2019年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题(word版附答案)

2019年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1．下列运算结果中正确的是( ) A ．B ．C ．D ．2．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，平均数，则下列各式一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．3．若一次函数y x k =+与反比例函数k y x =的图像没有．．公共点，则的值可以是( ) A ．–5B ．–4C ．–2D ．24．如图，四边形AODC 是边长为1的正方形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点M 在线段AB 上，MN ⊥AB ，且MN 交CD 或交弧DB 于点N ，设AM ＝x(0≤x ≤2)，图中阴影部分表示的平面图形AMNC(或AMNDC)的面积为y ，则y 关于x 的函数的大致图象是( )ABCD5．如图，在半径为1，圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A ．142π- B ．184π-C ．234-πD ．438-π6．有下列四个命题：①若a b =，则ac bc =；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是，其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．在函数y =中，自变量x 的取值范围为( )A ．4x ≤-或2x ≥B ．41x -<<且0x ≠C ．41x -≤≤且0x ≠D ．41x -≤<且0x ≠8．把一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次向上的点数之和不小于9的概率是( )13.18A 4.11B 5.18C 1.6D 2a a =()32626a a -=-236a a a ⋅=53222a a a a ÷=+x 1x 2x …100x a 1x 2x …30x b 31x 32x …100x 7030100a bx +=3070100a bx +=2a bx +=x a b =+k x y <22x y <24x ≠2x ≠2210kx x +-=k 1k ≥-0223234x x x x x -++--+9．方程2220x x --=的实数根可视为函数2y x =-的图像与函数2y x=的图像公共点的横坐标，则方程3210x x --=的正实数根0x 所在的范围是( )2311.0+<<x A 23231.0<<+x B 26123.0+<<x C 2261.0<<+x D 10．如图，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为(1，–4)，点D 的坐标为(–3，4)，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，若点P 为边CD 上一动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，则点P 的坐标为( ) A ．P(655±，4) B ．P(322±，4) C ．P(433±，4) D ．P(22±，4)二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)把答案填在答题卡的相应位置上[来11．()410250010523π-⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭____________．12．某几何体的三视图如图所示,则其表面积为____________．(第12题图)(第13题图)(第14题图)13．如图，已知菱形ABCD 的周长为8，面积为2√3，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，记PC –PE 的最大值为m ，记PC ＋PE 的最大值为n ，m n=____________． 14．如图，将□ABCD 沿对折，使点落在点处，若，则的长为____________．15．规定：(x )表示不小于x 的最小整数，[x ]表示不大于x 的最大整数，[x )表示最接近x 的整数(x ≠n ＋0．5，n 为整数)，例如：()4.75=，[]4.75-=-，[)4.75=,则下列说法正确的是________________．(写出所有正确说法的序号)①当x =2．3时，(x )＋[x ]＋[x )=7；②当x =–2．3时，(x )＋[x ]＋[x )=–6； ③()()()x y x y +≤+；④[][][]x y x y -≤-16．古代数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为．记第个边形数为，则下面给出了部分边形数中三角形数，四边形数，五边形数，六边形数……，可以推测的表达式，由此计算()20,19N =___________．EF A C 060,2,3A AD AB ∠===AE n ()2111222n n n n +=+n k (),N n k ()3k ≥k ()211,322N n n n =+()2,4N n n =()231,522N n n n =-()2,62N n n n =-(),N n k √3三、解答题(本大题共8个小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．(本小题满分6分)袋子中装有1个红球，2个黄球和3个绿球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出两个球． (1)求两球颜色为一黄一绿的概率；(2)若摸到红球记1分，摸到黄球记2分，摸到绿球记3分，求得分为4分的概率．18．(本小题满分6分)如图，AB 是⊙O 直径，AC 是⊙O 切线，BC 交⊙O 与点E ． (1)若D 为AC 中点，求证：DE 是⊙O 切线； (2)若5OA CE =，求tan 的值．19．(本小题满分8分)某公司在甲，乙两地销售同一种品牌的手机，在甲地的销售利润(单位：百元)为21 6.5y ax x =+，在乙地的销售利润(单位：百元)为2y kx =，其中x 为销售量(单位：部)，当5x =时，；当35x =时，． (1)求实数和的值；(2)若该公司在两地共销售40部该种品牌的手机，求该公司获得的最大销售利润．ACB ∠122y y =12y y =a k20．(本小题满分8分)小明根据学习函数的经验，对函数y=1(x−1)(x−3)的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题． (1)函数y=1(x−1)(x−3)的自变量x 的取值范围是 ；(2)当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是 ； (3)当1＜x ＜3时，函数y=1(x−1)(x−3)有最 (填“大”或“小”)值，该值为 ；(4)请根据函数的解析式或结合函数的图象，写出有关函数增减性的两条性质：①____________________________________；②____________________________________； (5)如果方程1(x−1)(x−3)=a 没有实数解，那么a 的取值范围是____________．21．(本小题满分10分)如图，点E 为正方形ABCD 边BC 上一动点(不与B,C 重合)，∠AEF=90°,AE=EF,连接AF 交边CD 于M ，交BC 的延长线于N ，连接EM 、CF ，EF 交CM 于点P ．(1)判断线段BE 、EM 、MD 间的数量关系，并证明你的结论； (2)若正方形边长为1，且BE ：EC=1：2，求MP 和FN 的长．22．(本小题满分10分)已知实数b a ,满足221a b +=．(1)求t a b =-的取值范围； (2)求1y a b ab =-+-的最大值．N23．(本小题满分10分)已知抛物线225163y x k x k k(1)求证：无论k取任何实数，抛物线与轴总有公共点；(2)如图，若抛物线与轴正半轴交于B、C两点，与y轴交于点A．是否存在实数k，使得AB=BC，且∠ABC=150°．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．24．(本小题满分12分)如图，已知抛物线245y x x与轴交于B、C两点．(1)求抛物线的顶点A的坐标及B，C两点的坐标；(2)在轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在,求出满足条件的所有点P的坐标；(3)如题图，连接AB、AC，点M为线段BC上一动点，过点M作直线MN∥AC交线段AB于点N，求△AMN面积的最大值．xxxx2019年襄阳四中、五中自主招生考试数学试参考答案一.选择题(本题共50分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DBCBABDCCA11.1859-；12.332π+；13．33；14.198；15.①③④；16.3250；17．(1)1个红球，2个黄球和3个绿球记为 从袋中摸出两球共有15种；……2分满足两球颜色为一黄一绿有种，概率等于……4分 (2)摸到一红一绿或两黄得分为4分，共有4种情况，所以概率等于415……6分 18.(1)连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线.……3分(2)设CE=1，AE=x ,由已知得AB=25，220BE x =-， 由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2220x x =-，解得x =2，∴tan ∠ACB=2AECE=……6分 19.(1)0.1,3a k =-=……4分(2)设公司在甲地销售该品牌的手机x 部，则在乙地销售该品牌的手机(40－x)部，所以可得利润：y ＝6.5x －0.1x 2＋3(40－x)＝－0.1x 2＋3.5x ＋120因为040x ≤≤且x 为正整数，而抛物线的对称轴为17.5x =，不是整数，所以取不到，故当x ＝17或18时，总利润取得最大值150.6百元……8分20.(1)1x ≠且3x ≠……1分 (2)1x <或3x >……2分 (3)大，1-……4分(4)①当1x <时，y 随x 的增大而增大②当12x <<时，y 随x 的增大而增大 ③当23x <<时，y 随x 的增大而减小④当3x >时，y 随x 的增大而增大……6分 (5)10a -<≤……8分21．解：(1)结论：EM=BE+DM ……1分证明：延长MD 至N 使DN=BE,得△ADN ≌△ABE ，再证△AME ≌△AMN ∴EM=NM=MD+DN ，即EM=BE+DM……4分112123,,,,,a b b c c c 111211121312111213212223121323,;,;,;,;,;,;,;,;,,;,;,;,;,;,a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 662155=(2)设x DM =，则x CM -1=，由(2)得，x MD BE EM +=+=31， 在Rt △MEC 中222EM CM CE =+即22231132⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ）（解得21=x ……6分易知sin ∠BAE=sin ∠CEP=31，∴PC=92， ∴MP=MC-CP=185.……8分 易证△AMD ≌△NMC ∴CN=AD=1，在Rt △ABN 中，AN=5，在Rt △AEF 中，AF=352， ∴FN=35.……10分 22．(1)∵实数b a ,同时满足221a b +=①，t a b =-②这两个方程，∴联立①②消b 整理得关于a 的一元二次方程222210a at t -+-=有实数解，∴△=()()222810t t --≥，解得t ≤≤4分(2)∵222()2a b a b ab -=+-∴令a b t -=，则212t ab -=……7分∴1y a b ab =-+-()22111122t t t -=+-=--由(1)知t ≤≤∴当1t =时，y 有最大值0……10分 23．(1)∵△=221k k -+=()21k -， ∴无论k 取任何实数，总有△≥0，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根，即抛物线与x 轴总有公共点。