2013年三维设计选修2-2第一章 1.1 1.7 定积分的简单应用

0.15 W＝∫0 2 000xdx＝1 000x2|0.15＝22.5(J)． 0
(2 分)
(8 分)
(12 分)
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[一点通]
解决变力作功注意以下两个方面：
(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
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7．已知力 F 和物体移动方向相同，而且与物体位置 x 有如
y2＝2x， y＝－
求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8，－4)．
法一：选 x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分 割成两部分(如图)，则面积为 S＝S1＋S2＝2
2 0
2xdx＋ ( 2x－x＋4)dx
8 2
b a
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8
－1 18
18
9 5 ＝(－36· )－(－36· )＝(－2)－(－ )＝ (J)． 18 8 2 2
－1
5 从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为 J. 2
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1．在利用定积分求平面图形的面积时，要注意 f(x)≥0 的 条件．当恒有 f(x)＜0 时，定积分 f(x)dx 为负值，从而曲边梯形 的面积为 f(x)dx 的相反数，也就是 |f(x)|dx；当 f(x)在区间[a， b]上有正有负时，会有一部分定积分的值正负相互抵消，相应曲 边梯形的面积应为 |f(x)|dx.总之，当 f(x)不一定为非负数时，要 求相应曲边梯形的面积，其面积为 |f(x)|dx.
b a b a
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[例1]
求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形
的面积．
[思路点拨] 结合图形，先求出两曲线的交点坐标．
思路一：选x为积分变量，将所求面积转化为两个积分 的和求解； 思路二：选y作积分变量，将所求面积转化为一个积分
的计算求解．
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[精解详析]
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π π 1．(2011· 湖南高考)由直线 x＝－ ，x＝ ，y＝0 与曲线 y 3 3 ＝cos 1 A. 2 x 所围成的封闭图形的面积为 B．1 C. 3 2 ( D. 3
π 3 π 3
)
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分
π 3
cos xdx＝
3 3 sin x ＝ －(－ )＝ 3. 答案：D 2 2 π 3
2
t 0
解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况， t＝6 是所求的值．
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[一点通] (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时， 将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要
先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使
(3)若在区间[a，c]上 v(t)≥0，在区间[c，b]上 v(t)<0，则 s ＝ v(t)dt－ v(t)dt.
c a b c
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3．求变力作功的方法： (1)求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力 F 的 表达式，这是求功的关键． (2)由功的物理意义知，物体在变力 F(x)的作用下，沿力 F(x)的方向作直线运动，使物体从 x＝a 移到 x＝b(a<b)．因此， 求功之前还应求出位移起始位置与终止位置． (3)根据变力作功公式 W＝ F(x)dx 即可求出变力 F(x)所作 的功．
3 0 3 0 3 0 3 0
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[例 2]
有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝
8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求： (1)点 P 从原点出发，当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程和位移； (2)点 P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值． [思路点拨] (1) 解不等式vt＞0或vt＜0 → 确定积分区间
＝18.
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[一点通]
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积
的解题步骤：
(1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分
上限和积分下限．
①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限
(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：
和积分下限比较简单．
(4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
0 4
4
2
6
23 4 2 3 6 128 2 ＝(4t － t )|0－(4t － t )|4＝ . 3 3 3
2
当 t＝6 时，点 P 的位移为
6 0
23 6 (8t－2t )dt＝(4t － t )|0＝0. 3
2 2
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(2)依题意 (8t－2t2)dt＝0， 23 即 4t － t ＝0， 3
b a
F(x)dx
.
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1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它 的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下 限． 2．当 v(t)＜0 时，变速直线运动在时间段[a，b]内的路程 为 s＝－ v(t)dt，位移是 v(t)dt. 3．在变力做功时，不限定 F(x)为非负数，这样求出来的 定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功， 即克服变力做了功．
b a b a b a b a b a
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2．路程计算公式： 路程是位移的绝对值和，从时刻 t＝a 到时刻 t＝b 所经过的 路程： (1)若 v(t)≥0，s＝ v(t)dt； (2)若 v(t)≤0，s＝－ v(t)dt；
a
b b a
2
36 8． 一物体在变力 F(x)＝ 2 (N)的作用下沿坐标平面内 x 轴的正方 x 向由 x＝8 m 处运动到 x＝18 m 处，求力 F(x)在这一过程中 所做的功．
解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在 [8,18]上的定积分，从而 W＝ F(x)dx＝－36x－1|8
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2．由曲线y＝sin x与x轴及直线x＝0，x＝2π所围成图形的
面积S＝________.
解析：∵x∈[0，π]时 sin x≥0， x∈[π，2π]时 sin x≤0， ∴S＝ sin xdx－
π 0 2π π
sin xdx
π 2π ＝(－cos x)|0－(－cos x)|π
速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计
算失误．
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5．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度
运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为 A．46 m C．87 m
32 6 解析：s＝ (3t＋2)dt＝( t ＋2t)|3 2 27 ＝(54＋12)－( ＋6)＝46.5(m)． 2
6 3
(
)
B．46.5 m D．47 m
答案： B 返回
6．物体以速度v(t)＝3t2－2t＋4作直线运动，它在第3秒内
的位移是
A．12 C．16
解析：其位移为
(
B．14 D．18
)
3 3 s＝ (3t2－2t＋4)dt＝(t3－t2＋4t)|2＝(27 2
－9＋12)－(8－4＋8)＝18.
答案：D
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[例3]
(12分)设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，
则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸 长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm所做的功．
[精解详析] 设 x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表 示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得 F(x)＝kx， 且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N， 即 0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所作的功为
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第 一 章
1.7
应用创新演练
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如图，由直线x＝a，x＝b，曲线y＝f(x)
和x轴围成的曲边梯形面积为S1.由直线x＝a， x＝b，曲线y＝g(x)和x轴围成的曲边梯形的面
积为S2.
问题1：如何求S1?
提示：S1＝ f(x)dx.
a
b
问题2：如何求S2?
提示：S2＝ g(x)dx.
b a
问题3：如何求阴影的面积S? 提示：S＝S1－S2. 返回
1．平面图形的面积 设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)及直线 x＝a，x ＝b 所围成的平面图形(如图所示)面积为 S. 则 S＝
b
a
f(x)dx－ g(x)dx
a
b
.
2．变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 s， 等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
b a
v(t)dt
.
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3．变力作功 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动， 并且物体 沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)， 那么变 力 F(x)所作的功为 W＝
4 2 32 2 2 3 1 2 8 ＝ x 2 |0＋( x 2 － x ＋4x)|2 3 3 2 ＝18.
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法二：选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如图 得所求的面积为 S＝
2 －4
y2 1 2 1 3 2 (4－y－ )dy＝(4y－ y － y )|－4 2 2 6
|x|，x≤0， 下关系：F(x)＝ 2 x ＋1，x＞0，