122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)-文档资料
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122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则193075
g(x)
g(x)2
(g(x)0)
例2 求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
(1).y
1 x4
; (2). y
x
x.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x %时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
（第一课时）
教学目标
• 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活 运用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则 • 教学难点：商的导数的运用
我们今后可以直接使用下列的八个公式 一、基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
yx'
yu' ux'
lnu'3x2' 13 3 .
u 3x2
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.05x1;
3ysinx其中,均为常.数
解1函y数 2x32可以看y 作 u3和 函数
u2x3的复合 . 由复函 合函数数 求导法则有
yx' yu' ux' u2'2x3' 4u8x1.2
复合 yf函 gx的 数导数 yfu 和 ,ug函 x的 数
导数间 yx ' 的 yu ' ux '.关系为
yx'表 示 y对 x的 导 数
即 y对 x的导数 y对 u等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则90492
D.(3x )' 3x ln 3
(3) f(x)=80，则f '(x)=___0___;
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等 于____x__;
f ' (1)等 于___e___
1
(4) (1ogax )' __x__ln__a__
p(t) p0 (1 5%)t
，所以，
纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
公式四: (cos x) sin x
公式五:对数函数的导数
(1)
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0,
a
1).
(2) (ln x) 1 . x
公式六:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
公式1 C 0(C为常数)
5284
0
(x 100 ) 11 (x 100 )2
5284 (x 100 )2
(1)因为
c(90)
5284 (90 100 )2
52.84，所以，
纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
(2)因为
c(98)
5284 (98 100
)2
1321
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
x2 6x 3 y' (x2 3)
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
c(x) ( 5284 ) 5284 ( 1 )
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则292542共23页文档
曲线 P(1,在 1)处的切线k 的 y|x 斜 13率 , 为
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
解：f(x)(x2sinx) (x2)(sinx)2xcosx
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
解：g(x)(x3 3x2 6x) 2
(x3)(3x2)(6x) 3x2 3x6 2
例 2： (1)求 函 数 h(x)xsinx的 导 数 . (2)求 函 数 f(x)2xlnx的 导 数 .
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
解 ： yx 13,y(x 13)(x3)3x4;
解 :(1)h(x)(xsinx) xsinxx(sinx)sinxxcosx
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
3.用 两 种 y方 ( 22 法 x3 )求 (23)x
的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
公 式 7 .若 f
(x)
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
解：f(x)(x2sinx) (x2)(sinx)2xcosx
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
解：g(x)(x3 3x2 6x) 2
(x3)(3x2)(6x) 3x2 3x6 2
例 2： (1)求 函 数 h(x)xsinx的 导 数 . (2)求 函 数 f(x)2xlnx的 导 数 .
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
解 ： yx 13,y(x 13)(x3)3x4;
解 :(1)h(x)(xsinx) xsinxx(sinx)sinxxcosx
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
3.用 两 种 y方 ( 22 法 x3 )求 (23)x
的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
公 式 7 .若 f
(x)
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)
2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导，即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算简便.(关键 词：先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1，则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点，或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线，直线与其相切时，有且只有一 个公共点，反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时，直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”.(关键词：公共点是否是切点)
由切线过点(1,1)，得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0)，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案：x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程：
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=［a3xcos(2x+1)］′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x［cos(2x+1)］′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x［-sin(2x+1)］(2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则93128
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘 第二个函数的导数 ,即:
f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘 第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平 方.即:
故a＋b－8＝0， 解得a＝－4，
2a＋b－4＝0，
b＝12.
1．函数 y＝x＋1x在 x＝0 处的导数是 ( )
A．2
B.52
C．0
D．不存在
[答案] D
[解析]∵f(0)不存在，∴f′(0)不存在．
2．y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相切，则 a＝( )
A.18 1
(1)y＝x－2
(2)y＝cosx
(3)y＝log3x
(4)y＝e0
[解析] 由求导公式得
(1)y′＝－2·x－3＝－x23.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx.
1 (3)y′＝(log3x)′＝ x ln 3 . (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
考点二 求某一点处的导数
求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数． 3 x2
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
5284 (100 x)2
f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘 第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平 方.即:
故a＋b－8＝0， 解得a＝－4，
2a＋b－4＝0，
b＝12.
1．函数 y＝x＋1x在 x＝0 处的导数是 ( )
A．2
B.52
C．0
D．不存在
[答案] D
[解析]∵f(0)不存在，∴f′(0)不存在．
2．y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相切，则 a＝( )
A.18 1
(1)y＝x－2
(2)y＝cosx
(3)y＝log3x
(4)y＝e0
[解析] 由求导公式得
(1)y′＝－2·x－3＝－x23.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx.
1 (3)y′＝(log3x)′＝ x ln 3 . (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
考点二 求某一点处的导数
求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数． 3 x2
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
5284 (100 x)2
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
a 解：f′(x)＝1－ 2，由导数的几何意义得f′(2)＝3， x 于是a＝－8. 由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上， 8 可得f(2)＝2－ ＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9. 2 8 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－x＋9.
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
f′(x)＝__ex__ 1
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.docx
1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则备课人：王宏伟年级组：高二教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用•在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法.但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的.因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦问题得以解决，为以后导数的研究带來了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然棊本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限丁•基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数.教材层层深入，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生.因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.课吋分配2课吋.第1课时（基本初等函数的导数公式及导数的运算法则）；第2课时（复合函数的求导法则）第1课时教学目标1.知识与技能目标（1）熟练掌握基本初等函数的导数公式；（2）掌握导数的四则运算法则.2.过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力.由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则.学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物z间的普遍联系，达到学有所用.在训练屮也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣. 教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数…教学难点：商求导法则的理解与应用.教学过程：一、复习回顾复习五种常见函数y = c、y = x\ y二丄、y = ^的导数公式填写下表兀函数导数y = cy = x2y = x^1y=-Xy = 4xy = f(x) = x\ne Q")二、提出问题，展示目标我们知道，函数y = /(%) =兀"⑺丘Q*)的导数为y =恣心,以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三课时)
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用公式求简单函数的导数；2、掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；3、能运用公式处理某些实际问题。
【教学重点】基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【教学难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【教学过程】 一、知识回顾：公式1、0)'(=C （C 为常数） 公式2、1)'(-=n nnxx （n 为有理数）二、新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）公式的应用xy x y xy xy y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例（三）基础训练555)4(5)3(1)2()1(1e y y xy x y x ====、求下列函数的导数：（四）例题分析：例2、假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下关系：p (t )=p 0(1+5%)t ，其中p 0为t =0时的物价，假定某种商品的p 0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)（五）基础训练处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（六）导数的运算法则（1）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三、典例分析例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y =-；（3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4xx y =； （5）1ln 1ln xy x-=+．（6）2(251)xy x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x xy x x x-=+解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，'232y x =-。
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1
C 0(C为常数)
记
练一练： （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
第二课时
导数的四则运算
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
18 x 8 x 9 (2)y=(1+x6)(2+sinx)
2
y' 6 x (2 sin x) (1 x ) cos x
5 6
法则3: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x) 应用3:求下列函数的导数 (1)y=tanx 2 2
共三课时
2019/4/15
公式一: C = 0 (C为常数)
Hale Waihona Puke 公式二: ( x) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
1 ( 4) y 2 ; x
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5； (2)y′＝(x2＋log3x)′ 1 ＝(x )′＋(log3x)′＝2x＋ . xln 3
2
(3)y′＝(x2)′· sin x＋x2· (sin x)′ ＝2x· sin x＋x2· cos x； ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ (4)y′＝ ex－12 exex－1－ex＋1ex －2ex ＝ ＝ x . ex－12 e －12
(5) (1oga )
x '
e
1 x ln a ________
• 1.对基本初等函数的导数公式的理解：
• (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的 形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导 不要求掌握． • (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别， 这是易错点．
• 6．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n 等于( ) • A． 1 B．2 • C． 3 D． 4 • 解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. • 答案：C
2 x3 x 6x 3 ( 2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y 4 ;(2). y x x. x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
p(t ) p0 (1 5%)
[练 3]
求下列函数的导数：
4 2 2 2
(1)y＝x －3x －5x＋6； (2)y＝x ＋log3x； (3)y＝x · sin x； e ＋1 (4)y＝ x . e －1
x
[思路点拨]
结合基本初等函数的导数公式及导数的四则
运算法则直接求导．
[精解详析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
应用1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
y' 3x cos x
2
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4 x 2 x 1
3
法则2: ' ' ' f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) (1)y=(2x 2 2 y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分
析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法 则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数 化简，然后求导，以减少运算量．
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
x '
(4) f ( x) e , 则f ( x)等于______; e
x
'
f (1)等于______
公式三:
(sin x) cos x
公式四:
(cos x) sin x
公式五:对数函数的导数
1 (1) (log a x) (a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
公式六:指数函数的导数
(1) (a ) a ln a(a 0, a 1).
C 0(C为常数)
记
练一练： （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
第二课时
导数的四则运算
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
18 x 8 x 9 (2)y=(1+x6)(2+sinx)
2
y' 6 x (2 sin x) (1 x ) cos x
5 6
法则3: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x) 应用3:求下列函数的导数 (1)y=tanx 2 2
共三课时
2019/4/15
公式一: C = 0 (C为常数)
Hale Waihona Puke 公式二: ( x) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
1 ( 4) y 2 ; x
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5； (2)y′＝(x2＋log3x)′ 1 ＝(x )′＋(log3x)′＝2x＋ . xln 3
2
(3)y′＝(x2)′· sin x＋x2· (sin x)′ ＝2x· sin x＋x2· cos x； ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ (4)y′＝ ex－12 exex－1－ex＋1ex －2ex ＝ ＝ x . ex－12 e －12
(5) (1oga )
x '
e
1 x ln a ________
• 1.对基本初等函数的导数公式的理解：
• (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的 形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导 不要求掌握． • (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别， 这是易错点．
• 6．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n 等于( ) • A． 1 B．2 • C． 3 D． 4 • 解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. • 答案：C
2 x3 x 6x 3 ( 2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y 4 ;(2). y x x. x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
p(t ) p0 (1 5%)
[练 3]
求下列函数的导数：
4 2 2 2
(1)y＝x －3x －5x＋6； (2)y＝x ＋log3x； (3)y＝x · sin x； e ＋1 (4)y＝ x . e －1
x
[思路点拨]
结合基本初等函数的导数公式及导数的四则
运算法则直接求导．
[精解详析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
应用1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
y' 3x cos x
2
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4 x 2 x 1
3
法则2: ' ' ' f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) (1)y=(2x 2 2 y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分
析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法 则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数 化简，然后求导，以减少运算量．
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
x '
(4) f ( x) e , 则f ( x)等于______; e
x
'
f (1)等于______
公式三:
(sin x) cos x
公式四:
(cos x) sin x
公式五:对数函数的导数
1 (1) (log a x) (a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
公式六:指数函数的导数
(1) (a ) a ln a(a 0, a 1).