线性代数第一章阶行列式哈工大版演示文稿
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线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数课件_第一章_行列式——5
证明 DD 1D2.
2019/7/23
课件
21
证明
对D1作运ri 算 kjr，把 D1化为下三角
p11
0
设为 D1 p11pkk;
pk1 pkk
对D2作运ci 算 kcj,把D2化为下三角
q11
0
设为 D2 q11qnn.
qn1 pnk
2019/7/23
课件
数之和.
a11 a12 (a1i a1i) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2i)
a2n
an1 an2 (anian i) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
Da21 a2i a2n a21 a2i a2n
2019/7/23
课件
6
即当 ki, j 时, bkpakp; 当 ki, j时,
b ip ajp ,b jp a ip ,
于是
D 1 1 tb 1 p 1 b ii pb jjp b n np
1 ta 1 p 1 a iip a jjp a n np
ri kjra21
(a2i ka2j)
a2j
a2j
2019/7/23
an1 (anikanj) anj anj
课件
12
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
4 1
3 5 7 14 6
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
哈尔滨工业大学数学系 第一章 行列式
a11a22-a12a21
=
a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
返
二阶行列式
a11 a12 符号为二阶矩阵 称形如 a21 a22 的符号为二阶矩阵 a11 a12 的行列式,简称二阶行列式. 简称二阶行列式 的行列式 简称二阶行列式 a21 a22
2 3 =11≠0 解: D= 1 7 9 3 =75 D1= -4 7 2 9 =-17 D2= 1 -4
x=75/11 y=-17/11
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31 +a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= ∑(-1)t(p1p2…pn) aP11aP22
bnPn aPnn = D
性质(2) 换行 (列) 换号（即 D1= - D ） a11 a12 … a1n r r b11 b12 … b1n i j b21 b22 … b2n D= a21 a22 … a2n
… … … … … … … … … …
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
返
三阶线性方程组
a11x1+a12x2 +a13x3 =b1 a21x1+a22x2 +a23x3 =b2 a31x1+a32x2 +a33x3 =b3 a11 a12 a13 若 D= a21 a22 a23 ≠0 a31 a32 a33
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数课件 第一章 行列式1
a21 a22 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 (6)
a31 a32 a33
? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31,
（6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式 a12 a13 D ? a21 a22 a23 .列标
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
D1 ?
b1 b2
a12 , a22
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
D ? a11 a12 , a21 a22
2020/7/15
课件
9
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
线性代数
2020/7/15
课件
1
第一章 行列式
2020/7/15
课件
2
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
?1? ?2?
?1?? a22 : ?2? ? a12 :
a11a22 x1 ? a12a22 x2 ? b1a22 , a12a21 x1 ? a12a22 x2 ? b2a12 ,
? ?
a12b2 ， a12a21
x2
?
a11b2 a11 a22
? ?
b1a21 a12a21
.
（3）
《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
, .
（１）
解 用加减消元法，可得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
xxaa122211
aa12b2b2 1,2
, D. 1
b1 b2
（aa1222１, ）D2
a11 a21
b1 , b2
a11 a 21
xx则11 当aaＤ1222
xx22０时bb，12 方,. 程组
（１）
有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
x1 b1a22例１a12求b2解线, 性方程组
注意：Ｄ称为系数 行数列项b式1,，b2Ｄ替j换是Ｄ用中常
的第 j 列 (j=1,2).
二、三阶行列式
引例 2 用消元法解关于 x,y,z 三元线性方
程组
ax by cz d , ex fy gz h , ix jy kz l .
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入
三阶行列式. 三阶行列式的定义如下:
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21a2a21, .（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．
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如果 D 0，那么对于三元一次方程组：
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
利用消元法也有相同的结果，x1Fra bibliotekD1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
方程组
2x 1
x 2 1
3x2 8 x2 3
系数行列式
23 2 (2) 13 7
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab ad bc
cd
为二阶行列式。 为方便记
D a11 a21
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 7
考虑线性方程组：
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
通过消元法，有：
((aa1111aa2222
a12a21 ) x1 a12a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
于是，当 a11a22 a12a21 0, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a a b 2b (a b)3 111
左边 a2 (a b) 2ab2 2ab2 b2 (a b) 2a2b 2a2b a3 a2b 2ab2 2ab2 ab2 b3 2a2b 2a2b a3 3a2b 3ab2 b3 （a b）3 右边
b2a12 a12a21
,
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：
b1
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
副对角线
a21
a22
例如
13 1 7 (2)3 13
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a21 a22 a23
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a31 a32 a33
1 2 -4 例1 计算三阶行列式 D - 2 2 1
线性代数第一章阶行列式哈工 大版演示文稿
（优选）线性代数第一章阶行 列式哈工大版
第一章 n阶行列式
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
在三阶行列式，共有 3! 6项；
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
i i 大的数排在jt j一s 个较小的数前面，即， ts 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如 排列 32514 中 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列 j1 j2 ···jn 中所有逆序的总数称为此排
3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为
n(n 1)321 n!
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
如：123…n 是自然排序
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若某个较
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式