【VIP专享】2014年山东高考理数真题及答案
2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=•P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
2014年高考数学山东卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 i a -与2i b +互为共轭复数，所以2a =，1b =，所以()()22i 2i 34i a b +=+=+. 2. 解析 {}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214x B y y x y y==∈=剟，所以{}{}{}131413A B x x y y x x =-<<=<剟 .评注 本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算.本题的易错点是绝对值不等式的求解.3. 解析 要使函数()f x 有意义，需使()22log 10x ->，即()22log 1x >，所以2log 1x >或2log 1x <-.解之得2x >或102x <<.故()f x 的定义域为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.4. 解析 因为“方程30x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程30x ax b ++=的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程30x ax b ++=没有实根. x y a a <5 解析 因为x ya a <，01a <<，所以x y >，所以33x y >.6. 解析 由34,y x y x=⎧⎨=⎩得0x =或2x =或2x =-（舍）.所以()232402142404S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.评注 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.7. 解析 由题图可知，第一组和第二组的频率之和为()0.240.1610.40+⨯=，故该实验共选取的志愿者有20500.40=人.所以第三组共有500.3618⨯=人，其中有疗效的人数 为18612-=.8. 解析 ()1,2,3,2.x x f x x x -⎧=⎨-<⎩…如图，作出()y f x =的图像，其中()2,1A ，则12OA k =. 要使方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点，由图可知，112k <<. 评注 本题考查方程的根与函数图像间的关系，考查学生利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力.9. 解析 作出不等式组10,230x y x y --⎧⎨--⎩……表示的平面区域（如图中的阴影部分）.由于0a >，0b >，所以目标函数z ax by =+在点A ()2,1处取得最小值，即2a b +=解法一：())2222222520444a b a aa +=+=-+=-+…，即22a b +的最小值为4.2a b +=2=，即22a b +的最小值为4.评注 本题考查线性规划与最值问题、考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思)想的应用能力.10. 解析 设椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e 和2e ，则1e =2e =.因为12e e ⋅==414b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以b a =.故双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=，即0x =. 11. 解析 1x =，014302n x =→-+=→=，212423103n x =→-⨯+=-<→=， 22343304n x =→-⨯+=→=，2344430n =→-⨯+>→输出3n =.12. 解析 由tan AB AC A ⋅=，π6A =，得ππcos tan 66AB AC =，即πtan26π3cos6AB AC ==，所以11211sin 22326ABCS AB AC A =⋅=⨯⨯=△.13. 解析 如图，设1ABD S S =△，2PAB S S =，E 到平面ABD 的距离为1h ，C 到平面PAB 的距离为2h ，则212S S =，212h h =，11113V S h =，22213V S h =，所以11122214V S h V S h ==.评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.EDCAP14. 解析 ()626123166C C rrrr r rr r b T axab x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =.所以3336C 20a b =，即1ab =.所以2222a b ab +=…，即22a b +的最小值为2.评注 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理理论证及运算求解能力.15. 解析 函数()g x =2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分.由题意可知，对任意0x I ∈，都有()()()0002h x g x f x +=，即()()00,x f x 是点()()0,x h x 和点()()0,x g x 的中点，又()()h x g x >恒成立，所以直线()3f x x b =+与半圆()g x =0b >.即0,2,b >⎧>解之得b >所以实数b 的取值范围为()+∞.评注 本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处：①不能正确理解“对称函数”的定义，造成题目无法求解；②忽视()()h x g x >的隐含条件：直线()3f x x b =+与半圆相离，且直线()3f x x b =+在y 轴上的截距0b >.16. 解析 （I ）由题意知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b .因为()y fx =的图像经过点π12⎛ ⎝，2π,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以ππsin cos ,664π4π2sin cos ,33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩即1,212,2m n ⎨⎪-=-⎪⎩解得m =1n =.（II ）由（I ）知()π2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由题意知()()π2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ，由题意知2011x +=，所以00x =，即到点()0,3的距离为1的最高点为()0,2.将其代入()y g x =得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.由2ππ22πk xk -剟，k ∈Z ，得πππ2k x k -剟，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17. 解析 （I ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ，又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//CD C D ，11=CD C D ，可得11//C D MA ，11C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11AA DD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（II ）解法一：连接AC ，MC ，由（I ）知//CD AM 且CD AM =，所以四边形AMCD 为平行四边形.可得BC AD MC ==，由题意60ABC DAB ∠=∠=，所以MBC △为正三角形，因此22AB =BC =，CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角MAA 1C 1D 1DB 1CB坐标系C xyz -.所以)0,0A，()0,1,0B，(1D ，因此1,02M ⎫⎪⎪⎝⎭，所以112MD ⎛=- ⎝，111,02D C MB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面11C D M 的法向量(),,x y z =n ， 由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-=可得平面11C D M的一个法向量()=n .又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量.因此111cos ,CD n CD CD ⋅==n n. 所以平面11C D M 和平面ABCD .解法二：由（I ）知平面11C D M平面ABCD AB =，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N .由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥，因此1D NC ∠为二角面1C AB C --的平面角.在RtBNC △中，BC =1，60NBC ∠=，可得CN =所以1ND=.在1Rt DCN △中，11CN cos D NC D N ∠==. 所以平面11C D M 和平面ABCD. B 118. 解析 （I ）记1A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()312P A =，()113P A =，()01111236P A =--=；记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()315P B =，()135P B =，()01311555P B =--=.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意，30100103D A B A B A B A B =+++，由事件的独立性和互斥性，()()()()()()3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B =+++=+++= ()()()()()()()()30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. （II ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥，得()()0011106530P P A B ξ===⨯=， ()()()()1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()111312355P P A B ξ===⨯=，()()()()30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()()()311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()3311162510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为：MNA 1B 1C 1D 1C BDA所以数学期望111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解析 （I ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-. （II ）()()()()()1111441111121212121n n n n n n n n b a a n n n n ---+⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数，为偶数.()121121n n n T n -⎛⎫++- ⎪= ⎪+⎝⎭或. 评注 本题考查等差数列的通项公式，前n 项和公式和数列的求和，分类讨论的思想和运算求解能力、逻辑推理能力.20. 解析 （I ）函数()y f x =的定义域为()0,+∞.()()()()2423232e 2e 2e 21e 2e x x x x x x kx k x x x x f x k x xx x x x -----⎛⎫'=--+=-= ⎪⎝⎭ 由0k …可得e 0x kx ->，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞.（II ）.由（I ）知，当0k …时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点；当0k >时，设函数()e x g x kx =-，[)0,x ∈+∞.因为()ln e e e x x k g x k '=-=-，当01k <…时，当()0,2x ∈时，()e 0x g x k '=->，()y g x =单调递增， 故()f x 在()0,2内不存在两个极值点；当1k >时，得()0,ln x k ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递减，()ln ,x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =的最小值为()()ln 1ln g k k k =-.函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，当且仅当()()()00,ln 0,20,0ln 2.g g k g k ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩解得2e e 2k <<. 综上所述，函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭.评注 本题考查了导数在研究函数的单调性和极致问题的应用，考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力，难度较大，在解决问题（II ）时极易发生分类讨论不全面或运算求解的错误.21. 解析 （I ）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()(),00D t t >，则2,04p t FD +⎛⎫⎪⎝⎭.因为FA FD =，由抛物线的定义知322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t +=解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（II ）(i)由（I ）知()1,0F ，设()00,A x y ()000x y ≠，()(),00D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +.故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程 得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-.设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =，当204y ≠时，000022002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AB 的方程为()0002044y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得()020414y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F .（ii ）由(i)知直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011112AE AF FE x x x x ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭.设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=.所以 0108y y y +=-，可求得101000844y y x x y x =--=++，所以点B 到直线AE 的距离为414x d ⎫+===. 则ABE △的面积001142162S =x x ⎫⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭…，当且仅当001x x =，即01x =时等号成立.所以ABE △的面积的最小值为16.评注 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大，很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点时定点的确定.。
2014年高考试题：理科数学(山东卷)_中小学教育网
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为学科网共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少学科网有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，学科网答案须填在题中横线上。
2014年山东省高考理科数学试题+答案(全)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区 和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3 第Ⅱ卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式:如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P((A))+P((B))；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P((A))*P((B))第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += (A) 54i -(B)54i +(C) 34i -(D)34i +答案：D解析：由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+，选D考点：复数的四则运算，复数的概念。
（2）设集合{|1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}xB y y x ==∈,则A B =(A) [0,2](B) (0,3)(C) [1,3)(D)(1,4)答案：C解析：由已知{|13},{|14}A x x B y y =-<<=≤≤，所以，[1,3)A B =，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。
2014年山东高考理科数学试题和答案
2014年山东省高考理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+29.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年高考(山东卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014山东，理1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )．A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 答案：D解析：由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1. 所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.2．(2014山东，理2)设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )． A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4) 答案：C解析：由题意，得A ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}， 所以A ∩B ＝[1,3)．3．(2014山东，理3)函数()f x =的定义域为( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(2，＋∞)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞)答案：C解析：要使函数有意义，应有(log 2x )2＞1，且x ＞0， 即log 2x ＞1或log 2x ＜－1， 解得x ＞2或102x <<. 所以函数f (x )的定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．4．(2014山东，理4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )．A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案：A解析：因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．(2014山东，理5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )．A ．221111x y >++ B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin y D ．x 3＞y 3 答案：D解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增， 所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.6．(2014山东，理6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A． B． C ．2 D ．4 答案：D 解析：由34y x y x =⎧⎨=⎩，，解得x ＝－2或x ＝0或x ＝2， 所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为230(4)d S x x x =⎰－2422401122220444x x ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．(2014山东，理7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 答案：C解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12.8．(2014山东，理8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 答案：B解析：画出f (x )＝|x －2|＋1的图象如图所示．由数形结合知识，可知若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数g (x )与f (x )的图象应有两个不同的交点．所以函数g (x )＝kx 的图象应介于直线12y x =和y ＝x 之间，所以k 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 9．(2014山东，理9)已知x ，y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值a 2＋b 2的最小值为( )．A ．5B ．4CD ．2 答案：B 解析：约束条件10,230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝2b a =，所以()222222252054a b a a a a ⎛+=+=-=+ ⎝⎭，即当a =b =a 2＋b 2有最小值4. 10．(2014山东，理10)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b+=，双曲线C 2的方程为22221x y a b -=，C 1与C 2的离心率之积为2，则C 2的渐近线方程为( )．A ．0x =B 0y ±=C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案：A解析：由题意，知椭圆C 1的离心率1e a=，双曲线C 2的离心率为2e =因为12e e ⋅=，=即2222434a b a b a (-)(+)=，整理可得a =.又双曲线C的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以0bx =，即0x =.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2014山东，理11)执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为__________．答案：3解析：输入x ＝1,12－4＋3≤0， 则x ＝2，n ＝1；返回22－8＋3≤0，则x ＝3，n ＝2； 返回32－12＋3≤0，则x ＝4，n ＝3；返回42－16＋3＞0，则输出n ＝3，结束．12．(2014山东，理12)在△ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，△ABC 的面积为__________．答案：16解析：由tan AB AC A ⋅=，可得cos tan AB AC A A =.因为π6A =，所以3AB AC ⋅= 即23AB AC =.所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅12112326=⨯⨯=. 13．(2014山东，理13)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则12V V ＝__________.答案：14解析：由题意，知V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1， V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为P B ，P C 中点， 所以14BDE PBC S S ∆∆=. 设点A 到平面PBC 的距离为d ，则12113143BDE BDE PBC PBCS d V S V S S d ∆∆∆∆⋅===⋅. 14．(2014山东，理14)若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为__________．答案：2解析：62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()626123+166=C C rr r r r r rr b T ax a b xx ---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 令12－3r ＝3，得r ＝3.由633366C C 20r r r a b a b -==，得ab ＝1.所以a 2＋b 2≥2ab ＝2×1＝2.15．(2014山东，理15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )．y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是()g x =f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是__________．答案：)∞解析：3x b =+，所以，()62h x x b =+h (x )＞g (x )恒成立，即62x b +>整理得3x b +>恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b及半圆y =(如图所示)，当直线与半圆相2=，所以b =故b的取值范围是()+∞．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．(本小题满分12分)(2014山东，理16)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知2011x +=，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17．(本小题满分12分)(2014山东，理17)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且1CD =，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．分析：在第(1)问中，可考虑线面平行的判定定理，即从平面A 1ADD 1中找一条线与C 1M 平行，显然可找线AD 1，再通过证明四边形AMC 1D 1为平行四边形来达到求证目的．在第(2)问中，方法一：可以点C 为原点建立空间直角坐标系，求出平面C 1D 1M 和平面ABCD 的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值．方法二：平面C 1D 1M 即为平面ABC 1D 1，则平面C 1D 1M 与平面ABCD 所成角的棱为AB ，又已知CD 1⊥平面ABCD ，故可过C 向棱AB 作垂线，垂足为N ，连接D 1N ，则可证∠D 1NC 为二面角的平面角，进而在Rt △D 1CN 中求∠D 1NC 的余弦值即可．(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ， 所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点， 因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1， 可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形． 因此C 1M ∥D 1A ，又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解法一：连接AC ，MC ，由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形． 可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C －xyz .所以)A，B (0,1,0)，(1D ．因此1,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1122MD ⎛=-- ⎝，111,022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-= 可得平面C 1D 1M的一个法向量()=n ．又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,5CD CD CD ⋅==n n n所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5.解法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N . 由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN=.所以1ND==在Rt△D1CN中，11cosCND NCD N∠===所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)18．(本小题满分12分)(2014山东，理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．分析：第(1)问中，恰有一次落在乙上可分为两种情况，第①种，从A击球落在乙上，从B击球没落在乙上；第②种，从B击球落在乙上，从A击球没落在乙上，将①②两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率．第(2)问中，根据事件的独立性与互斥性，可得出，①得0分情形为A，B处都不得分；②得1分情形为A处得1分B处不得分或A处不得分B 处得1分；③得2分情形为A，B两处各得1分；④得3分情形为A处得3分B处得0分或A处得0分B处得3分；⑤得4分情形为A处得3分B处得1分或A处得1分B处得3分；⑥得6分情形为A，B两处都得3分，共6种情形．列出小明得分之和ξ的分布列便可求出期望．解：(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()312P A=，()113P A=，()01111236P A=--=；记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()315P B=，()135P B=，()01311555P B=--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝1116530⨯=， P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝1113135656⨯+⨯=， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝131355⨯=， P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝11112255615⨯+⨯=， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝131111253530⨯+⨯=，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝1112510⨯=.可得随机变量ξ所以数学期望()91012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(本小题满分12分)(2014山东，理19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令-114(1)n n n n nb a a +=-，求数列{b n }的前n 项和T n . 分析：第(1)问中可利用等差数列知识，用首项与公差表示出前n 项和，再根据S 1，S 2，S 4成等比数列求出首项，从而求得a n .求第(2)问时，可结合第(1)问中a n 的结果得出b n 的通项公式，最后对项数n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出b n 的前n 项和T n .解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋212⨯×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋432⨯×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)11144(1)(1)2121n n n n n n nb a a n n --+=-=-(-)(+)111(1)2121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当n 为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以22,,212,.21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数 1211=21n n n T n -⎛⎫++(-) ⎪+⎝⎭或. 20．(本小题满分13分)(2014山东，理20)设函数()2e 2=ln x f x k x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．分析：第(1)问中可先求出f (x )的导函数f ′(x )，再解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0，即可确定f (x )的单调区间．第(2)问中，根据第(1)问结论可知k ≤0时不适合第(2)问，故k ＞0，再具体讨论k 值，要使f (x )在(0,2)内有两个极值点，则f (x )在(0,2)内必须出现增减增或减增减，即导函数f ′(x )出现正负正或者负正负．据此可列出不等式，最后求得k 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．()242e 2e 21=x x x x f x k x x x -⎛⎫'--+ ⎪⎝⎭ 323e 2e 22e ==x x x x k x x kx x x x-(-)(-)(-)-. 由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减，x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当00,ln 0,200ln 2g g k g k ()>⎧⎪()<⎪⎨()>⎪⎪<<⎩，，解得2e e<2k <. 综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21．(本小题满分14分)(2014山东，理21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 分析：在第(1)问中，可设D (t,0)，然后根据抛物线定义以及|F A |＝|FD |建立t 与p 的关系，再由△ADF 为正三角形求出p 的值，即得C 的方程．在第(2)问中，利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标，再设出A 点，利用与F 点关系求出点D ，从而确定l 的斜率．根据l 1与抛物线只有一个交点知，联立l 1与抛物线方程便只有一解．求出点E 坐标，从而求得AE 直线方程，结合方程特点，确定l 1过定点．最后利用点到直线的距离公式与基本不等式，可求出△ABE 面积的最小值．解：(1)由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设D (t,0)(t ＞0)，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为|F A |＝|FD |， 由抛物线的定义知322p p t +=-， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由234p t +=，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D ＞0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设E (x E ，y E )，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E AE E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y =-－－， 由200=4y x ，整理可得0204(1)4y y x y =-－，直线AE 恒过点F (1,0)． 当204y =时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝000011(+1)1+2x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故001x m y -=. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=-－， 由于y 0≠0， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=. 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，1004+4x x x =+. 所以点B 到直线AE 的距离为d =4⎫==. 则△ABE的面积001142162S x x ⎫⎛⎫=⨯⋅++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当001x x =，即x 0＝1时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
2014年高考真题——理科数学(山东卷)解析版 Word版含
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的。
1．已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+2．设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B AA ．[0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ．(1,4) 3．函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(， B ． )2(∞+，C ．),2()210(+∞ ，D ． )2[]210(∞+，， 4．用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 A ．方程02=++b ax x 没有实根 B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根0舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312 C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5．已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y x C ．y x sin sin > D ．33y x >6．直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2 D ．47．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组 与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数12)(+-=x x f ,kx x g =)(.若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．)210(， B ．)121(，C ．)21(， D ．)2(∞+， 9．已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 A ．5 B ．4 C ．5 D ．210．已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 A ．02x =±y B ．02=±y x C ．02y x =± D ．0y 2x =±第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年山东省高考数学试卷真题及答案(理科)
2014年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y36．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．47．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．188．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n 的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC 的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，==，所以T r+1令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x 的范围，可得g（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ012346P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．。
2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
2014年山东高考理科数学试题含答案
山东理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB = （A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4)（3）函数221()(log )1f x x =-的定义域为（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞ （4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()bax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .1.。
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6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表Байду номын сангаас特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。