北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《实际问题的函数刻画》教学设计二

《实际问题的函数刻画》教学设计二
教学设计
一、引入实例，创设情境
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数待征.
例1 某公司设计了一种新型的几何模板.经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元.另外，还投入了15万元用于研发.显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）
引导学生探索过程：
（1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围分别是什么？
（2）所涉及的变量的关系如何？
（3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
（4）总收益与哪些量有关系？你能写出总收益的函数关系式吗？
根据教师的引导启发，学生自主建立恰当的函数模型进行解答，然后交流、进行评析.
二、实例运用，巩固提高
例2 网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表（如下表），第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”.
（1）求鞋号关于脚长的函数模型.
（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗？
（3）一名脚长为262mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢？
让学生阅读例题，思考并提出疑问.
问题预设：
（1）从表中查不到“30号”的女童鞋对应的脚长，怎么办？
（2）从表中查不到脚长为262mm的女篮球运动员的鞋号，怎么办？
教师问其他学生有没有解决的办法.
生：把表制作的范围更大一些.
师：这是一个好主意，怎么把表格制作的范围更大一些呢？让表格中包含“30号”的女童鞋对应的脚长，也包含脚长为262mm的女篮球运动员对应的鞋号.
生：找表中数据的规律.
师：如何找规律？你能观察出表中数据的规律吗？
生：容易发现鞋号每增加一号，脚长增长5mm.
师：如何表示这种关系？
生：用函数表示.
师：你能写出函数关系式吗？请同学们制作一个范围更大的表格，自己解决例题中提出的问题.
教师还可以引导学生利用图象找表中数据的规律.
设计意图：让学生提出疑问，教师通过不断追问，引导学生找到解决问题的方法.让问题在不知不觉中得到解决，使学生从中体会到解决问题的乐趣.也让学生体会到了如何用函数刻画实际问题，培养学生数学建模的核心素养.
巩固练习：
1.如图，在一条弯曲的河道上，设置了,,,,,
A B C D E F六个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信
电缆长度（曲线段长度）就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系.
现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成刻画直线段长度的问题.将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A 为原点，,,AB b AC c ==,,AD d AE e AF f ===.
于是，水文监测站,,,,A B C D E 和F 的坐标就可以用0,,,,,b c d e f 表示出来.表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长
度()||||||||||f x x x b x c x d x e x f =+-+-+-+-+-∣∣.
设计意图：让学生自主完成，如果学生自己解决不了，可以讨论交流，体会以直代曲的思想，总结构建函数模型的过程.
2.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到12,,,n a a a ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 可以是这样一
个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的平方和最小.依此规定，请用12,,
,n a a a 表示出a .
解：假设所测量物理量为x ，误差的平方和为y ，则
()()()()222212122n n y x a x a x a nx a a a x =-+-++-=-++++
()2
2212n a a a +++，是关于x 的二次函数，当y 取最小值时，得12n a a a a n ++
+=
. 例3 现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，问能否将这把椅子四脚同时落地放稳？
师：对于这个问题，同学们有没有生活经验？如果没有这方面的生活经验，现在同学们就可以用自己的课桌或椅子体验一下.
学生根据生活经验或挪动自己的课桌或椅子得出结论：如果椅子没放稳，只要前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了.也就是说答案是肯定的.
师：谁能用我们所学的数学知识解释这一现象？
留充足的时间让学生思考、讨论、交流.
在学生思考交流的过程中，教师可以适当地引导：椅子不论放在哪个位置，
总可以使椅子的三只脚与地面接触.如果我们采用旋转的方法使椅子放稳，需要引入什么作为变量？
学生容易想到利用角作为变量进行分析.
师：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD ，对角线的交点为O ；以点O 为旋转中心，初始位置的AC 转过θ角时，记,C A 两点与地面距离之和为(),,f B D θ两点与地面距离之和为()g θ.因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有()()0f g θθ⋅=.记()()()F f g θθθ=-，显然函数()F θ的图象是不间断的曲线.你能用这一函数解释这一现象吗？
生：对于初始位置，不妨设()()00,00f g ︒︒=≥，那么()()000F g ︒︒=-≤.椅子旋转90，点D 转到点()()()(),9000,9000A g f f g ︒︒︒︒===≥，那么
()()90900F f ︒︒=≥.根据函数零点存在定理，可知在区间0,90︒︒⎡⎤⎣⎦上存在α，使
得()0F α=，即()()0f g αα==，所以这把椅子四脚能够同时落地放稳.
设计意图：让学生学会从数学的视角发现事物的规律，并用数学模型明确表示出来，这会给我们的生活或工作带来方便.这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性.另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释.
例4 加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量.现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如图），截面圆半径是120cm ，圆柱的长是400cm ，从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值()C k .其中1()sin ,,180k h C k k h r r
θ
θπ-=-=≤.
为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度h （单位：cm ）与油料量V （单位：L ）的对照表，该表的油料液面高度取值从0开始，最大为120cm ，间隔12cm （π取3.14，油料量精确到1L ）.
教师引导学生自主完成例4的解答过程.
解：如图，油槽截面的油料液面线为AB ，记油料液面高度h 时的油料的面积为()S h .依题意知221()()sin sin 180180h r S h r r h r r θθπθπθπ⎛⎫- ⎪=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭2(),()400().r C k V h S h π=
这里120cm r =，于是通过计算可得到油料的液面高度h 与油料量V 的对照表（略，学生自行完成）.
设计意图：这是一个非常实用的问题，要编制一份便于操作人员使用的油料估量表，这是学生以前很少遇到的问题，对学生来说有一定的难度.本例的目的也是让学生尽可能多地了解不同类型的问题情境和问题设计方式，以及解决不同类型问题的手段和方法.
三、归纳总结，巩固提升
引导学生共同小结实际问题的函数刻画方法：
（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题.
（2）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
四、布置作业
教材第137页练习第1题.
板书设计
教学研讨
本案例主要是通过例题让学生感受和体会函数在现实生活中的应用的广泛性，并了解用函数刻画实际问题的思维过程与方法.本案例是通过例题的教学让学生归纳总结研究问题的一般方法.对于例题的教学，采用让学生提出疑问、教师追问的方式，让学生的疑问逐渐明朗，使问题在不断的追问过程中得以解决，在问题的解决过程中让学生的能力得到提升.本案例只是预设了一般学生的疑问，对于不同层次、不同水平的学生来说，他们的疑问可能有所不同，教师在教学中可能要根据学生的情况多预设一些问题.。