中考复习专题之圆的证明与计算题打印版
中考复习专题：圆的证明与计算题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，cos A＝2
5
，求DF的长．
3如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN；
(2)若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sin B＝
5
5
，EF＝25，求CD的长．
5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，
过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作ABCD，连
接BE，DO，CO.
(1)求证：DA=DC；
(2)求∠P及∠AEB的度数.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证：∠ABD＝∠ADE；
(2)若⊙O的半径为25
6
，AD＝
20
3
，求CE的长．
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且
∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过
点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
8.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，
垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若cos∠CAO ＝45
，且OC ＝6，求PB 的长．
9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD
＝∠ABC .
(1)求证：CA 是⊙O 的切线；
(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan∠ABC ＝23
，tan∠AEC ＝53
，求⊙O 的直径． 10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .
(1)求证：DE ⊥AC ；
(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．
11.如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分
∠BAF 且交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，延长AB 、
DC 交于点E ，连接BC 、CF .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长；
(3)求证：AF ＋2DF ＝AB .
12.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O
交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .
(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；
(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .
13.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、
F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长
AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .
(1)求证：直线PA 为⊙O 的切线；
(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；
(3)若BC ＝6，tan F ＝12
，求AC 的长. 14.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连接BE .
(1)求证：AC 平分∠DAB ；
(2)求证：PC =PF ；
(3)若tan∠PCB ＝34
，BE ＝52，求PF 的长． 15.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且点C 是劣弧AG 的中点，过点C 的直线CD ⊥BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若ED ＝3DB ，求证：3OF ＝2DF ；
(3)在(2)的条件下，连接AD ，若CD ＝3，求AD 的长．
16.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，连接AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线；
(2)若tan D ＝12，求AE AC
的值； (3)设⊙O 的半径为3，求AB 的长．
17.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD ，CD .过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P .
(1)求证：PD 是⊙O 的切线；
(2)求证：△PBD ∽△DCA ；
(3)当AB ＝6，AC ＝8时，求线段PB 的长．
18.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，弦CE 交AB 于点D ，连接OE ，AC ，且∠P ＝∠E ，∠POE ＝2∠CAB .
(1)求证：CE ⊥AB ；
(2)求证：PC 是⊙O 的切线；
(3)若BD ＝2OD ，且PB ＝9，求tan P 的值．
19.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BE ⊥AC 于H ，F 为⊙O 上的一点，过点F 的直线与AC 的延长线交于点D ，与BE 的延长
线交于点M，连接AF交BM于G，且MF＝MG.
(1)求证：MD为⊙O的切线；
(2)求证：当MD∥AB时，FG2＝MF·EG；
(3)在(2)的条件下，若cos M＝4
5
，FD＝6，求AG的长．
20.如图①，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线;
(2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；
(3)如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，
若FG＝19
4
，tan∠BAD＝
3
4
，求⊙O的半径．
图① 图
②。
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。
（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。
（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。
7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。
中考数学复习 查补重难点 圆的相关计算与证明(原卷版)
查补重难点07.圆的相关计算与证明考点一：圆的基本概念与性质1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．3）圆内接四边形的对角互补．题型1.垂径定理及其运用 1.如图，可得①AB 过圆心；②AB ⊥CD ；③CE =DE ；④ AC AD =；⑤ BCBD =。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，A 、B 、C 是O 上的点，OC AB ⊥，若5OA =，8AB =，则CD =（）A ．5B ．4C ．3D ．2变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，ABC 是O 的内接三角形，若60A ∠=︒，BC =O 的半径长为()A ．4BC ．2D ．1题型2.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。
专题25 圆的有关计算与证明(共50题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题25圆的有关计算与证明（50题）一、单选题1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD 内接于O ，分别以AB BC CD AD 、、、为直径向外作半圆．若4,5==AB BC ，则阴影部分的面积是（）A ．41204π-B ．41202π-C ．20πD ．203．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为 AC 上一点，OB AC ⊥于D ．若3003m AC =，150m BD =，则 AC 的长为（）A ．300m πB ．200m πC ．150m πD ．1003mπA ．21cm 4πB 5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形段90︒的圆心角的圆心为为A BCD 、、、循环，则A ．40452πB ．20236．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角心，AC 为半径画弧，交AB 于点积是（）A ．π2-B ．2π2-7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点,C D 在半圆上， CDDB =，连接,,OC CA OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为（）A ．2B ．223C ．75D ．32二、填空题8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为________（2）若点D在圆上，AB与CD为等边三角形，并简要说明点15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在H AH=．以点A为圆心，,3一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r r-=________________的半径为2r，则1216．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100︒的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．三、解答题17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 与O 相切于点A ，半径OC AB ∥，BC 与O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：OCA ADC ∠∠=；(2)若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以ABC 的边AC 为直径作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB 和DE 的长．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG 235,4AD DE ==，求DG 的长．21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点射线BE 与射线CD 交于点F ．(1)若13ED =，求DF 的长．(2)求证：1AE CF ⋅=．(3)以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，50cm AB =，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN GH ∥．计算：在图1中，已知48cm MN =，作OC MN ⊥于点C ．（1）求OC 的长．操作：将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当30ANM ∠=︒时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中(1)求证：2AOB ∠=∠(2)若4,5AB BC ==径，45ABD ∠=︒，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足45CFE ∠=︒．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB DG =；①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形ABCD 的周长．25．（2023·天津·统考中考真题）在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ∠=︒，E 为弦AB 所对的优弧上一点．(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA =，求EG 的长．26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，5,25AC BC ==，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D ，连接BD ，作BE CD ⊥，垂足为E ．(1)求证：DBE ABC △∽△；(2)若2AF =，求ED 的长．27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，ABC ABD 、内接于O AB BC P = ，，是OB 延长线上的一点，PAB ACB ∠=∠，AC BD 、相交于点E ．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)若24BE DE ==，，30P ∠=︒，求AP 的长．28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=，求O 的半径．29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．(1)求证：PC 为O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；(3)若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点E ．AE 平分BAC ∠，过点E 作ED AC ⊥于点D ，延长DE 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是O 的切线；(2)若1sin ,43P BP ∠==，求CD 的长．31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形(1)如图1，连接,OA CA ，若OA BD ⊥，求证；CA 平分BCD ∠；(2)如图2，E 为O 内一点，满足,AE BC CE AB ⊥⊥，若BD =32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，210AB =，O 的弦CD AB ⊥于点E ，6CD =．过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点F ，连接BC ．∠；(1)求证：BC平分DCF(2)G为 AD上一点，连接CG交AB于点H，若34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，行弦，弦AB交MC于点H．点A在¼MC上，点⋅=⋅．(1)求证：MH CH AH BH(2)求证：AC BC=．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND NG的长．35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>BD于点E，连接CA'．(1)求证：AA CA '⊥'；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：3AA CA '='；②如图3，O 与CA '相切，1AD =，求O 的面积．36．（2023·山东·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BC DE =；(2)P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；(3)在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB 是O 的直径，CD CB =，BE 切O 于点B ，过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ，若2EF BF =．(1)如图1，连接BD ，求证：ADB OBE △≌△；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使60MCN ∠=︒，连接MN ．请问：三条线段MN BM DN ，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．(1)若1BE =，求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交O 于点C ，43AB PB ==，．(1)填空：PBA ∠的度数是_________，PA 的长为_________；(2)求ABC 的面积；(3)如图2，CD AB ⊥，垂足为D ．E 是 AC 上一点，5AE EC =．延长AE ，与DC ，BP 的延长线分别交于点,F G ，求EF FG的值．40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线与边BC 相交于点F ，与ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：::ABF ACF S S AB AC =△△；(2)求证：::AB AC BF CF =；(3)求证：2AF AB AC BF CF =⋅-⋅；(4)猜想：线段,,DF DE DA 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB 是O 的直径，直线l 是O 的切线，B 为切点．P ，Q 是圆上两点（不与点A 重合，且在直径AB 的同侧），分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C ，点D ．(1)如图1，当6AB =，BP的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当34AQ AB =， BP PQ =时，求BC CD的值．(3)如图3，当6sin 4BAQ ∠=，BC CD =时，连接BP ，PQ ，直接写出(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH PN <，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当1534NQ x =-时，求43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点接AF ，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点D 交AC 于点H ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若tan 34E =，4BE =，求FH 的长．44．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上异于B C 、的点．O 外的点E 在射线CB 上，直线EA 与CD 垂直，垂足为D ，且DA AC DC AB ⋅=⋅．设ABE 的面积为1,S ACD 的面积为2S ．(1)判断直线EA 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若21,BC BE S mS ==，求常数m 的值．45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角ABC 内接于O ，D 为BC 的中点，连接AD 并延长交O 于点E ，连接,BE CE ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 在AD 上，连接,BG CG ，若BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形D 的直线l 交BA 的延长线于点M ，交BC 的延长线于点(1)求证：MN 是O 的切线；(2)求证：2AD AB CN =⋅；(3)当6AB =，3sin 3DCA ∠=时，求AM 的长．47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt ABC △E 是BC 的中点，连接OE DE 、．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若4sin ,55C DE ==，求AD 的长．(3)求证：22DE CD OE =⋅．48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB 是半径为1的O 的弦，O 的另一条弦CD 满足CD AB =，且CD AB ⊥于点H （其中点H 在圆内，且AH BH CH DH >>，）．(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段AD 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF AH =，连结CF ，HCF ∠的平分线CP 交AD 的延长线于点P ，点M 为AP 的中点，连结HM ，若12PD AD =．求证：MH CP ⊥．49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在O 中，AB 是一条不过圆心O 的弦，点,C D 是 AB 的三等分点，直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点G ，连结AC ，过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O ①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；③若88HF AB ⋅=，求BHC △的面积．50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交点N ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：EM EN =；(3)如果N 是CM 的中点，且AB =。
2023年中考数学专题训练——圆的计算和证明(附答案)
2023年中考专题训练——圆的计算和证明1．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．(1)求证：DC为⊙O切线；(2) 若AD·OC=8，求⊙O半径．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．3．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°，且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果精确到0．01）5．如图，△AB ．C 内接于⊙0，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）判断直线CD 与⊙0的位置关系，并说明理由（2）若⊙0的半径为1，求阴影部分面积．6．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，E 为AB 上一点，以AE 为直径作O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE AF =；（2）若5,4AE AC ==，求BE 的长．7．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC 交⊙O 于点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB =8，∠BAC =45°，求：图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线于⊙O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：∠ABC ＝2∠CAF ；（2）若AC ＝10，CE ：EB ＝1：4，求CE 的长．9．如图，在⊙O 中，半径OA 与弦BD 垂直，点C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°(1) 若点C 在优弧BD 上，求∠ACD 的大小(2) 若点C 在劣弧BD 上，直接写出∠ACD 的大小10．如图，在等腰ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．11．如图，四边形是平行四边形，以AB 为直径的O 经过点D, E 是O 上一点,且45AED ∠=︒．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由;(2) 若BC=2 .求阴影部分的面积.(结果保留π 的形式)．12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝tan P＝34，求FB的长．14．已知，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数；（2）如图2，延长PB、AC相交于点D．若AP＝AC，求cos D的值．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．16．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．(1)求∠ACM的度数；(2)在MN上是否存在一点D，使AB•CD＝AC•BC，为什么？17．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE CE，过点C作CD∥AB 交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求CF的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是AC上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．（1）求证：∠ADB＝∠CDE；（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．19．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD＝∠BDC；（2）若sin∠BDC，BC＝2，求⊙O的半径．20．同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：如图，A为⊙O 的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA＝DC．（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．①求证：DA＝DC；②当DF：EF＝1：8，且DF AB•AC的值．（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA＝DC是否仍然成立？证明你的结论．参考答案：1．（1证明见解析；（2）2.【分析】（1）连接OD ，要证明DC 是 O 的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD ≌△OCB ，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC 是 O 的切线；（2）连接BD ，OD ．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB ∽△ODC ，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r 的值．【解析】解：（1）证明：连接OD.∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO.∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC ，∠ADO=∠COD ，∴∠BOC=∠COD.∵在△OBC 与△ODC 中，{OB ODBOC DOC OC OC=∠=∠=，∴△OBC ≌△ODC(SAS)，∴∠OBC=∠ODC ，又∵BC 是O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC 是O 的切线；（2）连接BD.∵在△ADB 与△ODC 中,{90A COD ADB ODC ∠=∠∠=∠=︒∴△ADB ∽△ODC ，∴AD:OD=AB:OC ，∴AD ⋅OC=OD ⋅AB=r ⋅2r=2r²,即2r²=8，故r=2．2．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）83 AF .【分析】（1）连接BD，先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，证明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；（2）先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°，由垂径定理得AH=CH，由垂直平分线的性质得BC=AB=4，CD=AD=2，证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，设 AF=x，则DF=CF-CD=2x-2，根据勾股定理列方程可解答．【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由是：连接BD，如下图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，∴∠BCD=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．∵∠CED=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠CED=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，∴DE⊥BD于点D，∴DE与⊙O相切．（2）如下图，BD与AC交于点H，∵DE ∥AC ，∴∠BHC=∠BDE=90°．∴BD ⊥AC ．∴AH=CH ．∴BC=AB=4，CD=AD=2．∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F ，∴△FAD ∽△FCB ，2=4AF AD CF CB ∴=， ∴CF=2AF ，设 AF=x ，则DF=CF-CD=2x-2．在Rt △ADF 中，DF 2=AD 2+AF 2，∴（2x-2）2=22+x 2．解得： 128,03x x ==（舍去）， 83AF ∴=． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，垂直平分线的性质定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理．（1）证明切线最常用的办法，即如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心的半径，只有证明这条半径与该直线垂直即可，此问中能依据90°圆周角所对的弦是直径证明BD 是⊙O 的直径是解题关键；（2）中能通过证明△FAD ∽△FCB ，得出CF=2AF 是解题关键．3．（1）25π；（2272【分析】（1）先利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒．再利用勾股定理计算出AB ，然后利用圆的面积公式计算；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，利用垂径定理得到AD BD =，再证明ADB ∆为等腰直角三角形得到252DB AB =，利用BCH ∆为等腰直角三角形得到232CH BH ==42DH =72CD =股定理计算CD '即可．【解析】解：（1）AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒．8AC ∴=，6BC =，10AB ∴=．O ∴的面积2525ππ=⨯=；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，则AD BD =，AD BD ∴=，45ACD BCD ∠=∠=︒， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，DB AB ∴== 又∵45BCD BAD ∠=∠=︒，∴BCH ∆为等腰直角三角形，CH BH ∴===在Rt BDH ∆中，DHCD CH DH ∴=+=DD '是O 的直径，90DCD ∴∠'=︒，CD ∴'=综上所述，CD【点评】本题考查了与圆有关的计算，涉及了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．解题关键是正确画出图形得出ADB ∆为等腰直角三角形，并用勾股定理求解．4．（1）OE=32；（2）32π． 【分析】（1）根据∠D=60°，可得出∠B=60°，继而求出BC ，判断出OE 是△ABC 的中位线，就可得出OE 的长；（2）连接OC ，将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面积．【解析】解：（1）∵∠D=60°，∴∠B=60°（圆周角定理），又∵AB=6，∴BC=3，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵OE ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵点O 是AB 中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE=1232BC =；（2）连接OC ，则易得△COE ≌△AFE ，故阴影部分的面积=扇形FOC 的面积，S 扇形FOC =260333260π⨯=π． 即可得阴影部分的面积为32π． 【点评】此题考查扇形的面积，含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理等，解题关键在于将不规则图形转化为规则图形进行求解．5．（1）相切，理由见解析；（236π 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求出∠O 的度数，再根据半径相等求出△OCB 为等边三角形，即可得出答案；（2）根据∠O 的度数和半径求出CD 的长度，进而求出△COD 的面积，利用扇形面积公式求出扇形OCB 的面积，三角形的面积减去扇形的面积即可得出答案.【解析】解：（1）∵∠A=30°∴∠O=2∠A=60°又OB=OC∴△OBC 为等边三角形，∠OCB=60°又∠BCD=30°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°∴CD 与⊙O 相切（2）由（1）可知△OCD 为直角三角形，∠O=60°又半径为1，即OC=1∴CD OC tan O ∠==∴12OCD S CO CD =⨯⨯=2OCB 601S 3606ππ⨯⨯==扇形∴OCB S S 6OCD S π=-=阴影扇形 【点评】本题考查的是圆的综合，难度适中，牢记圆中的相关定理和性质是解决本题的关键. 6．（1）见解析；（2）53BE =. 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，根据平行线的判定定理得到OD ∥AC ，求得∠ODE=∠F ，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE ，等量代换得到∠OED=∠F ，于是得到结论；（2）根据平行得出BOD BAC ∆∆∽，再由BO OD AB AC=可得到关于BE 的方程，从而得出结论． 【解析】（1）证明：连接OD ，∵BC 切O 于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC ︒∠=．又90ACB ︒∠=，∴//OD AC ，∴ODE F ∠=∠．∵OE OD ，∴OED ODE ∠=∠，∴OED F ∠=∠．∴AE AF =．（2）解：∵//OD AC ，∴BOD BAC ∆∆∽，∴BO OD AB AC=． ∵5,4AE AC ==，∴ 2.5OE OD ==， ∴ 2.5 2.554BE BE +=+， ∴53BE =． 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（1）AB =AC ；（2）242π-【分析】（1）连接AD ，根据圆周角定理可以证得AD 垂直且平分BC ，然后根据垂直平分线的性质证得AB ＝AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ，根据扇形的面积公式解答即可．【解析】（1）AB =AC ．理由是：连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，又∵DC =BD ，∴AB =AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ．∵AB =8，∠BAC =45°，∴∠BOD =45°，OB =OD =4，∴DH 2∴△OBD 的面积=1422422⨯⨯扇形OBD 的面积=24542360ππ⋅⋅=， 阴影部分面积=242π-【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．8．（1）见解析；（2）CE ＝2．【分析】（1）首先连接BD ，由AB 为直径，可得∠ADB=90°，又由AF 是⊙O 的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（）2=x2+（3x）2求得答案．【解析】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴CE＝2．【点评】此题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．9．（1）∠ACD=40°；（2）∠ACD=40°或140°．【分析】（1）由AO⊥BD，根据垂径定理可得AD AB，再利用等弧对等角，以及圆周角定理即可求出结果；（2）如图所示，点C 有两个位置，分别利用圆周角定理的推论和圆周角定理求出即可.【解析】解：（1）∵AO ⊥BD ，∴AD AB =，∴∠AOB =2∠ACD ，∵∠AOB =80°，∴∠ACD =40°；（2）如图，①当点C 1在AB 上时，∠AC 1D =∠ACD =40°；②当点C 2在AD 上时，∵∠AC 2D +∠ACD =180°，∴∠AC 2D =140°. 综上所述，∠ACD =40°或140°．【点评】本题考查了圆周角定理及其推论和垂径定理等知识，熟练掌握上述知识、正确分类是解本题的关键.10．（1）312π；（2）42h =【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD BC ⊥，BD CD =，则可计算出BD 63=后利用扇形的面积公式，利用由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积ABC EAF =S S -扇形进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120π62πr 180⋅⋅=，解得r 2=，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h ． 【解析】∵在等腰ABC 中，BAC 120∠=︒，∴B 30∠=︒，∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴AD BC ⊥，BD CD =， ∴BD 3AD 63== ∴BC 2BD 3==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2ABC EAF 1120π6=S S 6123312π2360⋅⋅-=⨯⨯=扇形. （2）设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得120π62πr180⋅⋅=，解得r2=，这个圆锥的高h【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．11．（1）相切，证明见解析（2）3-23π.【分析】(1)连接BD，OD求出∠ABD=∠AED=45°，根据DC∥AB推出∠CDB=45°求出∠ODC=90°根据切线的判定推出即可(2)求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO，OD分别求出△AOD扇形DOB，平行四边形ABCD 的面积相减即可求出答案【解析】(1)解CD与⊙O的位置关系是相切理由是连接BD，OD∵∠AED=45°∴∠ABD=∠AED=45°∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB,∴∠CDB=45°∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=45°∴∠ODC=45°+45°=90°∵OD为半径,∴CD与⊙O的位置关系是相切;(2)解AB∥CD,∠ODC=90°∴∠DOB=90°=∠DOA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,在△AOD中由勾股定理得:2AO2=222∴S △AOD=12 OA×OD=12×2×2S 扇形BOD=26022=3603⨯ππ S 平行四边形ABCD=AB×2×2∴阴影部分的面积是:4-1-23π=3-23π.【点评】此题考查切线的判定，勾股定理，扇形面积，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线12．(1)PB 与⊙O 相切，理由见解析；(2)⊙O 的半径为4.5．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB =PD ，通过证明△ABP 与△ADP 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP =∠ADP =90°，再根据切线的判定定理即可得证；（2）根据全等三角形的性质得∠BAC =∠DAC ，得到BC =CE =3，然后证明△DCE 与△DAB 相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC •DB ＝DE •DA ，代入相关数据即可求得答案．【解析】(1)PB 与⊙O 相切，理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BD ，又AB ＝AD ，∴AP 是线段BD 的垂直平分线，∴PB ＝PD ，在△ABP 和△ADP 中， AB AD PB PD AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△ADP (SSS)，∴∠ABP ＝∠ADP ＝90°，∴PB 与⊙O 相切；(2)连接CE ，∵△ABP≌△ADP，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC CE=，∴BC＝CE＝3，∵AB＝AD，AC⊥BD，∴BC＝CD＝3，∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠DBA+∠CEA=180°，∵∠DEC+∠CEA=180°，∴∠DBA=∠DEC，又∵∠CDE=∠ADB，∴△DCE∽△DAB，∴DC：DA=DE：DB，∴DC•DB＝DE•DA，即3×6＝DE×(DE+7)，解得，DE＝2，∴DA＝2+7＝9，∴AB＝AD＝9，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）FB＝2【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可得∠EF A＝∠FCP，继而可推得∠CFP＝∠FCP，再根据等角对等边即可证得；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由OB∥PC，OB＝OC，BC＝，从而求得OB＝3，继而证得四边形OBGC是正方形，从而有OB＝CG＝BG＝3，从而有34BGPG=，求得PG＝4，再利用勾股定理可求得PB长，继而可求出FB长．【解析】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EF A＝∠FCP，∵∠EF A＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝2∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝34，∴34 BGPG，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用相关知识求解．14．（1）50°；（2）cosD＝45．【分析】（1）连接OB．根据平行的想得到PA⊥AO，PB⊥OB，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）连结OP交AB于点E，再连OB、BC，根据切线的性质得到∠PAC=∠PBO=90°，推出OP是AB的垂直平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：如图1，连接OB．∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴PA⊥AO，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∵∠BAC＝25°，OB＝OA，∴∠BOA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；（2）解：如图2，连结OP交AB于点E，再连OB、BC，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PBO＝90°，∵AP＝AC，AC是⊙O的直径，∴12OAPA=，∵PB＝PA，OB＝OA，∴OP是AB的垂直平分线，∵∠OAP＝90°，AE⊥OP，∴△OEA∽△AEP∽△OAP，∴OA OE OP OA=，设OE＝a，可得AE＝BE＝BC＝2a，PE＝4a，∴OP＝5a，∴OA，PA＝PB＝，∵∠ABC＝∠AEO＝90°，∴OP∥BC，∴△DBC∽△DPO，∴CDOD＝BDOD＝BCOP＝25．∴BD 45，OD＝535，∴cos D＝BDOD＝45．【点评】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（1）DE与⊙O相切，证明详见解析；（2）EC＝1.【分析】（1）连接OD，由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可证DE⊥OD，即可证DE与⊙O相切；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，由题意可证Rt△DF A≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的长．【解析】解：（1）DE与⊙O相切理由如下：连接OD∵OB＝OD∴∠OBD＝∠ODB∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠CBD∴∠CBD＝∠ODB∴OD∥BE∵DE⊥BC于点E．∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB∴DF＝DE，AD DC=∴AD＝CD∵AD＝CD，DF＝DE∴Rt△DF A≌Rt△DEC（HL）∴AF＝EC∵DF＝DE，DB＝DB∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）∴BF＝BE∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6∴4+2CE＝6∴EC＝1【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，理由见解析.【分析】(1)求∠ACM的度数,需求出∠B的度数;在Rt ABC∆中,已知∠A的度数,即可求出∠B、∠ACM的度数;(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:①AB BCAC CD=,此时需证Rt ABC Rt CBD∆~∆,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;②AB ACBC CD=,此时需证Rt ABC Rt ACD∆~∆,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.【解析】(1)∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∴∠ACM＝∠B＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，∴∠ACD＝∠B，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴AB AC BC CD=，即AB•CD＝AC•BC；②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明过程同①，因此MN上存在至少一点D，使AB•CD＝AC•B C．【点评】本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质,要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用.17．（1）证明见解析；（2）53π【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，AB BC=，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+12（180-3x）=180，求出x的值，接着求CF所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．【解析】（1）证明：∵AE CE=，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴AB BC=，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝12（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+12（180﹣3x）＝180，x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝3，∴CF的长＝1003180π⨯＝53π．【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．18．（1）证明见解析（2）18【分析】（1）根据AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC，从而得出答案；（2）作AM⊥CD于点M，根据题意可得出BF，还可证明△ACM≌△ABF，从而可得出△DBC 的面积．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠ABC，∴∠ADB＝∠CDE；（2）解：作AM⊥CD于点M，∵AB＝10，AF＝6，∴BF＝8，∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，∴△ACM≌△ABF，∴CM＝BF＝8，∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．∴BD＝BF+DF＝10＝AB．∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，∴AB∥CD，∴S△DBC＝S△ADC＝12CD×AM＝18．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.19．（1）证明见解析（2）3【分析】（1）连接OD，如图，先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°，再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，则∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代换即可得到结论；（2）利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=5BDAB设5，AB=5x，则5，然后证明△CBD∽△CDA，则利用相似比可计算出CD和AB，从而得到圆的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠BDA＝90°，即∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠BDC＝∠ODA，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠BDC ；（2）解：∵sin ∠A ＝sin ∠BDC∴BD AB =设BD ，AB ＝5x ，则AD ，∵∠BAD ＝∠BDC ，∠BCD ＝∠DCA ，∴△CBD ∽△CDA ，∴12BC CD BD CD AC AD ====， 而BC ＝2，∴CD ＝4，AC ＝8，∴AB ＝AC ﹣BC ＝6，∴⊙O 的半径位3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是构建△CBD 与△CDA 相似．20．（1）①见解析②24（2）结论DA ＝DC 仍然成立【分析】（1）①连接OC ，利用切线的性质则可得到OC ⊥DC ，然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC ，利用等角对等边得到DA=DC 即可；②利用DF ：EF=1：8，然后利用切线长定理求得DC 的长，进而得到DC 、AD 的长，然后利用切线长定理得：AB•AC=AE•AF=24；（2）结论仍然成立，延长BO 交⊙O 于K ，连CK ，利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK ，从而得到∠DCA=∠BAH ，问题得证.【解析】（1）①证明：连OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B，又∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，∴∠DAC＝∠DCA∴DA＝DC，②∵DF：EF＝1：8，DF2∴EF＝8DF＝2，又DC为切线，∴DC2＝DF•DE22＝18，∴DC＝2∴AD＝DC＝2∴AF＝AD﹣DF＝2∴AE＝EF﹣AF＝2，∴AB•AC＝AE•AF＝24；（2）结论DA＝DC仍然成立，理由如下：延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB＝90°，又DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK，又∠BAH＝90°﹣∠HBA，而∠CBK＝∠HBA，∴∠DCA＝∠BAH，∴DA＝DC．【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理及切割线定理的内容，是一道比较复杂的切线的性质的综合题，难度较大．。
2023年九年级数学中考专题训练——圆的计算和证明 (1)
中考专题训练——圆的计算和证明1．如图1，AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 为AC AC 的中点，连接BC ，OD ．(1)求证：∥OD BC ；(2)如图2，过点D 作AB 的垂线与O 交于点E ，作直径EF 交BC 于点G ．若G 为BC 中点，O 的半径为2，求弦BC 的长．2．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AB 上一点，以AE 为直径的∠O 过点D ，且交AC 于点F ．(1)求证：BC 是∠O 的切线；(2)若CD =6，AC =8，求AE ．3．在扇形AOB 中，半径=6OA ，75O ∠=︒，点P 在半径OA 上，连结PB ，将∠OBP 沿PB 折叠得到O BP '．且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．(1)求APO '∠的度数；(2)求AP 的长．线段AC 于点G ，交AB 于点E ，交O 于点F ，连接DB ，CF ，A D ∠=∠．(1)求证：BD 与O 相切；(2)若AE OE =，CF 平分ACB ∠，12BD =，求DE 的长．5．如图，正方形ABCD 内接于∠O ，P 为BC 上的一点，连接DP ，CP ．(1)求∠CPD 的度数；(2)当点P 为BC 的中点时，CP 是∠O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．6．如图，△ABC 内接于∠O ，且AB 为∠O 的直径，∠ACB 的平分线交∠O 于点D ，过点D 作直线l 交CB 的延长线于点E ，且∠DCE ＝∠BDE ，过点B 作BF ∠CD 于点F ．(1)求证：DE 是∠O 的切线；(2)若∠O 的半径为52，AC ＝4，求线段DE 的长．7．如图，在等腰ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC的中点，过B，D两点的O 与AC相切于点E，AB与O交于点G．(1)求证：DEC CBE∠=∠；(2)求tan ABE∠的值．8．如图，AB是∠O的直径，DE与∠O相切于D点，AD CD=，BC交DE于点E．(1)求证：2BD＝AB•BE；(2)若AB＝5，BE＝4，求CE的长．9．如图，AB是∠O的直径，BD是弦，弧DC＝弧BC，CE是∠O的切线交AD的延长线于点E．(1)求证：AE∠EC；(2)若AB＝4，EDAD＝12，求弧BD的长．10．如图，AB为∠O的直径，弦CD∠AB于E，点F在DC的延长线上，AF交∠O于G．(1)求证：∠FGC＝∠ACD；(2)若AE=CD=8，试求∠O的半径．11．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．(1)M是CD的中点，OM＝4，CD＝24，求圆O的半径长；(2)点F在CD上，连接AC，若CE＝EF，∠B＝∠C，求证：AF∠BD．12．如图，AB是∠O的直径，AC是∠O的弦，过点C的直线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D=30°．(1)求证：直线CD为∠O的切线；(2)若CD=3，求图中阴影部分的面积．13．若∠ABC的三个顶点都在∠O上，AD是△ABC的高，AE是∠O的直径．(1)求证：AC AB AD AE⋅=⋅；14．如图，已知P，PB分别与∠O相切于点AB，∠APB＝60°，C为∠O上一点．(1)如图∠求∠ACB的度数；(2)如图∠AE为∠O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．15．如图，四边形ABCD是∠O的内接四边形，∠ABC=90°，AD=CD，过A作∠O的切线交CD的延长线于点P．(1)求∠P的度数；(2)若AB=6，BC=8，求P A、PD的长．16．如图，CD是∠O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若tan∠BDC＝2，AC＝3，求CD的长．317．如图，AB是∠O的直径，BD平分∠ABC，DE∠BC(1)求证：DE是∠O的切线：18．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是AB 的中点，CD 与AB 交于点E ．F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 为O 的切线；(2)连接BD ，取BD 的中点G ，连接AG ．若4CF =，2BF =，求AG 的长．19．如图，AB 是∠O 的直径，E 为AB 延长线上一点，EC 切∠O 于C ，AD ∠CE 于点D ．(1)求证：∠DAC ＝∠EAC ；(2)如果BE ＝2，CE ＝4，求线段AD 的长．20．如图，以AB 为直径的∠O 是ACD 的外接圆，连接OC ，OD ，AC CD =，AB 交CD 于点E ，PB 与O 相切于点B ．(1)求证：P PAD ∠=∠(2)若O 的半径为3，2OE =，求CE 的长．参考答案：1．(1)证明见解析 (2)22【分析】（1）连接BD ，由D 为AC 的中点，得=AD CD ，则ABD CBD ∠=∠，由等腰三角形的性质得ABD BDO ∠=∠，推出CBD BDO ∠=∠，即可得证；（2）由垂径定理得OF BC ⊥，由平行线的性质得DO EF ⊥，则DOE △是等腰直角三角形，45OED ∠=︒，易证OGB △是等腰直角三角形，得2BG =，再由2BC BG =，即可得出结果．【解析】（1）证明：连接BD ，如图1所示：∠D 为AC 的中点，∠=AD CD ，∠ABD CBD ∠=∠，∠OD OB =，∠ABD BDO ∠=∠，∠CBD BDO ∠=∠，∠∥OD BC ；（2）解：∠G 为BC 中点，∠OF BC ⊥，由（1）得：∥OD BC ，∠DO EF ⊥，∠DOE △是等腰直角三角形，∠45∠=︒，OED∠DE AB⊥，∠45∠=∠=︒，EOA BOG∠OGB△是等腰直角三角形，∠2BG==∠==．2BC BG【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．2．(1)见解析(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD∠BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∠EDA，得出比例式，代入数值求解即可．（1）证明：连接OD，∠OA=OD，∠∠OAD=∠ODA，∠AD平分∠BAC，∠∠BAD=∠CAD，∠∠ODA=∠CAD，∠OD∥AC，∠∠C=90°，∠∠ODC=90°，∠OD∠BC，∠OD为半径，∠BC是∠O切线；（2）解：在Rt ADC 中，AC =8，CD =6，由勾股定理得：AD =10．连接DE ，∠AE 为直径，∠∠EDA =∠C =90°，∠∠CAD =∠EAD ， ∠DCA ∠EDA ， ∠AE AD AD AC =， ∠10108AE =， AE =12.5．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．3．(1)60APO '∠=︒ (2)626AP =-【分析】（1）根据折叠的性质、切线的性质和四边形内角和度数可求得OPO ∠'的度数，再根据平角的定义即可求得APO '∠的度数；（2）连接OO '交PB 于点G ，由折叠的性质知，BP 垂直平分OO '，BO BO '=．OBP O BP '∠=∠，则45BOO '∠=︒，62OO '=再说明30POO '∠=︒，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（1）由折叠可得：75O O '∠=∠=︒，∠BO '与AB 所在的圆相切于点B ，∠90OBO '∠=︒，∠四边形内角和为360︒，∠360757590120OPO '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∠18012060APO '∠=︒-︒=︒；（2）连接OO '交PB 于点G ，由折叠可知，BP 垂直平分OO '，6BO BO '==，OBP O BP '∠=∠， ∠BO '与圆相切，∠90OBO '∠=︒，∠OO '∠12OG OO '== ∠∠AOB ＝75°，18090452BOO ︒-︒'∠==︒， ∠30POO '∠=︒， ∠12PG OP =， ∠222OP PG OG =+， ∠221184OP OP =+，∠OP =∠6AP =-【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形和三角形内角和定理和勾股定理等知识，根据折叠的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理求得30POO '∠=︒是解题的关键．4．(1)见解析 (2)65【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，再由平行线的性质可得90DGA ∠=︒，结合A D ∠=∠与三角形内角和定理即可得到90DBE ∠=︒，即可得证； （2）如图2，连接OF ，先根据垂径定理证明OF AB ⊥，再证明EFO △∠EDB △，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．（1）证明：AB 是O 的直径90ACB ∴∠=︒，DG BC ∥，90AGE ACB ∴∠=∠=︒，A D ∠=∠，AEG DEB ∠=∠，90DBE AGE ∴∠=∠=︒，A DB B ∴⊥，BD ∴与O 相切；（2）解：如图2，连接OF ，CF 平分ACB ∠，45ACF BCF ∴∠=∠=︒，290AOF ACF ∴∠=∠=︒OF AB ∴⊥，BD AB ⊥，OF BD ∴∥，EFO ∴∠EDB △，OF OE BD BE∴=， AE OE =，13OE EB ∴=， 1123OF ∴=， 4OF ∴=，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO △∠EDB △．5．(1)45DPC ∠=︒(2)8n =【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于∠O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【解析】（1）解：连接OD，OC，∠正方形ABCD内接于∠O，∠∠DOC＝90°，∠1452DPC DOC∠=∠=︒．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∠正方形ABCD内接于∠O，∠∠COB＝90°，∠点P为BC的中点，∠CP BP=，∠1452COP COB∠=∠︒＝，∠n＝360÷45＝8．【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．6．(1)证明见解析；(2)ED＝358．【分析】（1）连接OD，先证∠DAB是等腰直角三角形，得OD∠AB，根据已知条件得到OD∠PD，即可得出结论；（2）先由勾股定理求得BC，再由等腰直角三角形的性质求出BD、BF、CF的长，然后由勾股定理和相似三角形的性质即可解决问题．（1）证明：连接OD，BD，如图所示∠AB为∠O的直径，∠∠ACB＝90°，∠∠ACB的平分线交∠O于点D，∠∠ACD＝∠BCD＝45°，∠∠DAB＝∠ABD＝45°，∠∠DAB是等腰直角三角形，∠OA＝OB，∠OD∠AB，∠∠ODB＝∠DCB＝45°，∠∠DCB＝∠BDE，∠∠BDE＝45°，∠∠ODE＝90°，∠PD是∠O的切线；（2）解：∠∠O的半径为52，∠AB＝5，∠AC＝4，∠BC3，∠∠DAB为等腰直角三角形，∠BD 252 ∠BF ∠CD ，∠∠BCF 为等腰直角三角形，∠BF ＝CF 232 在Rt △DBF 中，DF 22BD BF -225232()()22-22 ∠CD ＝CF +DF 322272， ∠∠BDE ＝∠DCE ，∠E ＝∠E ，∠∠BDE ∠∠DCE ， ∠DE CE ＝BE DE ＝BD CD ＝57， ∠BE ＝57ED ，CE ＝75ED ， ∠EC ＝EB +BE ， ∠57ED +3＝75ED ， 解得：ED ＝358． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．7．(1)见解析 7【分析】（1）连接OD 、OE ，根据等腰三角形的性质及切线的性质可得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质可得2CB CA CE =⋅，设BD CD a ==，则2BC a =，过E 作EH AB ⊥，连接AD ，然后通过解直角三角形可得答案．（1）证明：连接OD 、OE ，OD OE =，1(180)2ODE OED DOE ∴∠=∠=︒-∠， 2DOE DBE ∠=∠，90ODE DBE ∴∠=︒-∠， E 是切点，CE AC ∴⊥，90OEC ∴∠=︒，90OED DEC ∴∠=︒-∠，ODE OED ∠=∠，DEC CBE ∴∠=∠．（2） D ，E 分别是BC ，AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，DE AB ∴∥，CED CAB ∴∠=∠，CED CBE ∠=∠，CBE CAB ∴∠=∠，BCE ACB ∠=∠，CBE CAB ∴∆∆∽， ∴CB CE CA CB=， 2CB CA CE ∴=⋅，设BD CD a ==，则2BC a =，2224CE a ∴=，2CE a ∴， ∴22AC a AB ==，过E 作EH AB ⊥，垂足为H ，连接AD ，AB AC =，D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，2222(22)7AD AC CD a a a ∴--，2172ABC S BC AD a ∆∴=⋅， E 为AC 中点，2172ABE ABC S S ∆∆∴==， 即2172AB EH ⋅， 14EH ∴=， 2232AH AE EH ∴=-， 52BH AB AH ∴=-=， 7tan EH ABE BH ∴∠= 【点评】此题考查的是切线的性质，圆周角定理、等腰三角形性质、三角形中位线定理等知识，通过判定相似三角形得线段成比例从而得到答案是解决此题关键．8．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接OD ，证明△ABD ∠∠DBE ，得到AB DB DB BE=，结论得证； （2）先求出BD 、AD 、DE ，再证明△ADB ∠∠CED ，得到EC DE AD DB =，代入数值即可得到答案．（1）证明：连接OD ，∠DE与∠O相切于D点，∠DE∠OD，∠∠ODE＝90°，∠AD CD=，∠∠ABD＝∠CBD，∠OD＝OB，∠∠ODB＝∠ABD，∠∠ODB＝∠CBD，∠OD BE，∠∠E＝180°－∠ODE＝90°，∠AB是∠O的直径，∠∠ADB＝90°，∠∠ABD∠∠DBE，∠AB DB DB BE=，∠2BD＝AB•BE；（2）∠AB＝5，BE＝4，2BD＝AB•BE，∠2BD＝20，∠BD＝∠AD DE2=，∠四边形ABCD是圆内接四边形，∠∠A＋∠BCD＝180°，∠∠DCE＋∠BCD＝180°，∠∠DCE ＝∠A ，又∠∠E ＝∠ADB ＝90°，∠∠ADB ∠∠CED ， ∠EC DE AD DB=， 525=， ∠EC ＝1．【点评】此题主要考查了圆的切线的性质定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明三角形的相似是解题的关键．9．(1)见解析(2)BD 的长为4π3【分析】（1）连接OC 交BD 于点F ，利用切线的性质可得90OCE ∠=︒，利用垂径定理可得90DFC ∠=︒，利用直径所对的圆周角是直角可得90BDE ∠=︒，从而可得四边形DECF 是矩形，即可解答；（2）连接OD ，利用垂径定理可得DF BF =，从而可得OF 是ABD ∆的中位线，进而可得2AD OF =，然后根据结合已知和矩形的性质可得2AD CF =，从而可得OF CF =，然后在Rt ΔDOF 中，利用锐角三角函数的定义求出60DOF ∠=︒，再利用垂径定理可得60DOF BOF ∠=∠=︒，最后利用弧长公式进行计算即可解答．（1）证明：连接OC 交BD 于点F ， CE 是O 的切线，90∴∠=︒OCE ，DC BC =，OC BD ∴⊥，90DFC ∴∠=︒， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，18090BDE ADB ∴∠=︒-∠=︒，∴四边形DECF 是矩形， 90E ∴∠=︒，AE EC ∴⊥；（2）解：连接OD ，OC BD ⊥，DF BF ∴=，122OA OB AB ===， OF ∴是ABD ∆的中位线， 2AD OF ∴=，12ED AD =， 2AD DE ∴=，DE CF ∴=，2AD CF ∴=，12OF CF OC ∴==， 在Rt ΔDOF 中，12OF OD =， 1cos 2OF DOF OD ∴∠==， 60DOF ∴∠=︒，DC BC =，60DOF BOF ∴∠=∠=︒，120DOB DOF BOF ∴∠=∠+∠=︒，∴BD的长120241803ππ⨯==，∴BD的长为43π．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角形的中位线定理，弧长的计算，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加的辅助线是解题的关键．10．(1)见解析(2)5【分析】（1）根据垂径定理可得AC=AD，即有∠ACD=∠D，再根据四边形AGCD内接于∠O，可证明∠D=∠FGC，则问题得解；（2）连接OC，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt∠COE中，利用222OE CE OC+=，即可求解．（1）证明：∠AB为∠O的直径，CD∠AB，∠AB垂直平分CD，∠AC=AD，∠∠ACD=∠D，∠四边形AGCD内接于∠O，∠∠AGC+∠D=180°，∠∠AGC+∠FGC=180°，∠∠D=∠FGC，∠∠ACD=∠FGC；（2）连接OC ，∠AB 为∠O 的直径，CD ∠AB ，AE =CD =8，∠CE =ED =4，设OA =OC =r ，则OE =8-r ，在Rt ∠COE 中，222OE CE OC +=，即()22284r r -+=，解得r =5，即∠O 的半径为5.【点评】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．11．(1)(2)证明见解析【分析】（1）连接OD ，OM ∠CD ，根据垂径定理得出DM ＝CM ＝CD ＝12，根据勾股定理求出OD 即可；（2）延长AF 交BD 于Q ，求出AF ＝AC ，根据等腰三角形的性质得出∠C ＝∠AFC ，根据圆周角定理得出∠B ＝∠C ，求出∠B ＝∠DFQ ，求出∠B +∠D ＝90°，求出∠DFQ +∠D ＝90°即可．（1）解：连接OD ，∠M 是CD 的中点，∠OM ∠CD ，又∠OM 过圆心O ，CD ＝24，∠DM＝CM＝1CD＝12，∠OMD＝90°，2由勾股定理得：2222OD OM DM++412410即圆O的半径长是410（2）解：证明：延长AF交BD于Q，∠AB∠CD，CE＝EF，∠AF＝AC，∠∠C＝∠AFC，∠∠DFQ＝∠AFC，∠B＝∠C，∠∠B＝∠DFQ，∠AB∠CD，∠∠DEB＝90°，∠∠B+∠D＝90°，∠∠DFQ+∠D＝90°，∠∠DQF＝180°﹣（∠DFQ+∠D）＝90°，∠AF∠BD．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记垂径定理是解答（1）的关键，能求出∠B＝∠DFQ是解（2）的关键．12．(1)证明见解析-33π【分析】（1）连接OC ，由∠A =∠D =30°，可得∠COD =2∠D ，从而求得∠OCD =90°，可证得直线CD 为∠O 的切线；（2）先求△OCD 和扇形OCB 的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OC ，∠∠A =∠D =30°，∠∠COD =2∠D ，∠3∠D =90°，∠∠OCD =90°，∠过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，∠OC ∠CD ，∠CO 为圆的半径，∠ 直线CD 为圆的切线．（2）由（1）可知∠COD =60°在Rt △COD 中，∠CD =3，∠OC∠阴影部分的面积=260132360π⨯=【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．13．(1)见解析(2)r =【分析】（1）先证明∠AB E=∠ADC ，∠AEB =∠ACB ，然后根据两个角相等的两个三角形相似，证明ABE ADC △∽△，得出AB AE AD AC=，即可得出结论； （2）根据AC AB AD AE ⋅=⋅，代入数据求出AE 的长，即可得出半径的长．（1）证明：连接BE ，如图所示：∠AE 是∠O 的直径，∠∠ABE =90°，∠AD 是△ABC 的高，∠∠ADC =90°，∠∠AB E=∠ADC ，∠AB AB =，∠∠AEB =∠ACB ，∠ABE ADC △∽△， ∠AB AE AD AC=， ∠AC AB AD AE ⋅=⋅．（2）解：∠10AB =，6AD =，35AC =AC AB AD AE ⋅=⋅， ∠103555AC AB AE AD ⋅⨯=== ∠∠O 的半径为：1552r AE == 【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形相似的判定和性质，证明ABE ADC △∽△是解题的关键．14．(1)60°(2)45°【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到∠OAP =∠OBP =90°，根据四边形内角和等于360°计算；（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC =15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．（1）解：连接OA、OB，∠P A，PB是∠O的切线，∠∠OAP=∠OBP=90°，∠∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，∠AOB=60°；由圆周角定理得，∠ACB=12（2）解：连接CE，∠AE为∠O的直径，∠∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，∠∠BCE=90°-60°=30°，∠∠BAE=∠BCE=30°，∠AB=AD，∠∠ABD=∠ADB=75°，∠∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．∠∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．(1)45°(2)P A＝10，PD＝52【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理得到AC为∠O的直径，则∠ADC=90°，再证明∠ACD=∠CAD=45°，接着根据切线的性质得到∠P AC=90°，从而得到∠P=45°；（2）先利用勾股定理计算出AC=10，则利用∠P=∠ACP=45°得到AP=10，然后利用∠APD 为等腰直角三角形得到PD的长度．（1）解：连接AC，如图，∠∠ABC=90°，∠AC为∠O的直径，∠∠ADC=90°，∠AD=CD，∠∠ACD=∠CAD=45°，∠P A为∠O的切线，∠CA∠P A，∠∠P AC=90°，∠∠P=90°-∠ACD=45°；（2）解：在Rt∠ABC中，2222++=，AC AB BC6810∠∠P=∠ACP=45°，∠AP=AC=10，∠∠ADC =90°，∠∠APD 为等腰直角三角形，∠1022===PD AP 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．16．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据切线的性质得到∠CDB +∠ODB =90°，由AB 是∠O 的直径，推出∠ODB +∠ADO =90°，得到∠CDB =∠ADO ，再利用OA =OD ，推出∠ADO ∠DAO ，即可证得； （2）证明∠CBD ∠∠CDA ，推出BD CD AD AC ，根据tan∠BDC ＝23，得到tan∠CAD ＝23=BD CD AD AC，代入AC =3，即可求出CD ．（1）证明：连接OD ，∠CD 是∠O 的切线，∠OD ∠CD ，即∠ODC =90°，∠∠CDB +∠ODB =90°，∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB =90°，即∠ODB +∠ADO =90°，∠∠CDB =∠ADO ，∠OA =OD ，∠∠ADO=∠DAO ，∠∠CAD ＝∠BDC ；（2）∠∠CAD ＝∠BDC ，∠C =∠C ，∠∠CBD∠∠CDA，∠BD CD AD AC，∠tan∠BDC＝23，∠tan∠CAD＝23=BD CD AD AC，∠2 33 CD，解得：CD=2．【点评】此题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，利用正切值求边长，熟练掌握各知识点是解题的关键．17．(1)见解析(2)5【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∠BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD∠DE，进而得出DE是∠O的切线；（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt∠OAF中，由勾股定理列方程求解即可．【解析】（1）解：如图，连接OD，∠BD平分∠ABC，∠∠ABD=∠DBC，又∠OB=OD，∠∠ABD=∠ODB，∠∠ODB=∠DBC，∠OD∠BE，∠DE∠BE，∠OD∠DE，∠DE 是∠O 的切线；（2）如图，连接AC ，交OD 于F ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠ACB =90°，又∠∠FDE =90°，∠DEC =90°，∠四边形FDEC 是矩形，∠DF =CE =2，FC =DE =4．由垂径定理可知4AF CF ==设∠O 的半径为r ，在Rt ∠OAF 中，由勾股定理得，222OF AF OA +=即（r -2）2+42=r 2，解得r =5．即半径为5．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．18．(1)见解析(2)AG =【分析】（1）方法一：如图1，连接OC ，OD ．由OCD ODC ∠=∠，FC FE =，可得OED FCE ∠=∠，由AB 是O 的直径，D 是AB 的中点，90DOE ∠=︒，进而可得90OCF ∠=︒，即可证明CF 为O 的切线；方法二：如图2，连接OC ，BC ．设CAB x ∠=︒．同方法一证明90OCF ∠=︒，即可证明CF 为O 的切线；（2）方法一：如图3，过G 作GH AB ⊥，垂足为H ．设O 的半径为r ，则2OF r =+．在Rt ∠OCF 中，勾股定理求得3r =，证明GH DO ∥，得出BHG BOD ∽，根据BH BG BO BD =，求得,BH GH ，进而求得AH ，根据勾股定理即可求得AG ；方法二：如图4，连接AD ．由方法一，得3r =．6AB =，D 是AB 的中点，可得AD BD ==根据勾股定理即可求得AG ．【解析】（1）（1）方法一：如图1，连接OC ，OD ．∠OC OD =，∠OCD ODC ∠=∠．∠FC FE =，∠FCE FEC ∠=∠．∠OED FEC ∠=∠，∠OED FCE ∠=∠．∠AB 是O 的直径，D 是AB 的中点，∠90DOE ∠=︒．∠90OED ODC ∠+∠=︒．∠90FCE OCD ∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒．∠OC CF ⊥．∠CF 为O 的切线．方法二：如图2，连接OC ，BC ．设CAB x ∠=︒．∠AB 是O 的直径，D 是AB 的中点，∠45ACD DCB ∠=∠=︒．∠()45CEF CAB ACD x ∠=∠+∠=+︒．∠FC FE =，∠()45FCE FEC x ∠=∠=+︒．∠BCF x ∠=︒．∠OA OC =，∠ACO OAC x ∠=∠=︒．∠BCF ACO ∠=∠．∠AB 是O 的直径，∠90ACB ∠=︒．∠90OCB ACO ∠+∠=︒．∠90OCB BCF ∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒．∠OC CF ⊥．∠CF 为O 的切线．（2）解：方法一：如图3，过G 作GH AB ⊥，垂足为H ．设O 的半径为r ，则2OF r =+．在Rt ∠OCF 中，()22242r r +=+，解之得3r =．∠GH AB ⊥，∠90GHB ∠=︒．∠90DOE ∠=︒，∠GHB DOE ∠=∠．∠GH DO ∥． BHG BOD ∴∽ ∠BH BG BO BD=． ∠G 为BD 中点， ∠12BG BD =． ∠1322BH BO ==，1322GH OD ==．∠39622AH AB BH =-=-=． ∠222239310222AG GH AH ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：如图4，连接AD ．由方法一，得3r =．∠AB 是O 的直径，∠90ADB ∠=︒．∠6AB =，D 是AB 的中点， ∠32AD BD ==∠G 为BD 中点， ∠13222DG BD == ∠()2222333221022AG AD DG ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．19．(1)见解析 (2)245【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质，先证明OC AD ∥，即有DAC OCA ∠=∠，再根据OA OC =，可得ACO CAO ∠=∠，即有DAC EAC ∠=∠；（2）设∠O 的半径为r ，即有2OE r =+，在Rt ∠COE 中，222OC CE OE +=，即()22242r r +=+即可求出r ，根据OC AD ∥，可得OEC AED ∽，则有OE OC AE AD=，则问题得解． （1）（1）连接OC ，如图，∠EC 是∠O 的切线，∠OC CE ⊥，∠AD CE ⊥，∠OC AD ∥，∠DAC OCA ∠=∠，∠OA OC =，∠ACO CAO ∠=∠，∠DAC EAC ∠=∠；（2）设∠O 的半径为r ，∠2BE =，4CE =，∠2OE r =+，∠在Rt ∠COE 中，222OC CE OE +=，∠()22242r r +=+，解得3r =，∠5OE =，8AE =，∠OC AD ∥，∠OEC AED ∽， ∠OE OC AE AD =，即538AD=， 解得245AD =， ∠线段AD 的长为245． 【点评】本题考查了切线的性质、平行的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，灵活利用平行线的判定与性质是解答本题的关键．20．(1)见解析(2)5【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得出190ADC ∠+∠=︒，再由切线的性质得出90ABP ∠=︒，则290P ∠+∠=︒，又由圆周角定理得12∠=∠，则P ADC ∠=∠，最后由等腰三角形性质得CAD ADC ∠=∠，即可得出结论；（2）先证明AOC DOC ≌△△，得到2345∠=∠=∠=∠，又因为12∠=∠，则14∠=∠，得出OC BD ∥，从而得CE OE DE BE =，即2232CE DE ==-，即12DE CE =，再证明AEC DEB △∽△，得AE CE DE BE=，即3232CE DE +=-，代入即可求解． （1）证明：如图，∠AB 是O 的直径，∠190ADC ∠+∠=︒，∠PB 与O 相切于点B ，∠90ABP ∠=︒，∠290P ∠+∠=︒，∠12∠=∠，∠P ADC ∠=∠，∠AC CD =，∠CAD ADC ∠=∠，∠P CAD ∠=∠，即P PAD ∠=∠，（2）解：如图，∠AC CD =，OC OC =，OA OD =∠AOC DOC ≌△△，∠2345∠=∠=∠=∠，∠12∠=∠，∠14∠=∠，∠OC BD ∥， ∠CE OE DE BE=，即2232CE DE ==-， ∠12DE CE =， ∠AEC DEB ∠=∠，12∠=∠，∠AEC DEB △∽△， ∠AE CE DE BE=，即3232CE DE +=-， ∠5CE DE ⋅=即152CE CE ⋅=，解得10CE ．【点评】本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形△∽△是解题的关键．的判定与性质，证明AEC DEB。
2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习
2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习例1．如图①，Rt △ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，经过顶点B ，C 作⊙O ，分别交边AB ，AC 于点D ，E ，连接DE ，DC ．（1）求证：AD ＝ED ．（2）当AE ＝4，CE ＝2时，求⊙O 的半径．（3）设AE EC =x ，tan ∠DCB ＝y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图②，连接OE ，OD ，若S △ODE S △ABC =1564，求y 的值．例2.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且DE ＝OE ．（1）求证：∠BAC ＝3∠ACD ；（2）点F 在弧BD 上，且∠CDF =12∠AEC ，连接CF 交AB 于点G ，求证：CF ＝CD ；（3）①在（2）的条件下，若OG ＝4，设OE ＝x ，FG ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； ②求出使得y 有意义的x 的最小整数值，并求出此时⊙O 的半径．例3.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC +∠OAB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交OB 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若DE ＝2，CE ＝6，求BC 的长；（3）①若四边形ADEO 的面积等于△BEC 的面积，求sin ∠BAC 的值；②记tan ∠BAC ＝x ，△AOB 与△CDB 的面积之比为y ，请用含有x 的代数式表示y ．例4.如图，⊙O 是等腰△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，点D 为AĈ上一点，连结AD ，CD ，作BF ∥AD 交AC 的延长线于点F ．（1）求证：∠BCF ＝∠ADC ；（2）若AD ＝2，BF ＝8，求AC •CF 的值．（3）连结BD 交AF 于点E ，若BD ⊥AC ．①当AE ＝2时，求CF 的长；②若AC CF =k ，用含有k 的代数式表示tan ∠BAC ．例5．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y 轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连接DE交OM于点K．（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长．（2）若OKMK=3，求∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），OKMK=y，直接写出y关于x的函数解析式．例6．如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，连结OC ，过点B 作AC 的垂线，交⊙O 于点D ，交OC 于点M ，交AC 于点E ，连结AD ．（1）若∠D ＝α，请用含α的代数式表示∠OCA ；（2）如图1．求证：CE 2＝EM •EB ；（3）如图1证明：OC ∥AD（4）①如图1连结CD ，求证：DM=CD②连接AO 并延长交BD 于N ，连接CN ，求证：△AEN ≌△AED③若BM ＝3，DM ＝2，求tan ∠BAC 的值．（5）如图2，连结CD ，若x =DM BM ，①求DM BM 与AC CE 的值（用x 表示）②令y =S 四边形ABCD S △BMC ，求y 关于x 的函数表达式．例7．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB 的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．例8.如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．̂的中点；（1）如图1．①求证：点P为BAC②求sin∠BAC的值；̂的中点，求CE的长；（2）如图2，若点A为PC（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．例9.如图1，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，直径CF 交线段BE 于点G ，且AĈ=AF ̂，BG ＝xAE （1＜x ＜2）．（1）求证：AB ＝CD ；（2）当点E 是AG 的中点时，求BĈ的度数和x 的值； （3）设FGCG =y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图2，连结BF ，若△CEG 的面积是△BGF 面积的3倍，求tan ∠BFG 的值．课后练习1.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）如果，求tan A．2.已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．（1）如图1，①求⊙O的半径；②求sin∠CMD的值．（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求HE•FH的值．3.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，①求证：AC+AD＝DE；②求tan∠E的值．。
中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。
圆的证明与计算练习(2024年中考真题)
圆的证明与计算练习(2024年中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD 中,AD <AC ,ADC BAD ∠<∠,延长AD 至点E ,使AE =AC ,延长BA 至点F ,连结EF ,使AFE ADC ∠=∠.(1)若60O AFE ∠=,CD 为直径,求ABD ∠的度数.(2)求证:①EF ∥BC ②EF =BD .4.(24年辽宁中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是O 的直径,点D 在 BC 上, AC BD=,E 在BA 的延长线上,CEA CAD ∠=∠．(1)如图1,求证:CE 是O 的切线(2)如图2,若2CEA DAB ∠=∠,8OA =,求 BD的长．5.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E, AD BD=.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求 AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ．O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =,O 是ABC 的外接圆,点D 在 O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,O 经过B,C 两点,与斜边AB 交于点E,连接CO 并延长交AB 于点M,交O 于点D,过点E 作EF CD ∥,交AC 于点F ．(1)求证:EF 是O 的切线;(2)若BM =,1tan2BCD ∠=,求OM 的长．11.(24年绥化中考)如图1,O 是正方形ABCD 对角线上一点,以O 为圆心,OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ,与AC 相交于点F ．(1)求证:AB 与O 相切．(2)若正方形ABCD 1,求O 的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M 是半径OC 上的一个动点,过点M 作MN OC ⊥交 CE于点N ．当:1:4CM FM =时,求CN 的长．12.(24年河北中考)已知O 的半径为3,弦MN =,ABC 中.90,3,ABC AB BC ∠=︒==在平面上,先将ABC 和O 按图1位置摆放(点B 与点N 重合,点A 在O 上,点C 在O 内),随后移动ABC ,使点B 在弦MN 上移动,点A 始终在O 上随之移动,设BN x =．(1)当点B 与点N 重合时,求劣弧 AN 的长.(2)当OA MN ∥时,如图2,求点B 到OA 的距离,并求此时x 的值.(3)设点O 到BC 的距离为d ．①当点A 在劣弧 MN上,且过点A 的切线与AC 垂直时,求d 的值.②直接写出d 的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题:如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==．【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C ==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC 外接圆的半径)．请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =,D 为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos4ADC ∠=.O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为 CB 上一点,且 AC CE=．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径, BCBD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE⊥(2)若AB =,5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径．21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是»AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==,求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为 BC上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;②若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是 AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;②若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =,求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===．以点A 为圆心,以AD 为半径作 DE交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作 EF 所交BC 于点F ,连接FD 交 EF于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为 EF所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考)如图,直线AB 经过点C,且OA OB =,CA CB =．(1)求证:直线AB 是O 的切线;(2)若圆的半径为4,30B ∠=︒,求阴影部分的面积．圆的证明与计算练习答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略(2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解(2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略(2)6.(24年新疆中考)【答案】(1)略(2)4CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析(2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略(2)43π9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在 BC上时,2sin2CD AD BD α⋅=-.当D 在 AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略(2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略(3)512.(24年河北中考)【答案】(1)π(2)点B 到OA 的距离为2;3(3)①3d =;②2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:3AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC =(2)O 的半径为47715.(24年乐山中考)【答案】(1)略(2)3π493-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略(2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略(2)7tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略(2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略(2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略(2)略(3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略(2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略(2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略(2)4524.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;②DF 的取值范围为532DF <<．25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略(2)CD =553DE =．26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略(2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略(2)5528.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略(2)①证明略,②O 的半径为203．29.(24年包头中考)【答案】(1)3(2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1(2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略(2)3343π-32.(24年青海中考)【答案】(1)详见解析(2) 83S π=阴影。
专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA =+，当2OA =，90AOB ∠=︒时，l s -=．（结果保留一位小数）二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G 垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．8．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切；(2)若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．(1)求证：CF 是O 切线；(2)若10AF =，2sin 3F =，求一点，连接,,AD DC CP ．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．17．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=︒，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考数据，2 1.4143 1.732，≈≈）问题解决：(1)求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；(2)求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）18．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是直径，C 是 BD 的中点，过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若6BC =，8AC =，求CE 19．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，连接CD ，BDC A ∠=∠．(1)求证：ACD DCB ∽；(2)求证：CD 是O 的切线；(3)若3tan ,105E AC ==，求O 的半径．11①过点A 作切线AC ，且4AC （点C 在A 的上方）；②连接OC ，交O 于点D ；③连接BD ，与AC 交于点E ．(1)求证：BD 为O 的切线；(2)求AE 的长度．。