考点跟踪突破22 特殊三角形
2022年浙教版特殊三角形知识点考点及练习
八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识构造本章重要学习了等腰三角形旳性质与鉴定、直角三角形旳性质与鉴定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间旳构造如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回忆1．等腰三角形旳性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一种三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它旳对称轴有_________条。
2．等腰三角形旳鉴定：有____边相等旳三角形是等腰三角形；有_____相等旳三角形是等腰三角形（即在同一种三角形中，等角对_____）。
3．等边三角形旳性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
4．等边三角形旳鉴定：有____边相等旳三角形是等边三角形；有三个角都是______旳三角形是等边三角形；有两个角都是______旳三角形是等边三角形；有一种角是______旳______ 三角形是等边三角形。
5．直角三角形旳性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上旳中线等于_______；直角三角形两直角边旳平方和等于________（即勾股定理）。
30°角所对旳直角边等于斜边旳________6．直角三角形旳鉴定：有一种角是______旳三角形是直角三角形；有两个角_______旳三角形是直角三角形；两边旳平方和等于_______旳三角形是直角三角形。
一条边上旳中线等于该边长度旳一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。
考向22 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【解析】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥-=-． 当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c +的最小值为425-．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b A =sin b A a b<<a b ≥a b >a b ≤解的个数 一解 两解 一解 一解 无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2c R=；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=． （2）面积公式：111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B 5C ．4D ．5【答案】B 【解析】由题意得21sin 22ABCc Sab C ==，所以2sin c ab C =， 又因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+， 所以()22sin 2cos 5a b k C C C abϕ+==+=+，其中tan 2ϕ=，且0k >，所以k 的取值范围为(5， 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<，则π3A =由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+ 则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c = 又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形 故选：C3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．3【解析】2a =，则原等式为222sin 3sin 4sin A B C +=，由正弦定理得22234a b c +=，()22222222213334cos 228a b a b a b ca b C abab ab +-++-+===≥，当且仅当223b a =时取等号． 34．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米. 某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值; (2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离. (结果精确到 0.01 千米).【解析】(1)根据题意可得：20AB =(千米), 50AC =(千米), AP PC x ==(千米), 12BP x =-(千米), ∵cos cos PAB CAP ∠=∠，则22222222AB AP BP AC AP PC AB AP AC AP+-+-=⨯⨯ 即()222222201250220250x x x x xx+--+-=⨯⨯，解得31x =(2)在△PAC 中，22225cos 231AC AP PC CAP AC AP +-∠==⨯，则2421sin 1cos CAP CAP ∠=-∠= 设P 到AC 的距离为d (千米)，则11sin 22AP AC CAP AC d ⨯⨯∠=⨯∴42118.33d =静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <．(1)求角B ；(2)若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积． 【解析】(1)由cos 2cos tan sin C AB C-=，有tan sin cos 2cos B C C A =-，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B =-，故()cos 2cos cos B C A B +=，即cos 2cos cos A A B -=．因为a b <，所以A 为锐角，cos 0A ≠，所以1cos 2B =-．又因为()0,B π∈，所以23B π=． (2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，即2949162c c +-=-，故23400c c +-=，解得5c =或8c =-舍）．故11215335sin 223BCD ABC S S π==⨯⨯⨯⨯=△△ 6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求角A 的大小；(2)若23a =，6b c +=，求ABC 的面积. 【解析】(1)因为2cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+， 又πB C A +=-，所以()2sin cos sin πsin A A A A =-=． 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠， 所以1cos 2A =，所以π3A =．(2)由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即()223a b c bc +-=， 因为23a =，6b c += 所以361283bc -==， 所以113sin 823222ABC S bc A ==⨯⨯=△7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直.(1)求ABC 的面积； (2)若7b c +=，求a 的值.【解析】(1)因为4cos 3sin 0s t A A ⋅=-=，解得4tan 3A =， 因为0A π<<，所以4sin 5A =，3cos 5A =. 有因为cos 6AB AC bc A ⋅==，所以10bc =， 所以ABC 的面积114sin 104225S bc A ==⨯⨯=. (2)()22222cos 22cos 49201217a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=--=， 所以17a =.1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．120【答案】C【解析】由正弦定理sin sin a b A B=,得12sin 22sin 1a B A b === 因为21,(0,π)a b A =>=∈，故45A =或135， 故选：C2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 30【答案】A【解析】在△ABC 中，由余弦定理得：2222525367cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯ 设CE CD λ=，0λ≠，因为21155CE CA CB =+，所以21155CD CA CB λ=+，即21155CD CA CB λλ=+， 因为A 、B 、D 三点共线， 所以211155λλ+=， 解得：13λ=，所以2355CD CA CB ， 即()()2355CD CA CB CD -=- 32AD DB =因为AB =5， 所以AD =3，BD =2在三角形ACD 中，由余弦定理得：22271282cos 925235255CD AD AC AD AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 因为0CD >，所以810CD =. 故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=-且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】A【解析】由2222a b c bc -=-，得2222b c a bc +-=， 所以由余弦定理得22222cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,π)A ∈， 所以π4A =，因为cos sin =b C a B ，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =， 因为sin 0B ≠，所以π2cos sin sin 42C A ===， 因为(0,π)C ∈，所以π4C =， 所以πππππ442B AC =--=--=, 所以ABC 为等腰直角三角形， 故选：A4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．206B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里【答案】A【解析】由题意可知40,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD =∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以45,60CAD ADB ∠=︒∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理得40sin 30sin 45AD =︒︒，得2AD =在Rt BCD 中，因为45,90BDC BCD ∠=︒∠=︒， 所以2402BD CD = 在ABD △中，由余弦定理得222cos AB AD BD AD BD ADB +-⋅∠1800320022024022=+-⨯⨯⨯ 2400206=故选：A5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 23【答案】BD【解析】以C 为原点，以CB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,2,0C B ， 设(),A x y ，由sin 2sin B C =，得2b c =，即2AC AB =，22222(2)x y x y +=-+2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点A 在以8,03⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以43为半径的圆上（除去,P Q 两点）.如图所示：对于A ：以(1,0)为圆心，1为半径作圆，记该圆与圆2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的交点为A ，则 ABC 为直角三角形，A 错误；对于B ：由图得ABC 面积的最大值为1442,233S B =⨯⨯=正确；对于C:M 是BC 中点，MA MB ⋅的值为MA 在MB 上的投影与MB 的积，又点A 在以8,03⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以43为半径的圆上（除去,P Q 两点），故3MA MB ⋅<，C 错误；对于D ：若2A C =，则222sin sin22sin cos ,2cos 2,2a b c A C C C a c C c ab+-==∴==⋅，2a =，2,b c = 33b c ∴==222,,2b ac B π∴=+∴=11232223S ac ∴==⨯=D 正确.故选：BD6．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为23A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ） A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +15【答案】ACD【解析】对于A ，记圆锥底面圆心为O ，3sin AO APO AP ∠==60APO ∠=︒，所以120APB ∠=︒，故A 正确；对于B ，设()0120APB θθ∠=︒<︒≤，则截面三角形的面积1sin 2sin 22S PA PB θθ=⋅=≤，故B 不正确； 对于C ，由选项B 中推理可知，此时22AB =C 到AB 的距离的最大值为()()2233231-，从而可知三棱锥C -P AB 的体积最大值为()11623122132+⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝故C 选项正确；对于D ，由题意可得△P AC 和△PBC 全等，在△P AC 中，2PA PC ==，6AC =4461cos 2224APC +-∠==⨯⨯，进而15sin APC ∠=记PC 边上的高为h （垂足为Q ），则1515sin 2h PA APC =∠==，所以215MA MB h +=≥M 与Q 重合时取等号，故D 选项正确； 故选：ACD ．7．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b c D ．22++≤a b c 【答案】ABC【解析】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=， 另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确； 对于B ，222++>+≥=ab a b ab c abc B 正确；对于C ，222224++≥+≥a b c a bc abc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确； 对于D ，边长为2,22abc =，但12222++=+a b c D 错误． 故选：ABC ．8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________． 【答案】147【解析】设ABC 外接圆的半径是R ，222OA OB OC OA ++=⇒=02OB OC --22OA ⋅=2244OB OC OB OC ++⋅22R 224R R =++234cos cos 4R BOC BOC ∠⇒∠=-．设2BOC θ∠=，则在等腰BOC 中，14sin θ= 所以2142sin BC OA θ==． 214. 9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c ---ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________． 153【解析】解：可令sin sin 4,A B k +=sin sin 6,B C k +=sin sin 5,C A k += 将上式相加：15sin sin sin ,2A B C k ++= 由此可解的：357sin ,sin ,sin ,222A kB kC k === 由正弦定理：::3:5:7,a b c = 又因为：15,a b c ++=解得：a =3，b =5，c =7.所以1522a b c p ++== 代入海伦公式解得：S 15315310．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______． 15【解析】∵2224a b c +=，∴2224c a b =-，∴222222222223215cos 2251548a a c a c b c a B ac ac ac c a c -+-+-+===≥，当且仅当2235c a =时等号成立， 又()0,A π∈，所以15cos [,1)4B ∈，215cos [,1)16B ∈∴2221cos 11615tan 11cos cos 1515B B B B -==-≤-=. 故答案为：1515． 11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③【解析】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C +-⋅ 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定. 故答案为：②③.12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长；(2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长. 【解析】(1)∵3cos 5BCD ∠=-，∴24sin 1cos 5BCD BCD ∠=-∠.又∵45CBD ∠=︒，所以())22sin sin 45sin cos CDB BCD BCD BCD ∠=∠+∠+∠︒ ∴在BCD △中，由正弦定理sin sin BC BDCDB BCD=∠∠，可得82BD =BD 的长为82(2)()354255cos cos 55ACB BCD ACD ∠=∠-∠=- ∴5cos ACB ∠=.∵在ABC 中，BC ＝2，AB ＝4， ∴2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠， 可得2516422AC AC =+-⨯⨯25AC =∴AC 的长为513．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ． 【解析】(1)因为)2223S a c b +-， 所以)22213sin 2ac B a c b +-，)2223sin 3tan 32a c b B B B ac +-=⇒=又因为0B π<<，所以3B π=.(2)因为22a b c =，所以sin 22sin A B C =，即2sin 22sin 33C C ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，316sin 2sin 2C C C +=23cos 2sin 6C C C π⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为203C π<<，662C πππ-<-<，所以64C ππ-=，即512C π=. 5123226sin sinsin 1264222C πππ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．【解析】(1)任取()sin cos x R f x t x x ∈-=--， 因为函数()f x 为偶函数.所以()()0f x f x t -=⇒=（法二：特值法，再验证）由函数()f x 为偶函数知ππ-=22f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（可取不同特殊值）得t t -=，t =0 又当0=t 时，()cos f x x =-，函数()f x 为偶函数，0t ∴=． （法三：观察法，需举反例）()sin cos f x t x x =-，0=t 时，函数()f x 为偶函数，()cos f x x =-任选()cos x R f x x ∈-=-，，则有()()cos x R f x x f x ∈-=-=， 当0t ≠时，举反例，如ππππ-+0--06666f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 此时()f x 为非奇非偶函数，所以，函数()f x 为偶函数时0=t ；(2)当3t =时,()π3cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()22f A =，则有()ππ2sin 220π63A A A ⎛⎫-=∈⇒= ⎪⎝⎭，，由题意18sin 2323S bc A b ===，在ABC 中，22222881732cos 3233329a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，则73a =． 15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425． 16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B ，求ABC 面积的最大值．【解析】(1)由221cos 2a b bc ac B -+=，可得22222122a cb a b ac bc ac +--=⋅-， 得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==， 由于0πA <<，所以π3A =．(2)由sin 3sin b A B =，可得sin 3a B B =，又sin 0B >，则3a = 则222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥-，（当且仅当b c =时等号成立） 则3bc ≤，（当且仅当3b c ==则11333sin 322ABC S bc A =≤⨯=△ 即ABC 3317．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a =，且B 为锐角. (1)求角B 的大小；(2)若333c a b =，证明：ABC 是直角三角形. 【解析】(1)由正弦定理可知，sin sin a bA B=， 2sin 30,2sin sin 3sin b A a B A A =∴=又在ABC 中，sin 0,2sin 3A B >∴=3sin B = B 为锐角，3B π∴=.(2)333c a b =所以由正弦定理得：31sin sin sin 2C A B A ==+， 又()1311,sin sin sin 3222A B C C C C C ππ⎛⎫=-+∴=++=++ ⎪⎝⎭， 即1311sin ,sin 2232C C C π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭， 20,,,3333C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得36C ππ-=，即2C π=ABC ∴为直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=．(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．【解析】(1)在ABC 中，由正弦定理及(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得：222a cb ac +-=，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0πB <<，解得π3B =，所以π3B =.(2)由（1）知2π3A C +=，即2π3A C =-，因ABC 为锐角三角形，即2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62C <<，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得：sin sin sin sin a b c c A B C C++=++， 则232π2333[sin()sin ](cos sin )sin 23sin 222a b c C C C C C C ++=+-+=++()232cos 31cos 32333sin 2sin cos tan 222C C C C C C ⨯+=+=+=+， 当ππ62C <<时，ππ1224C <<，ππtan tan tan 1224C <<，而tantanπ3134tan tan()231234311tan tan 34ππππππ--=-===-++， 即23tan 12C -<<，因此，1123tan 2C <<+，则33623a b c +<++<+， 所以ABC 周长的取值范围是(33,623)++.19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值． 【解析】(1)在ABC 中，4AB =，8BC =，523326ABC πππππ∠=---=，由余弦定理，得2222cos 80323AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+8032311.6AC +．因此AC 的长约为11.6米．(2)连接OB ．由题意，6AB BC ==，344ABO CBO πππαα∠=∠=--=-， 在△OBC 中，由正弦定理sin sin OB BCBOCα=∠，得62sin OB α=． 于是132sin 24S OB BA πα⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭362sin sin 4αα3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22362sin cos sin 22ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭236sin cos 36sin ααα=+()18sin 2181cos 2αα=+-182sin 2184απ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，02πα<<．当242ππα-=，即38πα=时，S 取到最大值，最大值为18218+．因此，当38πα=时，养殖场OABC 最大的面积为18218+平方米20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =337AB =37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？ 【解析】(1)由余弦定理，222222169371cos 22422437337AD AB BD A AD AB +-+-====-⋅⨯⨯，故120A =，又由正弦定理有sin120sin BD AD ABD =∠，故23sin sin12037AD ABD BD ∠==，所以扇形的半径23sin 3376337r AB ABD =⋅∠==(2122637223S ππ=⨯⨯⨯=(2)设BDA θ∠=，则18013545ABD θθ∠=--=-，故10sin AD θ=，()10sin 45AB θ=-，故平行四边形绿地ABCD 占地面积()()21101010021002sin1352sin 2sin cos sin sin 452sin cos sin 2S θθθθθθθθ=⋅⋅⋅⋅=⋅=--⋅-()200200sin 2cos 212sin 2451θθθ==+-+-，因为()0,45θ∈，故要ABCD 面积最小，则当()sin 2451θ+=，即24590θ+=，22.5θ=时ABCD 面积取得最小值，即22.5BDA ∠=多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC =，2AB =，则BC =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．3【答案】D【解析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.3．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =，则AC =___________，cos MAC ∠=___________.【答案】 21323913【解析】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以213AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠===⋅⨯⨯.故答案为：2132394．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________． 23【解析】因为222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦24231234242S ⎡⎤+-⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯ 235．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．31【解析】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+ 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________2122212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 得7BC =由正弦定理△ABC 1721sin3π=. 故答案为217．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 360B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】22【解析】由题意，13sin 32ABCSac B === 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =.故答案为：228．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【解析】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【解析】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．【解析】(1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C =，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．【解析】(1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCS ab C a ===，解得43a =由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴=所以，ABC 的周长为36a b c ++=.12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =b ． 【解析】(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 133B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，132cos 4ac B ==，则12sin 28ABCS ac B ==； (2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+【解析】(1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【解析】(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDSEF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.1415．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】（I ）因为sin :sin :sin 22A B C =::22a b c =2b =，2,2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos 242222a b c C ab +-===⨯⨯； （III ）3cos 4C =，27sin 1cos C C ∴-，7337sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭37311321182-=⨯=. 16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =， 2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则237sin 1cos C C =-= 因此，1137157sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 33【解析】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++=+=+ 解得2R =，则2,3a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯=⎪⎝⎭18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【解析】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，。
特殊三角形知识点归纳及练习
特殊三角形知识点归纳及练习三角形是几何学中的重要概念，它有许多种类和特殊性质。
在学习三角形时，特殊三角形的知识点是我们必须掌握的内容之一。
本文将对特殊三角形的知识点进行归纳总结，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
一、等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形，它具有以下特点：1. 两个底角相等，即底边上的两个角度相等。
2. 两个底边的中线相等。
3. 两个底边的高相等。
练习题：1. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，AB的中线DE = 6cm，求底边BC的长。
2. 在等腰三角形ABC中，BC = 8cm，角A的度数为60°，求角B 的度数。
二、等边三角形等边三角形是指三个边都相等的三角形，它具有以下特点：1. 三个内角都是60°。
2. 三条高、三条中线、三条角平分线均相等且重合。
1. 在等边三角形ABC中，AB = 6cm，求高的长度。
2. 在等边三角形ABC中，三个内角的度数分别为60°，求三条角平分线的长度。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90°的三角形，它具有以下特点：1. 有且仅有一个直角（90°）。
2. 两条边的平方和等于第三边的平方，即勾股定理。
练习题：1. 在直角三角形ABC中，角A = 90°，BC = 5cm，AC = 13cm，求AB的长。
2. 在直角三角形ABC中，角C = 90°，AC = 7cm，BC = 24cm，求角A的度数。
四、等腰直角三角形等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形，它具有以下特点：1. 具有一个直角（90°）和两个底角相等。
2. 两个等边相等。
1. 在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，角C = 90°，AC = 10cm，求AB的长。
2. 在等腰直角三角形ABC中，AB = BC，角A的度数为45°，求AC的长。
五、等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指既是等腰三角形又是锐角三角形的三角形，它具有以下特点：1. 两个底角相等且小于90°。
重难点02 三角形与特殊三角形 (解析版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)
重难点02三角形与特殊三角形考点一：三角形的基础知识三角形的基础知识是学习三角形后续知识的基础，也是其他几何图形学习的基础，虽然中考中单独考察的几率不是很大，但是它却可以融合在其他图形中辅助解题。
特别是三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质、线段中垂线的性质，都是解决几何问题中不可或缺的辅助手段，也更需要我们重视这块知识的复习。
题型01三角形的内角和与外角定理易错点：三角形内角和定理：三角形三个内角的和=180°三角形外角定理：三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度；【中考真题练】1．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝100°．【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC．【解答】解：如图，由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案为：100°．2．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB 的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°【分析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故选：B．3．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形．【分析】设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，利用三角形内角和是180°，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入3x°中即可得出结论．【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B ＝1欘，则∠C＝22.5度．【分析】根据题意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案为：22.5．5．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝55°．【分析】根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55．【中考真题练】1．（2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．105°B．75°C．65°D．55°【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，故选：B．2．（2023•新邵县校级一模）如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝50°．【分析】由三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，再结合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，从而可求∠A的度数．【解答】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∵∠1+∠2＝230°，∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，解得：∠A＝50°．故答案为：50°．3．（2023•绍兴模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE 边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】先根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠ABO＝45°，∠BOE＝70°，再由三角形外角的性质求出∠OBE＝20°，进一步即可得到∠ABE的度数．【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故选：B．4．（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5°B．8°C．10°D．12°【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠ACD的度数数，根据直角三角形的性质得出∠ACE的度数，进而可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于点E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故选：C．5．（2023•石峰区一模）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是75°．【分析】先求出∠ABC，∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案为：75°．题型02三角形的三边关系解题大招01：三角形两边之差＜第三边＜三角形两边之和解题大招02：判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可解题大招03：“三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．9【分析】根据三角形的三边关系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故选：B．2．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5＞7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．4．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为3或4或5或6或7（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．【解答】解：设三角形的第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边的长为整数，∴x＝3或4或5或6或7．故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．【中考模拟练】1．（2024•韶关模拟）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C 两点之间的距离可能是（）A．3m B．4.2m C．5m D．6m【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案．【解答】解：∵AC＝AC＝2m，∴2﹣2＜BC＜2+2，即0m＜BC＜4m．故选：A．2．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA ＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，30m不可能．故选：D．3．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为9．【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再求得周长的取值范围．根据周长为偶数，确定第三边的长．【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得7＜x＜11．∴三角形的周长l的取值范围是：18＜l＜22．又∵三角形的周长为偶数，因而满足条件的数有20．∴第三边长为20﹣2﹣9＝9．故答案为9．4．（2023•六安三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是2＜x＜18．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系：10﹣8＜x＜10+8，解得：2＜x＜18．故答案为：2＜x＜185．（2023•二道区校级模拟）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值17．【分析】第三边的长为x，根据三角形的三边关系得出x的取值范围，再由第三边的长为整数得出x的值，进而可得出结论．【解答】解：第三边的长为x，∵一个三角形的两边长分别为4和5，∴5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边的长为整数，∴x的值可以为2，3，4，5，6，7，8，∴当x＝8时，此三角形周长的最大值＝4+5+8＝17．故答案为：17．6．（2023•娄星区一模）已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为．【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去，最后根据概率计算公式求解即可．【解答】解：共有4种方案：①取5cm、6cm、10cm；由于10﹣5＜6＜10+5，能构成三角形；②取5cm、6cm、12cm；由于5+6＜12，不能构成三角形；③取6cm、10cm、12cm；由于12﹣6＜10＜12+6，能构成三角形；④取5cm、10cm、12cm；由于12﹣5＜10＜12+5，能构成三角形．∴一个有4种等可能性的结果数，其中能构成三角形的结果数有3种，∴能围成三角形的概率为．故答案为：．题型03三角形“三线”的性质由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；解题大招01：三角形中线常见作用及其辅助线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；解题大招02：三角形高线常见作用及其辅助线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；解题大招03：角平分线常见作用及其辅助线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；解题大招04：中垂线常见作用及其辅助线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点【中考真题练】1．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到点E到直线AD的距离．【解答】解：过E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD＝＝13，∵△ADE的面积＝AD•EH＝AE•DE，∴13EH＝12×5，∴EH＝，点E到直线AD的距离为．故答案为：．2．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC 的长是4．【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．4．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°．【分析】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．5．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝5．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．【中考模拟练】1．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．且S△ABC【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），∴S△ABD＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），同理S△BDE＝2（cm2），∴S△BCE∵F为EC中点，＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．∴S△BEF故答案为1．2．（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP ＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．3．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是3cm．【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．【解答】解：过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的长度是3cm．故答案为：3cm．4．（2024•永靖县一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，＝AC•DF∴S△ACD＝×2×1＝1，故答案为：1．5．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．5【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC ＝AD，再利用勾股定理得出AC的长．【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，设AC＝x，则AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的长为：6．故选：C．考点二：全等三角形全等三角形的性质是对应边相等、对应角相等。
高考数学二轮复习——突破爪型【三角形】八大妙手
突破爪型三角形的八大“妙手”爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多此处不再逐一列举，教材必修二53页到54页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于爪型三角形处理的一些重要手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合正余弦定理推出处理爪型三角形的一些重要结论：斯特瓦尔特定理，角平分线定理等. 一．基本原理1.爪型三角形的几何特征基本几何特征:如图， π=∠+∠APC APB .例1．（2022全国甲卷）已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，120ADB ∠=︒，2AD =，2CD BD =．当ACAB取得最小值时，BD = ． 解析：设BD x =，2CD x =，在三角形ACD 中，2244222cos60b x x =+−⋅⋅⋅︒，可得：22444b x x =−+，在三角形ABD 中，22422cos120c x x =+−⋅⋅⋅︒，可得：2224c x x =++，要使得ACAB 最小，即22b c 最小，222244412432411b x x c x x x x −+==−+++++，其中31231x x +++，此时22423bc−，当且仅当1x +时，即1x =1．例 2.（2021新高考1卷）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠解析：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，.∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证. （2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b bc cADB b b b +−−∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +−−∠==⋅，∵ADB CDB π∠=−∠，∴2222221310994233b bc a b b −−=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b −+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b +−∠==−，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.2.中线公式与向量方法若已知顶角BAC 的大小，且→→⋅=BC BP λ时，可利用向量共线的基本结论求得.例3（广州市2023届高三一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==.（1）求sin C ； （2）若ABC的面积为2，求AB 边上的中线CD 的长. 解析：（1）因为2sin 3sin2A C =，所以2sin 6sin cos A C C =，所以26cos a c C =，即3cos a c C =， 所以cos 3a C c =，由余弦定理及2c b =得：2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab+−+−−===，又cos 36a a C c b ==，所以222232926a b a a b ab b −=⇒=，即2a =，2cos 664b a C b b ===sin C == （2）由214374211sin2ABCSab Cab，所以ab =1）2a =， 所以2,b a ==，因为CD 为AB 边上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅()2212cos 4b a ab C =⨯++1418224⎛=⨯++⨯⨯ ⎝⎭7=，所以7CD =，所以AB 边上的中线CD .例4．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+． （1）求B ；（2）设9b =，若点M 是边AC 上一点，2AM MC =，且MAB MBA ∠=∠，求BMC △的面积．【详解】（1）2π3B =． （2）如图所示：因为2AM MC =，所以3AM =，6MC =．又MAB MBA ∠=∠，所以3BM AM ==． 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，即2281a c ac ++=．① 又2AM MC =，所以2133BM BA BC =+，两边平方得222414999BM BA BC BA BC =++⋅，即224149cos 999c a ac B =++，所以224281a c ac +−=．②，②－①得233c ac =，所以a c=，代入①得a c ==BMC △中，(22222336BM BC MC +=+==，所以BMC △是以MBC ∠为直角的三角形，所以BMC △的面积为132⨯⨯3.AP 为角平分线：角平分线定理如图，可设θ=∠=∠CAM BAM ，这样可得)1.......(sin 21sin 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆∆θθAM AC S AM AB S ACM ABM .另一方面，设ABC ∆的高为h ，则)2.......(2121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=⋅⋅=∆∆h CM S h BM S ACM ABM ，联立上面两式可得：MCBMAC AB =，即角平分线性质定理.例5.（2015全国2卷）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． （1） 求sin sin BC； （2） 若AD =1，DC =22求BD 和AC 的长. 解析：（1）1sin 2ABDS AB AD BAD =∠，1sin 2ADCS AC AD CAD =∠ 因为ABDADCSS=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）因为::ABDADCSSBD DC =，所以BD =ABD 和ADC 中，由余弦定理知2222cos AB AD BD AD BD ADB =+−∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+−∠故222222326AB AC AD BD DC +=++=，由（1）知2AB AC =，所以1AC =.4.斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特定理：设P 为ABC ∆的BC 边上异于C B ,的任一点，则有CB PC BP BC AP BP AC PC AB ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222.证明：由余弦定理，可得：APC PC AP PC AP AC ∠⋅⋅−+=cos 2222①)cos(2222APC PB AP PB AP AB ∠−⋅⋅−+=π②，将上述两式分别乘CP BP ,后相加整理，可得.注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即： 这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧. 推论1.当设P 为ABC ∆的BC 边中点时，222241)(21BC AC AB AP −+=. 注：该结论还可由)(21→→→+=AC AB AP 证得.推论2.当设P 为BAC ∠的角平分线时，PC BP AC AB AP ⋅−⋅=2.推论3.当设P 满足→→⋅=BC BP λ时，2222)1()1(AC AB BC AP λλλλ+−+−=. 例6. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠解析：（2）由斯特瓦特定理，得. 由b BD =及DC AD 2=，得2222923231b a c b −+=.化简变形，得2223611c a b +=. 因为ac b =2，所以0311622=+−c ac a .即0)32)(3(=−−c a c a .解得a c 3=或a c 32=..ACDCAC AD AC AC AD BC AC DC BA BD ⋅⋅−⋅+⋅=2222当a c 3=时，223a b =.由余弦定理，得（不合题意，舍去）. 当a c 32=时，2232a b =.由余弦定理，得.所以127cos =∠ABC . 5.张角定理在ABC ∆中，D 是BC 上的一点，连结AD ，那么ADBACAB CAD AC BAD ∠=∠+∠sin sin sin .证明：因为ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=，由三角形面积公式可得DAC AC AD BAD AD AB BAC AC AB ∠⋅⋅+∠⋅⋅=∠⋅⋅sin 21sin 21sin 21 两边同除AD AC AB ⋅⋅，得到ADBACAB CAD AC BAD ∠=∠+∠sin sin sin例7 （2018年江苏卷）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为________.解 由张角定理有BC ABD AB CBD BD ABC ∠+∠=∠sin sin sin ，即ac ︒︒︒+=60sin 60sin 1120sin ， 整理得111=+ac .所以.当且仅当a c 2=，即3,23==c a 时取得最小值9.6.等面积思想.设AM 为A ∠的平分线，则设θ=∠=∠CAM BAM ，那么有等面积可得：θθsin )(212sin 21⋅⋅+=⋅=∆AM c b bc S ABC ，进一步可得：AM c b bc ⋅+=⋅)(cos 2θ，于是可以看到，倘若我们知道角θ与角平分线AM 的长度，则可得到c b bc +↔的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 例8.（2022成都一诊）在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.解析：,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线， 由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，672cos 222=−+=∠ac b c a ABC )(1272cos 222凌晨讲数学=−+=∠ac b c a ABC )(945)11)(4(4凌晨讲数学≥++=++=+c a a c a c c a c a化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c ==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+例9（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为(),,,cos 2cos 2cos a b c a B a C c b A −=−. （1）若c =，求cos B 的值；（2）若1,b BAC ∠=的平分线AD 交BC 于点D ，求AD 长度的取值范围. 解析：（1）已知()cos 2cos 2cos a B a C c b A −=−，由正弦定理可得()sin cos 2sin cos 2sin sin cos A B A C C B A −=−，sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A C A C ∴+=+， ()()sin 2sin A B A C ∴+=+，sin 2sin C B ∴=，2,c b c ∴=，即b ，22222233cos 2a a a a c b B ac +−+−∴=== （2）由（1）知2c b =，由1b =，则2c =.设BAD θ∠=，1112sin22sin 1sin 222ABCSAD AD θθθ=⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，4cos 3AD θ∴=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 40,3AD ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.例10.（2021新高考1卷）在ABC ∆中，ac b =2，点D 在边AC 上，C a ABC BD sin sin =∠.（1）证明：b BD =；（2）若DC AD 2=，求ABC ∠cos .解析：（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．方法2.（等面积思想）（2）如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b ca b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +−==∠．7.三角形相似如图，在三角形ABC 中，已知角A 的大小，D 为BC 边上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！如下图，过点B 做AC 的平行线交AD 延长线于E ，则CDA BDE ∆∆~，且由平行的性质可知：BED CAD ∠=∠，于是，已知角A 的大小即可得ABE ∠的大小，倘若我们进一步指导AD 的长度，以及点D 为BC 边上的具体位置，那么在ABE ∆中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.例11.（2022成都一诊）在ABC ∆中，已知角32π=A ，角A 的平分线AD 与边BC 相交于D ，2=AD ，则AC AB 2+的最小值为________. 解析：如上图，由于BED CAD ∠=∠，故由32π=A 可得3π=∠ABE ，再加之AD 为角A的平分线，则3π=∠=∠=∠BAE BEA ABE ，于是ABE ∆为等边，则2,−==c DE c BE ，最后由于CDA BDE ∆∆~，可得：bc c b c b c AD ED AC BE =+⇒−=⇒=)(222. 由于246)2()11(2)2(21222+≥+⋅+=+⋅⋅=+=+c b c b b c b c AC AB ，等号成立当且仅当b c 2=.注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述.8.坐标法例12.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.解析：以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C −．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x −<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，9=．⑥，联立⑤⑥解得74x =−或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得||||32a BC c BAb =====，由余弦定理得2227cos 212ac b ABC ac +−∠==．。
中考数学复习考点跟踪训练22特殊三角形
考点跟踪训练22 特殊三角形一、选择题1．(·贵阳)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7答案 D解析 在Rt △ABC 中，AC ＝3，∠B ＝30°，得AB ＝2AC ＝6，而AC ≤AP ≤AB ，即3≤AP ≤6，不可能是7.2．(2011·枣庄)如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是( )A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(－2 2，0)D ．(3,0)答案 D解析 当点P 的坐标为(3,0)时，OP ＝3，而AO ＝2 2，AP ＝5，△APO 不是等腰三角形．3．(2011·烟台)如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50° 答案 C解析 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，所以∠ABC ＝12×(180°－20°)＝80°.DE 垂直平分AB ，有EA ＝EB ，∠EBA ＝∠A ＝20°，所以∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝80°－20°＝60°.4．(2011·金华)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m 答案 B解析 如图，易证△ABC ≌△DEA ，BC ＝AE ＝300，而AC ＝500，所以CE ＝200，最近路程BC ＋CE ＝300＋200＝500.5．如图，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B 、C 、D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC ＝BCCD；②S △ABC ＋S △CDE ≥S △ACE ；③BM ⊥DM ；④BM ＝DM .正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 ∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∴△ABC ∽△EDC ，AC CE ＝BC CD .∴∠ACE ＝180°－45°－45°＝90°，∴在Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝BC CD；设△ABC 、△CDE 的直角边分别是a 、b ，则AC ＝2a ，EC ＝2b ，S △ABC ＝12a 2，S △CDE ＝12b 2，S △ACE ＝12(2a )(2b )＝ab ，而(a －b )2≥0，a 2＋b 2≥2ab ，12a 2＋12b 2≥ab ，即S △ABC ＋S △CDE ≥S △ACE ；过M 画MN ⊥BD 于N ，有AB ∥MN ∥ED ，点M 是AE 的中点，则点N 是BD 的中点，MN 垂直平分BD ，BM ＝DM ；MN 是梯形ABDE 的中位线，MN ＝12(a ＋b )＝BN ＝DN ，∵△BMN 与△DMN 都是等腰直角三角形，∴∠BMN ＝∠DMN ＝45°，∠BMD ＝90°，BM ⊥DM .故结论①、②、③、④都正确．二、填空题6．(2011·衡阳)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．答案 7解析 在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，则BC ＝52－32＝4，又AE ＝EC ，所以△ABE 的周长AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝7.答案 如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．8．(2011·无锡)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝_________cm.答案 5解析 ∵点D 是AB 中点，∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，CD ＝12AB ，AB ＝2CD .∵点E 、F 是BC 、CA 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，EF ＝12AB ，AB ＝2EF .∴EF ＝CD ＝5 cm.9．(2011·温州)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＋S 2＋S 3＝10，则S 2的值是______________．答案103解析 设直角三角形AEH 的面积为S ，则S 1＝8S ＋S 3，S 2＝4S ＋S 3.∵S 1＋S 2＋S 3＝10，∴(8S ＋S 3)＋(4S ＋S 3)＋S 3＝10,12S ＋3S 3＝10,4S ＋S 3＝103，即S 2＝103.10．(2011·乐山)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n ＋1B n B n ＋1＝θn 则(1)θ1＝_____________；(2)θn ＝________________.答案 (1)180°＋α2；(2)()2n－1·180°＋α2n解析 ∵∠AOB ＝α，OA 1＝OB 1，∴∠OB 1A 1＝∠OA 1B 1＝180°－α2，∴θ1＝180°－180°－α2＝180°＋α2；类似地，θ2＝3×180°＋α4，θ3＝7×180°＋α8，……，∴θn ＝(2n －1)·180°＋α2n.三、解答题11．(2011·广安)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长分别为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解由题意可得，扩建后的花圃是等腰直角三角形，花圃的周长＝8＋8＋8 2＝16＋8 2.12．(2011·乐山)如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．解∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°，∴∠B＝30°.13．(2011·德州)如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证AD＝AE；(2) 连接OA、BC，试判断直线OA、BC的关系并说明理由．解(1)证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠AEB＝90°，AC＝AB，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.(2) 互相垂直，理由如下：在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA＝OA，AD＝AE，∴△ADO≌△AEO.∴∠DAO＝∠EAO.即OA是∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.14．(2011·日照)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为AD延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°， ∴BD ＝AD .∵AC ＝BC ，CD ＝CD ， ∴△BDC ≌△ADC, ∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.由∠BDM ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°， ∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC ， ∴DE 平分∠BDC .(2)如图，连接MC ，∵DC ＝DM ，且∠MDC ＝60°， ∴△MDC 是等边三角形， ∴CM ＝CD .又∵∠EMC ＝180°－∠DMC ＝180°－60°＝120°， ∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°， ∴∠EMC ＝∠ADC . 又∵CE ＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ，∴△ADC ≌△EMC ， ∴ME ＝AD ＝DB .15．(2011·达州)如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF ＝EF .(1)在图1中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；(不要求证明)(2)将△DEF 沿直线m 向左平移到图2的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE 、BG .猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解 (1)AB ＝AE ，AB ⊥AE .(2) 将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合)，理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝∠DFE ＝90°.又∵AC ＝BC ，DF ＝EF ，∴∠DEF ＝∠D ＝45°.在△CEG 中，∵∠ACE ＝90°，∴∠CGE ＋∠DEF ＝90°， ∴CG ＝CE .在△BCG 和△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠ACB ＝∠ACE ，CG ＝CE ，∴△BCG ≌△ACE (SAS )．∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG重合)．。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理三角形是初中数学中非常重要的一个章节，而特殊三角形更是其中的重点和难点。
特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们在几何问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们对特殊三角形的基本知识点进行详细的整理。
一、等腰三角形（一）定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边，两腰所夹的角称为顶角，底边与腰的夹角称为底角。
（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。
（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
二、等边三角形（一）定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
（二）性质1、等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°。
2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别为三条边的垂直平分线。
（三）判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
（二）性质1、直角三角形的两个锐角互余。
2、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（三）判定1、如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
2、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
特殊三角形常考知识点专题备战2023年中考数学考点微专题
考向4.4 特殊三角形常考知识点专题例1、（2021·福建·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC的延长线上．（1）求证：ADE DFC ∠=∠； （2）求证：CD BF =．证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒， ∴90ADE ADF ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒，∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒， ∴ADE DFC ∠=∠． （2）连接AE ．由平移的性质得//,AE BF AE BF =． ∴90EAD ACB ∠=∠=︒， ∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒， ∴EAD DCF ∠=∠．∵EDF 是等腰直角三角形， ∴DE DF =．由（1）得ADE DFC ∠=∠， ∴AED CDF ≌， ∴AE CD =，∴CD BF =．1、等腰三角形的最重要的性质“三线合一”，这是中考题中常考点；2、中考几何综合题的基本特征就是常考知识点三个以上的在一个题中出现，因此解综合题的前题是学生对知识点能全面并熟悉掌握。
3、本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 中考真题）已知AOB 和△2OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．解：(1)∵AOB 和MON △都是等腰直角三角形，∴90OA OB ON OM AOBNOM ，，，又=+=90+AOM NOM AON AON ，=+=90+BON AOB AON AON , ∴=BON AOM ， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴AM BN =；(2)①连接BN ，如下图所示：∴==90AOM AOB BOM BOM ，==90BON MONBOM BOM ，且OA OB OM ON ，==， ∴()AMO BNO SAS ≌， ∴45AOBN，AM BN =，∴454590ABN ABO OBN ，且OMN ∆为等腰直角三角形， ∴2MN OM =，在Rt BMN ∆中，由勾股定理可知：22222(2)2BM BN MN OM OM ，且AM BN =∴2222AM BM OM +=； ②分类讨论：情况一：如下图2所示，设AO 与NB 交于点C ，过O 点作OH ⊥AM 于H 点，45HNO ,NHO 为等腰直角三角形，∴332222NO HOHM ,在Rt AHO ∆中，22223223464()222AH AO OH , ∴46322AMAHHM； 情况二：如下图3所示，过O 点作OH ⊥AM 于H 点，45HNO ,NHO 为等腰直角三角形，∴332222NO HOHM ,在Rt AHO ∆中，22223223464()222AH AO OH , ∴46322AM AHHM； 故46322AM或46322-．1、直角三角形角的关系是两锐角互余，边的关系是勾股定理；2、本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1、等腰三角形具有的特性：等边对等角、等角对等边、对称性、；三线合一、等边三角形是特殊等腰三角形；2、直角三角形判定方法：两内角互余、勾股定理逆定理、一边上中线等于这边一半。
中考数学一轮复习：第22课时相似三角形课件
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第22课时 类似三角形
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3. (202X三明5月质检5题4分)如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面 积为3，则四边形DECB的面积为C( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
第3题图
No
第22课时 类似三角形
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命题点 3 类似三角形的实际应用
4. (202X厦门5月质检10题4分)据资料，我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的 物体的高度的“重差术”，如：通过下列步骤可测量山的高度PQ(如图) ： (1)测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、 竹竿顶点B及M在一条直线上； (2)将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P，竹竿顶 点D及N在一条直线上；
No
第22课时 类似三角形
典例“串”考点
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例 已知，△ABC和△DEF是大小不同，形状相同的两个三角形．
(1)如图①，△DEF绕点A旋转到如图位置，EF∥BC，若AE＝1，BE＝2，则＝ EF
1
BC
____3____；
例题图①
No
第22课时 类似三角形
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【提分要点】A字型： 有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等．若 题中未明确类似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
第22课时 类似三角形
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第22课时 类似三角形
No
思维导图
1.比例的性质
2.黄金分割 3.平行线分 线段成比例
比例线段
1.性质 2.判定 3.判定思路
类似三角形
类似 三角形
类似多边形 及其性质
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1.定义 2.性质
中考几何复习之特殊三角形模型整理
代数法计算：分别表示出点A,B,P的坐标,再分别表示出AB,AP和BP的长,由
①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解.
若方程有解,则此情况存在；若方程无解,则此情况不存在。
当然有时候已知条件是以边的形式给出,我们讨论顶角和底角与讨论底
和腰的 原理相同。
2）若等腰三角形没有明确高的位置,要分类讨论；从锐角等腰三角形
和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高 与底边高、界内高与界外高两
种情况进行分类讨论。
模型运用看例题.
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型
1）等腰三角形没有明确边的种类,要分类讨论；结合三角形三边关
F
E
Q
R
P
O
H
G
赵爽弦图模型
趣味小百科
三国时期吴国的数学家赵爽创制了赵爽弦图,用数形结合的方式,最
早完成了对勾股定理的证明,正方形FEHG由四个全等的直角三角形和一
个小正方形ORQP构成,设EF的长为c,ER的长为a,FR的长为b.
∵S正方形EHGF=4S△FRE+S正方形ORQP.∴ = × + − ,整理可得
若是“两个动点一个定点”,多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方
法分类讨论,也可以先用“两圆一 线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及
这些点的大致位置。
模型运用看例题.
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边(或直角)不确定的直角三角形
模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边）,要分类讨论；
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考点跟踪突破22 特殊三角形
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.（2013·武汉）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）
A.18°
B.24°
C.30°
D.36°
2.（2013·攀枝花）如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′= （ ）
A.30°
B.35°
C.40°
D.50°
3.（2013·广安）等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为（ ）
A.25
B.25或32
C.32
D.19
4.（2012·黄石）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为 （ ） A. 825cm B. 425cm C. 2
25cm D.8cm
5.（2012·乐山）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E ，F 分别在AC ，BC 边上运动（点E 不与点A ，C 重合），且保持AE=CF ，连接DE ，DF ，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE 是等腰直角三角形；
②四边形CEDF 不可能为正方形；
③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化；
④点C 到线段EF 的最大距离为2.
其中正确结论有 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.（2013·荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 .
7.（2013·巴中） 若直角三角形的两直角边长为a,b ，且满足962
+-a a +|b-4|=0，则该直角三角形的斜边长为 .
8.（2013·黄冈）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE ＝ .
9.（2013·张家界）如图，OP=1，过P 作1PP ⊥OP ，得1OP =2；再过1P 作21P P ⊥1OP 且21P P =1，得2OP =3；又过2P 作32P P ⊥2OP 且32P P =1，得3OP =2……依此法继续作下去，得2012OP = .
10.（2012·丽水）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°.∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 .
三、解答题（共40分）
11.（10分）（2013·内江）如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：BD ＝AE.
12.（10分）（2013·遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.
（1）求证：CM=CN ；
（2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求DN
MN 的值.
13.（10分）（2012·泰安）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE=∠CBE.
（1）线段BH 与AC 相等吗，若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：2BG -2GE =2
EA .
14.（10分）（2013·常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF= 90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.
（1）如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图①，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图②，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME.。