13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质.pptx
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13. 等腰三角形的性质 PPT课件(华师大版)
分析：由上述操作可以得到启示，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
13.3.1等腰三角形(第1课时)课件
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD. B 在Rt△BAD和△RtCAD中， D C
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
小结归纳
1
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂 直于底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合. “三线合一”
布置作业
练习册P76 第11、12题（作业本上交） 练习册本课时其余做在书上
随堂练习
当堂测试
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD = ∠CAD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ _____，BD ____= ____. AD BC ，∠_____ BAD =∠_____. CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ AD ⊥____ BC ，_____ CD BD =_____. (3) ∵AD是角平分线，∴____
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC， 且∠B=80° ，则∠C= ___度， ∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
2等腰三角形顶角的 平分线，底边上的 ∴∠B=∠C（等边对等角） 中线和底边上的高 ∵∠B=80° （已知） 互相重合（等腰三 ∴∠C=80° 角形三线合一） 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C ∠A=20° B
等腰三角形 PPT课件
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证： AF⊥BC.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
形的底角的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角， 要分两种情况讨论．
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证： AF⊥BC.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
形的底角的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角， 要分两种情况讨论．
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
等腰三角形性质(课件)
腰
A
顶 角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边
叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的
夹角叫做底角.
第三页，共15页。
第四页，共15页。
活动2:探索等腰三角形性质
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线 段和角.
重合的线段
B
C
第六页，共15页。
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上
的中线，底边上的高互相重合.
（简称“三线合一” ）
A
等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线
(顶角平分线,底边上的高)所在直线
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC,垂足是D
∴∠ 1 = ∠ 2 , BD=CD
试一试！
1、已知等腰三角形的顶角是70o，则它的其它两
角的度数是 55o、55o 。
2、已知等腰三角形的底角是70o，则它的其它两
角的度数是 70o、40o 。
3、已知等腰三角形的一个内角是70o，则它的其 它两角的度数是 55o、55o或70o、40o 。
4.已知等腰三角形的一个内角是110°则它的其它
求∠ B和∠ C的度数
第十二页，共15页。
这节课我们学习了什么?
等 腰
1、求有关等腰三角形的问题，作
等边对等角
顶角平分线、底边中线，底边的 高是常用的辅助线；
三
角
形 的
等腰三角形
性
三线合一
质
3、数学思想方法：分类思想，转化思想
和方程思想 。
第十三页，共15页。
A
顶 角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边
叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的
夹角叫做底角.
第三页，共15页。
第四页，共15页。
活动2:探索等腰三角形性质
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线 段和角.
重合的线段
B
C
第六页，共15页。
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上
的中线，底边上的高互相重合.
（简称“三线合一” ）
A
等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线
(顶角平分线,底边上的高)所在直线
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC,垂足是D
∴∠ 1 = ∠ 2 , BD=CD
试一试！
1、已知等腰三角形的顶角是70o，则它的其它两
角的度数是 55o、55o 。
2、已知等腰三角形的底角是70o，则它的其它两
角的度数是 70o、40o 。
3、已知等腰三角形的一个内角是70o，则它的其 它两角的度数是 55o、55o或70o、40o 。
4.已知等腰三角形的一个内角是110°则它的其它
求∠ B和∠ C的度数
第十二页，共15页。
这节课我们学习了什么?
等 腰
1、求有关等腰三角形的问题，作
等边对等角
顶角平分线、底边中线，底边的 高是常用的辅助线；
三
角
形 的
等腰三角形
性
三线合一
质
3、数学思想方法：分类思想，转化思想
和方程思想 。
第十三页，共15页。
《等腰三角形的性质》优秀课件pptx
定义及特点定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
特点等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线；两腰相等，两底角相等。
与等边三角形关系区别等边三角形的三边都相等，三个角都是60度；而等腰三角形只有两边相等，两底角相等，顶角可以是任意角度（小于180度）。
联系等边三角形可以看作是特殊的等腰三角形，即当等腰三角形的顶角为60度时，它就变成了等边三角形。
03在建筑设计中，等腰三角形常被用于构建具有对称美的结构，如尖顶房屋、桥梁的支撑结构等。
建筑学在机械设计和制造中，等腰三角形的稳定性被广泛应用，如三脚架、起重机的支撑结构等。
工程学在解决一些实际问题时，等腰三角形可以作为数学模型，帮助我们理解和解决问题，如测量高度、计算角度等。
数学建模实际应用举例01等腰三角形定义有两边相等的三角形称为等腰三角形。
02两边相等定理内容等腰三角形的两个底角相等。
03定理证明方法通过构造中线或高，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
两角相等定理内容定理证明方法推论通过构造角平分线或中线，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
在等腰三角形中，若有一个角是60°，则这个三角形是等边三角形。
030201等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
对称性在等腰三角形中，若两条边相等，则对应的两个角也相等。
对称性推论1在等腰三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形是直角三角形，且直角在顶角处。
对称性推论2在等腰三角形中，若底边两端点到对称轴的距离相等，则这两个点是底边的两个三等分点。
对称性推论3对称性及其推论两条边相等根据等腰三角形的定义，若一个三角形有两条边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
两个角相等等腰三角形的两个底角相等，因此若一个三角形有两个角相等，则可根据此性质判定该三角形为等腰三角形。
13.3.1等腰三角形的性质课件
三线合一）
B
D
C
·→ 画出任意A一个等腰
三角形的底角平分线、 腰上的中线和高，看看 它们是否重合？
B
C
D
“三线合一”应该对应等腰三
角形的顶角平分线，底边上
的中线和底边上的高
B
A
E D
F
C
同步练习1
填空：在△ABC中，AB＝AC， D 在BC上， 1、如果AD⊥BC，那么∠BAD = ∠_C_A__D__,
• •
∠∠• 简ABAD称DB“==∠∠三AC线DA合DC，一，A”ADD为为顶底角边平上分的线高线
• BD=CD，AD为底边上的中线 A
等腰三角形的顶角
平分线、底边上的
中线、底边上的高
互相重合
B
C
D
等腰三角形的性质1 “边”和“角”必须在同一三角形
中！
等腰三角形的两底角相等.(简写成“等边对等
角”) 已知:如图，在△ABC中，AB=AC
考考你的能力!
如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB=AD=DC，∠BAC= 1050，求∠C的度数。
解: 设∠C=x0
∵在△ACD中，AD=DC
A
∴∠1=∠C=x0 （等边对等角）
1
同理可得：∠B=∠2
B
在△ACD中 ∠2=∠1+∠C=2x0
2
C
D
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
•
= 60°
练功房三
试一试你准行！
已知： 如图 AB=AC AD=AE 试
说明 BD=CE
解:作AF⊥BC垂足为点F ∵ AB=AC AD=AE (已知) ∴ BF=CF DF=EF(三线合一) ∴BF ﹣ DF=CF ﹣ EF(等式的性质)
13.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质【习题课件】八年级上册人教版数学
∴可得2 AC ＝10 cm，即 AC ＝ AB ＝5 cm.
∴ BC ＝3 cm.
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13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
基础通关
能力突破
素养达标
在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 上一点.
15.
(1)如图1，若 D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， DE
A. 7
D
)
B. 8
C. 6或8
D. 7或8
【解析】当 2 为底边长时，三角形的三边长为 3，2，3，可以构成三角
形，周长为 8；当 3 为底边长时，三角形的三边长为 3，2，2，可以构
成三角形，周长为 7.
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13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
条角平分线.其中，正确的有(
A. 1个
D
B. 2个
)
C. 3个
D. 4个
第8题图
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13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
基础通关
能力突破
素养达标
9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在边
∴ BC ＝3 cm.
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13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
基础通关
能力突破
素养达标
在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 上一点.
15.
(1)如图1，若 D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， DE
A. 7
D
)
B. 8
C. 6或8
D. 7或8
【解析】当 2 为底边长时，三角形的三边长为 3，2，3，可以构成三角
形，周长为 8；当 3 为底边长时，三角形的三边长为 3，2，2，可以构
成三角形，周长为 7.
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第1课时 等腰三角形的性质
条角平分线.其中，正确的有(
A. 1个
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C. 3个
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第8题图
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第1课时 等腰三角形的性质
基础通关
能力突破
素养达标
9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在边