数学北师大版九年级上册菱形性质与判定综合应用练习题

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_1.1.3菱形的判定与性质同步练习 2021—2022学年北师大版九年级数学上册

1.1.3菱形的判定与性质一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF 的周长是（）A．24B．28C．32D．363．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF ＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC第2题第3题第4题5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB ＝10，则AE的长为（）A．10B．12C．16D．186．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（）A．100°B．105°C．110°D．120°7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④第5题第6题第7题8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S；其中正确的是（）△ABFA．①②B．①③C．②③D．①②③10．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个第8题第9题第10题二．填空题（共6小题）11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为，面积为．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝度．第11题第12题第13题14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为．15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG ∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是（将正确结论的序号填空）．第14题第15题第16题三．解答题（共11小题）17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．23．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．1.1.3菱形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AP＝PC＝CQ＝AQ，AQ∥PC，AC⊥BD，∴∠AQP＝∠CPQ，∴∠AQD＝∠BPC，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CBP，在△ADQ和△CBP中，，∴△ADQ≌△CBP（AAS），∴AD＝BC，BP＝DQ，故选项A不合题意；又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，故选项C不合题意；∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，故选项B不合题意；故选：D．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF 的周长是（）A．24B．28C．32D．36【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD＝∠FDA，∴F A＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝8，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．故选：C．3．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF ＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB ＝10，则AE的长为（）A．10B．12C．16D．18【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B＝180°，∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，由三角形的内角和定理得：∠BAM＝∠NAD，设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠D＝∠AND＝180°﹣60°﹣2x，∵∠NAD+∠D+∠AND＝180°，∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，解得：x＝20°，∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°．故选：A．7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE 分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故选：A．8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：∵∠BAC＝30°，△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠DAF＝90°，∴DF＞AD，∴四边形ADFE不可能是菱形．故①错误．连接BF．∵△ABC是直角三角形，AF＝CF，∴F A＝FB，∵DA＝DB，∴DF垂直平分线段AB，故②正确，∵AE⊥AB，DF⊥AB，∴AE∥DF，∵AE＝2AF，DF＝2AF，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴OA＝OF，∴AE＝AC＝4OA，故③正确，在Rt△AFG中，∠F AG＝30°，∴AF＝2FG，∵EC＝AC＝2AF，∴EC＝4FG，故④正确，故选：D．9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S；其中正确的是（）△ABFA．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，①正确；∵△ABG≌△DEG，∴AB＝DE，∵AB∥CE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∴四边形ABDE是菱形，②正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③正确；正确的是①②③．故选：D．10．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，∵AD＝AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．二．填空题（共6小题）11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为30°．【解答】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，故答案为：30°．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为20，面积为24．【解答】解：∵AC与BD互相垂直且平分，∴AD＝AB＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵BD＝6，AC＝8，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝＝5，∴四边形周长为：20，面积为：×6×8＝24．故答案为：20，24．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝90度．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故答案为：90．14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为2．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∴OB＝＝＝．∴BD＝2．故答案为：2．15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于7.8．【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG ∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是①③④（将正确结论的序号填空）．【解答】解：如图，连接EH，∵∠ACB＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠B+∠4＝90°，∴∠3＝∠B，故①正确；∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠AFC，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形，故②错误；∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在Rt△CAF和Rt△HAF中，，∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），∴AC＝AH，在△CAE和△HAE中，，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠3＝∠AHE，CE＝EH，∵∠3＝∠B，∴∠AHE＝∠B，∴EH∥BC，∵CD⊥AB，FH⊥AB，∴CD∥FH，∴四边形CEFH是平行四边形，∴CE＝FH，∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确；∵EG∥AB，EH∥BC，∴四边形EHBG是平行四边形，∴EH＝BG，∵CE＝EH，∴BG＝CE．故④正确．所以正确的是①③④．故答案为：①③④．三．解答题（共11小题）17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件②后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．【解答】证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AE⊥BC，∴AB＝AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE＝2，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，∴DH＝DF＝1，FH＝DH，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴DH＝CH＝1，∴FC＝FH+CH＝+1．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD，且AB＝BC∴CD＝AB，且AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2∵AO＝＝＝4∵CE⊥AB，AO＝CO∴EO＝AO＝CO＝423．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵∠ABF＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，同理AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠F AP＝60°，∵AB＝4，∴AP＝2，如图，过点P作PM⊥AD于M，∴PM＝，AM＝1，∵AD＝6，∴DM＝5，∴PD＝＝＝2．24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理得，FG＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理得，AF＝＝＝4．25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD．∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC．∴∠DAC＝∠DCA．∴AD＝DC．又∵AB∥CD，AB＝AD．∴AB∥CD且AB＝CD∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝AD．∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24．∴CD＝13，AO＝CO＝12．∵点E、F分别是边CD、BC的中点．∴EF∥BD（中位线）．∵AC、BD是菱形的对角线．∴AC⊥BD，OB＝OD．又∵AB∥CD，EF∥BD．∴DE∥BG，BD∥EG．∴四边形BDEG是平行四边形．∴BD＝EG．在△COD中．∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．∴．∴EG＝BD＝10．26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形。

北师大版九年级上册数学菱形的性质和判定练习题

菱形的性质和判定1、菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．A1个B2个C3个D4个2、菱形的面积等于（）A.对角线乘积B.一边的平方C.对角线乘积的一半D.边长平方的一半3、如图所示，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD、AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD一定是()A.菱形B.平行四边形C.矩形D.对角线相等的四边4、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB＝AC且BD＝CDC．AD为中线D．EF⊥AD5、下面性质中，菱形不一定具有的是（）A．对角线相等B．是中心对称图形C．是轴对称图形D．对角线互相平分6、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________.7、菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是__________.8、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为。

9、以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是____________．10、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．11、如图，AD 是三角形ABC 的角平分线，DE∥AB,DF∥AC,求证:四边形AEDF 是菱形12、如图，AE//BF，AC 平分∠BAD，且交BF 于点C，BD 平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD，求证：四边形ABCD 是菱形。

13、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE 和CE 相交于E，求证：四边形OCED 是菱形。

14、如图，过ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG、FH 与ABCD各边分别相交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．O F EDCBA15、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND 是菱形．16、如右图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是CB，CD 上的点，且BE=DF.求证：①△ABE≌△ADF；②∠AEF=∠AFE.F EDCAB。

北师大版九年级数学上册第一章菱形的性质和判定同步练习

第一章特殊的平行四边形班级：_____________ 姓名：____________知识梳理：（每空1分，共17分）1.菱形的性质：（边、角、对角线、对称性）（1）边的性质：菱形的四条边_________；（2）角的性质：菱形的对角_________，_________互补；（3）对角线的性质：菱形的对角线_______________，并且每一条对角线平分_________；（4）对称性：菱形既是中心对称又是轴对称图形，它有______条对称轴，对称轴是___________（5）菱形的面积：①______________________，即：S=221dd；②菱形面积=________________ 2.菱形的判定：（1）_______________________________平行四边形是菱形；（2）_______________________________的四边形是菱形；（3）____________________________ __四边形是菱形；3.矩形的性质：(1）对边____________；（2）四个角都是_________；（3）对角线_________________；（4）分割特殊性：矩形的两条对角线把它分割成面积相等的______角形.4.直角三角形斜边上的中线等于___________________一、选择题（每题3分，共30分）1.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( )A．AB＝CD B．AB＝BC C．AD＝BC D．AC＝BD2.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )A．20 B．16 C．12 D．103.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④4.菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较长的对角线长是( )A．3 B．4 C．8 D．8 35．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A．长方形 B．对角线相等的梯形C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形7.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( )A.245B.125C.5D.48.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )A.8B.6C.4D.29.如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，且CE＝DE.若AB＝2AD，则∠ADE等于(A)A.45°B.30°C.60°D.75°10.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误二、填空题（每题3分，共15分）11．菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是______cm.12.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为____．13.如图，将一个长为10 cm、宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到菱形的面积为_________cm2.14.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于_______15.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____(只填写序号).三、解答题如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，CO＝4，OD＝3，求证：▱ABCD是菱形.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE ＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长.。

九年级数学上第1章1菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质习题北师大

∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°. ∴∠BAP＝∠CAE. ∴△BAP≌△CAE (SAS)． ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°. 易知∠CAH＝60°， ∴∠CAH＋∠ACH＝90°. ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月26日星期六2022/3/262022/3/262022/3/26
件是( C )
A．∠BAF＝∠DAE
B．EC＝FC
C．AE＝AF D．BE＝DF
6．(2020·武威)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A， E间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则 ∠DAB的度数是( C )
A．90° B．100° C．120° D．150°
15．(2019·聊城)如图，在菱形ABCD中，点P是BC上一点，连接AP，E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得 ∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：
(1)△ABF≌△DAE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC. ∴∠BPA＝∠DAE. 又∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE. 又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．
又∵BE＝ 3，∴AE＝1. ∴AD＝AB＝2.
∴菱形 ABCD 的面积为 AD×BE＝2× 3＝2 3.
14．(中考·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∵DE⊥BD，∴DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形．

北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)

第一章特殊平行四边形1．1 菱形的性质与断定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，那么△ABD的周长是(C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3 B．4 C．8 D．8 38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，那么OH的长等于(A)A．B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.假设∠DAC＝28°，那么∠OBC的度数为(C) A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，那么BC＝__5__．13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．假设墙上钉子间的间隔AB＝BC＝15 cm，那么∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图) 14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，那么较长的对角线长度是16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)假设∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的断定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的断定1．小明和小亮在做一道习题，假设四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图) 4．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，那么四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如下图，能得到四边形ABCD 是菱形的根据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图) 6．(易错题)如图，以下条件能断定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2021·淄博)▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)：如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ； (2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形10．(2021·徐州)假设顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出以下条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含60°角的直角三角形ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN ，∴AM ＝AN (2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF ＝90°，∴∠BAF ＝120°.又∵∠B ＝∠F ＝60°，∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°，∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形。

北师大版九年级数学上册第一章复习题附答案不全

北师版九年级数学上册1.1《菱形的性质和判定的应用》一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列条件中，能判断四边形是菱形的是()A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形D．对角线互相垂直的四边形2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是() A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．不能确定3．如图，要使▱ABCD为菱形，下列添加的条件正确的是()A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD4．下列命题是真命题的是( )A．两组邻边分别相等的四边形是菱形B．一个角为60°的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的对角线互相垂直平分5．下列说法中不正确的是()A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等6. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD7．已知一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和25，则这个四边形是( ) A．菱形B．长方形C．正方形D．梯形8．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成菱形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD9．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是()10．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形( )A．长方形B．菱形C．正方形D．等腰梯形二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，－2)，C(3，0)，D(0, 2)，则四边形ABCD是____．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是_______________________________________.13．若顺次连接对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是__________.14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，若已知AB＝AC，_______（填“能”或“不能”）判定四边形BDEF是菱形。

1.1 菱形的性质与判定北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)

北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。

北师大版九年级上册第一章菱形(有答案)

北师大版九年级上学期数学菱形的性质与判定补充习题（一）一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线互相垂直D ．对角线相等2. 如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（）A.四边形ABCD 是平行四边形B.AC ⊥BDC.△ABD 是等边三角形D.∠CAB ＝∠CAD 3．菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（）A ．168 cm 2B ．336 cm 2C ．672 cm 2D ．84 cm 24．菱形的周长为16，两邻角度数的比为1：2，此菱形的面积为（）A ．4B ．8C ．10D ．125．下列语句中，错误的是（）A ．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B ．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C ．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D ．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6．菱形的周长是8 cm ，则菱形的一边长是______．7．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______．33338．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______．9．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______．10．菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1：，那么菱形的边长为_______．三、解答题11.如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF12.如图，四边形ABCD是边长为13cm（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.13.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3：4，求菱形的面积．14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH．33A15．已知：如图，在中，D 是BC 边上一点，交AB 于E ，交AC 于F ，且DE=DF 求证：四边形AEDF 是菱形．16．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，，求的度数．17．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是对角线，．求证：18．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm ，求菱的高．19．如图，在菱形ABCD 中，相交于点O ，且，若，求菱形ABCD 的面积．ABC ∆AC DE//AB DF //︒=∠︒=∠=∠18,60BAE EAF B CEF ∠︒=∠30ABC .2BD AC AB ⋅=BD AC 、3:1:=BD AC 12=AB20．如图，在ABCD 中，，把AB 向两方延长，使，连结CE 、DF ，请问CE 、DF 有怎样的位置关系，并证明你的结论．21．把两条宽度相同的纸条交叉重叠放在一起，如图，重叠部分ABCD 是什么四边形？度证明你的结论？AB AD 2=AB BF AE ==参考答案一、1．C 2．C 3．B 4．B 5．D二、6．2 cm 7．44厘米 8．176 cm 2 9．8 cm 5 cm 10．4 cm三、11．△ADE ≌△ABF AE =AF ．12．AC=24cm , 菱形ABCD 的面积是120 cm 213．24 cm 2 14．9.6 cm15．，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是菱形．16．连结是等边三角形，∴，又可证，∴是等边三角形，∴．17．由，可知菱形的高等于边长的一半．∴，∴ 18．9.6cm19．20．，连结MN ，可证得，则，同理，由，且可知四边形是平行四边形，又，可知四边形是菱形，所以．21．是菱形，作于于Q ，由于两纸条的宽度相等，所以，则，∴，则，∴，又由四边形是平行四边形可知是菱形．AB DF AC DE //,// AEDF DF DE = AEDF ABC AC ∆,AC AB ACB BAC =︒=∠=∠,60ACF ABE ∆≅∆AEF ∆︒=∠18CEF ︒=∠30ABC 2212121AB AB BC BD AC S ABCD =⋅=⋅=菱形.2BD AC AB ⋅=372DF CE ⊥DMC AME ∆≅∆DC DM =CN DC =CN DM =CN DM //DMNC DM DC =DMNC DF CE ⊥ABCD BC AP ⊥CD AQ P ⊥,AQ AP =AQD APB ∆≅∆AD AB =AQD APB ∆≅∆AD AB =ABCD菱形的性质与判定学习要求理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．课堂学习检测一、填空题：1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．二、选择题6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形8．下列命题中，正确的是( )．(A)两邻边相等的四边形是菱形(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形(D)对角线垂直的四边形是菱形第9题图9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．(A)4(B)8 (C)12 (D)16 10．菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． (A) (B)4 (C)1(D)2综合、运用、诊断一、解答题11．如图，在菱形ABCD 中E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4．求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是，求AB 的值．13．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．14．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21315．如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．16．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．5参考答案1．一组邻边相等．2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．3．平行四边形；相等，互相垂直． 4． 5．20，24．6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．C ．11．120°；(2)8． 12．2．13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略．14．(1)略；(2)△ABC 是Rt △．15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略．16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．(3)提示：∵≤△BEF 的边长＜2.3103322)2(43)3(43<≤∴S .3343<≤∴S菱形的性质（提高）一、判断题1．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形．（）2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（）3．对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形．（）4．菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条．（）5．菱形的对角线互相垂直平分，且平分各内角．（）二、填空题6．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为_______．7．两条对角线_________的四边形是菱形．8．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，则这对角线长分别为_____，_______．9．菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积= ____．10．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，则OF=_____，OG=_______，OH=______．三、选择题11．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，则该菱形的钝角为（）．A．110°B．120°C．135°D．150°12．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）．A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm13．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相相等D．对有线相等14．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在15．下列说法不正确的是（）．A ．菱形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线平分各内角C ．菱形的对角线相等D ．菱形的对角线交点到各边等距离四、解答题16．如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．17．如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．18．如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．19．如图所示，菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2．求：（1）较短对角线长是多少？（2）一组对边的距离是多少？20．如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF= 60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数．21M FE DC BA 123421ME DC BA21．已知：菱形一边及这边上的高．求作：满足条件的这个菱形．22．已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各边长．23．菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为10°，求菱形的各内角．24．如图所示，已知菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，求∠C的度数．25．如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DE∥AC，CE⊥BD，OE与CD 互相垂直平分吗？请说明理由．26．如图所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED 平分∠AEC吗？请说明理由．27．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等．参考答案一、1．× 2．× 3．√ 4．× 5．√二、6．12cm 7．互相垂直平分 8．8 12 9．52 120 10．3cm 3cm 3cm三、11．B 12．C 13．C 14．B 15．C四、16．由于△AME 是以AC 为轴的轴对称图形（其中∠1=∠2，ME ⊥AC ）所以AM=AE=AD ，故AM=AB ，所以M 是AB 的中点． 17．设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，所以∠AEB=∠ABC=2x°，那么5x°=180°，x=36°，由于∠1=∠2，故∠2=36°，∠BEM=72°，那么∠BME=72°，所以∠BEM=∠BME 即BE=BM ，又∠1=∠5=36°，所以BM=AM ，那么BE=AM 18．30° 19．（1）20cm （2）cm20．连AC ，可得△ABC 为等边三角形，则∠ACF=120°-60°=60°，由已知得∠2=∠1=15°，把△ABE 绕着A 按逆时针方向旋转60 °可与△ACF 重合，这样AF=AE ，由于∠EAF=60°，故△AEF 为等边三角形，那么∠AEF=60°，由于∠AEB=180°-60°-15°=105°，故∠CEF=180°-60°-105°=15°21．略 22．6 6 6 6 23．80° 100° 80° 100° 24．100° 25．四边形ODEC 是菱形26．由∠B=∠EAD=70°，AD ∥BC ，即∠AEB=70°，那么∠1=40°，由AB=AE ，AB=AD ，得AE= AD ，即∠2=55°，而∠AEC=180°-70°=110°，故∠DEC=110°-55°=55°，所以ED 平分∠AEC27．通过斜边中线等于斜边的一半和菱形各边都相等的道理而推得.1212。

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菱形的性质与判定
学习要求
理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．
课堂学习检测
一、填空题：
1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．
3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；
对角线______的平行四边形是菱形．
4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．
5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．
二、选择题
6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．
(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．
(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形8．下列命题中，正确的是( )．
(A)两邻边相等的四边形是菱形
(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
(D)对角线垂直的四边形是菱形
9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．
(A)4
(B)8 (C)12
(D)16 10．菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． (A)21 (B)4 (C)1
(D)2
综合、运用、诊断
一、解答题
11．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4．
求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．
12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．
13．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
15．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如
果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个
动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
拓展、探究、思考
17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)．
18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是______．
参考答案
1．一组邻边相等．
2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．
3．平行四边形；相等，互相垂直． 4．.310 5．20，24．
6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．C ．
11．120°；(2)83． 12．2．
13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略．
14．(1)略；(2)△ABC 是Rt △．
15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略．
16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．
(3)提示：∵3≤△BEF 的边长＜2
22)2(4
3)3(43<≤∴S .334
3<≤∴
S 17．略． 18．.)23(1-n。