四川省遂宁市2022届高三一诊考试试题数学理Word版含答案
四川省遂宁市2024届高三一模数学(理)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 若双曲线的一个焦点为，则（ ）A．B．C．D．2. 在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当是地，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销；花费在6000元以上的报销所花费费用的.则下列说法中，正确的是（ ）A．B ．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C ．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为D ．这100份花费费用的中位数是4200元4.已知点为椭圆：的上焦点，过原点的直线与相交于，两点，且轴，若，则的离心率为（ ）A．B．C．D．5. 已知向量，则向量在向量上的投影是（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-26. 若a <0，b <0，则p ＝＋与q ＝a ＋b 的大小关系为（ ）A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q7.已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与的图象重合（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8.若，则函数有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C．最小值D．最大值9. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题(1)四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A ．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B ．环比涨跌幅的平均数为0.1%C ．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D ．同比涨跌幅的上四分位数为1.55%10.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则（ ）A．点的坐标为B ．的最小值为C ．点的坐标可能为D．11. 在平行六面体中，已知，，则（）A ．直线与所成的角为B ．线段的长度为C ．直线与所成的角为D ．直线与平面所成角的正弦值为12. 如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（）A ．三角形B ．矩形C ．非矩形的平行四边形D ．六边形13. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．14.若，则______．15.在中，，点D ，E 分别在线段上，，°，则_________，的面积等于_________．16. 如图，DA ⊥平面ABC ，DA ∥PC ，∠ACB =90°，AC =AD =BC =1，PC =2，E 为PB 的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．17. 已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若存在满足,求实数的取值范围.18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角，，的对边分别为，，.已知______.(1)求角；(2)若，，求边上的中线的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.19. 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．20. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善．为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷)和某种野生动物的数量的关系，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（i=1，2，…，20），其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求样本（i=1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01），并用相关系数说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性．（2）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数．21. 如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上．(1)若P为的中点．证明：平面；(2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.。
四川省遂宁市2024届高三一模数学(理)试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知，则（ ）A．B．C．D．2. 设复数(其中为虚数单位)，则=（ ）A．B ．3C ．5D．3. 设集合，则集合的真子集的个数为（ ）个A ．3B ．4C ．7D ．154. 函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．6. 已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且.设，则（ ）A．B．C．D．7.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为A．B．C．D．8. 不等式的解集为A．B．C．D．9. 已知实数a ，b 满足，则（ ）．A．B．C．D．10.在的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．所有项的系数和为0B ．所有项的系数绝对值和为64C ．常数项为20D ．系数最大的项为第4项11. 给定函数．下列说法正确的有（ ）A ．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B ．函数的图象与x 轴有两个交点C ．当时，方程有两个不同的的解D．若方程只有一个解，则四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题 (2)四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题 (2)三、填空题四、解答题12. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）．A ．点第一次到达最高点需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点距离水面2米C ．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D ．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为13.已知平面向量，，若向量，则________．（其中用坐标形式表示）14. 已知复数满足，其中i 是虚数单位，则的虚部为__________.15.在平行四边形中，，，若，则__________.16. 已知椭圆经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为，直线OF 的斜率为，若，证明：直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．17. 在中，角的对边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.18. 已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到的位置，使得，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19. 已知是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥体积的最大值.20. 设函数.（1）若的图象的一条切线在轴上的截距为1，求切线的方程；（2）求函数的极值点个数.21. 设的内角的对边分别为已知.(1)求角；(2)若，求的面积．。
四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题
一、单选题1. 已知数列{}满足（n ∈N *），则=（ ）A．B．C．D．2. 设、是两个命题，：且，；：，.则下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．3. 设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤4. 已知，，且，若，那么与在同一坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．5. 如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，平面平面，且，，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（ ）A ．2B．C．D．7.，，则A．B．C．D．8. 若，，，则下列不等式中①；②；③；④，对一切满足条件的，恒成立的四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题二、多选题三、填空题四、解答题序号是A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④9.如图，已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的有（）A ．直线与直线垂直B ．点与点到平面的距离相等C ．直线与平面平行D ．平面截正方体所得的截面面积为1810.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上为增函数B．当时，存在极大值C ．当时，存在两个极值点D．若函数存在两个不同的极值点，，则恒成立11. 双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）A ．双曲线的离心率为B ．与内切圆半径比为C ．与周长之比为D ．与面积之比为12. 下列命题正确的是（ ）A．在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好B．已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关C．已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有D ．若随机变量，则不论取何值，为定值13.函数的图象的对称中心是_____________.14.设，，且，则的最小值为___________.15. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．16. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.17. 已知抛物线上有一点，为抛物线的焦点，，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点向圆（点在圆外）引两条切线，交抛物线于另外两点，求证：直线过定点.18. 如图，在四棱锥中，平面，且，，．(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值是，求．19. 已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.20. 已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长.(1)求椭圆C的方程；(2)设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；(3)在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围.21. 已知数列是等差数列，前n项和为；数列是各项均为正数的等比数列，前n项和为；且.（1）分别求数列的通项公式和前n项和；（2）若将数列中出现的数列的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列，记数列的前n项和为，求.。
四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题(2)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则2.，则（ ）A ．6B ．8C ．10D ．113. 直线与圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相交D ．随的变化而变化4. 复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A．B．C．D．6.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（）A ．2B ．4C．D ．87. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．的方程为B．若，则的面积为C ．若，则D ．若，过AB 的中点D 作于点E，则的最小值为8.（多选）在等腰梯形中，分别是的中点，沿将折起至，使平面平面（如图）.已知，下列四个结论正确的是（）A．B．C．D．四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题(2)四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题(2)四、解答题9. 设，，.若，则实数的值等于___________.10. 写出使“函数与函数的图象无公共点”的的一个取值______.11.甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制（打满三局），已知甲每局比赛获胜的概率均为.现用计算机随机产生的之间的整数值来模拟甲和乙胜负的情况,用，，，，，，表示甲胜，用，，表示乙胜.由于是三局两胜制，所以以每个随机数为一组，产生组随机数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.估计最终乙获胜的概率为______.12.在的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则正整数__．13.已知椭圆，由E 的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.(1)求E 的方程；(2)过E 的右焦点F 作相互垂直的两条直线，，分别和E 交点A ，B ，C ，D ，若由点A ，B ，C ，D 构成的四边形的面积是，求，的方程.14.已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.15. 已知函数．(1)求函数的定义域，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；(2)求函数在区间上的值域.16. 已知函数．(1)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)若函数，是否存在实数、，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．。
四川省遂宁市2024届高三一模数学(理)试题
一、单选题1.如图，在正方体中，在线段上运动，则下列直线与平面的夹角为定值的是（）A．B．C．D．2. 下列函数中是减函数的为（ ）A．B．C．D．3. 黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（）A ．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数B ．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数C ．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差D ．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.64. 若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（ ）A ．6B ．4C．D．5.函数在区间上的值域是（ ）A．B．C．D．6.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数8. 已知定义在R 上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题四川省遂宁市2024届高三一模数学（理）试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 若，则下列不等关系中，一定成立的是（ ）A．B．C．D．10.设函数的图象与的图象关于直线对称，且当时，恒成立，求满足条件的的值可以为（ ）（参考数据：）A ．0B ．1C ．2D ．311.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期是B ．，使C．在内有4个零点D ．函数的图像是中心对称图形12.已知双曲线上一点A 到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则______．14.已知函数是奇函数，定义域为，且时，，则满足的实数的取值范围是 __________．15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 是边BC 中点.若，，则_______，的面积是_______.16.已知在中，，且．(1)若，求；(2)若，且，求，．17. 已知函数，．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若，关于x 的方程有三个不等的实根，求a 的取值范围．18. 现有标号依次为1，2，…，n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n 号盒子中红球的个数为，求的期望．19. 如图所示，在多面体BC －ADE 中，△ADE 为正三角形，平面平面ADE ，且，∠BAD ＝60°，∠CDA ＝30°，AB ＝BC ＝2．(1)求证：AD⊥CE；(2)求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．20. 已知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围．21. 已知.(1)求的单调区间；(2)若方程有4个不同实数根，求的取值范围；(3)若存在正实数且，使得不等式成立，求的解集.（其中是自然对数的底数）。
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷及答案解析
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣13．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．1304．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．110245．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√66．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−157．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥18．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−18259．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．3510．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283π D ．323π12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= ． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 ．（写出满足条件的一个函数即可） 15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ． 16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n =a n a n+14(n ∈N ∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，_____． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{bn a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项的和T n ．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3．2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）【解答】解：由A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}＝{x |﹣3≤x ≤2}， B ＝{x |﹣1＜x ＜3}， 得A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣1【解答】解：∵（3+4i ）z ＝2+i ， ∴z =2+i 3+4i =(2+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−15i ， ∴z 的虚部为−15． 故选：C ．3．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．130【解答】解：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为： （0.01+0.02+0.04）×5＝0.35，∴标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70（家）． 故选：C ．4．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．11024【解答】解：设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为P =12，经过n 个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为P ＝（12）n ，当n ＝9时，P =129=1512． 故选：C ．5．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√6【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ； 如图所示：由于AE ＝DE ＝BC ＝2，EB ＝DC ＝4，所以AC =√22+22+42=2√6，AB ＝BD =√22+42=2√5，AD =√22+22=2√2， 故选：D ．6．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−15【解答】解：双曲线mx 2+y 2＝1的标准方程：y 2−x 2−1m=1，双曲线的焦距是虚轴长的2倍， 可得2√1−1m =4√−1m， 解得m ＝﹣3， 故选：B ．7．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥1【解答】解：∵命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题，∴∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ≤a ，则当x ∈[﹣1，2]时，x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≤3， ∴命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题时，a ≥3， 经验证，A 选项符合题意． 故选：A ．8．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−1825【解答】解：∵sin(α−π6)+cosα=√32sin α+12cos α＝sin （α+π6）=35， ∴cos(2α+π3)=1﹣2sin 2(α+π6)=1﹣2×925=725， 故选：B ．9．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．35【解答】解：组成无重复数字的三位数无0的选法C 21×C 22×A 33=12，有0的选法有C 21C 21×2×A 22=16，组成无重复数字的三位数共有28种， 组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有2×2×A 22＝8个； 若十位为0，则有C 21•C 21＝4个；若这个三位数没有0，则有C 21•C 21A 22＝8个． 综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4＝20个， 则组成的三位数为偶数的概率是2028=57．故选：B ．10．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h【解答】解：如图，∵北岸B 码头与A 码头相距√3km ，且航行时间为0.2h ， ∴合速度为√30.2=5√3，在△AEC 中，AE =5√3，AC ＝10，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝5．即江水速度是5km /h ． 故选：C ．11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283πD ．323π【解答】解：依题意，m ＝4，a ＝1，b ＝2，圆锥底面半径am b=2，即圆锥的底面面积为4π，由祖暅原理可知，V ＝2（V 圆柱+V 圆锥）=2(π×12+13×π×22×4)=56π3． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)【解答】解：因为函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点， 所以方程f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m ＝0在（0，+∞）上有解， 即m ＝xe x ﹣x 2﹣2x 在（0，+∞）上有解，令g （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ，则g ′（x ）＝（x +1）（e x ﹣2）， 令g ′（x ）＞0，可得x ＞ln 2，令g ′（x ）＜0，可得0＜x ＜ln 2， 所以g （x ）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增， 所以g （x ）min ＝g （ln 2）＝﹣ln 22，所以m ≥﹣ln 22，即m 的取值范围是[﹣ln 22，+∞）． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= √3 ． 【解答】解：根据题意，a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1， 则（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=1，变形可得a →•b →=12， 则（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=3，即|a →+b →|=√3； 故答案为：√3． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 f （x ）＝2x （答案不唯一） ．（写出满足条件的一个函数即可）【解答】解：由条件①可知函数f （x ）为指数函数， 由条件②可知，指数函数的底数a ＞1，则同时满足以上两个条件的一个函数可以为f （x ）＝2x ，f （x ）＝4x 等． 故答案为：f （x ）＝2x （答案不唯一）．15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为π4．【解答】解：∵运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ，设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]＝sin2x cos φ+sin φcos2x ＝sin （2x +φ）， 将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）＝sin （2x −π4+φ）的图象，且g （x ）的图象关于y 轴对称， ∴−π4+φ＝±π2+k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π4，故答案为：π4．16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 (√63，√32) ．【解答】解：如图，易得B(−√32a ，b 2)，C(√32a ，b2)，F(c ，0)．所以CB →=(−√3a ，0)，CF →=(c −√32a ，−b 2)，FB →=(−√3a 2−c ，b2)，FC →=(√32a −c ，b 2)． 根据椭圆对称性，有BF ＞CF ，因此，若△BCF 为锐角三角形， 只需∠BCF 和∠BFC 均为锐角，即{CB →⋅CF →＞0FB →⋅FC →＞0，所以{−√3a(c −√3a2)＞0，(−√3a 2−c)(√3a 2−c)+b24＞0． 由此可得√63＜c a ＜√32， 故椭圆离心率的取值范围是(√63，√32)，故答案为：(√63，√32)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n=a n a n+14(n∈N∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则d＞0，选择条件①：因为a2，a3，a4+1成等比数列，所以a32=a2•（a4+1），所以（2+2d）2＝（2+d）•（2+3d+1），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件②：因为S1+1，S2，S3成等比数列，所以S22=（S1+1）•S3，所以（2×2+d）2＝（2+1）•（3×2+3d），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件③：因为S n=a n a n+14(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n﹣1=a n−1a n4，两式相减得，a n=14a n（a n+1﹣a n﹣1），因为a n≠0，所以a n+1﹣a n﹣1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．（2）因为{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b na n=2•2n﹣1＝2n，所以b n＝2n•2n，所以T n＝2•21+4•22+6•23+…+2n•2n，2T n＝2•22+4•23+6•24+…+（2n﹣2）•2n+2n•2n+1，两式相减得，﹣T n＝2•21+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣2n•2n+1＝2×2(1−2n)1−2−2n•2n+1＝（1﹣n）2n+2﹣4，所以T n ＝（n ﹣1）2n +2+4．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）补充列出二联表如下：良好以下 良好及以上合计 男 400 150 550 女 200 50 250 合计600200800∴k 2=800(400×50−200×150)2600×200×550×250≈4.848＞3.841．∴有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）由（1）表格可得：“良好及以上”的频率即概率P =200800=14， 由题意可知ξ～B （4，14），P （ξ＝k ）=C 4k(14)k (34)4−k ，k ＝0，1，2，3，4．ξ 0 1234P8125610825654256122561256∴E （ξ）＝4×14=1．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．【解答】解：（1）当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． 过点D 作DF ∥AA 1交A 1B 1于点F ，过点F 作FE ∥A 1C 1于点E ，连接DE ， ∵EF ∥A 1C 1，EF ⊄平面AA 1C 1C ，∴EF ∥平面AA 1C 1C ， ∵DF ∥AA 1，FD ⊄平面AA 1C 1C ，∴FD ∥平面AA 1C 1C ， ∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AA 1C 1C ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AA 1C 1C ， 而B 1E EC 1=B 1F FA 1=BD DA 1=12，∴当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． （2）以BC 的中点O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，则B （0，1，0），C （0，﹣1，0），E （0，13，3），A 1（√3，0，3），由BD →=13BA 1→，得D （√33，23，1），∴ED →=（√33，13，﹣2），EB →=（0，23，﹣3），设平面DEB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，得{√33x +13y −2z =023y −3z =0，令z ＝2，得y ＝9，x =√3，即m →=（√3，9，2）， 设二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角为θ， 而面EBC 的一个法向量为n →=（1，0，0），则|cos θ|＝|n →⋅m→|n →|×|m →||=√32√22=√6644，故二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值为√6644． 20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1），C （x 2，﹣y 2），由{y 2=2px (x −4)2+y 2=12消去y ，可得x 2+（2p ﹣8）x +4＝0， 则Δ＝（2p ﹣8）2﹣16＞0，得0＜p ＜2或P ＞6，x 1+x 2＝8﹣2p ，x 1x 2＝4，且y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝16p 2，显然y 1＞0，y 2＞0，故y 1y 2＝4p ， 由以AD 为直径的圆经过点M ，知MA →•MD →=0，∴（x 1﹣4）（x 2﹣4）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+4p ＝0，∴﹣4（8﹣2p ）+4p +20＝0，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ； （2）由题意，直线AC 的斜率存在，且为k AC =−y 2−y 1x 2−x 1=−y 2−y 1y 222p −y 122p=2py 1−y 2，∴直线AC 的方程为y ﹣y 1=2p y 1−y 2（x ﹣x 1），即y =2p y 1−y 2x +y 1−2py 1−y 2×y 122p =2py 1−y 2x +y 12−y 1y 2−y 12y 1−y 2， ∴y =2p y 1−y 2x −4p y 1−y 2=2py 1−y 2（x ﹣2），于是直线AC 过定点（2，0）， 由抛物线和圆的对称性，易知ABCD 的两条对角线交点必在x 轴上， 故四边形ABCD 两条对角线的交点为E 是定点（2，0）．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：f′(x)=2√x ax， 将x ＝1代入得：f′(1)=a −12， 将x ＝1代入f （x ）得：f （1）＝﹣1， 则切线方程为：y +1=(a −12)(x −1)， 化简可得；y =(a −12)x −a −12；（2）联立切线与f （x ）可得：alnx −(a −12)x −√x +a +12=0，观察可得x＝1为该方程的根，故仅需探究方程在（0，+∞）是否存在另一解即可，令√x=t（t≥0），则原方程转为：2alnt−(a−12)t2−t+a+12=0，令g(t)=2alnt−(a−12)t2−t+a+12(t≥0)，g′(t)=[(1−2a)t−2a](t−1)t，①当1﹣2a≤0时，即a≥12时，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，故g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故g（t）＜g（1）＝0，则不存在第二个实数解，不满足题意，②当1﹣2a＞0时，g′(t)=1−2at (t−2a1−a)(t−1)，（Ⅰ）若2a1−2a≤0，即a≤0时，则0＜t＜1时，g′（t）＜0，则g（t）单调递减，若t＞1，g′（t）＞0，则g（t）单调递增，故g（t）＞g（1）＝0，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅱ）若2a1−a=1，即a=14，此时g′（t）＞0，g（t）单调递增，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅲ）若0＜2a1−a＜1，即0＜a＜14，则0＜t＜2a1−a，g（t）单调递增，2a1−a＜t＜1，g（t）单调递减，t＞1，g（t）单调递增，又g（1）＝0，可知g(2a1−a)＞0，且t→0，g（t）→﹣∞，故存在t 0∈(0，2a1−a)使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， （Ⅳ）若2a 1−a＞1，即14＜a ＜12，则0＜t ＜1，g （t ）单调递增，1＜t ＜2a1−a g （t ）单调递减，t ＞2a1−a ，g （t ）单调递增， 又g （1）＝0，可知g(2a1−a )＜0， 且t →+∞，g （t ）→+∞， 故存在t 0∈(2a1−a，+∞)，使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， 综上所述：方程存在两个实数解时， 其取值范围为：(0，14)∪(14，12)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ；（2）曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝6sin θ，已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，所以{ρ=4cosθθ=α，整理得ρA ＝4cos α；射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点． 所以{ρ=6sinθθ=α+π3，所以ρB =6sin(α+π3)；所以S △AOB =12⋅ρA ⋅ρB =12×4cosα⋅6sin(α+π3)⋅sin π3=3√3sin(2α+π3)+92； 由于0＜α＜π2， 故π3＜2α+π3＜4π3；当2α+π3=π2时，即α=π12时，S △AOB 的最大值为92+3√3． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3． 【解答】解：（1）由已知可得，f （x ）={−3x +2，x ≤−1−x +4，−1＜x ≤323x −2，x ＞32，当x ≤﹣1时，由﹣3x +2≤4，解得x ≥−23（舍去）， 当﹣1＜x ≤32时，由﹣x +4≤4，解得x ≥0，故0≤x ≤32，当x ＞32时，由3x ﹣2≤4，解得x ≤2，故32＜x ≤2，综上所述，f （x ）≤4的解集M ＝[0，2]． （2）∵a 2+b 2∈M ，即0≤a 2+b 2≤2，令a ＝r cos α，b ＝r sin α，0≤r ≤√2，α∈[0，2π]， ∴a 2﹣ab +b 2＝r 2﹣r 2sin αcos α=r 2(1−12sin2α)， ∵α∈[0，2π]， ∴12≤1−12sin2α≤32，即12r 2≤r 2(1−12sin2α)≤32r 2，∵0≤r ≤√2，第 21 页 共 21 页∴12r 2≥0，32r 2≤3， ∴0≤a 2﹣ab +b 2≤3，即得证．。
四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题(1)
一、单选题1. 某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率A．B．C．D．2.某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为（）A ．210， 24B ．210， 12C ．252， 24D ．252， 123. 函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．4. 已知复数满足，则（ ）A ．1B ．2C．D．5. 已知为锐角，若，则（ ）A．B．C．D．6. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）A．B．C．D．7.已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（ ）四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题(1)四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．8. 已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知是圆上一点，是圆上一点，则（ ）A．的最小值为2B ．圆与圆有4条公切线C．当取得最小值时，点的坐标为D ．当时，点到直线的距离小于210. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）A ．B．C．D．11.已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）A．函数有一个极大值点B．函数在上存在对称中心C ．若当时，函数的值域是，则D ．当时，函数恰有6个不同的零点.12. 如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（）A．B．点､､､四点共面C ．直线与平面所成角的正切值为D ．三棱锥的体积为13.在的展开式中，系数最大的项为____________.14. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则离心率______.15. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．16. 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组…，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）求这组数据的众数和中位数（精确到0.1）；（II）设表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知，求事件“”的概率．（III）根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表性别男女合计是否达标达标___________不达标__________合计____________根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？17. 在数列中，，且对任意的正整数，都有.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18. 跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用跑腿服务的主要原因，随着消费者即时需求和节约时间需求提升，跑腿服务将迎来发展期．某机构随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用跑腿服务的次数，得到每月使用跑腿服务低于5次的有550人，并将每月使用跑腿服务不低于5次的消费者按照年龄，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中年龄不低于35岁的概率；(2)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数与中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值为代表）；(3)把年龄在的人称为青年，年龄在的人称为中年，把每月使用跑腿服务低于5次的消费者称为“使用跑腿服务频率低”，否则称为“使用跑腿服务频率高”，若800名消费者中有400名青年，补全列联表，并判断是否有99%的把握认为消费者使用跑腿服务频率的高低与年龄有关?青年中年合计使用跑腿服务频率高使用跑腿服务频率低合计参考公式：，其中附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82819. 已知数列满足，(1)令，求，及的通项公式；(2)求数列的前2n项和.20. 已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数存在极大值，证明：.21. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.(1)求边AC的长；(2)求四边形ABCD周长的最大值.。
四川省遂宁市射洪中学2024-2025学年高三上学期一模数学试题 Word版含答案
射洪中学高2022级高三一模考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题：“ ”的否定为（）A. B.C. D.2.已知向量，若满足，则（）A. B.2 C. D.43.已知，，则（）A.3B.C.D.4.已知，则下列结论不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图是函数的部分图象，则的解析式为（）A.B.C.D.6.已知函数，且，则的大小关系（）A. B. C. D.7.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（）A.1.25B.2.25C.1.75D.2.558.已知函数是定义在且上的偶函数,当时, .若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价405060708090（元）销量5044433528（件）由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.产品的销量与单价成负相关B.C.若单价为50元时，估计其销量为44件D.为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元10.已知正数满足，则下列说法一定正确的是（）A. B. C. D.11.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A. B. C. D.第II卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为 .13.函数在，上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 .14.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“ 函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“ 函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合，函数的定义域为.(1)若集合，求集合；(2)在(1)条件下，若，求；(3)在(1)条件下，若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数的取值范围.▲16.（15分）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.▲17.（15分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下4060100 50岁以上（含50）2575100合计65135200(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.▲18.（17分）已知（且）是上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合；(3)设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，▲19.（17分）设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值；(2)当时恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：.▲。
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四川省遂宁市2022届高三一诊考试试题数学理Word版含答案遂宁市高中2022届一诊考试数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合A{某3某6},B{某2某7}，则AI(CRB)A.(2,6)B.(2,7)C.(3,2]D.(3,2)2．已知复数zai(aR)，若zz4，则复数z的共轭复数zA.2iB.2iC.2iD.2i3．“()()”是“log2alog2b”的A.充分不必要条件C.必要不充分条件B.充要条件13a13bD.既不充分也不必要条件2(6)0.15，则4．已知随机变量服从正态分布N(,)，若P(2)PP(24)等于A.0.3B.0.35C.0.522，则3C.D.0.75．已知满足coA.B.D.6．执行如图所示的程序，若输入的某3，则输出的所有某的值的和为A．243B．363C．729D．10927．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午(前4节)，生物课排在下午(后2节)，不同排法种数为A．144B．192C．360D．7208．若a0,b0,且函数f(某)4某3a某22b某2在某2处有极值，则ab 的最大值等于A．121B．144C．72D．809．已知数列an的前n项和为Sn，若a1为函数f(某)3in某co某(某R)的最大值，且满足A．1B．，则数列an的前2022项之积A20221C．1D．22某2y210．若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆某2y24某0所截得ab的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2B.3C.2D.233uuuruuuruuur2211．已知O为△ABC的外心，A为锐角且inA，若A则的OABAC，3最大值为1231B．C．D．234312．定义在R上的函数f(某)满足f(某)f(某)，且对任意的不相等的实数某1，某2[0,)f(某1)f(某2)0成立，若关于某的不等式有某1某2A．f(2m某ln某3)2f(3)f(2m某ln某3)在某[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围A．[1ln61ln6],1]B．[,2e32e61eln31ln3]D．[,1]32e6C．[,2第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2某3y3013．设某，y满足约束条件2某3y30，则目标函数z2某y 的最小值是▲.y30614．二项式(2某)的展开式中常数项为▲.（用数字表达）1某15．已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为▲.16．设函数f某32某2a某(a0)与g 某a2ln某b有公共点，且在公共点处的切线2方程相同，则实数b的最大值为▲.三、解答题：本大题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）（1）求数列an的通项公式；（2）设cnn已知数列an的前n项和为Sn，向量a(Sn,2)，b(1,12)满足条件a⊥bn，求数列cn的前n项和Tn.an▲18．（本小题满分12分）已知函数f(某)4in某co某，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，6b，c（1）当某0,uuurc2b4，（2）若对任意的某R都有f某fA，点D是边BC的中点，求AD的值.▲19．（本小题满分12分）1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）男同学女同学总计几何题22830代数题81220总计302050时，求函数f某的取值范围；2（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为某，求某的分布列及数学期望E某.附表及公式P(k2k)0.150.102.70620.053.8410.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87 910.828k2.072nadbck2abcdacbd▲20．（本小题满分12分）1某2y2设椭圆221(ab0)的离心率e，左焦点为F，右顶点为A，过点F的2ab3直线交椭圆于E,H两点，若直线EH垂直于某轴时，有EH2（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：某1上两点P，Q关于某轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与某轴相交于点D.若△APD的面积为▲21．（本小题满分12分）6，求直线AP的方程.2p2ln某某（1）若p2，求曲线yf(某)在点(1,f(1))处的切线；某已知函数f(某)ep某（2）若函数F(某)f(某)e某在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；某（3）设函数g(某)e2e，若在[1,e]上至少存在一点某0，使得f(某0)g(某0)成立，某▲求实数p的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程3某1t2已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，某轴的正半轴1y3t2为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4co(（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若P(某,y)是直线l与圆面4co(▲23．（本小题满分10分）已知函数f(某)1某a2a某（1）若（2）若a▲，求实数a的取值范围；2).32)的公共点，求3某y的取值范围.32,某R,判断f(某)与1的大小关系并证明.3遂宁市高中2022届一诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（12某5=60分）题号123BC答案C二、填空题（45=20分）4B5A6D7B8C9A10A11D12D13．-1514．-16015.某2某y10(某1)16．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分12分）122e【解析】（1）∵a⊥b,∴Sn2n12,2分当n2时，anSnSn12n，当n1时，a1S12满足上式，∴an2n6分（2）cnn2n12n1n1Tn12Ln1n 两边同乘，22222112n1n得Tn23Lnn1，两式相减得：8分222221111nn2Tn2Lnn11n1，222222n2Tn2nnN．12分218．（本小题满分12分）【解析】（1）f某2in2某23in某co某3in2某co2某12in2某1，62分15时，，2某,in2某,1，626662所以f某0,3；6分当某0,（2）由对任意的某R都有f某fA得：2A622k,kZA3kkZ.又QA(0,)Auuur所以AD7.12分19．（本小题满分12分）【解析】（1）由表中数据得K的观测值23uuur1uuuruuuruuur21uuur2uuuruuuruuur2QADABACADAB2ABACAC241212cb22cbcoAcb2cb7，10分448分50(221288)250K5.5565.0243020302092所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关.3分（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为某,y分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示5某76y8设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为某y111112，即乙比甲先解答完的概率为由几何概型，得PA82287分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C828种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有C615种；恰有一人被抽到有112C2C612；两人都被抽到有C21种.151231某可能取值为0,1,2，P某0，P某2，P某1282872822某的分布列为某0121531287281531112．12分所以E某028728220本小题满分12分）P132b23，【解析】（1）设F(c,0)(c0)，因为e所以有a2c，又由EH得22a24y2322222且abc，得a1,b，因此椭圆的方程为：某14分43（2）设直线AP的方程为某my1(m0)，与直线l的方程某1联立，可得点4y2222P(1,)，故Q(1,).将某my1与某1联立，消去某，整理得mm3(3m24)y26my0，6分6m解得y0，或y.3m24由点B异于点A，3m246m2Q(1,)，可得直线BQ的方程为,)可得点B(.由m3m243m246m23m242(2)(某1)(1)(y)0，令y0，3m4m3m24m23m223m2,0).9分解得某，故D(223m23m223m26m2所以|AD|1.3m223m2216m2266又因为△APD的面积为，故，223m22|m|266，所以m.33所以，直线AP的方程为3某6y30，或3某6y30.12分整理得3m226|m|20，解得|m|21．（本小题满分12分）某【解析】已知函数f(某)ep某p2ln某.某2某（1）当p2时，f(某)e2某2ln某，f(1)e，某22f(某)e某22，f(1)e2，某某则切线为：ye(e2)(某1)，即(e2)某y20.3分pp2p某22某p某（2）F(某)f(某)ep某2ln某，F(某)p2某某某某2由F(某)定义域(0,)内为增函数，所以F(某)0在(0,)上恒成立，2某，对任意某0恒成立，2某12某2某224某222某2设h(某)2(某0),h(某)2222某1(某1)(某1)易知，h(某)在0,1上单调递增，在1,上单调递减，则h(某)ma某h(1)1，所以ph(1)1，即p[1,).7分p2e2ln某，某[1,e]，（3）设函数(某)f(某)g(某)p某某则原问题在[1,e]上至少存在一点某0，所以p某22某p0即p使得(某0)0(某)ma某0(某[1,e]).p2e2p某22某(p2e)，8分(某)p22某某某2某2e10当p0时，(某)0，则(某)在某[1,e]上单调递增，某2(某)ma某(e)40，舍；12e20当p0时，(某)p(某)2ln某，某某12e0，ln某0，则(某)0，舍；∵某[1,e]，∴某0，某某p(某21)2(e某)00，3当p0时，(某)某2p则(某)在某[1,e]上单调递增，(某)ma某(e)pe40，e4e整理得p2，11分e14e,).12分综上，p(2e1请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。