悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能 -回复
弹性力学题 杨桂通课后答 案汇总
一组：蔡晓光 马彦波 王露萌 韩鑫 史美珺； 题目：杨桂通P27,1~6、P28,1（P27,3未找到）P27,2-1,已知一点处的应力状态为Pa31000001060612⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡，试求该点处的最大主应力及主方向。
解：22010121=++=++=z y x I σσσ8400600101022222=---++⨯=---++=zx yz XY x z z y y x Z Z Z I σσσσσσ00010606123==I解三次方程032213=-+-I I I n n n σσσ即0842223=+-n n nσσσ可得0=nσ ()PaPa n 33210917.410083.178********⨯⨯=⨯-±=σ 故Pa 3110083.17⨯=σ Pa 3210917.4⨯=σ 03=σ 即该点处的最大主应力为Pa 310083.17⨯ 当Pa n 3110083.17⨯=σ时0)(321=++-l l l xz xy n x ττσσ0)(321=+-+l l l yz n y xy τσστ0)(321=-++l l l n z yz xz τσττ即0010610)083.1712(32313=⨯+⨯+⨯-l l l0010)083.1710(10632313=⨯+⨯-+⨯l l l010)083.170(003321=⨯-+⨯+⨯l l l又由1232221=++l l l 可得763.01=l 646.02=l 03=l由763.0)cos(1=•=x n l 得‘。
164027.40)(==•x n 因此该点处的最大主应力为Pa 310083.17⨯主方向为1σ与x 轴的夹角为‘。
1640P27，2-2，试用初等理论求出受均布荷载作用的简支梁（矩形截面）的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡方程与边界条件 解：由材料力学可知：y B Ay q q I y I My x x l x 222)2181(-=-==σ y y hBx Cx I qx I QS xy 222)28(+-=--==τIq A l82=,I qB 2=,I qC h82=平衡方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y xyx y xy xy x σττσ 把上式代入到第一个平衡方程中去，满足；由第二个方程得 D BCy dy xyxy y +-=∂∂⎰-=33τσ利用边界条件：02/=-∂h y y ，得2q D -=满足边界条件q h y y -=-2/σ由第二式可知，它满足上下两个表面的边界条件：02/=±h y xy τ由左右边界上：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎰-22222/2/l x qll x ql dy xy h h τ利用圣维南原理知其边界条件满足P27，2-3，试证在坐标变换时，1I 为一不变量。
(整理)第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
板壳理论-14章
z
z
dz
z
zt 2 zt 2
0
q
q
郑州大学
板壳理论
§ 14.7伽辽金法
zx
2
E
1 m2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 m2
z2
t2 4
y
2w
t t
2 2
zx
x
zy
y
dz
t2
E
t 2 2 1 m 2
z2
t2 4
4
wdz
E
2 1 m2
b
1
cos
x
a
dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
D 4wwmdxdy
C11
L
1
cos
y
b
1
cos
x
a
dxdy
4DC11
a 0
b 0
a
4
cos
x
a
1
cos
y
b
2
1
cos
x
a
b
4
cos
y
b
1
cos
y
b
1
cos
x
2
y2 b2 dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
进一步得到挠度为
w 7q0 x2 a2 2 y2 b2 2
128
a4
b4
4 7
a2b2
D
如果b=a，则
w
49q0a4 2304D
1
x2 a2
2
1
y2 a2
2
精确解
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
第二章 CAE技术的核心
第二章CAE技术的核心—有限元法：概念与原理上一章简要地讨论了CAE的基本概念，并指出：凡是可以用于产品性能分析、评估与优化的数值仿真方法，都应归属于CAE技术。
在当前被广泛应用的CAE方法中，有限元法最有代表性。
有限元方法之所以获得广泛的应用，是因为它的数值仿真内涵十分丰富，例如：●静力仿真——其中包括材料非线性、几何非线性、边界条件非线性●动态仿真——其中包括模态、瞬态、频谱●屈曲和失稳仿真——其中包括线性屈曲、非线性屈曲、后屈曲●热仿真——其中包括稳态/瞬态热传导、幅射分析、金属相变分析●失效/破坏仿真——其中包括裂纹扩展、疲劳破坏、内部缺陷●耦合仿真——其中包括流—结构耦合、热—结构耦合、电—磁耦合●接触仿真——其中包括静态接触、动态接触●制造工艺仿真——其中包括锻造、挤压、拉伸、铸造、轧辗、冲压、超塑、蠕变、焊接自从1943年Courant第一次正式发表他的有限元思想，到20世纪60年代Clough第一次公开提出“有限元单元法”之后的几十年里，有限元法的理论已经相当成熟。
对有限元理论有兴趣的读者可以从本书所列的参考专著中深刻领会。
在这一章里，讨论的重点不是较深的有限元理论，而是从工程应用的角度介绍有限元法最基本的概念与最核心的基本思想。
之所以将重点放在这里，其基本出发点是：（1）有限元法的理论基础非常坚实，然而并不神秘；（2）把握住有限元法的基本思想是创建一个品质优良模型的必要条件，“黑箱”模式不可能创建出一个好的计算模型；（3）对有限元法的理解有助于消化CAE的其它方法。
第一节平衡状态与微分方程施加给一个结构的外力不随时间变化或基本不随时间变化时，所研究的对象是一个静平衡问题。
反之，当外力随时间明显变化时，所研究的对象则是一个动力问题，然而，不论是静力问题，还是动力问题，从数学角度看，其力学模型的实质就是求解一个或一组微分或偏微分方程。
首先从一个简单的静力平衡的微分方程问题入手。
设有一个承受均匀载荷的小变形悬臂粱如图2-1所示。
建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计
第一章概述建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。
前者指结构或构件达到最大承载力或达到不适于继续承载的变形时的极限状态;后者为结构或构件达到正常使用的某项规定限值时的极限状态［1］。
钢结构可能出现的承载能力极限状态有：①结构构件或连接因材料强度被超过而破坏；②结构转变为机动体系；③整个结构或其中一部分作为刚体失去平衡而倾覆；④结构或构件丧失稳定；⑤结构出现过度塑性变形，不适于继续承载；⑥在重复荷载下构件疲劳断裂。
其中稳定问题是钢结构的突出问题，在各种类型的钢结构中，都可能遇到稳定问题，因稳定问题处理不利造成的事故也时有发生。
1.1钢结构的失稳破坏钢结构因其优良的性能被广泛地应用于大跨度结构、重型厂房、高层建筑、高耸构筑物、轻型钢结构和桥梁结构等。
如果钢结构发生事故则会造成很大损失。
1907年，加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥，在用悬臂法架设桥的中跨桥架时，由于悬臂的受压下弦失稳，导致桥架倒塌，9000t钢结构变成一堆废铁，桥上施工人员75人罹难。
大跨度箱形截面钢桥在1970年前后曾出现多次事故⑵。
美国哈特福德市(Hartford City)的一座体育馆网架屋盖，平面尺寸92mX110m，该体育馆交付使用后，于1987年1月18日夜突然坍塌［3］。
由于网架杆件采用了4个等肢角钢组成的十字形截面，其抗扭刚度较差；加之为压杆设置的支撑杆有偏心，不能起到预期的减少计算长度的作用，导致网架破坏⑷。
20世纪80年代，在我国也发生了数起因钢构件失稳而导致的事故［5］。
科纳科夫和马霍夫曾分析前苏联1951-1977年期间所发生的59起重大钢结构事故，其中 17起事故是由于结构的整体或局部失稳造成的。
如原古比雪夫列宁冶金厂锻压车间在1957年末，7棉钢屋架因压杆提前屈曲，连同1200 m2屋盖突然塌落。
高层建筑钢结构在地震中因失稳而破坏也不乏其例。
1985年9月19日，墨西哥城湖泊沉淀区发生8.1级强震，持时长达180s，只隔36h又发生一次7.5级强余震。
高等桥梁结构理论课程讲义-PPT
P ，根据初等梁理论，在平行于BC边的各
截面上均会产生一沿BC方向均匀分布的应
力，即
z
Mx Ix
(h)const 2
图2-14 悬臂箱梁上翼缘正应力分布
而实际上，矩形断面的剪力流在翼缘板传递过程中，由于翼缘板剪切变形的影响，
故靠近腹板附近的剪力流大，靠近翼缘板中心处较小，导致翼缘板的正应力靠近
腹板处较大远离腹板处较小，即在平行于BC边的各截面上产生的正应力 沿BC边
U w
1 2
EIweb
d 2w dx2
2
dx
U su
1 2
tu
(
E
2 xu
G
2 u
)dxdy
U xb
1 2
tb
(E
2 xb
G
2 b
)dxdy
(2-67) （2-68） （2-69）
11
xu
uu (x, x
y) ; u
uu (x, y
y)
xb
ub (x, x
y) ; b
ub (x, y
y)
M (x) EI
1
3 4
Is I
u'(x)
（2-85）
当 y b 时，
xw
Ehi
M (x)
EI
3 4
Is I
u'(x)
式（2-80b）消去 u(x) ，则得到挠度的四阶微分方程：
d 2w dx2
2
dx
1
2
I
s
E
(w)"
3 2
w"u' 9 14
(u')2
9G 5b 2
u2
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悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能-回复
悬臂薄板是一种常见的结构形式，常用于桥梁、楼板等工程中。
当悬臂薄板受到外力作用时，会发生弯曲变形。
为了研究悬臂薄板的弯曲性能，我们可以计算其弯曲应变能。
本文将一步一步回答关于悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能这一主题。
第一步：理解悬臂薄板的基本特性
首先，我们需要了解悬臂薄板的基本特性。
悬臂薄板指的是在一侧固定支撑的矩形板材。
当悬臂薄板受到外力作用时，会在受力方向产生弯曲。
在弯曲过程中，悬臂薄板的顶面受到压应力，底面受到拉应力。
第二步：推导悬臂薄板的弯曲应变能公式
为了计算悬臂薄板的弯曲应变能，我们需要推导出相应的公式。
在受外力均布荷载的情况下，假设悬臂薄板长度为L，宽度为B，厚度为H，荷载为P，则在悬臂薄板上的应力分布近似为一线性分布。
根据悬臂薄板的受力分析，我们可以得到弯矩M在任意位置x处的表达式为M=P(L-x)，其中x为悬臂薄板距离固定支点的位置。
引入弯矩和应变之间的关系，我们可以得到悬臂薄板上的弯曲应变分布表达式ε=M/(E·H)，其中E为悬臂薄板的杨氏模量。
将弯矩表达式代入，我们可以得到ε=P(L-x)/(E·H)。
第三步：计算悬臂薄板的总弯曲应变能
为了计算悬臂薄板的总弯曲应变能，我们需要将悬臂薄板分成若干个小段，每个小段的弯曲应变能为dW。
然后将每个小段的弯曲应变能相加，得到总的弯曲应变能W。
考虑悬臂薄板的形状，我们可以假设每个小段的长度为dx，宽度为B，厚度为H，则每个小段的体积为dV=B·H·dx。
由弯曲应变分布表达式可知，每个小段的弯曲应变为ε=P(L-x)/(E·H)。
根据最小势能原理，每个小段的弯曲应变能为dW=1/2·σ·ε·dV，其中σ为应力。
由于应力分布近似为线性分布，在顶面处为σmax，底面处为σmin，则σ=(σmax+σmin)/2。
将上述所有参数代入，我们可以得到每个小段的弯曲应变能表达式
dW=1/2·(σmax+σmin)·[P(L-x)/(E·H)]·B·H·dx。
第四步：积分求解总弯曲应变能
为了得到总弯曲应变能W，我们需要将所有小段的弯曲应变能相加，即进行积分。
将前面推导的每个小段的弯曲应变能表达式代入积分，我们可以得到总弯曲应变能W的表达式如下：
W=∫[0,L](1/2·(σmax+σmin)·[P(L-x)/(E·H)]·B·H·dx)
对上式进行积分计算，可以得到悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能的具体数值。
第五步：计算例子
为了更好地理解上述推导和计算过程，我们可以通过一个实际例子来计算悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能。
假设悬臂薄板的材料为钢，其杨氏模量为200 GPa。
考虑一块长度为4 m，宽度为0.5 m，厚度为0.01 m 的钢板，承受均布荷载为1000 N/m。
代入上述参数，我们可以计算出悬臂薄板的总弯曲应变能。
第六步：结论和应用
通过上述计算，我们可以得到悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能。
该应变能的计算对于评估悬臂薄板的承载能力、结构安全性以及设计修正因数等方面具有重要意义。
通过对悬臂薄板的弯曲应变能计算，可以为工程设计和结构优化提供参考依据，从而确保悬臂薄板在实际工程中的安全可靠性。
总之，悬臂薄板受外力均布荷载的弯曲应变能是通过推导和计算得到的。
了解悬臂薄板的基本特性，推导出弯曲应变能的表达式，进行积分求解，最终得到总弯曲应变能的数值。
这一计算过程对于工程设计和结构安全评估具有重要意义。