3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 课件1(人教A版必修5)
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高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域课件 新人教A版必修5
0的（ B ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ D）
x 3y 6 0 3、不等式组 x y 2 0
表示的平面区域是（ B ）
小结：
知识点
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线 某一侧 所有点组成的平面区域.
⑵ 二元一次不等式表示平面区域的判断方法： 直线定界，判断虚实；代点验证，画出区域.
二元一次不 等式组
2、二元一次不等式（组）的解集的定义
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序 实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的 集合称为二元一次不等式（组）的解集。
如，x+y＜10的解集为{（x，y）|x+y-10< 0}
注：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点 的坐标也是有序实数对，因此，二元一次不等式（组） 的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
O
x
4． Ax+By+C<0(>0)表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把 它的坐标代入Ax+By+C，所得到的符号 都 相同 .
只需在直线的某一侧任取一点进行验证， 当C≠0时，常把 原点 作为特殊点.
y Ax + By + C = 0
O
x
例题示范
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域直. 线定界
（1）引入问题中的变量：
设参观热门馆的时间为x小时，普通馆的时间为 y小时 .
（2）把文字语言转化为数学符号语言：
游览时间小于10小时 xy10,
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ D）
x 3y 6 0 3、不等式组 x y 2 0
表示的平面区域是（ B ）
小结：
知识点
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线 某一侧 所有点组成的平面区域.
⑵ 二元一次不等式表示平面区域的判断方法： 直线定界，判断虚实；代点验证，画出区域.
二元一次不 等式组
2、二元一次不等式（组）的解集的定义
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序 实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的 集合称为二元一次不等式（组）的解集。
如，x+y＜10的解集为{（x，y）|x+y-10< 0}
注：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点 的坐标也是有序实数对，因此，二元一次不等式（组） 的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
O
x
4． Ax+By+C<0(>0)表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把 它的坐标代入Ax+By+C，所得到的符号 都 相同 .
只需在直线的某一侧任取一点进行验证， 当C≠0时，常把 原点 作为特殊点.
y Ax + By + C = 0
O
x
例题示范
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域直. 线定界
（1）引入问题中的变量：
设参观热门馆的时间为x小时，普通馆的时间为 y小时 .
（2）把文字语言转化为数学符号语言：
游览时间小于10小时 xy10,
高一数学必修5第三章3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域课件(共16张PPT)
直线x – y -6= 0左上方
的平面区域；
y
x – y -6= 0
不等式x – y -6> 0表示直 线x – y -6= 0右下方的平 面区域.
y x – y -6= 0
O
6x
O
6x
-6
-6
二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域，该直线 叫做这两个区域的边界.（不能取“=”时画虚线）.
判断二元一次不等式表示哪个平面区域的方法： 由于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同（同侧同号）； 所以，只需在直线的某一侧任取一点进行验证， 当C≠0(即直线不过原点）时，常把原点作为特殊点； 当C＝0（即直线过原点）时，常把（1,0），（0,1） 等点作为特殊点.
标需同时满足三个不等式， 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集，即公共部分.
5
-5 o 4
x=3
x-y+5=0
x
x+y=0
解决引例中的实际问题:：
用平面区域表示花的价格满足的不等式组
4x 5 y＜22
x＞0
y＞0
二 元 一 次 不 等式组 与平面 区域
走进高考
由y≤2及|x|≤y≤|x|+1
解：设玫瑰的价格为x元，康乃馨的价格
为y元.
思考：
4x 5 y＜22 x＞0 y＞0
这些满足4x+5y-22<0的 解对应的点与直线 4x+5y-22=0的位置关系 如何?
你会发现
x
y
，
x
y
，
x
y
上述各个解都满足 4x 5y 22 0 .
人教a版必修五课件：二元一次不等式(组)与平面区域(62页)
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
新知初探
1．二元一次不等式及其解集的意义 (1)二元一次不等式 含有两 个未知数，并且含未知数的项的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式． 二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C>0，Ax＋By ＋C<0，Ax＋By＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同 时为零．
(2)二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x，y)，所以这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一 次不等式(组)的解集．一个二元一次不等式，它的解是一些 数对(x，y)，因此，它的解集不能用数轴上一个区间表示， 而应是平面上的一个区域．
By＋C＝0划分平面成两个半平面的区域，分别由不等式Ax ＋By＋C>0与Ax＋By＋C<0决定．因此，如同前面所学平面 内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样，半平面 就是二元一次不等式的几何表示．
思考感悟
1．每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个 区域吗？ 提示：不一定．当不等式组的解集为空集时，不等式 组不表示任何图形．
7 答案：4
类型三 [例3]
点与平面区域的关系 已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有
人教A版高中数学必修五二元一次不等式组与平面区域课件
二元一次不等式 （组）与平面区域
复习回忆：一次函数的解析式？图像？
y=kx+b(k 0)
•y
•y
•O
•x
•O
•x
k 0 b 0
k 0 b 0
•y
•y
•O
•x
•O
•x
k 0 b 0
k 0 b 0
画出函数y=x-6的图像： x- y -6=0
y y =x-6
••
O
6
x
6
二元一次方程
•人教A版高中数学必修五3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 课件(共20张PPT)
3、已知点A（0,0), B（1,1), C（2,1), D（0,2),
x-y-6=0
x - y -6 < 0 x-y-6 > 0
二元一次不等式
x 4y4 0
y
3
x
12
0
二元一次不等式组
•思考：
•1、 x -y - 6 = 0 的解集表示的什么图形 ？
•探究：
•1、 x -y -6 < 0 的解集表示的什么图形 ？ •2、x-y-6 > 0 的解集表示的什么图形？
6 O
•（3，0）•（7，0）
•（-1，-2）
x
•（3，-3）
6 •（3，-5）
•（-1，-7）
x-y-6>0
•（-1，-8）
• 二元一次不等式x-y-6 > 0的解集 •人教A版高中数学必修五3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 课件(共20张PPT)
表示的是什么图形？ • 二元一次不等式x-y-6<0的解集
表示的是什么图形？
•y
复习回忆：一次函数的解析式？图像？
y=kx+b(k 0)
•y
•y
•O
•x
•O
•x
k 0 b 0
k 0 b 0
•y
•y
•O
•x
•O
•x
k 0 b 0
k 0 b 0
画出函数y=x-6的图像： x- y -6=0
y y =x-6
••
O
6
x
6
二元一次方程
•人教A版高中数学必修五3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 课件(共20张PPT)
3、已知点A（0,0), B（1,1), C（2,1), D（0,2),
x-y-6=0
x - y -6 < 0 x-y-6 > 0
二元一次不等式
x 4y4 0
y
3
x
12
0
二元一次不等式组
•思考：
•1、 x -y - 6 = 0 的解集表示的什么图形 ？
•探究：
•1、 x -y -6 < 0 的解集表示的什么图形 ？ •2、x-y-6 > 0 的解集表示的什么图形？
6 O
•（3，0）•（7，0）
•（-1，-2）
x
•（3，-3）
6 •（3，-5）
•（-1，-7）
x-y-6>0
•（-1，-8）
• 二元一次不等式x-y-6 > 0的解集 •人教A版高中数学必修五3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 课件(共20张PPT)
表示的是什么图形？ • 二元一次不等式x-y-6<0的解集
表示的是什么图形？
•y
人教A版高中数学必修五课件3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
x0
y0
•
二、新课讲解
一般地，在平面直角坐标系中, 直线Ax By C 0 将平面内所有的点一分为三 :
(1)直线Ax By C 0上的点; (2)直线Ax By C 0某侧的点; (3)直线Ax By C 0另一侧的点.
" "或" "不含边界, 画成虚线; " "或" " 包含边界, 画 成实线.
例4.画出不等式( x 2 y 1)( x y 3,1)和点(4,6)在直线3 x 2 y a 0的两 侧, 求a的取值范围.
•
三、总结作业
•
§3.3.1二元一次不等式(组) 与平面区域
•
一、复习引入
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于 企业和个人贷款, 希望这笔资金至少可带来30000 元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人 贷款中获益10％．那么，信贷部应该如何分配资 金呢？
x y 25000000 x(12%) y (10)% 30000
GSP
•
二、新课讲解
练1.画出不等式3x 2 y 6 0表示的平面区域.
GSP
y 3 x 12 例2.用平面区域表示不等式组 的解集. x 2 y
GSP
x 3 y 6 0 练2.用平面区域表示不等式组 解集. x y 2 0
GSP
•
二、新课讲解
例3.要将两种大小不同的钢板截成A, B, C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如 下表所示 :
规格类型
钢板类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
y0
•
二、新课讲解
一般地，在平面直角坐标系中, 直线Ax By C 0 将平面内所有的点一分为三 :
(1)直线Ax By C 0上的点; (2)直线Ax By C 0某侧的点; (3)直线Ax By C 0另一侧的点.
" "或" "不含边界, 画成虚线; " "或" " 包含边界, 画 成实线.
例4.画出不等式( x 2 y 1)( x y 3,1)和点(4,6)在直线3 x 2 y a 0的两 侧, 求a的取值范围.
•
三、总结作业
•
§3.3.1二元一次不等式(组) 与平面区域
•
一、复习引入
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于 企业和个人贷款, 希望这笔资金至少可带来30000 元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人 贷款中获益10％．那么，信贷部应该如何分配资 金呢？
x y 25000000 x(12%) y (10)% 30000
GSP
•
二、新课讲解
练1.画出不等式3x 2 y 6 0表示的平面区域.
GSP
y 3 x 12 例2.用平面区域表示不等式组 的解集. x 2 y
GSP
x 3 y 6 0 练2.用平面区域表示不等式组 解集. x y 2 0
GSP
•
二、新课讲解
例3.要将两种大小不同的钢板截成A, B, C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如 下表所示 :
规格类型
钢板类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
人教A版必修5第三章 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(共13张PPT)
反过来，在直线x – y – 6 = 0的左上方的点的坐标 都满足不等式x – y – 6<0。
不等式 x – y –6<0表示直线 x – y – 6 =0 左上方的平面 区域；
y>x-6
不等式x – y – 6>0 表示直线 x – y – 6= 0右下方的平面 区域；
y>x-6
y<x-6
y<x-6
3.如图，表示阴影部分的二元一次不等式组是( D)
y 2
A. 3x 2 y 6 0 x0
y
(0,3)
y 2
B. 3x 2 y 6 0 x0
(-2,0)
o 1x
y 2
C. 3x 2 y 3 0
-2
x0
y 2
D. 3x 2 y 6 0 x0
王.课时小结
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。
y=x-6
y=x-6
直线叫做这两个区域的边界（不可取时画为虚线）。
（3）从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示：
结论一 二元一次不等式表示相应
直线某一侧的平面区域
二元一次不等式Ax + By + C＞0表示哪个平面区域的判断方法：
∵ 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同
x + y 25000000
12%x +10%y 30000
x 0, y 0
从而，只要求出这个方程组的解，我们就 得到了想要的答案.此时，我们的问题变为求解 上述方程组的问题.
人教A版高中数学必修五3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
1
o
4x
3、用阴影部分表示不等式的区域.
点评: “线定界，点定域”
若直线不经过原点，则常用原点来确定区域
三、针对性练习
1、画出下列不等式表示的平面区域： （1）x-y+1＜0；（2）2x+3y-6≥0
Y
1
-1 o
X
x y10
Y
2 X
O3
2x 3y6 0
二、例题分析
例2、用平面区域表示不等式组
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity.
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
一、基础知识讲解 2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
(1)回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的 图形:
-3
0
4x
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的 解集表示什么图形？
不等式 x-y<6 表示怎样的图形呢？
一、基础知识讲解
思考：不在这条直线上的点的坐标还会满足x-y=6吗？ 若不会，那应该满足什么关系？
y x
3 x 2y
12的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是
各不等式所表示的平面点集的交集，
即各个不等式表示的平面区域的公
y
共部分。
16
解：不等式3x+y-12<０表示 直线3x+y-12＝０下方的区域，
不等式x-2y<0表示 直线x-2y=0上方的区域。
o
4x
3、用阴影部分表示不等式的区域.
点评: “线定界，点定域”
若直线不经过原点，则常用原点来确定区域
三、针对性练习
1、画出下列不等式表示的平面区域： （1）x-y+1＜0；（2）2x+3y-6≥0
Y
1
-1 o
X
x y10
Y
2 X
O3
2x 3y6 0
二、例题分析
例2、用平面区域表示不等式组
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity.
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
一、基础知识讲解 2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
(1)回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的 图形:
-3
0
4x
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的 解集表示什么图形？
不等式 x-y<6 表示怎样的图形呢？
一、基础知识讲解
思考：不在这条直线上的点的坐标还会满足x-y=6吗？ 若不会，那应该满足什么关系？
y x
3 x 2y
12的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是
各不等式所表示的平面点集的交集，
即各个不等式表示的平面区域的公
y
共部分。
16
解：不等式3x+y-12<０表示 直线3x+y-12＝０下方的区域，
不等式x-2y<0表示 直线x-2y=0上方的区域。
人教A版数学必修五3.3.1《二元一次不等式(组)与平面区域》实用课件(共36张PPT)
例5.要将两种大小不同的钢板截成A、
B、C三种规格,每张钢板可同时截得三
重规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型
钢板类型
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2
1
1
第二种钢板 1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,
18,27块,用数学关系和图形表示上述要求
规格类型
钢板类型
第一种钢板
A规格 (15)
引例 ： 一家银行的信贷部计划年初
投入25 000 000元用于企业和个人贷 款,希望这笔资金至少可带来30 000元 的收益,其中从企业贷款中获益12％， 从个人贷款中获10％.那么，信贷部应该 如何分配资金呢？
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人 贷款的资金为y元。则分配资金应该满足 的条件为：
x y 25000000
12x 10 y 3000000
x0
y0
二:相关概念
1、二元一次不等式（组）
（1）含有 两个 未知数，并且未知数的次数是 一次 的 不等式称为二元一次不等式。
（2）由几个二元一次不等式 组成的不等式组称为二 元一次不等式组。
2、二元一次不等式（组）的解集
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对 （x , y）,所有这样的 有序数对构成的集合称为二元一次 不等式（组）的解集。
x
0
x
x+y=0
例题分析
y
例2：画出不等式组 x+y=0
x y 5 0
5
x y 0 x 3
-5O
表示的平面区域.
x-y+5=0
x
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式
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解析：因 Ax＋By＋5<0 表示的区域不含(2,4)，则 5 2A＋4B＋5≥0，则 λ＝A＋2B≥－ ，∴λ 的范围是 2
5 － ，＋∞. 2
5 答案：－ ，＋∞ 2
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要点阐释
1．二元一次不等式表示的平面区域的画法 ①在画二元一次不等式表示的平面区域时，应 用“直线定界，点定域”的方法来画平面区域，即先 作直线Ax＋By＋C＝0，再在它将平面分成的两个区 域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入Ax ＋By＋C，确定它的符号，从而确定二元一次不等 式所表示的区域．
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3．满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有 序数对(x，y)，所有这样的________构成的集合称为 二元一次不等式组的解集． 答案：有序数对(x，y) 4．在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊 点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________ 就可以断定Ax＋By＋C >0表示的是直线Ax＋By＋C ＝0哪一侧的平面区域． 答案：符号
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题型二
由平面区域写出二元一次不等式组
【例2】 在△ABC中，A(3， －1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出 △ABC(包含边界)所表示的二元一 次不等式组． 解：如图直线AB的方程为x ＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式 写出)，直线AC的方程为：2x＋y －5＝0，直线BC的方程为：x－y ＋2＝0，把(0,0)代入2x＋y－5＝ －5<0
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1．画出不等式2x＋y－6<0表示的平面区域． 解：先画直线2x＋y－6＝0(画 成虚线)，取原点(0,0)，代入2x＋y －6，因为2×0＋0－6＝－6<0， 所以，原点在2x＋y－6<0表示的平 面区域内，不等式2x＋y－6<0表示 的区域如图阴影所示． 即直线2x＋y－6＝0的左下方 平面区域．
x＋y＋2≥0 答案：x＋2y＋1≤0 2x＋y＋1≤0
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误区解密 对基本知识掌握不牢致误
x>0 【例 3】 画出不等式组y>0 x＋y－3<0 平面区域． 表示的
错解：不等式x>0表示直线x＝0(即y轴)右侧的 点的集合． 不等式y>0 表示直线y＝0(x轴)上方的点的集 合．
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自主探究
1．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方， 则一定有Ax0＋By0＋C>0吗？ 答案：不一定．与系数B的符号有关． 2．每一个二元一次不等式组都能表示平面上的 一个区域吗？ 答案：不一定．若不等式组的解集是∅，不能 表示平面上的一个区域．
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(ⅲ)求“交”——如果平面区域是由不等式组决 定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再 求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式 所表示的平面区域．
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典例剖析
题型一 不等式表示的平面区域
【例1】 已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)， D(0,2)．其中不在2x＋y<4所表示的平面区域内的点 是________． 解析：不等式变形为2x＋y－4<0，对应的直线 为2x＋y－4＝0，A点是坐标原点，代入2x＋y－4得 －4，为负值，即原点A在不等式所表示的区域内， 把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的
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自学导引
1．含有两个未知数，并且未知数的次数都是一 次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的 ________叫做它的解． 答案：未知数的值 2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 ________不等式组． 答案：二元一次
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3.3 二元一次不等式（组）与简 单的线性规划问题
3.3.1
二元一次不等式（组） 与平面区域
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了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)、 (1,0)或(0,1)检验不等式Ax＋By＋C>0(<0)表示的平面 区域；会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
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∴AC 左下方的区域为 2x＋y－5<0. ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为 x＋2y－1≥0 x－y＋2≥0. 2x＋y－5≤0
方法点评：由所给的平面区域，写出相应的二 元一次不等式(组)的程序是：先根据图形中的区域边 界上有关点的坐标确定其直线方程Ax＋By＋C＝0， 再在其区域内取一点，将该点坐标(x0，y0)代入Ax＋ By＋C确定其符号，进而根据符号写出相应的二元 一次不等式．注意：当区域包括边界时，其不等式 带等号；否则不带等号．
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画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如 上图所示．
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取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0， 代入x＋2y＋1得1>0; 代入2x＋y＋1得1>0. 结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示 为 x＋y＋2≥0， x＋2y＋1≤0， 2x＋y＋1≤0.
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2．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1 ＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为 ________． 解析：本题是在已知平面区域前提下，用不等式 (组)表示已知平面区域，可在三条直线外任取一点， 将其坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个 不等式．
该对应直线哪一侧的区域．
正解：不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集 合(不含边界)．
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含
边界)． 不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的
集合．
所以原不等式组表示的平面区域如图(2)所示的阴影 部分．
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预习测评
1．不等式2x＋3y－4<0表示的平面区域在直 线2x＋3y－4＝0的 ( ) A．右上方 B．右下方 C．左下方 D．左上方 解析：(0,0)满足不等式． 答案：C
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2．在平面直角坐标系中，满足不等式x2－y2≥0 的点(x，y)的集合是如下图所示的 ( )
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②在取点时，若直线不过原点，一般用“原 点定域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，这 样做可简化运算过程． 注意：要注意Ax＋By＋C>0表示直线l某一 侧的平面区域，而不包括边界直线l；Ax＋By＋ C≥0表示的平面区域包括边界直线l.
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不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0右上方的 点的集合． 故原不等式组表示的平面区域如图(1)所示阴影 部分．
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错因分析：画二元一次不等式表示的平面区域时，
没有注意到用特殊点来判定对应区域．解答中，画出直 线x＋y－3＝0后，应选一特殊点来验证不等式的解集应
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2．二元一次不等式组表示平面区域问题 ①不等式组所表示的平面区域应是各个不等式 所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表 示的平面区域的公共部分． ②画平面区域的步骤是：(ⅰ)画线——画出不 等式所对应的方程所表示的直线． (ⅱ)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的 坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规 律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一 侧．
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课堂总结
1．Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0 的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界；Ax ＋By＋C≥0表示的是直线Ax＋By＋C＝0及直线某一 侧的平面区域，一定要注意包括边界． 2．对于直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点 (x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在直 线某一侧任取一点(x0，y0)代入Ax＋By＋C，由Ax0＋ By0＋C值的符号即可判断出Ax＋By＋C>0表示的是 直线哪一侧的点集．当C≠0时，此点常选(0,0)． 3．二元一次不等式组表示的平面区域则是各个 不等式所表示的平面区域的公共部分．
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正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同 侧或异侧，也就判断了B、C、D三点能否位于不等 式2x＋y<4所表示的平面区域内． 答案：C(2,0) 方法点评：此类型的题的解法，就是将点的坐 标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点 在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二 元一次不等式所表示的区域内．
解析：代入点(1,0)和(－1,0)检验． 答案：B
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3．不等式x－2y≥0表示的区域是
(
)
解析：画直线x－2y＝0，其右下方即为表示的 平面区域，选C. 答案：C
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5 － ，＋∞. 2
5 答案：－ ，＋∞ 2
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要点阐释
1．二元一次不等式表示的平面区域的画法 ①在画二元一次不等式表示的平面区域时，应 用“直线定界，点定域”的方法来画平面区域，即先 作直线Ax＋By＋C＝0，再在它将平面分成的两个区 域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入Ax ＋By＋C，确定它的符号，从而确定二元一次不等 式所表示的区域．
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3．满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有 序数对(x，y)，所有这样的________构成的集合称为 二元一次不等式组的解集． 答案：有序数对(x，y) 4．在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊 点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________ 就可以断定Ax＋By＋C >0表示的是直线Ax＋By＋C ＝0哪一侧的平面区域． 答案：符号
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题型二
由平面区域写出二元一次不等式组
【例2】 在△ABC中，A(3， －1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出 △ABC(包含边界)所表示的二元一 次不等式组． 解：如图直线AB的方程为x ＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式 写出)，直线AC的方程为：2x＋y －5＝0，直线BC的方程为：x－y ＋2＝0，把(0,0)代入2x＋y－5＝ －5<0
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1．画出不等式2x＋y－6<0表示的平面区域． 解：先画直线2x＋y－6＝0(画 成虚线)，取原点(0,0)，代入2x＋y －6，因为2×0＋0－6＝－6<0， 所以，原点在2x＋y－6<0表示的平 面区域内，不等式2x＋y－6<0表示 的区域如图阴影所示． 即直线2x＋y－6＝0的左下方 平面区域．
x＋y＋2≥0 答案：x＋2y＋1≤0 2x＋y＋1≤0
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误区解密 对基本知识掌握不牢致误
x>0 【例 3】 画出不等式组y>0 x＋y－3<0 平面区域． 表示的
错解：不等式x>0表示直线x＝0(即y轴)右侧的 点的集合． 不等式y>0 表示直线y＝0(x轴)上方的点的集 合．
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自主探究
1．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方， 则一定有Ax0＋By0＋C>0吗？ 答案：不一定．与系数B的符号有关． 2．每一个二元一次不等式组都能表示平面上的 一个区域吗？ 答案：不一定．若不等式组的解集是∅，不能 表示平面上的一个区域．
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(ⅲ)求“交”——如果平面区域是由不等式组决 定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再 求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式 所表示的平面区域．
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典例剖析
题型一 不等式表示的平面区域
【例1】 已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)， D(0,2)．其中不在2x＋y<4所表示的平面区域内的点 是________． 解析：不等式变形为2x＋y－4<0，对应的直线 为2x＋y－4＝0，A点是坐标原点，代入2x＋y－4得 －4，为负值，即原点A在不等式所表示的区域内， 把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的
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自学导引
1．含有两个未知数，并且未知数的次数都是一 次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的 ________叫做它的解． 答案：未知数的值 2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 ________不等式组． 答案：二元一次
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3.3 二元一次不等式（组）与简 单的线性规划问题
3.3.1
二元一次不等式（组） 与平面区域
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了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)、 (1,0)或(0,1)检验不等式Ax＋By＋C>0(<0)表示的平面 区域；会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
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∴AC 左下方的区域为 2x＋y－5<0. ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为 x＋2y－1≥0 x－y＋2≥0. 2x＋y－5≤0
方法点评：由所给的平面区域，写出相应的二 元一次不等式(组)的程序是：先根据图形中的区域边 界上有关点的坐标确定其直线方程Ax＋By＋C＝0， 再在其区域内取一点，将该点坐标(x0，y0)代入Ax＋ By＋C确定其符号，进而根据符号写出相应的二元 一次不等式．注意：当区域包括边界时，其不等式 带等号；否则不带等号．
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画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如 上图所示．
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取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0， 代入x＋2y＋1得1>0; 代入2x＋y＋1得1>0. 结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示 为 x＋y＋2≥0， x＋2y＋1≤0， 2x＋y＋1≤0.
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该对应直线哪一侧的区域．
正解：不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集 合(不含边界)．
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含
边界)． 不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的
集合．
所以原不等式组表示的平面区域如图(2)所示的阴影 部分．
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1．不等式2x＋3y－4<0表示的平面区域在直 线2x＋3y－4＝0的 ( ) A．右上方 B．右下方 C．左下方 D．左上方 解析：(0,0)满足不等式． 答案：C
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不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0右上方的 点的集合． 故原不等式组表示的平面区域如图(1)所示阴影 部分．
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2．二元一次不等式组表示平面区域问题 ①不等式组所表示的平面区域应是各个不等式 所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表 示的平面区域的公共部分． ②画平面区域的步骤是：(ⅰ)画线——画出不 等式所对应的方程所表示的直线． (ⅱ)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的 坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规 律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一 侧．
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