计量经济学 (精)6.1
计量经济学课后答案第六章 自相关
第六章课后答案6.1（１）收入—消费模型为Se = (2.5043) (0.0075)t = (-3.7650) (125.3411)R2 = 0.9978，F = 15710.39，d f = 34，DW = 0.5234（２）对样本量为36、一个解释变量的模型、5%显著水平，查DW统计表可知，d L=1.411，d U= 1.525，模型中DW<d L，显然消费模型中有自相关。
（３）采用广义差分法查5%显著水平的DW统计表可知d L = 1.402，d U = 1.519，模型中DW= 2.0972>d U，说明广义差分模型中已无自相关。
同时，判定系数R2、t、F统计量均达到理想水平。
由差分方程式可以得出：所以最终的消费模型为：6.2（1）给定n=16, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中存在正自相关。
给定n=16, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中不存在自相关。
（2）自相关可能由于模型6.1的误设，因为它排除了趋势的平方项。
（3）虚假自相关是由于模型的误设造成的，因此就要求对可能的函数形式有先验知识。
真正的自相关是可以通过广义差分法等方法来修正。
6.3（１）收入—消费模型为（２）DW＝0.575，取，查DW上下界，说明误差项存在正自相关。
（３）采用广义差分法使用普通最小二乘法估计的估计值，得DW=1.830，已知，模型中因此，在广义差分模型中已无自相关。
由差分方程式可以得出：因此，修正后的回归模型应为6.4（1）回归结果如下：（2）模型检验：从回归结果可以看出，参数均显著，模型拟和较好。
异方差的检验：通过white检验可以得知模型不存在异方差。
DW检验：给定n=25, ,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
模型中，所以可以判断模型中存在正自相关。
（3）采用广义差分法修正模型中存在的自相关问题：给定n=24，,在的显著水平下，查DW统计表可知，。
计量经济学第六章部分课后题（庞皓（第三版））
计量经济学第六章作业思考题：6.1 如何使用DW统计量来进行自相关检验？该检验方法的前提条件和局限性有哪些？答：（1）DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特森)于1951年提出的一种适用于样本容量大于等于15的检验自相关的方法，许多计量经济学和统计学计算机软件都可以计算出DW 值。
给定显著水平α，依据样本容量n和解释变量个数k’（不包括常数项），查D.W.分布表可得临界值（d统计量的上界d U和下界d L），当0<DW<d L时，表明存在一阶正自相关，而且正自相关的程度随DW向0的靠近而增强。
当d L<DW<d U时，表明为不能确定是否存在自相关。
当d U<DW<4-d U时，表明不存在一阶自相关。
当4-d U<DW<4-d L时，表明不能确定是否存在自相关。
当4-d L<DW<4时，表明存在一阶负自相关，而且负自相关的程度随DW向4的靠近而增强。
（2）DW检验的前提条件：<1>解释变量是非随机的（因此与随机扰动项不相关）；<2>随机扰动项是一阶自回归形式，即u t=ρu t-1 +v t (v t满足古典假定)；<3>线性模型的解释变量中不包含滞后的被解释变量，如不应出现下列形式：Y t =β1 +β2 X t +β 3 Y t-1 +u t；<4>截距项不为零，即只适用于有常数项的回归模型；<5>数据序列无缺失项，样本比较大。
（3）DW检验的局限性：<1>DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这两个区域，就无法判断。
这时，只有增大样本容量或选取其他方法；<2>DW统计量的上、下界表要求n≥15, 这是因为样本如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断；<3> DW检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验；<4> DW检验有运用的前提条件，只有符合这些条件DW检验才是有效的。
李子奈《计量经济学》笔记和课后习题详解(非经典截面数据计量经济学模型)【圣才出品】
则个体选择 1 的概率为：
P（Yi＝1）＝P（Yi*＞0）＝P（μi*＞－Xiβ）
（3）最大似然估计
Probit 模型：假定 μi*服从标准正态分布。
Logit 模型：假定 μi*服从逻辑分布。
标准正态分布和逻辑分布都是对称的，即 F（－t）＝1－F（t），其中 F（t）表示概率
fFra biblioteka
f P a
（2）截断被解释变量数据计量经济学模型的最大似然估计
如果已经知道截断被解释变量的概率密度凼数，可以采用最大似然法估计模型。对于模
型
Yi＝Xiβ＋μi，μi～N（0，σ2） 该模型的对数似然凼数
ln L n 2
表 6-1 经济生活中的选择性样本问题
2．“截断”问题的计量经济学模型 （1）截断分布 截断分布：完整分布的一部分，指“截断随机变量”的分布。 如果一个连续随机变量 ξ 的概率密度凼数为 f（ξ），a 为该随机变量分布范围内的一个 常数，那么有
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ln 2 ln 2
1
2 2
n
Yi
i 1
Xi 2
i
n 1
ln
1
a
X
i
的极大化条件为：
ln L
2
n i 1
Yi
Xi 2
i
Xi
1 2 2
当Yi 1,其概率为Xi 当Yi 0,其概率为1 Xi
南开大学计量经济学第6章自相关
经济模型中最常见的是一阶自回归形式。
T
ut ut1
依据 OLS 公式，模型 ut = 1 ut -1 + vt 中1 的估计公式是
aˆ1
=
t=2 T
。
ut12
t=2
若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是 ˆ =
T
ut ut1
t=2
。
T
T
ut 2
u t 1 2
（2）样本容量T
21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96
22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94 （3）原回归模型中解 23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92 释变量个数k（不包括
《Econometrics》 《计量经济学》
攸频
nkeconometrics126 南开大学经济学院数量经济研究所
第六章 自相关
Autocorrelation
§6.1 基本概念、类型及来源 §6.2 自相关的后果 §6.3 自相关的检验（DW检验、LM检验） §6.4 自相关的修正（GLS） §6.5 案例
同理，Cov(ut, ut - s) = s Var(ut)
自相关的表现形式
§6.1.3 自相关的来源
（1）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，即
具有惯性。 如：经济周期
棘轮效应
（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量
例如：如果对羊肉需求的正确模型应为
Yt=b0+b1X1t+b2X2t+b3X3t+ut
6.1 选择性样本模型
• 具体步骤
– 第一步：利用从全部企业（包括上市和未上市）中随 机抽取的样本，估计上市倾向模型 ；并利用估计结果 计算逆米尔斯比的值。
– 第二步，利用选择性样本观测值和计算得到的逆米尔 斯比的值，将(ρσ1)作为一个待估计参数，估计经理报 酬模型，得到β1的估计。
– 注意，在抽取样本时间必须保证所有选择性样本包含 于全部样本之中。
• 如果采用OLS直接估计原模型：
– 实际上忽略了一个非线性项； – 忽略了随机误差项实际上的异方差性。 – 这就造成参数估计量的偏误，而且如果不了解解释变
量的分布，要估计该偏误的严重性也是很困难的。
6、一点说明
• 如果对截断被解释变量数据计量经济学模型采用 最大似然估计，必须首先求得“截断分布”，为 此，必须存在明确的“截断点”。
• 被解释变量样本观测值受到限制。
二、“截断”数据计量经济学模型
1、思路
• 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的 样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不 同的。
– 一是，所抽取的部分个体的观测值都大于或者小于某 个确定值，即出现“掐头”或者“去尾”的现象，与 其它个体的观测值相比较，存在明显的“截断点”。
– 二是，所抽取的样本观测值来自于具有某些特征的部 分个体，但是样本观测值的大小与其它个体的观测值 相比较，并不存在明显的“截断点”。
• 样本选择受到限制。
19
3886.0
1313.9
3765.9
44
4140.4
2072.9
2390.2
20
2413.9
《计量经济学》复习 参数假设检验
2. 未知方差σ2, 检验假设μ = μ0
上面的讨论表明参数的假设检验中的检验统计量应 该满足：1）其值通过样本观察值计算出来；2）其 概率分布应该是完全确定的。
如果X的方差σ2未知，则统计量
Z X 0 ~ N (0, 1) n
不再符合要求。处理的方法是将Z的表达式中的σ2 用其样本方差代替。于是得到新的统计量
假设总体X服从正态分布，但总体方差σ2未知。设 X1, X2, …, Xn是X的一组样本。则要检验总体的均值 是否为µ0, 可以通过t检验进行。即对于给定的显著
性水平α，可以查t临界值表，得到临界值 t 2 。当
检验统计量T的值满足
| T | t 2
拒绝原假设，否则接受原假设。
若拒绝原假设，意味着有
T X 0 ~ t(n 1)
Sn
对于一个充分小的α（显著性水平），我们可以找
到一个临界值 t 2 使得
P{| T | t 2}
记将样本数据代入T统计量的表达式中计算的结果
为t，则若
| t | t 2
则表示出现了小概率事件 {| T | t 2}。这可能性
非常小，但竟然发生了。因此我们怀疑H0的真实 性，因此拒绝H0。
时拒绝原假设H0，否则接受H0。
α /2的 拒绝域
tα/2
而临界值 k t 2 的意义就是：k使得
P{| T | t 2}
设由样本数据计算得到t (t > 0)值，则随机变量T位 于t外侧的概率为P{T > t} = 1 – P{T t}
tα/2
-t
t
概率密度函数曲线下方去掉阴影部分后，剩下部分
得到
x 116.71
则我们将接受H0，但实际上电池的平均寿命为
古扎拉蒂《计量经济学基础》第6章
倒数模型
Yi
1
2(
1 Xi
)
ui
这一模型的特点：关于参数是线性的，但关
于变量是非线性的，所以从回归的角度看，这是
一个线性回归模型；当X趋于无穷大时，1/X趋于0，
而 Y则趋于β2。
一个例子：菲利普斯曲线
其中Y为通胀变化率，X为失业率，上半部 （较陡）表明，当失业率低于自然失业率时， 失业的单位变化（下降）引起的工资的变化率 （通胀）上升，其速度快于对应的在失业率高 于自然失业率时，失业的同样变化所引起的工 资下降（下半部较上半部平缓）。
yt 1 2 xt ut (绝对变化) R 2 0.67 ln yt 1 2 xt u（t 相对变化） R2 0.8
对数－线性模型
Yi 1 2 ln X i ui
X 变化一个百分比，Y的绝对变化量
2
Y X / X
Y
2 X
/
X
含义：Y的绝对变化（Y）等于2乘以X的相对变化。
（参数线性）
Yi
X e 2 ui 1i
ln Yi
ln 1
2
ln
Xi
ui
（参数线性）
Yi
X 2 1i
ui
ln Yi
ln(
1
X
i
2
ui )
（参数非线性）
运用OLS估计，假定：ln ui ~ i.i.d.N (0, 2 )
因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差 lnˆ ui
进行诊断，而不是对原始的残差。
要点与结论 1．有时一个回归模型并不明显包含截距项。 这样的模型被称为过原点回归。虽然估计这种模型 的代数方法很简单，但应小心使用这些模型。对于 这种模型，残差和是非零的；此外，通常计算的r2 不一定有意义。除非有很强的理论原因，否则还是 在模型中明显地引入一个截距为好。 2．因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关 键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元 是很重要的。在经验研究中，研究者不仅要注明数 据的来源，还要声明变量是怎样度量的。
计量经济学第6章 多元模型的矩阵运算
2 x1i yi (ˆ0 ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ) 0
2 xki yi (ˆ0 ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ) 0
写成矩阵形式，即：
ei 0
1 1 1 e1
x1i
ei
0或者：X
'
e
x11
x12
x1n
e2
0
2020年6月13日
制作人：熊义杰
5
6.1.3 参数的最小平方估计
根据总体方程式，对于一个给定的样本，显然有
Y Xˆ e 或 Yˆ Xˆ
(6 4)
其中：Yˆ是Y的估计值，ˆ是的估计值，e是U的估计值
而且：Yˆ
yˆ1
yˆ 2
,
ˆ
ˆ0 ˆ1
,
e
e1
e2
yˆ n
ˆk
xki
ei
0
xk1
xk 2
xkn
en
2020年6月13日
制作人：熊义杰
7
这时给Y Xˆ e左乘X ',得到：X 'Y X ' Xˆ X 'e
由于X 'e 0，且X ' X可逆，于是有：
ˆ ( X ' X )1 X 'Y
(6 5)
在上式中，(X’X)-1是一个k＋1阶方阵，X’是一个(k＋ 1)×n的矩阵，所以(X‘X)-1X’也是一个(k+1)×n的矩阵，与Y 相乘后应为一有k＋1个元素的列向量。
E ( ˆ0 E ( ˆ1
0 )(ˆk 1 ) (ˆ k
en
由于：ei yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki )
ei2
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因变量，ut-1是自变量，ρ是回归系数。由于vt满足
经典回归的全部基本假定，可用OLS法估计ρ：
n
ut ut1
ˆ t2 n ut21 t2
(6.1.3)
当样本容量很大时，有
n
ut2
n
ut2，1 于是(6.1.3)式
t2
t2
可以改写为
n
ut ut1
ˆ t2
第六章 自相关 【本章要点】（1）自相关的概念，自相关强度的 量度—自相关系数，了解经济现象中自相关产生 的原因；（2）自相关性对模型参数估计的影响； （3）检验自相关性的主要方法；（4）消除自相 关影响的方法。 §6.1 自相关 一、自相关的概念
如果经典回归的基本假定4遭到破坏，则
COV(ut ,us)=E(ut us)≠0 , t≠s , t,s=1,2, …,n,即u的取值与 它的前一期或前几期的取值相关，则称u存在序列相关 或自相关。 自相关有正自相关和负自相关之分，对随机项的时间 序列u1,u2,…,un,…，当ut > 0时，随后的若干个随机项 ut+1,u t+2,…都有大于0的倾向，当ut < 0时，随后若干个 随机项都有小于0的倾向，我们说u具有正相关性；而 负自相关则意味着两个相继的随机项ut和ut+1具有正负 号相反的倾向。在经济数据中，常见的是正自相关现象。
若ut的取值与它的前 s 期取值有关，即ut = f (ut-1, ut-2,…, ut-s)，则称这种相关为 s 阶自相关。二阶以上的自相关 统称为高阶自相关。
两个随机项在时间上相隔越远，前者对后者的影响 就越小。如果存在自相关的话，最强的自相关应表 现在相邻两个随机项之间，即一阶自相关是主要的。 因此，我们只讨论一阶自相关，而且假定这是一 种线性自相关，即具有一阶线性自回归形式：
二、产生自相关的原因 1.经济变量的惯性作用 2.模型中略去了具有自相关的解释变量 3.经济冲击的延续 4.模型设定的不正确 三、自相关强度的量度——自相关系数
假定u存在自相关，若ut的取值仅与前一期ut-1有关， 即ut = f (ut-1)，则称这种相关为一阶自相关。若ut不 仅与ut-1相关，而且还同ut-2相关，即ut = f (ut-1, ut-2)， 则称这种相关为二阶自相关。
1 0 0 0
1 2
0
0
1
0
1 2
0
0
0 0
0 0
0
1 2
0 1
(6.1.14)
1
n1 n2 n3
n1 n2
1
(6.1.10)
其中
2 u
1
2 v
2
代入(6.1.10)便有
1 2
E(UU )
2 v
1 2
1
n1 n2 n3
度的一个度量，ρ的绝对值的大小决定自相关的强弱。
四、ut的方差和协方差
由(6.1.1)式知
V (ut)
V (
ut1
vt)
2V
(u t 1)
V (vt)
2
2 u
2 v
即
2 u
2
2 u
2 v
(6.1.5)
(6.1.5)可以改写成：
2 u
1
2 v
2
(6.1.6)
2
2 u
(6.1.8)
类推下去，便有
COV
(ut
,ut )s
s
2 u
(6.1.9)
令U (u1,u2, ,un), 将上面的结论(6.1.6)、(6.1.7)、 (6.1.8)、(6.1.9)式合并在一起可用矩阵表示：
1 2
E(UU )
2 u
记
1
2
1
1
2
1
n1 n2 n3
n1 n2
1
n1
n2
1
(6.1.11)可写成 E(UU ) v2
(6.1.11) (6.1.12)
Ψ是一个(n×n)维正定对称矩阵，其逆矩阵为
ut ut1 vt 1 1
(6.1.1)
(6.1.1)式中ρ是一个常数，称为自相关系数， vt是Βιβλιοθήκη vt ~ N (0, v2)
E(vt vt) 0 (t t) E(us vt) 0 (t s)
(6.1.2)
(6.1.1)式可以看成是一个一元线性回归模型，ut是
再计算协方差
COV (ut ,ut 1) E(ut ut 1) E[( ut 1 vt)ut 1]
E(
u
) 2
t 1
2 u
(6.1.7)
COV (ut ,ut2) E[( ut1 vt)ut2]
E (u t 1u t 2)
E(vt
ut 2)
n
n
ut2
u2 t 1
(6.1.4)
t2 t2
(6.1.4)式右端的表达式完全符合样本相关系数的定 义，所以把ρ称为自相关系数是合理的。
当ρ＞0时，为正自相关，当ρ＜0时，为负自相关。
当ρ=0时，由式(6.1.1)知ut = vt，此时ut变为一个没有 自相关的随机变量。当ρ = ±1时，则ut与ut-1之间的 相关最强。可见，自相关系数ρ是一阶线性自相关强