放入编号为1,2，，7的七个盒子中，每个盒子至多放2个球，应采纳消除法，每个球放入盒子的放法各有7种，共73种，消除3个球放在同一个盒中的7种放法，则共有73－7＝336(种)放法．9．已知向量a，b满足|a|＝| a＋b|＝2，则|2a＋b| ＋|b| 的最大值为( )A．4B．42C．4＋22D．8答案B分析记a＋b＝m，则|a|＝|m|＝2，|2a＋b|＋|b|＝|a＋m|＋|m－a|≤2|a＋m|2＋|m－a|22 2＝2m＋a＝42，当且仅当|a＋m|＝|m－a|，即a·(a＋b)＝0，a·b＝－4时，取等号，则所求的最大值为 4 2.10．已知偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]2 * 时，f(x)＝ax－bx＋c，a，b，c∈N.若函数f (x)在[－100，100]上有400个零点，则＋＋c的最小值为( )abA．5B．8C．11D．12答案 C分析由f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是以2 为周期的周期函数，函数f(x)在[－100,100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0,1]上有两个不一样的零点，又因为a，b，c∈N*，f 0＝c>0，c>0，f 1＝－c＋>0，>0，ab －＋－b a bc所以即0<－2a<1，b－2a<0，2 2－4>0，b ac－b－4ac>0，a －b ＋1>0，所以要使＋＋获得最小值，不如取－2<0，以为横 a c c abb 2－4a >0，轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面地域如图中暗影部分 (不含界限)所示，由图易得地域内横纵坐标之和最小的整数点为 (5,5)，此时a ＝ b ＝5，所以 a ＋＋的最小值为11.bc二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共 36分)11．复数z ＝(3＋4i) 2的虚部为________，z 的共轭复数z ＝________.答案24 －7－24i分析∵z ＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i ＋(4i)2＝－7＋24i ，∴虚部为24，共轭复数z ＝－7－ 24i.2x －y ≤0，则2x ＋y的最大值为________，y ＋1的取值范围为12．若变量x ，y 满足x －2y ＋3≥0，x ≥0，x －2________．答案 8－3，－ 12分析不等式组表示的平面地域如图中暗影部分 (含界限)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z表示的是斜率为－1，在y 轴上的截距为 z 的直线，当直线在y 轴上的截距最大时，z 最大，即直线过点C 时，z 最大，由2x －y ＝0， x ＝1，x －2y ＋3＝0，得y ＝2，z max ＝3,2x ＋y 的最大值为23＝8.y ＋1表示的是可行域内的点(x ，y )与点(2，－1)连线的斜率，x －2设D (2，－ AD1CD3y ＋1－3，－1 1)，k ＝－2，k ＝－1＝－3，所以x －2的取值范围2.13．某多面体的三视图以下列图，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为________．32答案43π分析由三视图知该几何体是以下列图的四棱锥O－ABCD，且AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AO＝3，四边形ABCD是矩形，OA⊥平面ABCD，所以该多面体最长的棱长为＝2＋2＋2＝3＋4＋9＝4，该几何体外接球的半径为OC OA AD CD4 3 322，其体积V＝3π×2＝3π.14 ．已知3x2－1n的睁开式中全部二项式系数和为，则n＝________；二项睁开式中含x3 x 64的系数为________．答案6－54021n分析3x－x 睁开式中全部二项式系数和为64，n∴2＝64，解得n＝6；216∴3x－x睁开式的通项公式为T k 2 6－k 1k＝C·(3x) ·－k＋1 6 xk 6－k k 12－3k＝(－1)·3·C6·x ，令12－3k＝3，解得k＝3，∴二项式睁开式中含 3 项的系数为(－1) 3 3 3x ×3×C＝－540.61 12 2 b2 a215．已知实数a≥，b≥，且a－a＝b－b，则M＝＋的最大值是________．2 2 a b答案3 22 ＋12 2化简得，a－12b－12 1 a 1 1 1分析由 a abb 2 2 2 2 2 4 －＝－＋＝，又实数≥，≥，图形为圆，如图：由a 2－a ＝b －b 2，可得a 2＝a ＋b －b 2，b 2＝a ＋b －a 2，b 2 a 2 a ＋b －a 2a ＋b －b 2b aba则M ＝a ＋b ＝a ＋b＝1＋a －a ＋1＋b －b ＝a ＋b －a －b ＋2，由几何意义得，b∈[2－1,1＋2]，则a∈[2－1，1＋2]，则当过点A 或点B 时，＋abab取最小值，可得 M ＝2－ 1＋1＋ 2－ 1123 2＋＋＋2＝＋1，max2222b 2a 23 2所以M ＝a ＋b 的最大值是2 ＋1.2216.如图，椭圆：x 2＋y2＝1(>>0)的两个极点 ( 0)，(0，)，过，分别作AB 的垂M a b ab Aa, B b AB线交椭圆M 于D ，C (不一样于极点)，若|BC |＝3|AD |，则椭圆 M 的离心率 e ＝________.6答案3baa分析直线AB 的斜率为－a ，故直线BC ，AD 的斜率都为b ，所以直线BC 的方程为y ＝b x ＋b ，直线 AD 的方程为 y ＝b a(x －a ).将直线BC 的方程代入椭圆方程，求得C 点的坐标为－2a 3b 2b 5－a 4b，将直线AD 的方程代入椭圆方程，求得D 点的坐标为 a 5－ab 4 －2a 2b 3a 4＋b 4，a 4＋b 4a 4＋b4，a 4＋b 4，→→－232 －24 －24－22332因为|BC |＝3|AD |，即BC ＝3AD ，也即a 4＋b 4，a 4＋b 4 ＝3a 4＋b 4，a 4＋b 4 ，即a 4＋b 4 ＝－6ab 4 b 2 1b 26a 4＋b 4，化简得a 2＝3.故离心率为e ＝1－a ＝3.17．已知f (x )＝2x 2＋2x ＋b 是定义在[－1,0]上的函数，若f (f (x ))≤0在定义域上恒建立，并且存在实数 x 0满足：f (f (x 0))＝x 0且f (x 0)≠x 0，则实数b 的取值范围是________．1 3答案－，－2 81 1分析因为f (x )min ＝f － 2 ＝b －2，f (x )max ＝f (0)＝f (－1)＝b ，1 1所以－1≤b －≤0，时满足2得b ∈－，02－1≤b ≤0， f (f (x ))≤0；设f (x 0)＝y 0，则f (y 0)＝x 0且y 0≠x 0，所以函数f (x )＝2x 2＋ 2x ＋b 图象上存在两点关于直线y ＝x 对称，令l ：y ＝－x ＋m ，由 y ＝－x ＋m ，得2x 2＋3x ＋b －m ＝0，y ＝2x 2＋2＋ b ，x设 (1， y1)，( 2， 2)为直线与抛物线的交点，线段的中点为( ， y )，EE＝ 9－8b －m >0，所以3x 1＋x 2＝－2，33所以E －4，4＋m ，而E 在y ＝x 上， 3所以m ＝－，223从而2x ＋3x ＋b ＋＝0在[－1,0]上有两个不相等的实数根，23令h (x )＝2x ＋3x ＋b ＋2，3＝ 9－8b＋2>0，1h －1＝b ＋≥0，2所以3h 0＝2＋b ≥0，3－ 1<－4<0， 1 3得b ∈－2，－8.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)118．(14分)已知函数f (x )＝cos x (3sinx －cos x )＋2.(1) 求fπ的值； 3(2) 当x ∈0，π c <f (x )<c ＋2恒建立，务实数 c 的取值范围．时，不等式2解(1)f (x )＝3sin x cosx －cos 2x ＋ 1231π＝ 2sin2x －2cos2x ＝sin2x －6，所以fπ 2π ππ3＝sin3－＝sin2＝1.6πππ5π(2) 因为0≤x ≤2，所以－6≤2x －6≤6.1 2x － π所以－2≤sin 6 ≤1.1 1c <－，由不等式< ( )< c ＋2 恒建立，所以2解得－1<<－.2c ＋2>1，1所以实数c 的取值范围为－1，－2.119．(15分)如图，四边形ABEF 是正方形，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2CD . (1) 若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：DB ⊥平面EBC ； (2) 若DF ⊥BC ，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值． (1) 证明∵四边形ABEF 是正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴ EB ⊥平面ABCD ，可得EB ⊥BD .1 又∵AD ＝AB ＝BC ＝2CD ，不如设AB ＝BC ＝AD ＝1，DC ＝2，可求BD ＝3，可得BD ⊥BC ， ∵ EB ∩BC ＝B ，EB ，BC ?平面EBC ，∴DB ⊥平面EBC .(2)解方法一过点F 作FH ⊥平面ABCD ，连接AH 交CD 于点G ，过点H 作HI ⊥AD 交AD 于点I，连接FI，作HO⊥FI交FI于点O，∵FH⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴FH⊥BC，又∵DF⊥BC，且FH∩DF＝F，FH，DF?平面FDH，∴BC⊥平面FDH，又DH?平面FDH，∴BC⊥DH，即H在BD上，又∵FH⊥AB，FA⊥AB，且FH∩FA＝F，FH，FA?平面FAH，∴AB⊥平面FAH，又AH?平面FAH，∴AB⊥AH.又∵⊥，⊥，∩HI ＝，，?平面，∴⊥平面，AD FH ADHI FH H FHHI FHI AD FHI 又∵AD? 平面FAD，∴平面FHI⊥平面FAD，∴H到平面AFD的距离为HO，由(1)知＝1，＝＝3，＝6，DG2 HGHI 6 HO 96 又∵DB＝3DH，∴B到平面AFD的距离为3 ，设直线BD与平面ADF所成角为θ，则sin2 θ＝3，方法二设AD＝AB＝BC＝1，以A为坐标原点，AB为y轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0) ，C3 1，3，，0，D3，－，02 2 2 2FA＝1，设F(x，y，z)，由题意得FB＝2，→→DF·BC＝0，x2＋y2＋z2＝1，x2＋y－12＋z2＝2，即3 1 1x－，y＋，z·3，，0＝0，2 2 2 23 6 3 6 解得x＝3，y＝0，z＝3，即F 3 ，0，3. 设平面ADF的法向量为m＝(r，s，t) ，→3 1 →3 6，又AD ＝2 ，－，0，AF ＝3 ，0，32→3 －1＝0，2 ∴AD ·m ＝0，即 2→36·＝0，AF m3r ＋3t ＝0，令 r ＝2，则 s ＝6，＝－1，即＝( 2，6，－1)．tm设直线与平面所成角为θ，且→＝ 33，BD ADFBD2 ，－2，0→→ 2|m ·BD |则sinθ＝|cos 〈m ，BD 〉| ＝| ||→| ＝ 3 ，mBD 2∴直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值为.320．(151 1 分)已知数列{a }是等差数列，满足a ＝6，S ＝28，数列{b }满足：b ＝1，＋＋n2 4n1b 12b 2＋1＝ 1 －1(∈N *)．nb b nn n(1) 求a n 和b n ；(2) 记数列 b n 的前n 项和为S n ，求S n .a na ＋d ＝6，a ＝4，(1)设数列{a n }的首项和公差分别为11解 a 1，d ，则解得∴a n ＝4a ＋6d ＝28，d ＝2，12n ＋2，n ∈N *.1 ＋1＋＋1＝1－1，①b 1b 2nb n b n ＋12 1 1 1 ＝ 1＋＋＋ n －1b －1(n ≥2)，②bb b 122n －1 n①－②得 11 1b n ＋1 n n ≥2)，当＝1时，11 －1，1n ≥2时， bnbnbbbbn ＋1bb2nnn ＋1 n n12＝ b n ·b n －1b 211 .当n ＝11吻合上式，所以n1*nb b b nnn1nn111(2) b＝＝a＝·n ＋1n2n ＋22n ＋2n2n1 1 1＝2n －n ＋1，S n ＝ b 1 b 2 ＋＋b n＋ ana 1 a 21 11 1 1 1＝ 2 1－2＋2－ 3＋＋n －n ＋1 1 1n ＝21－n ＋1＝2n ＋2.21.(15 分)已知抛物线 C ：y 2＝2px (p >0)的焦点是F (1,0)，直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 分别与抛物线C 订交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切． (1) 求直线AB 的方程(含k 1，k 2)；(2) 若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求S △MON 的取值范围．p解(1)焦点是F (1,0)，可得2＝1，即p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为 y 2＝4x ，联立 y 2＝4x ，可得A 4 4 ，同理可得B 4 4 ，y ＝k 1x ， 2， k k 2， k k 1 2 21y 1－y 2 k 1k 2若AB 的斜率存在，可得k AB ＝x 1－x 2＝k 1＋k 2 ，AB 的方程为y － 4＝k 1 k 2 x －42 ，k 1 k 1＋k 2 k 1化为12x －(k 1＋k 2) y ＋4＝0，kk若AB 的斜率不存在，也满足上边的方程，则直线AB 的方程为kkx －(k ＋k)y ＋4＝0.1 212(2)过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，可得d ＝2 4＝r ＝2，(kk) ＋(k＋k )21 2 12化简为(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，即有－2≤k 1k 2<0，→ →x 1x 2＋y 1y 2cos ∠AOB ＝ OA ·OB→ → ＝2222x ＋y · x ＋y| || | 2112OAOB＝1＋k 1k 2，222＋112＋k1＋k 2kk由(1k 2)2k 1＋ k2＝ 1＋k 1k 2 ，sin2＝－k 1k 22－4k 1k 2＋4＋(2)＝4，可得cos ∠∠，kAOB5－2k 1k 2MON5－2k 1k 2设t＝5 － 21 2∈(5,9]，则S 22＝4·－ k 1k 2 2－4k 1k 2＋4△MON ＝4sin ∠＝kkMON5－2k 1k 2－5－t 24 －25－t＋4 2 49－t ＋18t－494·t ＝t ＝18－t＋t ≤18－249＝4，当t＝7时取等号，即kk ＝－1∈[－2,0)，所以(S ) ＝2，12 △MONmax2 49 16 > 4 5又S>18－ 5 5 ，△MON 5＋△MON即有S△MON的取值范围为45，2.522．(15分)已知函数f(x)＝k e x(x－1)－12x2，k∈R.(1)当k＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若函数f(x)有两个零点，求k的取值范围．x 12解(1)函数f(x)的定义域为R，当k＝－1时，f(x)＝－e(x－1) －2x，x x＋1)．f′(x)＝－e x－x＝－x(e当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递加，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝0时取到最大值，最大值为f(0)＝1.(2)f′(x)＝k e x x－x＝x(k e x－1)，当k＜0时，f(x)在(－∞，0)上单调递加，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f(0)＝－k＞0，1f(1)＝－＜0，22k－1 1 2 1 2 1f(2k－1)＝k e (2k－2) －2(2k－1) ＜k(2k－2)－2(2k－1) ＝－2＜0，所以f(x)有两个零点；1当k＝0时，f(x)＝－2x2，所以此时f(x)只有一个零点；当k＝1时，f′(x)＝e x x－x＝x(e x－1)≥0恒建立，f(x)在R上单调递加，f(x)不存在两个零点；当k>0且k≠1时，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 1 k ，当0＜＜1时，ln 1＞0，( )在(－∞，0)上单调递加，在(0，－lnk)上单调递减，在＝－lnk k k f x(－ln k，＋∞)上单调递加，且f(0) ＝－k＜0，f(x)不存在两个零点；1k)上单调递加，在(－ln k,0)上单调递当k＞1时，ln ＝－ln k＜0，f(x)在(－∞，－lnk减，在(0 )上单调递加，且f( ) ＝－lnk＋10f(x)不存在两个零点．，＋∞－ln k 2＋1＜，2综上，当f(x)有两个零点时，k的取值范围是(－∞，0)．。

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高考试题猜读 · 命题设计2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（三）（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I 卷（选择题,共60分）一. 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

)1．设全集I={x|1≤x ≤9,x ∈N},则满足{1,3,5,7,8}∩( C I B)={1,3,5,7}的集合B 的个数有（）A.32个B.8个C.4个D.16个2．已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 为（） A ．i 21- B ．i 21+ C ．i +2 D ．i -23．已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2+x)=f(2-x),则f(-4)= （）A.4B.2C.0D.不确定4．已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点（）A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e5．若△ABC 的内角A 满足1sin 23A =，则=+A A c o s s in （）A．BC ．23-D ．236．已知平面向量(1,1)a =-，23(8,1)a b m +=+，且a ∥b ，则a b - （）A ．(2,2)-B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(2,2)-7．“直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直”是“2-=a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．a 是x x f x21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（）A ．0)(0=x fB ．0)(0<x fC ．0)(0>x fD ．)(0x f 的符号不确定9．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N1=（O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅F ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆10．已知实数y x ,约束条件28022x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则1++y x 的最小值是（） A ．3 B ．23 C ．5 D ．411．棱长均为1三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则||SP 的最小值为（） A. 1B.2C. 6D. 312．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积⨯高）时，其高的值为（） A．B．C．3D第II 卷（非选择题,共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题—第24题为选作题，考生根据要求作答。

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，点)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(C B A O ，则曲线2x y =与x 轴围成的封闭图形的面积是．14. 已知函数ax x x f +-=3)(在区间（-1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是________．15. 双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 __________________16. 已知ABC ∆中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径是1,且满足条件()b B A C A )si n (si n si n si n 222-=-,则ABC ∆的面积的最大值为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，112a =，且12n n a a n +-=其中n =1，2，3…；若11n n n b a a +=--，（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ．第3页/共14页第4页/共14页AB C C 11 B 1A 1 D18. （本小题满分12分）为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜欢看该节目的10位男生中，1A 、2A 、3A 、4A 、5A 还喜欢看新闻，1B 、2B 、3B 还喜欢看动画片，1C 、2C 还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：0.05 （参考公式：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中d c b a n +++=）19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC=90°,点D 是棱B 1C 1的中点．（1）求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求证：AB 1∥平面A 1DC ；（3）求二面角D-A 1C-A 的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.21．设函数x x bax x f ln 2)(+-= （1）若1()1,2f x x x ==在处取得极值,①求a 、b 的值；②存在，]2,41[0∈x 使得不等式0)(0≤-c x f 成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()(0,)f x +∞在上是单调函数，求a 的取值范围。

（参考数据237.389,20.08)e e ≈≈第7页/共14页第8页/共14页选考题（本小题满分12分）（请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22.选修4-1:几何证明选讲如图，已知⊙O 和⊙M 相交于B A ,两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙BD O ,于点F E ,，连结CE ，（Ⅰ）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；（Ⅱ）求证：22CE EFAG GF =。

23．选修4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。

（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系24.选修4-5:不等式选讲设()2|||3|.f x x x =-+ (I)求不等式()7f x ≤的解集S:(II )若关于x 不等式()|23|0f x t +-≤有解，求参数t 的取值范围.高三数学试题3（理科）参考答案1-12: DBCBB CBBBC DA13. 3114. a ≥315.16. 43317. 解：（1）∵12,n n a a n +-= ∴12n n a n a ++=，∵112a =，∴2113224a +==； ∴12131311424b a a =--=--=-；又1121(1)1122n n n n n a n a n b a a +++++++=--=--1122n n na ab +--==，∴112n nb b +=，∴数列{}n b 是以34-为首项、以12为公比的等比数列．（2）由（1）得11313()422n n n b -+=-⨯=-， ∴11n n a a +--132n +=-，∴11312n n n a a ++-=-，∴212312a a -=-， 323312a a -=-， 434312a a -=-， 1312n n n a a --=-；将以上1n -个等式相加，得2112311(1)11122(1)3()13122212n n n a a n n ---=--+++=--⋅-，∵112a =，∴1333122222n n n a n n =+--+=+-．18. 【解析】（1）由分层抽样知识知，喜欢看该节目的同学有3010650=⨯,故不喜欢看该节目的同学有50－30=20人,于是可将列联表补充如下图：（2）()333.82525203051015205022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ＞7.879∴有99.5%的把握认为喜爱该节目与性别有关．（3）（理）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名,其一切可能的结果组成的基本事件共有30121315==C C C N 个,用M 表示“11C B 、不全被选中”这一事件,则其对立事件M 表示“11C B 、全被选中”这一事件,由于由()111,,C B A ，()112,,C B A ，()113,,C B A ，()114,,C B A ，()115,,C B A ,5个基本事件组成,所以()61305==M P ,由对立事件的概率公式得()()656111=-=-=M P M P ．19. 19．（12分）（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形，所以AB AC AA ⊥⊥11,所以⊥1AA 平面ABC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱． ………………1分因为DC A 1平面111C B A ，所以D A CC 11⊥， ………………2分又因为1111C A B A =，D 为11C B 中点，所以111C B D A ⊥． ……………3分因为1111C CB CC = ,所以⊥D A 1平面C C BB 11． ……………4分（Ⅱ）证明：连结1AC ，交C A 1于点O ，连结OD ，因为11A ACC 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11C B 中点，所以OD 为11C AB Λ中位线，所以OD AB //， ………………6分因为ODC 平面DC A 1，⊄1AB 平面DC A 1，所以//1AB 平面DC A 1． ………………8分（Ⅲ）解：因为侧面11A ABB ，11A ACC 均为正方形，90=∠BAC ，所以1,,AA AC AB 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系xyz A -．设1=AB ，则)1,21,21()1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(1D A B C ． )1,1,0()0,21,21(11-==→→C AD A ， ………………9分设平面DC A 1的法向量为),,(Z Y X m =，则有⎩⎨⎧=-=-0011C A m D A m ，⎩⎨⎧=-=+0z y y x ，z y x -=-=，取1=x ，得)1,1,1(--=m ． ……………10分2第11页/共14页第12页/共14页又因为⊥AB 平面11A ACC ，所以平面11A ACC 的法向量为)0,0,1(=→AB ，………11分3331),cos(==-=→→→ABm AB m AB m ，因为二面角A C A D --1是钝角，所以，二面角A C A D --1的余弦值为33-． ……………12分20. 解（1）由已知可设椭圆2C 的方程为2221(2)4y x a a +=>其离心率为2，故2a =，则4a =，故椭圆的方程为221164y x +=（2）解法一 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A AB B x y x y由2OB OA =及（1）知，,,O A B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可以设直线AB 的方程为y kx =将y kx =代入2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414Ax k =+ 将y kx =代入221164y x +=中，则22(4)16k x +=，所以22164B x k =+ 由2OB OA =，得224BA x x=，即221616414k k =++解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-解法二 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A AB B x y x y由2OB OA =及（1）知，,,O A B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可以设直线AB 的方程为y kx =将y kx =代入2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414A x k =+ 由2OB OA =，得22164Bx k =+，2221614B k y k =+ 将22,B B x y 代入221164y x +=中，得224114k k +=+，即22414k k +=+解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-21．（Ⅰ）（ i ）()21bf x ax nx x =-+，定义域为),0(+∞21'()2b f x a x x ∴=++。