2020年中考数学二轮 翻折问题专题
2020届中考数学专题复习演练：折叠问题(有答案)
折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 7 5°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A 恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B.C.D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B.4 C.D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9. 10.5.811.3 12.50° 13.80° 14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3 ∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。
2、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题二
三角形翻折变换专题训练二1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′．C′恰好落在AC边的中点处．连接AA′，取AA′的中点D，则C′D的长为( )A ．B ．374C ．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（）A．925B．1825C．1225D．24255、（2019•重庆一中三模）等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B 刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( )A．556B．56C．253D．253B CE第6题6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ ）．.2A .25B .22C .4D7．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．1658．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别 交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．239．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE 沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（）A．8 B．C．D．1011、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．13、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．B．9 C．D．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D三角形翻折变换专题训练二答案解析1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'．C'恰好落在AC边的中点处．连接AA'，取AA'的中点D，则C'D的长为(A )A ．B ．374C．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．解：∵AC＝4，CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝3．∵将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，∴A′D＝AD＝3．在Rt△A′CD中，∵∠C＝90°，∴A′C＝＝＝2，∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣2．故选：D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（B）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（B）A．925B．1825C．1225D．2425第6题5、（2019•重庆一中三模）等腰Rt △ABC,AC=BC=4,点E,F 分别在边AB 、BC 上,将三角形沿EF 翻折,使得B 刚好落在AC 的中点D 处,则EF 的长为( A )A ．556B ．56C ．253D ．253解：作EG ⊥BC 于G ，作DH ⊥AB 于H ，如图所示：则∠BGE ＝∠EGF ＝∠AHD ＝90°， 由折叠的性质得：DF ＝BF ，△BEF ≌△DEF ，∵D 是AC 的中点，∴CD ＝AD ＝AC ＝2， ∵等腰Rt △ABC ，AC ＝BC ＝4，∴∠A ＝∠B ＝45°，AB ＝4，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴DH ＝AH ＝AD ＝，设DF ＝BF ＝x ，在Rt △CDF 中，CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣x ，由勾股定理得：x 2＝（4﹣x ）2+22，解得：x ＝，∴BF ＝，CF ＝， 设EG ＝y ，∵EG ⊥BC ，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝EG ＝y ，BE ＝y ，则AE ＝4﹣y ，∵四边形BFDE 的面积＝△ABC 的面积﹣△CDF 的面积﹣△ADE 的面积， ∴2××y ＝×4×4﹣××2﹣（4﹣y ）×，解得：y ＝，∴BG ＝EG ＝，∴FG ＝BF ＝BG ＝，在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝＝；6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ C ）．.2A .25B .22C .4DM解：如图连接BE第5题图BCE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点∴BD ＝AD ＝2∵折叠∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE ∵S △DEF ＝S △ADE ∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴A 'D ＝BE ＝ ∴根据勾股定理得：CE ＝2 作DM AE 可得DE=227．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．165解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝6， ∴BC ＝＝10，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ，∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝， ∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，8．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．23解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，∴AB ＝＝3 ∵S △ABC ＝＝∴3×CE ＝×∴CE ＝∵BE ＝＝2 ∵折叠∴BF ＝B 'F ，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B 'CF ，∵∠ACE +∠DCE +∠BCF +∠B 'CF ＝90°∴∠DCE +∠FCB '＝45° ∴∠FCE ＝45°，且CE ⊥AB ∴∠ECF ＝∠EFC ＝45°∴EF ＝EC ＝∴BF ＝B 'F ＝BE ﹣EF ＝2﹣9．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D解：如图，连接BE ，延长CD 交BE 与点H ，作CF ⊥AB ，垂足为F ．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，CD ＝5，∴AD ＝DB ＝CD ＝5，AB ＝10． ∵AC ＝6，∴BC ＝＝8．∵S △ABC ＝AC •BC ＝AB •CF ，∴×6×8＝×10×CF ，解得CF ＝．∵将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，∴BC ＝CE ，BD ＝DE ，∴CH ⊥BE ，BH ＝HE ．∵AD ＝DB ＝DE ，∴△ABE 为直角三角形，∠AEB ＝90°，∴S △ECD ＝S △ACD ，∴DC •HE ＝AD •CF ， ∵DC ＝AD ，∴HE ＝CF ＝．∴BE ＝2EH ＝．∵∠AEB ＝90°，∴AE ＝＝＝．10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点E 是AB 中点，将△CAE 沿着直线CE 翻折，得到△CDE ，连接AD ，则线段AD 的长等于（ ）A．8 B．C．D．10解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝AE＝BE，∴∠ACF＝∠BAC，又∵∠AFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CAF，∴＝，即＝，∴CF＝6.4，∴EF＝CF﹣CE＝1.4，由折叠可得，AC＝DC，AE＝DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD＝2EF＝2.8，∵AE＝BE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BDE＝∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE＝180°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴Rt△ABD中，AD＝＝＝，故选：C．11、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为或．解：如图1所示；点E与点F重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：x＝．∴DE＝．如图2所示：∠EDB＝90时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形．又∵AC＝AE，∴四边形ACE′为正方形．∴CD＝AC＝3．∴DB＝BC﹣DC＝4﹣3＝1．∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA．∴＝，即．解得：DF＝．点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，而AE＝AC＜BC，故∠DBE不可能为直角．故答案为：或．答案A13、（2018•高新区模拟）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝12，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．B ．9C ．D ．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝12，AB ＝5，∴BC ＝＝13，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝6.5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 的垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝，∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，故选：D ．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D 答案D答案B11答案B。
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题(含答案详解)
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4π3B ．4π3 -3C ．23+π3D ．23-23π2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．6πB ．93C ．9πD ．633. 如图，将⊙O 的劣弧︵AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.25.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π-9 B．9π-63C．9π-18 D．9π-1236.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A．22B．5C．3 D．118.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（）A．42B．82C．6 D．629. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm10. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.211. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．13012. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB13. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．34πD ．5314. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．815. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧⌢ACB 上，将弧沿⌢BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．16. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）17. 如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD；（2）若AC=1，CD=4，︵AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．18.如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将︵CD 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为︵ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交︵BC 于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．19.如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将︵BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，①求证：△BDE是等腰三角形；②求△BDE的面积；（3）将图1中的︵BD 沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的︵BD 的中点，直接写出∠B的度数．20.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将︵CE 沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．21.如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B、M三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题22. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4π3B ．4π3 -3C ．23+π3D ．23-23π【分析】连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，根据折叠的性质得到OP=12OM ，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，由题意知，OC ⊥MN ，且OP=PC=1，在Rt △MOP 中，∵OM=2，OP=1，∴cos ∠POM=OPOM=12，AC=22OP OM =3， ∴∠POM=60°，MN=2MP=23，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则图中阴影部分的面积=S 半圆-2S 弓形MCN =12×π×22-2×（120π×22360 -12×23×1）=23-23π， 故选：D ．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．23. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．6πB ．93C ．9πD ．63【分析】由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积，根据S 阴=S △OBC 计算即可．【解答】解：如图，连接OB ，BC ．由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积，∴S 阴=S △OBC=43×62=93， 故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB=∠BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠ADB 所对的弧是劣弧︵AB ，∠CAB 所对的弧是劣弧︵ BC ，∠CBA 所对的弧是劣弧︵ AC ，∴∠ADB=∠CAB+∠CBA ，由三角形的外角的性质可知，∠BCD=∠CAB+∠CBA ，∴∠ADB=∠BCD，∴BD=BC=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．25.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，∵四边形AMNB'是圆内接四边形，∴∠M'AB'=∠M'NM，∵∠M'=∠M'，∴△M'AB'∽△M'NM，∴M′AM′N＝M′B′M′M∴M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2-AN2，∴20=100-AN2，∴AN=45．故选：B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．26. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，则整个阴影部分的面积为（ ）A ．9π-9B ．9π-63C ．9π-18D ．9π-123【分析】首先连接OD ，由折叠的性质，可得CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，则可得△OBD 是等边三角形，继而求得OC 的长，即可求得△OBC 与△BCD 的面积，又在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB 的面积，继而求得阴影部分面积．【解答】解：连接OD ．根据折叠的性质，CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，∴OB=OD=BD ，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO=60°，∴∠CBO=12∠DBO=30°， ∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan ∠CBO=6×33=23， ∴S △BDC =S △OBC =12×OB×OC=12×6×23=63， S 扇形AOB =90360•π×62=9π， ∴整个阴影部分的面积为：S 扇形AOB -S △BDC -S △OBC =9π-63-63=9π-123．故选：D ．【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．27.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．【分析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=12Rcos∠POE，推出△OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，∴OP=12Rcos∠POE，∵△OO′Q为等边三角形，∴OQ=O′Q=OO′=R，∠POE+∠QOB=30°，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°，∴OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．28.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A ．22B ．5C ．3D ．11【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB 所在的圆和⊙O 全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：BD=4，OB=5，点O′为翻转过后的弧AB 所在圆的圆心，则有O′D=OD=2245-=3．又O′C=5，O′O=6，∴OC=22C ′O O ′O -=2256-=11．故选：D ．【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．29. 如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．62【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∵OC=6，CD=2OD ，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=12（2OC-CD ）=12（6×2-4）=12×8=4， ∴OE=DE-OD=4-2=2，在Rt △OEB 中，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE=22OE OB -=2246-42∴AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．30. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，∵OC′=8cm ，∴OF′=6cm ，∴C′F′=CF=2268-=27cm ，F∴CD=2CD=47cm ．故选：D ． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握． 31. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出∠ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．由折叠的性质可知，EF=OE=12OF ， ∴OE=12OA ，在Rt △AOE 中，OE=12OA ， ∴∠CAB=30°，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∠BOC=2∠BAC=60°，∵AB=4，∴BC=12AB=2，AC=3BC=23， ∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•B C+S 扇形OBC -S △OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．32. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是∠CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是∠CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是∠CBD ， ∵弧AC 所对的圆周角是∠CBA ，∠CBA=∠CBD ，∴AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE ⊥AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ∴BE=BD+DE=7+3=10， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ACB=∠AEC=90°，∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，∴∠A=∠BCE ，∴△ACE ∽△CBE ，∴AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt △BCE 中，BC=22CE BE + =30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．33. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊥BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD=CD'，∠ABC=∠CBD'，∴AC=CD'=CD ，故①正确；B 、∵AC=CD'，∴︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，∴︵ AC+︵ BD=︵ BC ，故②正确；C 、∵D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，故③正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，∵OD ⊥AB ，∴∠ACE=∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．34. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．34πD ．53【分析】作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S 扇形AOC 得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13，即可得出答案．【解答】解：作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，如图所示：∵OD=12AO ∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S 扇形BOC =13×⊙O 面积=13×π×32=3π，故选：B ． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．35. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M 关于AB 的对称点M ′，关于AC 的对称点M ″，根据折叠的性质得到点M ′，M ″在圆周上，连接M ′M ″，交AB 于S ，交AC 于T ，则△MST 的周长最小，连接AM ′，AM ″，OB ，OC ，根据圆周角定理得到M ′M ″是⊙O 的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M 关于AB 的对称点M′，关于AC 的对称点M″，∵将劣弧AB 和AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，∴点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB 于S ，交AC 于T ，则△MST 的周长最小，连接AM′，AM″，OB ，OC ，则∠M′AM″=2∠BAC ，∵∠BAC=45°，∴∠M′AM″=∠BOC=90°，∵BC=22，∴OB=2，∴M′M″=2OB=4，∴△MST 的周长的最小值为4，故选：B ．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．36. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧⌢ACB 上，将弧沿⌢BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC=︵CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，∵D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∴AD=BD=12AB=2， 在Rt △OBD 中，OD=22BD OB -=222)5(-=1，∵将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴︵ AC 和︵ CD 所在的圆为等圆，∴︵ AC=︵CD ，∴AC=DC ，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22OF CO -=221)5(-=2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．37. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF ⊥AB ．由题知：︵AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60° ∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） 故，①②正确下面研究问题EO 的最小值是否是1 如图2，连接AE 和EF∵△ACD 是等边三角形，E 是CD 中点 ∴AE ⊥BD （三线合一） 又∵OF ⊥AB∴F 是AB 中点即，EF 是△ABE 斜边中线∴AF=EF=BF 即，E 点在以AB 为直径的圆上运动． 所以，如图3，当E 、O 、F 在同一直线时，OE 长度最小 此时，AE=EF ，AE ⊥EF∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1∴AF=3（勾股定理）∴OE=EF-OF=AF-OF=3-1所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案为①②．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．38.如图，将︵AB沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC=BD；（2）若AC=1，CD=4，︵AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．【分析】（1）作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．解直角三角形求出AB，OA即可；【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，∠CAB=∠BAC′，∴︵BD=︵BC′，∴BD=BC′，∴BC=BD．（2）解：连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．∵︵AB=120°，∴∠D=12×120°=60°，∴∠AOB=∠ACB=2∠D=120°， ∵BC=BD ，∴△BCD 是等边三角形， ∴BC=DC=4，在Rt △ACH 中， ∵∠H=90°，∠ACH=60°，AC=1，∴CH=12，AH=23，∴AB=22BH AH +=22)29()23(+=21， ∵OM ⊥AB ， ∴AM=BM=221，在Rt △AOM 中， ∵∠OAM=30°，∠AMO=90°， ∴OA=AMcos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．39. 如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC （1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC ，根据翻折的性质求出OM ，CD ⊥OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC ，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF 、GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE 和△FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE =FGAG ，从而得到GE•GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，∵︵CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合， ∴OM=12OA=12×2=1，CD ⊥OA ，∵OC=2，∴CD=2CM=222OM OC -=22212-=23；（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，∠CMP=∠OMC=90°，∴PC=22PM MC +=223)3(+=23，∵OC=2，PO=2+2=4，∴PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为︵ADB 的中点∴∠GOE=90°，∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH ∴△OGE∽△FGH∴OGGF=GEGH∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．40.如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将︵BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，①求证：△BDE是等腰三角形；②求△BDE的面积；（3）将图1中的︵BD 沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的︵BD 的中点，直接写出∠B的度数．【分析】（1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，然后证明︵AC =︵CD =︵BD ，则可得到︵AC 的弧度，从而可求得∠B的度数；（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由等弧所对的圆周角相等可得到∠CEB=∠E′，依据圆内接四边形的性质可得到E′=∠BDE，故此可证明∠CEB=∠BDE ；②连接OE ．先证明∠BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据△DBE 的面积=12BD•OE 求解即可；（3）将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明︵AC =︵CD =︵ DF=︵FB ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得∠B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，则⊙O 与⊙O′为等圆．∵︵AC 与︵CD 所对的角均为∠CBA ，⊙O 与⊙O′为等圆， ∴︵AC =︵ CD ． 又∵CD=BC ， ∴︵CD =︵ BD ．又∵︵ CDB =︵CO′B ，∴︵ AC =13︵ ACB ，∴∠ADC=13×180°=60°．∴∠B=30°．（2）①将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，则⊙O 与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由翻折的性质可知：︵ CFB=︵ CDB ，∴∠CEB=∠E′．∵四边形CDBE′是圆内接四边形， ∴∠E′=∠BDE ． ∴∠CEB=∠BDE ． ∴BE=BD ．∴△BDE 为等腰三角形．②如图2所示：连接OE ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴∠BCE=45°． ∴∠BOE=90°．在Rt △OBE 中，BE=22OB OE =52． ∴BD=52．∴△DBE 的面积=12BD•OE=12×52×5=2225．（3）将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆．∵⊙O 与⊙O′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为∠ABC ， ∴︵AC =︵CD ． 同理：︵DF =︵CD ．又∵F 是劣弧BD 的中点， ∴︵DF =︵ BF ． ∴︵AC =︵CD =︵ DF =︵FB ．∴弧AC 的度数=180°÷4=45°． ∴∠B=12×45°=22.5°．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．41. 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ：OC=3：5，AB=8．（1）求⊙O 的半径；（2）点E 为圆上一点，∠ECD=15°，将︵CE 沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O 的半径；（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．【解答】解：（1）连接AO ，如右图1所示，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB=8， ∴AG=12AB=4，∵OG ：OC=3：5，AB ⊥CD ，垂足为G ， ∴设⊙O 的半径为5k ，则OG=3k ， ∴（3k ）2+42=（5k ）2， 解得，k=1或k=-1（舍去）， ∴5k=5，即⊙O 的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S 阴影=S 弓形CBM ， 连接OM ，则∠MOD=60°， ∴∠MOC=120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ， ∴MN=MO•sin60°=5×23＝235， ∴S 阴影=S 扇形OMC -S △OMC =120×π×52360 −12×5×235=25π3−435， 即图中阴影部分的面积是：25π3−435． 【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．42.如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B、M三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．【分析】【解答】【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆心角定理、切线的性质与判定、特殊三角形的判定和性质等知识点．。
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
2020年中考数学二轮专项——B卷压轴题专练(十三)(含答案)
2020年中考数学二轮专项——B 卷综合能力提升专练（十三）(限时：60分钟 满分：50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 21. 若2a －3b ＝－1，则代数式4a 2－6ab ＋3b 的值为________．22. 定义[p ，q ]为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．设点A ，B 分别为抛物线y ＝(x ＋m )(x －2)与x ，y 轴的交点，其中m ＞0，且△OAB 的面积为4，O 为原点，图象过A ，B 两点的一次函数的特征数为________．23. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交BC 延长线于点M ，以点D 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．第23题图24. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CD 是△ABC 的中线，E 是边BC 上一动点，将△BED 沿ED 折叠，点B 落在点F 处，EF 交线段CD 于点G ，当△DFG 是直角三角形时，CE ＝________．第24题图25. 已知点A 是双曲线y ＝1x 在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为一边向下作等边△ABC .随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为________．第25题图二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26. (本小题满分8分)某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天销售y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖300件，当以55元每件出售时，每天可以卖150件．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？27. (本小题满分10分)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，现在AC上截取一点D，在△ABC外作△CDE，其中DE＝DC，CE⊥BC，连接BE，并取其中点F，连接AF，DF.(1)直接写出AF与DF的位置关系和∠DAF的度数；(2)若将图①中的△CDE绕点C顺时针方向旋转，点E落在BC的延长线上，其余条件不变，如图②所示，请求出∠DAF的度数，并判断AF与DF的位置关系是否与(1)中的相同，若相同，请说明理由；若不相同，请给出新的结论并加以证明；(3)若将图①中的∠BAC＝90°更改为∠BAC＝60°，并同(2)一样将△CDE绕点C顺时针方向旋转，其余条件不变，如图③所示，请求出∠DAF的度数，并直接判断AF与DF的位置关系．第27题图28. (本小题满分12分)如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，3)，过点A作AB⊥y 轴，垂足为点B，连接OA，抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A，与x轴正半轴交于点C.(1)求c的值；(2)如图②，将△OAB沿直线OA翻折，记点B的对应点为B′，向左平移抛物线，使点B′恰好落在平移后抛物线的对称轴上，求平移后的抛物线解析式；(3)如图③，连接BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．第28题图B 卷专练（十三）参考答案21. 1 【解析】∵2a －3b ＝－1，∴4a 2－6ab ＋3b ＝2a (2a －3b )＋3b ＝－2a ＋3b ＝－(2a －3b )＝1.22. [－2，－4]或[2，－4] 【解析】∵y ＝(x ＋m )(x －2)，∴抛物线与x 轴的交点为A 1(－m ，0)，A 2(2，0)，与y 轴的交点为B (0，－2m )．若S △OBA 1＝4，则12m ·2m ＝4，解得m ＝2(负值舍去)．若S △OBA 2＝4，则12×2×2m ＝4，解得m ＝2.∴当m ＝2时，满足题设条件．∴此时抛物线为y ＝(x ＋2)(x －2)，它与x 轴的交点为(－2，0)，(2，0)，与y 轴的交点为(0，－4)，∴一次函数为y ＝－2x －4或y ＝2x －4，∴特征数为[－2，－4]或[2，－4]．23.7π12－32 【解析】∵矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，∴BD ＝12＋（3）2＝2，∴tan ∠DBC ＝CD BC ＝33，∴∠DBC ＝30°，∴图中阴影部分的面积＝90·π×1360＋30·π×22360－12×1×3＝7π12－32.24. 1或52－52 【解析】①如解图①，当∠DGF ＝90°时，作DH ⊥BC 于点H .在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋42＝25，∵AD ＝DB ，∴CD ＝12AB ＝5，∵DH ∥AC ，AD ＝DB ，∴CH＝BH ，∴DH ＝DG ＝12AC ＝1，∴CG ＝5－1，∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠B ，∴cos ∠DCB ＝cos ∠B ＝255，∴CE＝CG cos ∠DCB ＝52－52；②如解图②，当∠GDF ＝90°，作DH ⊥BC 于点H ，DK ⊥FG 于点K .易证四边形DKEH 是正方形，可得EH ＝DH ＝1，∵CH ＝BH ＝2，∴CE ＝1.综上所述，满足条件的CE 的值为1或52－52.图① 图②第24题解图25. y ＝－3x (x ＞0) 【解析】设A (a ，1a )，∵点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ⊥OC ，OC ＝3AO ，∵AO ＝a 2＋（1a）2，∴CO ＝3a 2＋3a2，如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵∠AOD＋∠COD ＝∠COD ＋∠OCD ＝90°，∴∠AOD ＝∠OCD ，设点C 的坐标为(x ，y )，则tan ∠AOD ＝tan ∠OCD ，即1aa ＝x －y，解得y ＝－a 2x ，在Rt △COD 中，CD 2＋OD 2＝OC 2，即y 2＋x 2＝3a 2＋3a 2，将y ＝－a 2x 代入得，(a 4＋1)x 2＝3×a 4＋1a 2，解得x 2＝3a 2，∴x ＝3a ，y ＝－a 2x ＝－3a ，则xy ＝－3，∴y ＝－3x(x ＞0)．第25题解图26. 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝30055k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10b ＝700.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700； (2)由题意，得－10x ＋700≥240， 解得x ≤46， 又∵x ≥30， ∴30≤x ≤46，设每天获取的利润为W 元，则W ＝(x －30)·y ＝(x －30)·(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000， ∵－10＜0，∴当x ＜50时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，W 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 27. 解：(1)AF ⊥DF ，∠DAF ＝45°；【解法提示】如解图①，延长DF 与AB 交于点G ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝45°， 又∵DE ＝DC ，CE ⊥BC ， ∴∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD . ∵BA ⊥AC ，DE ⊥CD ， ∴AB ∥DE ， ∴∠GBF ＝∠DEF . 又∵点F 为BE 的中点， ∴BF ＝EF ，在△GBF 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GBF ＝∠DEF BF ＝EF ∠GFB ＝∠DFE， ∴△GBF ≌△DEF (ASA )， ∴GF ＝DF ，BG ＝DE ＝CD ，∴AG ＝AD ， 又∵∠BAC ＝90°， ∴AF ⊥DF ，∠DAF ＝45°.第27题解图①(2)∠DAF ＝45°，AF ⊥DF ，位置关系与(1)中的相同．理由如下：如解图②，延长DF 到点G ，使得GF ＝DF ，连接BG ，AG ，AD ， 在△BGF 和△EDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝EF ∠BFG ＝∠EFD GF ＝DF， ∴△BGF ≌△EDF (SAS)，∴GB ＝DE ＝DC ，∠GBF ＝∠DEF ＝45°， ∴∠ABG ＝∠ACD ＝90°， 在△ABG 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABG ＝∠ACD BG ＝CD， ∴△ABG ≌△ACD (SAS)， ∴AG ＝AD ，∠BAG ＝∠CAD ， ∴∠GAD ＝∠BAC ＝90°， ∴∠DAF ＝45°，AF ⊥DF ；第27题解图②(3)∠DAF ＝30°，AF ⊥DF .【解法提示】如解图③，延长DF 到点G ，使得GF ＝DF ，连接BG ，AG . 由题意易得，△ABC 是等边三角形，∠DEC ＝∠DCE ＝30°. 在△BGF 和△EDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝EF ∠BFG ＝∠EFD GF ＝DF， ∴△BGF ≌△EDF (SAS)，∴GB ＝DE ＝DC ，∠GBF ＝∠DEF ＝30°， ∴∠ABG ＝∠ACD ＝90°，在△ABG 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABG ＝∠ACD BG ＝CD， ∴△ABG ≌△ACD (SAS)， ∴AG ＝AD ，∠BAG ＝∠CAD ， ∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°， 又∵GF ＝DF ，∴AF ⊥DF ，∠DAF ＝30°.第27题解图③28. 解：(1)将点A (－2，3)代入抛物线解析式得3＝－(－2)2－2×(－2)＋c ， 解得c ＝3；(2)如解图，过点B ′作B ′D ⊥x 轴交x 轴于点D ，延长BA 交直线B ′D 于点E . 由翻折的性质可知，△AB ′O ≌△ABO ， ∴∠AB ′O ＝∠ABO ＝90°，AB ′B ′O ＝AB BO ＝23， ∵∠AEB ′＝∠AB ′O ＝90°， ∴∠EAB ′＋∠EB ′A ＝90°， ∠EB ′A ＋∠DB ′O ＝90°， ∴∠EAB ′＝∠DB ′O ， ∴△AB ′E ∽△B ′OD ， ∴AE B ′D ＝EB ′DO ＝AB ′B ′O ＝23， 设AE ＝2x ，则B ′D ＝3x ，EB ′＝3－3x ，DO ＝2＋2x ， ∴EB ′DO ＝3－3x 2＋2x ＝23， 解得x ＝513，∴DO ＝2＋2x ＝3613，即平移后的抛物线对称轴为x ＝－3613，∵原抛物线为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∴平移后的抛物线解析式为y ＝－(x ＋3613)2＋4；第28题解图(3)点E 的坐标为(－1，0)或(3，0)或(－2－7，0)或(－2＋7，0)．【解法提示】∵点B 、C 在抛物线y ＝－x 2－2x ＋3上，点B 在y 轴上，点C 在x 轴上， ∴B (0，3)，C (1，0)．①当点F 在x 轴上方时，BF ∥CE 且BF ＝CE ， ∴y F ＝y B ＝3，∴－x 2－2x ＋3＝3，解得x 1＝0，x 2＝－2，∴此时点F 的坐标为(－2，3)((0，3)与点B 重合，舍去))， ∴CE ＝BF ＝2，∴点E 的坐标为(－1，0)或(3，0)；②当点F 在x 轴下方时，BF 被CE 平分，故点F 纵坐标与点B 纵坐标互为相反数，把y ＝－3代入抛物线，得－3＝－x 2－2x ＋3，解得x ＝－1±7，∴点F 的横坐标为－1±7， ∴BF 的中点横坐标为－1±72，设点E 的坐标为(x ，0)， ∴1＋x 2＝－1±72， ∴x ＝－2±7，∴点E 的坐标为(－2－7，0)或(－2＋7，0)．综上所述，点E 的坐标为(－1，0)或(3，0)或(－2－7，0)或(－2＋7，0)．。
2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二平移旋转折叠问题
【答案】 3 5 【解析】 思路如下：
如图，过点 F 作 AD的平行线交 AB于 M，交 DC于 N． 因为 AD＝ 15，当 AD＝ 3GD时， MF＝AG＝ 10，FN＝ GD＝5． 在 Rt△ AMF中， AF＝ AD＝15， MF＝10，所以 AM＝ 5 5 ． 设 DE＝ m，那么 NE＝ 5 5 m ．
1
点 A′ 的坐标为（ 3， 3 3 ），所以点 A′ 是由点 A 向右平移 2 个单位，向上平移 23 个单位后得到的，于是得点 B′ 的坐标为（ 4,2 3 ） . 【答案】（ 4,23 ）
例 4、在 Rt △ ABC中, ∠ BAC=90° , ∠ B=30° , 线段 AD是 BC边上的中线 , 如图 1, 将 △ ADC沿直 线 BC平移 , 使点 D与点 C重合 , 得到 △FCE,如图 2, 再将 △ FCE绕点 C顺时针旋转 , 设旋转角为 α(0 ° ＜ α≤ 90° ), 连接 AF,DE．
2
又∵ AD是 BC边上的中线 , ∴ AD=DC=1 BC=AC∴. △ ADC为正三角形．
2
①当 α =60° 时 , 如图 3, ∠ ACE=120° +60° =180° .
∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形 ADEF为矩形．
②当 α≠ 60° 时 , ∠ACF≠ 120° , ∠ DCE=360° -60 ° -60 °- ∠ ACF≠120° ．
3
（2）如果 AM=1， sin ∠ DMF= ，求 AB 的长 .
5
【解析】（ 1）由矩形的性质得 ∠ A=∠ B=∠ C=90° ，由折叠的性质和等角的余角相等，可得 ∠BPQ=∠ AMP=∠ DQC， 所 以 △AMP∽△ BPQ∽△ CQD；（ 2 ） 先 证 明 MD=MQ， 然 后 根 据 sin ∠ DMF=DF 3 DFMD=3，5 设 DF=3x，MD=5x，再分别表示出 AP，BP，BQ，根据 △ AMP∽△ BPQ，
2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)
2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1， 在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ， 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， 有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ， 作PG ⊥AB ，垂足为点G ， 设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ， 在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°， 在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ； 问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ， 在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ， 又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2， 即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28， 解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°， 由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点， 在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4， 由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2， 由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ， 同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ， 又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ； 【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ， 易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ， 同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。
6、2020重庆中考数学四边形翻折变换专题二
O ECDA BP四边形翻折变换专题训练二1.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为( )A. 25B. 35C. 26D. 362．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（）A．1B．3 C．6D．3．如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，点P为AD边上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD 交于点O，且OE = OD，则AP的长为（）A．4.8 B．5 C． D．44. （2018•河南模拟）如图所示，ABCD为边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE 上的H处，连接PH并延长交BC于F点，则EF的长为（）525.A-55.B-.353C-1.4DB′GFEDCBA5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．6、（2019•大渡口区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE 的长为( )．.1 A3.2B.2C5.2D7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．若AB＝3，AD＝4，则FG的长为（）A．B．C．D．8、（2018•周村区二模）一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M （图2），则EM的长为（）A．2 B．C．D．9、（2018秋•市南区期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则AF 的长为( )26.7A 18.7B .4C .5D10. （2019春•沧州期末）矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为AB 的中点，将矩形右下角沿CE 折叠，使点B 落在矩形内部点F 位置，如图所示，则AF 的长度为（ ） A ．B ．2C ．D ．11. （2018•大连）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 为AD 上一点，且∠ABE ＝30°，将△ABE 沿BE 翻折，得到△A ′BE ，连接CA ′并延长，与AD 相交于点F ，则DF 的长为 ．12.（2018秋•南岸区校级期末）如图，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE ，连接AF ，过F 作FH ⊥BC 于F ，若AB ＝3，FH ＝1，则AF 的长度为 ．A B C DOECD A BP四边形翻折变换专题训练二答案解析1.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为( A ) A. 25 B. 35 C. 26 D. 362．如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE ，将△BCE 沿CE 翻折，点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF ，若BE ＝2，则△CDF 的面积是（ B ）A ．1B ．3C ．6D ．3．如图，矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 6，点P 为AD 边上一点，将△ABP 沿着BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 交于点O ，且OE = OD ，则AP 的长为（ A ）A ．4.8B ．5C ．D ．44. （2018•河南模拟）如图所示，ABCD 为边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的H 处，连接PH 并延长交BC 于F 点，则EF 的长为（ ）B′G FEDCB A第3题图525.A - 55.B - .353C - 1.4D 解：连接AF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∵BE ＝EC ＝，∴AE ＝＝，由翻折不变性可知：AD ＝AH ＝AB ＝1， ∴EH ＝﹣1，∵∠B ＝∠AHF ＝90°，AF ＝AF ，AH ＝AB ， ∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，∴BF ＝FH ，设EF ＝x ，则BF ＝FH ＝﹣x ， 在Rt △FEH 中，∵EF 2＝EH 2+FH 2， ∴x 2＝（﹣x ）2+（﹣1）2，∴x ＝，故选：A ．5.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠ADC ＝120°，连接BD ，把△ABD 沿BD 翻折，得到△A ′BD ，连接A ′C ，若AB ＝3，∠ABD ＝60°，则点D 到直线A ′C 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．解：过点D 作DE ⊥A ′C 于E ，过A '作A 'F ⊥CD 于F ，如图所示： ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∠ADC +∠BCD ＝180°，∠BCD ＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ABD ＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．6、（2019•大渡口区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE 的长为( )．.1 A3.2B.2C5.2D解：如图，连接AH，由折叠可得，BE＝FE，EC＝EG，GH＝CH，∠AEB＝∠AEF，∠CEH＝∠GEH，∴∠AEH＝∠BEC＝90°，∴Rt△AEH中，AE2+EH2＝AH2，①设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，∴GF＝6﹣2x＝GH＝CH，DH＝4﹣（6﹣2x）＝2x﹣2，∵∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △ABE 中，AE 2＝EB 2+AB 2＝x 2+42，Rt △CEH 中，HE 2＝EC 2+CH 2＝（6﹣x ）2+（6﹣2x ）2， Rt △ADH 中，AH 2＝DH 2+AD 2＝（2x ﹣2）2+62，代入①式，可得x 2+42+（6﹣x ）2+（6﹣2x ）2＝（2x ﹣2）2+62， 解得x 1＝2，x 2＝12（舍去），∴BE 的长为2，故答案为：.C ．6、将矩形ABCD 折叠，点A 与对角线BD 上的点G 重合，折痕BE 交AD 于点E ，点C 与对角线上的点H 重合，折痕DF 交BC 于点F ．若AB ＝6，AD ＝8，则EH 的长为（ ）．.23A .13B .3C .22D解：∵AB ＝6，AD ＝8， ∴BD ＝＝10，∴设EG ＝x ，则AE ＝x ，DE ＝（8﹣x ），AB ＝BG ＝6，则DG ＝10﹣6＝4，在Rt △DEG 中，DG 2+EG 2＝DE 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴EG ＝3，∵DH ＝BG ＝6， ∴HG ＝2，∴EH ＝＝．故答案为：B ．7．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F ．过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O ．若AB ＝3，AD ＝4，则FG 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由折叠的性质可知：∠DBC ＝∠DBE ， 又∵AD ∥BC ，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5．∴OB＝BD＝．设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝．故选：D．8、（2019•桂林二模）如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C 落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．B．C．D．解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM ＝5cm ，∵AD ＝10cm ，AB ＝6cm ， 在Rt △ABD 中，BD ＝cm ，∵EN ⊥AD ，AB ⊥AD ， ∴EN ∥AB ，∴MN 是△ABD 的中位线， ∴DN ＝BD ＝cm ，在Rt △MND 中， ∴MN ＝＝3（cm ），由折叠的性质可知∠NDE ＝∠NDC ， ∵EN ∥CD ， ∴∠END ＝∠NDC ， ∴∠END ＝∠NDE ，∴EN ＝ED ，设EM ＝x ，则ED ＝EN ＝x +3，由勾股定理得ED 2＝EM 2+DM 2，即（x +3）2＝x 2+52，解得x ＝，即EM ＝cm ．故选：B ．9、（2018秋•市南区期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则AF 的长为( A )26.7A 18.7B .4C .5D 解：作FH ⊥BD 于H ， 由折叠的性质可知，FG ＝FA ， 由题意得，BD ＝DG +BG ＝8， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠ABC ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AD ＝BD ＝8，设AF＝x，则FG＝x，DF＝8﹣x，在Rt△DFH中，∵∠FDH＝60°，∴DH＝（8﹣x）＝4﹣x，FH＝（8﹣x），∴HG＝2﹣DH＝x﹣2，在Rt△FHG中，FG2＝FH2+GH2，即x2＝（4﹣x）2+（x﹣2）2，解得：x＝，∴AF的长为，10. （2019春•沧州期末）矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为AB的中点，将矩形右下角沿CE折叠，使点B落在矩形内部点F位置，如图所示，则AF的长度为（）A．B．2 C．D．解：如图中，作EM⊥AF，则AM＝FM，∵AE＝EB＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠CEF＝∠CEB，∠BEF＝∠EAF+∠EFA，∴∠BEC＝∠EAF，∴AF∥EC，在Rt△ECB中，EC＝＝，∵∠AME＝∠B＝90°，∠EAM＝∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AF＝2AM＝，故选：A．11.（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为6﹣2．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴∠A′BH＝30°，∴A′H＝BA′＝1，BH＝A′H＝，∴CH＝3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴＝，∴＝，∴DF＝6﹣2，12.（2018秋•南岸区校级期末）如图，E为矩形ABCD边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接AF，过F作FH⊥BC于F，若AB＝3，FH＝1，则AF的长度为2．解：设AF与BH交于G，∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝AB＝3，∵FH⊥BC，∴BH＝＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AB∥FH，∴△ABG∽△FHG，∴＝＝3，∴BG＝，HG＝，∴AG＝＝，∴FG＝，∴AF＝AG+GF＝2，A B C D答案A。
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翻折问题专题
知识点
1. 轴对称的定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.
2. 轴对称的性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.
方法
1. 轴折叠两侧的部分对应相等，如①对应角相等、②对应边相等、③折痕上的点到对应点的距离相等；
2. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；
3. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；
4. 在平面直角坐标系中出现折叠，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等.
例题
【例题1】（2019•青岛模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠EFG的值为．
【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2EB，点P是边BC上一点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点正好落在边AD上，求BP的值．
【例题3】（2019秋•双流区校级月考）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.
【例题4】（2019•东西湖区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE
沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．
【例题5】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B 折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N （1）若CM＝x，则CH＝（用含x的代数式表示）；
（2）求折痕GH的长．
【例题6】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．
（1）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，求m（用含有t的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）．
1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝15，tan∠ABC＝，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边
上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．
2．（2019•江北区一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），
将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．
3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段
BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝．
4．（2019•罗山县一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为．
5．（2019•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为．
6．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB
沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE＝4，则O到折痕EF的距离为．
7．如图，矩形ABCD中，AD＝4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE＝AE，把
四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE 折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG＝1，则AD＝，⊙O半径＝．
10．如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是．
11．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，
EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′
的位置，连接C′B，则C′B＝．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF＝AC时，BE 的长为．
14．在正方形ABCD中，
（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF＝90°．求证：AE＝BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，求EF的长．
15．如图，已知E是正方形ABCD边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC＝90°，求的值．
16．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F 处．
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．
17．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB ＝46°，则∠DBE的度数为°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG＝，求B′D的长；
【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．。