人教版九年级数学上册 22.1.3.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 同步练习题(含答案,教师版)
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》课件
► 知识点三 函数 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的图象的位置关系
y＝ax2
y＝ax2＋k（k＞0）.
y＝ax2
y＝ax2－k（k＞0）.
口诀：上加下减.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
重难互动探究
探究问题 抛物线 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的关系 例［教材例 2 变式题］ 抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝－5x2 的 形状、开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3），则其解析式 为 y＝－5x2＋3 ，它是由抛物线 y＝－5x2 向 上 平移
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
［归纳总结］ 在解答有关 y＝ax2＋k 的问题时，应抓住 以下结论，从而找到解决问题的方法：
1.二次项系数的符号⇔开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等⇔抛物线的形状相同； 3.k⇔顶点的纵坐标.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
备选探究问题 建立二次函数模型，பைடு நூலகம்决实际问题
数学
新课标（RJ） 九年级上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
新知梳理
► 知识点一 二次函数 y＝ax2＋k 的图象 二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条抛物线.
例 如图 22－1－13 所示，隧道的截面由抛物线 AED 和 矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为 8 m，宽 AB 为 2 m.以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平 面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6 m.
数学人教版九年级上册二次函数y=ax2 k的图象和性质
22.1.3.1二次函数2y ax k =+的图象和性质丹江口市实验中学 李广明【学习目标】1．使学生能利用描点法正确作出函数y ＝ax 2＋k 的图象.2．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系．3．掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；【学情分析】本节是在学生对上节课y ＝ax 2的图象和性质有了初步了解的基础上进行的下一步对y ＝ax 2＋k 的图象和性质的学习,两者的教学有很多相似之处,所以本节课在学生已有的思维上进行拓展和深化,针对学生在认识图象进而获得感性认识这一薄弱环节上加强引导.【学习重点】理解二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，理解函数y ＝ax 2＋k 与函数y ＝ax 2的相互关系【学习难点】正确理解二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，理解抛物线y ＝ax 2＋k 与抛物线y ＝ax 2的关系,并会应用【自主探究】一、导引自学1、回忆、提出问题（1）二次函数2y x =的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______，函数2y ax =当x ＝______时，取最______值，其最______值是______。
（2）二次函数21y x =+的图象与二次函数2y x =的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？2、分析、解决问题（1）对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x 2与y ＝x 2＋1的图象（2）抛物线21y x =+的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（3）抛物线y ＝x 2＋1和抛物线y ＝x 2有什么联系?（4）通过以上探究，现在你能回答前面1、中提出的第2个问题了吗?（5）做一做，在同一直角坐标系中画出函数22y x =-与函数2y x =的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?3、归纳，总结问题（1）二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象及其性质；（2） 抛物线y ＝ax 2＋k 与抛物线y ＝ax 2有什么关系?（3） 还有什么困惑？小组内交流。
人教版九年级数学上册 22.1.3.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 同步练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第22章22.1.3.1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 同步练习题一、选择题1．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B)2．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D) A ．开口向上 B ．顶点坐标为(－1，2)C ．对称轴是直线x ＝1D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大3．与抛物线y ＝－45x 2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(B)A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋14．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C)A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状5．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是(C)6．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A)A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤07．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)A．a＋c B．a－c C．－c D．c二、填空题8.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)的．9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．因为a＝3>0，所以y有最小值，当x＝0时，y的最小值是－3．10．抛物线y＝ax2－1(a＞0)上有两点A(1，y1)，B(3，y2)，则y1＜y2.(填“＞”“＜”或“＝”)11．如果将抛物线y＝－3x2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为y＝－3x2＋2．12．对于二次函数y＝－2x2＋4，当－2＜x≤1时，y的取值范围是－4＜y≤4．13．已知函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，k＝2．三、解答题14．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．解：如图所示．抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．15．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能．把函数y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移6个单位长度，得到新的函数y ＝13x 2－6的图象过点(3，－3)．16．如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A ，B ，C ，D 分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为y ＝32x 2－32，求CD 的长．解：令y ＝32x 2－32＝0，解得x ＝1或－1.∴AB ＝2. ∴CO ＝12AB ＝1.令x ＝0，解得y ＝－32.即OD ＝32.∴CD ＝CO ＋OD ＝1＋32＝52.17.已知抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2. (1)试求a ，k 的值；(2)分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点．解：(1)因为抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝ax 2＋k －2.所以根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k －2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝4.(2)抛物线y ＝－3x 2＋2的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)； 抛物线y ＝－3x 2＋4的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，4)．18．已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等．如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，求△PMF 周长的最小值．解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2＋1于点P ，此时△PMF 的周长最小．∵F(0，2)，M(3，3)，∴ME ＝3，FM ＝（3－0）2＋（3－2）2＝2. 又由题意可知PF ＝PE ，∴当ME ⊥x 轴于点P 时，PF ＋PM 最短为PE ＋PM ＝ME. ∴△PMF 周长的最小值为ME ＋FM ＝3＋2＝5.。
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
九级数学上册第二十二章第2节二次函数y=ax2的图象和性质课件(共22张PPT)
3.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
4.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4 3
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象和性质
探究归纳
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
24
么关系？
－2
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4
－6
y 1 x2
y 2x2
2
y x 2 －8
归纳总结
y＝ax2 图象
位置开
口方向
对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
图象 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注4 个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
课后作业
见《学练优》本课时练习
y
二次项系数互为相反数， 在对称轴的左侧, y随x的增大而
,
列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
开口相反，大小相同，它 （3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最 值 .
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是
影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式
九年级数学人教版(上册)课件：22.1二次函数y=ax2+k的图像及性质(共16张PPT)
对称轴为
最值为
。
顶点坐标为 ，
三、类比探究二次函数 y = ax 2 与y = ax 2 + k的图象之间的联系 问题3：抛物线 y = 2x 2 与抛物线 y = 2x 2 + 1，y = 2x 2 - 1有什么 位置关系？
y = 2x 2
• 二次函数 y = ax 2 与y = ax 2 + k的图象关系
2
2
五、小结
（1）抛物线 y = ax 2 + k 图像有哪些特征？ （2）抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 的
图像的位置有什么关系？
六、布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
二次函数 y = ax2 + k （a＜0）的图象特征归纳：
当 a ＜ 0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是y 轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线 的最高点，当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大， 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小．
二、二次函数 y = ax2 + k 的图象性质
22.1 二次函数 y = ax 2+k（a≠0）
的图象和性质
学习目标：
1．会用描点法画出二次函数 的图象； 2．掌握二次函数 y = ax2+k 的图象特征和性质； 3. 掌握二次函数 y = ax2与y = ax2+k 的图象之间的联系
学习重点：
1.二次函数 y = ax2+k 图象特征和性质． 2.二次函数 y = ax2与y = ax2+k 的图象之间的联系
，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
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人教版九年级数学上册第22章22.1.3.1 二次函数y ＝ax 2
＋k 的图象和性质 同步练习题 一、选择题
1．二次函数y ＝x 2
＋1的图象大致是(B)
2．下列关于抛物线y ＝－x 2
＋2的说法正确的是(D)
A ．开口向上
B ．顶点坐标为(－1，2)
C ．对称轴是直线x ＝1
D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大
3．与抛物线y ＝－45
x 2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(B)
A ．y ＝－45x 2－1
B ．y ＝45x 2－1
C ．y ＝－45x 2＋1
D ．y ＝45
x 2＋1 4．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13
x 2的图象的不同之处是(C) A ．对称轴 B ．开口方向 C ．顶点 D ．形状
5．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是
(C)
6．已知y ＝ax 2
＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A)
A ．a>0
B ．a<0
C ．a ≥0
D ．a ≤0
7．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)
A．a＋c B．a－c C．－c D．c
二、填空题
8.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)的．
9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．因为a＝3>0，所以y有最小值，当x＝0时，y的最小值是－3．
10．抛物线y＝ax2－1(a＞0)上有两点A(1，y1)，B(3，y2)，则y1＜y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
11．如果将抛物线y＝－3x2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为y＝－3x2＋2．
12．对于二次函数y＝－2x2＋4，当－2＜x≤1时，y的取值范围是－4＜y≤4．
13．已知函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，k＝2．三、解答题
14．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．
解：如图所示．抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．
抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．
15．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13
x 2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能．把函数y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移6个单位长度，得到新的函数y ＝13
x 2－6的图象过点(3，－3)．
16．如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A ，B ，C ，D 分别是“芒果”
与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为y ＝32x 2－32
，求CD 的长．
解：令y ＝32x 2－32
＝0，解得x ＝1或－1. ∴AB ＝2.
∴CO ＝12
AB ＝1. 令x ＝0，解得y ＝－32
. 即OD ＝32
. ∴CD ＝CO ＋OD ＝1＋32＝52
. 17.已知抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝－3x 2
＋2.
(1)试求a ，k 的值；
(2)分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点．
解：(1)因为抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝ax 2＋k －2.
所以根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k －2＝2.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝4. (2)抛物线y ＝－3x 2
＋2的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)；
抛物线y ＝－3x 2＋4的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，4)．
18．已知抛物线y ＝14
x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等．如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14
x 2＋1上一个动点，求△PMF 周长的最小值．
解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14
x 2＋1于点P ，此时△PMF 的周长最小． ∵F(0，2)，M(3，3)，
∴ME ＝3，FM ＝（3－0）2＋（3－2）2＝2.
又由题意可知PF ＝PE ，
∴当ME ⊥x 轴于点P 时，PF ＋PM 最短为PE ＋PM ＝ME.
∴△PMF 周长的最小值为ME ＋FM ＝3＋2＝5.。