高中数学《2、1实际问题的函数刻画》知识点+教案课件+习题
新北师大版高中数学必修1课件：第四章 §2 2.1 实际问题的函数刻画
题型一 题型二 题型三
题型三 易错辨析 易错点:应用问题中因题意理解不准确而致误 【例3】 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min), 按30元计费;超过500 min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过 短,即在1 min以下,则不计费,在1 min以上(包括1 min)60 min以下按 0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费. (1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式. (2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱? (3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多 少?
以f(x)也要分段求出,分别求出f(x)在各段中的最大值,通过比较,就
能确定f(x)的最大值.
题型一 题型二 题型三
解:(1)设月产量为 x 台,则总成本为(20 000+100x)元,
即
f(x)=
-
1 2
������2
+ 300������-20
000,0
≤
������
≤4Leabharlann 0,60 000-100������,������ > 400.
§2 实际问题的函数建模
2.1 实际问题的函数刻画
1.体会解决实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的 函数模型.
2.能运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
1.实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函 数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容. 2.常用函数模型
12345
2已知一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如 图,则图像所对应的函数模型是( )
北师大版高中数学必修一课件《4.2.1实际问题的函数刻画》
必修1第四章第2节
例题分析
例1、科学研究表明：当人的生活环境温度改变时,人 体代谢率也有相应的变化,下表是研究者给出的一组 实验数据。
环境温度
4 10 20 30 38
代谢率/41858J/(h·m2) 60 44 40 40.5 54
这组数据能说明什么？
对于环境温度只有唯一的 决定 人体代谢率与之对应
函数关系
必修1第四章第2节
将实验值在直角坐标系中表示出来. 并用折线把它们连接起来
环境温度与代谢率
①小于20℃的范围内是下降
②大于30℃的范围内是上升
③20℃～30℃较稳定 代谢率/4185J/(h·m2)
④环境温度太低或太
60 50
高,有较大影响
40 30
O10203040
必修1第四章第2节
温度/(℃)
f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|
A
B
CxD
E
F
必修1第四章第2节
随堂练习
1.义乌小商品城内有一种商品每个进价80元,零售价
100元.为了促进销售,开展购一件商品赠送一个小礼 品的活动,在一定的范围内,礼品价格每增加1元,销售
量增加10%.求利润与礼品价格n之间的函数关系.（可
对实验数据分析得到一个函数 描点,用折线连接得到一个新函数 定义域扩大到区间[4,38] 这是个环境温度与人体代谢的近似函数,它的函数 图像可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢 的关系
代谢率/4185J/(h·m2)
60 50 40 30
O10203040
必修1第四章第2节
2.1实际问题的函数刻画-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
2.1 实际问题的函数刻画-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解实际问题的函数刻画的基本概念；2.掌握常用函数的特征值与参数的关系；3.了解实际问题的函数模型的构建方法；4.提高学生对实际问题解决能力的培养。
二、教学重难点1.实际问题的函数刻画的基本概念；2.常用函数的特征值与参数的关系。
三、教学内容与方法1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.实际问题的函数刻画是指通过数学函数对实际问题进行描述和分析，进行问题解决的一种方式。
2.实际问题的函数刻画需要考虑问题的特点，如变化趋势、阈值、生命周期等。
教学方法：通过实际问题引入，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义，然后通过多个例题让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。
2. 常用函数的特征值与参数的关系1.常见的函数有线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的特征值和参数的关系不同。
2.线性函数的特征值为斜率和截距，参数为斜率和截距的值，用于刻画直线的特征。
3.指数函数的特征值为底数和指数，参数为底数和指数的值，用于刻画曲线的特征。
教学方法：通过对各种常见函数的特征值和参数的讲解，让学生对不同函数的刻画方法有所了解，可以通过多个例题进行巩固和练习。
四、教学过程1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.通过实际问题引入，如生产过程中的产量变化、物品的价格变化等，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义。
2.通过多组数据的表格展示和图像展示，让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。
3.按难度递增的顺序，分别进行例题讲解和练习。
2. 常用函数的特征值与参数的关系1.通过线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型的例题，讲解函数的特征值和参数的关系。
2.次数递增，难度递增的习题，巩固和练习学生所学的知识和技能。
五、教学反思本节课主要是让学生了解实际问题的函数刻画的基本概念，掌握常用函数的特征值和参数的关系，以及实际问题的函数模型的构建方法，并能够应用到解决实际问题中。
北师大版数学高一教案 2.1 实际问题的函数刻画
2.1实际问题的函数刻画教学目标1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．2．会利用函数图像性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．重点难点根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题．课时安排导入新课情境：有一大群兔子在喝水、嬉戏，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型．这一节我们将讨论不同函数模型的应用．新知探究提出问题①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).②A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.③分析以上实例属于哪种函数模型.讨论结果：①f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2x ＋90，30<x ≤40. ②y ＝5x 2＋52(100—x )2(10≤x ≤90)． ③分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．例题讲解例 1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图)．根据图像，可以看出下列性质：(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的；(2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．点评：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4,38]．对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图2所示(其中MN ∥CD )．(1)分别求出方案A ，B 应付话费(元)与通话时间x (分钟)的函数表达式f (x )和g (x )；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由．图2解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20，0≤x ≤100，310x －10，x >100，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50，0≤x ≤500，310x －100，x >500.(2)当f (x )＝g (x )时，310x －10＝50， ∴x ＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g (x )＞f (x )，故选择方案A ；当客户通话时间为x ＞200分钟时，g (x )＜f (x )，故选择方案B .例2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？图3解：总成本C 与产量x 的关系为C ＝200 000＋300x ；单成本P 与产量x 的关系为P ＝200 000x＋300； 销售收入R 与产量x 的关系为R ＝500x ；利润L 与产量x 的关系为L ＝R －C ＝200x －200 000.以上各式建立的是函数关系．(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x ＜1 000，则要亏损；若x ＝1 000，则利润为零；若x ＞1 000，则可盈利．这也可从图3看出，R 和C 的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零．(2)从单位成本与产量的关系P ＝200 000x＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．例3 如图4，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度)就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系．图4现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了刻画直线段长度的问题． 将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A 为原点，AB ＝b ，AC ＝c ，AD ＝d ，AE ＝e ，AF ＝f .于是，水文监测站A ，B ，C ，D ，E 和F 的坐标就可以用0，b ，c ，d ，e ，f 表示出来．表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度为f (x )＝|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |＋|x －e |＋|x －f |.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减．(1)求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期)．(精确到0.1.已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t 年后，ω＝500×0.9t .(2)解方程500×0.9t ＝250，则0.9t ＝0.5，所以t ＝lg 0.5lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈6.6(年)， 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A 型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得x (1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x ＝3 200(元)．(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得5 000(1－y )4＝3 200，解得y 1＝1－255，y 2＝1＋255(舍去)． 所以y ＝1－255≈0.11＝11%， 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元，则f ＝4x ＋3y ＋2z ，其中⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝360，12x ＋13y ＋14z ＝120，x ≥0，y ≥0，z ≥60，①②③ 由①②可得y ＝360－3x ，z ＝2x ，代入③得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，360－3x ≥0，2x ≥60，则有30≤x ≤120.故f ＝4x ＋3(360－3x )＋2·2x ＝1 080－x ，当x ＝30时，f max ＝1 080－30＝1 050.此时y ＝360－3x ＝270，z ＝2x ＝60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体，要细心体会．课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．作业习题4—2 A 组1.。
高一数学课件：4.2.1《实际问题的函数刻画》(北师大必修1)
4.2.1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系, 许多联系可以用函数刻画。
用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容。
问题1当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4・2给出了实验的一组数据，这些数据说明了什么？解在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；一个是人体的代谢率。
不难看出，对于每1个环境温度都有唯1的人体代谢率与之对应, 这就决定了一个函数关系。
实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。
在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。
(如图4・5) 倔根据图象，可以看出下列性质：埸(1) 代谢率曲线在小于2(PC的范围是下降的，在大约3(PC的范围内是上升的；(2) 环境温度在2(FC〜3(PC时，代谢率较底, 并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影］响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保;2(PC〜3(PC之间，这样可以使环境温度影响最小。
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确由｛4, 10, 20, 30, 38｝到｛60, 44, 40.5, 54｝的一个函数,通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新函数，定义域扩大到区间［4, 38］o对于实际的环境温度与人体代谢关系来说，就是一个近似函数关系，它的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关系。
问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量X对总成本C,单位成本P,销售收入R及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解总成本C与产量x的关系C=200000+300x；单位成本P与产量x的关系P=300+200000/X；销售收入R与产量X的关系R=500x ；利润L与产的量x关系L=R-C=200x-200000o以上各式建立的是函数关系。
高中数学 4.2.1《实际问题的函数刻画》学案 北师大版必修1
课题：实际问题的函数刻画【目标要求】〖学习目标〗1、知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。
2、会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。
3、知道函数的一些模型。
如正反比列函数、一次函数。
〖学习重点、难点〗用函数观点刻画实际问题。
（重点）准确理解题意，理解变量间的关系。
（难点）【过程方法】〖预习提要〗一、问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？（⒈）在这个实际问题中出现了几个变量？它们之间能确定函数关系吗？为什么？（2）、结合图4-5分析代谢率在什么范围下降，什么范围上升？（3）温度在什么范围内代谢率变化较小比较稳定，什么范围代谢率变化较大？二、问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量z对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？（1）总成本C与产量x的关系是什么？（2）单位成本P与产量x的关系是什么？（3）销售收入R与产量x的关系是什么？（4）利润L与产量x的关系是什么？（5）利润关系式是什么函数？当x取何值时亏损、盈利？〖预习反馈〗⒈⒉〖精讲释疑〗问题三、问题3如图4-7，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？〖检测拓展〗类型一：数学模型为正比列、反比列函数的问题cm的速度向容器内注入1、一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm，现以每秒S3某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。
2、有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。
（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《实际问题的函数刻画》教学设计二
《实际问题的函数刻画》教学设计二教学设计一、引入实例，创设情境在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数待征.例1 某公司设计了一种新型的几何模板.经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元.另外，还投入了15万元用于研发.显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）引导学生探索过程：（1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围分别是什么？（2）所涉及的变量的关系如何？（3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？（4）总收益与哪些量有关系？你能写出总收益的函数关系式吗？根据教师的引导启发，学生自主建立恰当的函数模型进行解答，然后交流、进行评析.二、实例运用，巩固提高例2 网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表（如下表），第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”.（1）求鞋号关于脚长的函数模型.（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗？（3）一名脚长为262mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢？让学生阅读例题，思考并提出疑问.问题预设：（1）从表中查不到“30号”的女童鞋对应的脚长，怎么办？（2）从表中查不到脚长为262mm的女篮球运动员的鞋号，怎么办？教师问其他学生有没有解决的办法.生：把表制作的范围更大一些.师：这是一个好主意，怎么把表格制作的范围更大一些呢？让表格中包含“30号”的女童鞋对应的脚长，也包含脚长为262mm的女篮球运动员对应的鞋号.生：找表中数据的规律.师：如何找规律？你能观察出表中数据的规律吗？生：容易发现鞋号每增加一号，脚长增长5mm.师：如何表示这种关系？生：用函数表示.师：你能写出函数关系式吗？请同学们制作一个范围更大的表格，自己解决例题中提出的问题.教师还可以引导学生利用图象找表中数据的规律.设计意图：让学生提出疑问，教师通过不断追问，引导学生找到解决问题的方法.让问题在不知不觉中得到解决，使学生从中体会到解决问题的乐趣.也让学生体会到了如何用函数刻画实际问题，培养学生数学建模的核心素养.巩固练习：1.如图，在一条弯曲的河道上，设置了,,,,,A B C D E F六个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度（曲线段长度）就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系.现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成刻画直线段长度的问题.将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A 为原点，,,AB b AC c ==,,AD d AE e AF f ===.于是，水文监测站,,,,A B C D E 和F 的坐标就可以用0,,,,,b c d e f 表示出来.表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度()||||||||||f x x x b x c x d x e x f =+-+-+-+-+-∣∣.设计意图：让学生自主完成，如果学生自己解决不了，可以讨论交流，体会以直代曲的思想，总结构建函数模型的过程.2.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到12,,,n a a a ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 可以是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的平方和最小.依此规定，请用12,,,n a a a 表示出a .解：假设所测量物理量为x ，误差的平方和为y ，则()()()()222212122n n y x a x a x a nx a a a x =-+-++-=-++++()22212n a a a +++，是关于x 的二次函数，当y 取最小值时，得12n a a a a n +++=. 例3 现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，问能否将这把椅子四脚同时落地放稳？师：对于这个问题，同学们有没有生活经验？如果没有这方面的生活经验，现在同学们就可以用自己的课桌或椅子体验一下.学生根据生活经验或挪动自己的课桌或椅子得出结论：如果椅子没放稳，只要前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了.也就是说答案是肯定的.师：谁能用我们所学的数学知识解释这一现象？留充足的时间让学生思考、讨论、交流.在学生思考交流的过程中，教师可以适当地引导：椅子不论放在哪个位置，总可以使椅子的三只脚与地面接触.如果我们采用旋转的方法使椅子放稳，需要引入什么作为变量？学生容易想到利用角作为变量进行分析.师：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD ，对角线的交点为O ；以点O 为旋转中心，初始位置的AC 转过θ角时，记,C A 两点与地面距离之和为(),,f B D θ两点与地面距离之和为()g θ.因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有()()0f g θθ⋅=.记()()()F f g θθθ=-，显然函数()F θ的图象是不间断的曲线.你能用这一函数解释这一现象吗？生：对于初始位置，不妨设()()00,00f g ︒︒=≥，那么()()000F g ︒︒=-≤.椅子旋转90，点D 转到点()()()(),9000,9000A g f f g ︒︒︒︒===≥，那么()()90900F f ︒︒=≥.根据函数零点存在定理，可知在区间0,90︒︒⎡⎤⎣⎦上存在α，使得()0F α=，即()()0f g αα==，所以这把椅子四脚能够同时落地放稳.设计意图：让学生学会从数学的视角发现事物的规律，并用数学模型明确表示出来，这会给我们的生活或工作带来方便.这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性.另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释.例4 加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量.现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如图），截面圆半径是120cm ，圆柱的长是400cm ，从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值()C k .其中1()sin ,,180k h C k k h r rθθπ-=-=≤.为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度h （单位：cm ）与油料量V （单位：L ）的对照表，该表的油料液面高度取值从0开始，最大为120cm ，间隔12cm （π取3.14，油料量精确到1L ）.教师引导学生自主完成例4的解答过程.解：如图，油槽截面的油料液面线为AB ，记油料液面高度h 时的油料的面积为()S h .依题意知221()()sin sin 180180h r S h r r h r r θθπθπθπ⎛⎫- ⎪=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭2(),()400().r C k V h S h π=这里120cm r =，于是通过计算可得到油料的液面高度h 与油料量V 的对照表（略，学生自行完成）.设计意图：这是一个非常实用的问题，要编制一份便于操作人员使用的油料估量表，这是学生以前很少遇到的问题，对学生来说有一定的难度.本例的目的也是让学生尽可能多地了解不同类型的问题情境和问题设计方式，以及解决不同类型问题的手段和方法.三、归纳总结，巩固提升引导学生共同小结实际问题的函数刻画方法：（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题.（2）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.四、布置作业教材第137页练习第1题.板书设计教学研讨本案例主要是通过例题让学生感受和体会函数在现实生活中的应用的广泛性，并了解用函数刻画实际问题的思维过程与方法.本案例是通过例题的教学让学生归纳总结研究问题的一般方法.对于例题的教学，采用让学生提出疑问、教师追问的方式，让学生的疑问逐渐明朗，使问题在不断的追问过程中得以解决，在问题的解决过程中让学生的能力得到提升.本案例只是预设了一般学生的疑问，对于不同层次、不同水平的学生来说，他们的疑问可能有所不同，教师在教学中可能要根据学生的情况多预设一些问题.。
《实际问题的函数刻画(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】
一新型气枪发射子弹的速度与枪管的半径的四次方成正比，已知枪管直径为时，子弹速度为．若用管道半径为的气枪瞄准高空中一水平飞行的物体，子弹发出秒打中，则子弹发射走过的路程为( )A．15 430 cm B．15 430 m C．3 086 cm D．3 086 m
解：（1）观察上表，设脚长（新鞋码）、鞋号（旧鞋码）分别为，，将每一对数，对应的数对用平面直角坐标系的点来表示，如右图：可以看出，这些点在一条直线上，不妨将这条直线表示为．利用表格中的任意两组数，得，．因此．
解：（2）当时，，即能穿号鞋的女童的脚长不超过．（3）当时，，即脚长为的女篮球运动员应穿43号的鞋．
若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？
若第对轧辊有缺陷，经过第对轧辊后，带钢厚度变为，则有，解得：．相邻疵点间距为轧辊周长，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积为．… …所以，若第对轧辊有缺陷，则在该处输出的相邻疵点间的带钢体积为，．
如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成，所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？
某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元
B
解：依题意可设甲销售辆，则乙销售辆，总利润，则总利润，，所以当时，(万元)．故选：B．
令，解得：．故该公司若想盈利万元，应生产件该产品．
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知识点：
一、知识引入
函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。
函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。
你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？
依据定义找到函数零点： -1,1,3。
1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？
零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。
（零点即交点）
2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一负。
（即f(a)f(b)﹤0）
3、此类零点称为变号零点。
作出函数图像确定函数有没有零点？
能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？
得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b）上。
零点的判断方法：
（1）几何法：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。
（2）代数法：零点存在定理
•函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。
‚满足f(a)f(b)﹤0
则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。
如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。
视频教学：
练习：
1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
2．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0＜x＜1)．
(1)设第n(n∈N*)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a倍，请用a，n表示x；
(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%?
参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477
3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( ）
课件：
教案：
【教学目标】
1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。
2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。
3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。
【教学重点】
知道怎样用数学知识刻画实际问题。
【教学难点】
1．用数学知识解读实际问题。
2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。
【教学过程】
一、阅读交流问题1：
某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。
经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。
显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。
当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？
提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？
（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？（4）上述规律有什么现实指导意义？解：设产量为x，总收益为y。
（1）
*60150000(N)yxx。
（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。
（3）数学知识诠释：
①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。
若x<2500，则要亏损；若x=2500 ，则利润为零；若x>2500，则可赢利。
②单位成本P与产量x 的关系x
P150000
130可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。
问题2：
网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。
（1）脚长和鞋号有什么关系呢？
（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？解：
（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。
从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；
（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；
（ 3 ）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。
（4）可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+B．利用表中任意两组数，得到k=0.2，b=－10.所以y=0.2x－10这就是鞋号关于脚长的函数模型。
当y=30时，x=200.能穿30号鞋的女童的脚长估计是200mm。
当x=262时，y=42.4．脚长为262mm的女运动员应穿43号的鞋。
二、课堂练习
如图，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
交流：（1）本题目要解决的问题是什么？（2）题中是否存在函数关系？（3）怎样求题目中的函数关系？三、课堂小结1．本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画。
（1）认真读题，慎密审题。
（2）引进数学符号，建立数学模型。
（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题。
2．应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题。