新北师大版必修第一册 5.2.1 实际问题的函数刻画 同步练习

2.1实际问题的函数刻画必备知识基础练知识点一由已知变量关系刻画函数1.其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0＜x＜1)．(1)设第n(n∈N*)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a 倍，请用a，n表示x；(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%?参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477知识点二由图表信息刻画函数3.h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()4身高/cm体重/kg60 6.13707.90809.999012.1510015.0211017.5012020.9213026.8614031.1115038.8516047.2517055.05(1)较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的关系？试写出这个函数的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？关键能力综合练1．某公司市场营销人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的月收入是()A．3 100元B．3 000元C．2 900元D．2 800元2．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)的是()A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v 与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系3．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为x 23456789y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99C．指数函数关系D．对数函数关系4．某公司生产一批产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则利润取最大值时，产量x为()A．55台B．120台C．150台D．180台5．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()6．如图，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a e－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－a e－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过________桶(1)中的水只有a8.()A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟7．某化工厂2019年的年产量是2016年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．9．(探究题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．10．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电的价格调至0.55元/度～0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?(收益＝用电量×(实际电的价格－成本价))学科素养升级练1．(多选题)部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以每小时60千米的速度由A地到达B地，在B地停留一小时后再以每小时50千米的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是______________．3．(情境命题—生活情境)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时，利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．§2 实际问题中的函数模型2．1 实际问题的函数刻画必备知识基础练1．解析：根据题意可知，存车总收入y (元)与x 的函数关系式是y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1200(0≤x ≤4000)，故选D.答案：D2．解析：(1)依题意得(1－x )n ＝a ，则1－x ＝n a ，所以x ＝1－na (n ∈N *)．(2)设第n 年的年产能不超过2018年的年产能的25%，则(1－10%)n ≤25%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ≤14，n lg 910≤lg 14，n (2lg 3－1)≤－2lg 2， n ≥2lg 21－2lg 3. 因为2lg 21－2lg 3≈2×0.3011－2×0.477＝30123，所以n ≥30123. 因为13＜30123＜14，且n ∈N *，所以n 的最小值为14.所以至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%.3．解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t 1]时间段内上升慢，在[t 1，t 2]时间段内上升快，所以得下面的柱体横截面面积大，上面的柱体横截面面积小，故选A.答案：A4．解析：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出已知数据对应的点，根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x ，得⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将其他数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x ，得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98，由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．关键能力综合练1．解析：设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝8 000，2k ＋b ＝13 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5 000，b ＝3 000， ∴y ＝5 000x ＋3 000，当x ＝0时，y ＝3 000，∴营销人员没有销售量时的月收入是3 000元．答案：B2．解析：A ：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；B ：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；C ：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系是反比例函数关系；D ：信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系．故选B. 答案：B3．解析：观察图表中函数值y 随自变量x 变化的规律可知，随着自变量x 增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数．故选D.答案：D4．解析：设利润为z 万元，则z ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1·(x －180)2＋240.当x ＝180时，利润z 取最大值，选D.答案：D5．解析：20至30分钟时距离没有变化，故选D.答案：D6．解析：由题意得a e －5n ＝a －a e －5n ，e －n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215.设再经过t 分钟，桶(1)中的水只有a 8，得a e －n (t ＋5)＝a 8，则t ＋55＝3，解得t ＝10.答案：D7．解析：设2016年年产量是a ，则2019年年产量是na ，设年平均增长率为x ，则na ＝a (1＋x )3，解得x ＝3n －1. 答案：3n －18．解析：∵y ＝a ·(0.5)x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．答案：1.759．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，达到120元，又∵x ＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元)．(2)解法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x 元，设总价为a 元(a ≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为0.8(a －x )a ＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a ， ∴当a 越小时，此比值越小．又a 最小为120元(即买两盒草莓)，∴0.8(120－x )≥120×0.7，解得x ≤15.∴x 的最大值为15.解法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x 元，这时x 占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x 值最大．由此列式得(120－x )×0.8＝120×0.7，解得x ＝15.∴x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1510．解析：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝k x －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2， 所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)． (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)， 整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电的价格调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.学科素养升级练1．解析：因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的．故A 错误；因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越缓．故B 正确；球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．故C 正确；图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，下半体越来越快，上半体越来越慢，即图象先变陡再变平缓．故D 正确．故选B 、C 、D.答案：BCD2．解析：由题意可得该函数为分段函数，由A 地到B 地需2.5小时，在B 地停留一小时时，汽车离开A 地的距离x 不变，为150千米，之后以每小时50千米的速度返回A 地需3小时，故所求表达式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5＜t ≤6.5).即x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，－50t ＋325(3.5＜t ≤6.5).答案：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，－50t ＋325(3.5＜t ≤6.5).3．解析：(1)当礼品价格为n 元时，销售量为m (1＋10%)n 件，故利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n ＝(20－n )·m ·1.1n (0＜n ＜20，n ∈N ＋)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )·m ·1.1n ＋1－(20－n )·m ·1.1n ≥0，解得n ≤9.所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9＝y 10.令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )·m ·1.1n ＋1－(18－n )·m ·1.1n ＋2≥0，解得n ≥8.所以y 9＝y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．。